ESTAD ISTICA DESCRIPTIVA E INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD .

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ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA E INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDADDoble Grado en Ingenierı́a Informática y MatemáticasTema 6Algunos modelos de distribuciones discretas.Una vez expuesta la teorı́a general sobre variables aleatorias y sus distribuciones de probabilidad, vamos a describir algunas distribuciones particulares que han demostrado, empı́ricamente,ser modelos apropiados para situaciones que ocurren en la vida real. A pesar de ello tales distribuciones presentan un carácter teórico en el sentido de que sus funciones de probabilidad ode densidad se deducen matemáticamente en base a ciertas hipótesis que se suponen válidaspara los fenómenos aleatorios.La elección de una distribución de probabilidad para representar un fenómeno de interéspráctico debe estar motivada tanto por la comprensión de la naturaleza del fenómeno en sı́,como por la posible verificación de la distribución seleccionada a través de la evidencia empı́rica.En todo momento debe evitarse aceptar de manera tácita una determinada distribución deprobabilidad como modelo de un problema práctico.Una distribución de probabilidad está caracterizada, de forma general, por una o más cantidades que reciben el nombre de parámetros de la distribución. Un parámetro puede tomarcualquier valor de un conjunto dado y, en ese sentido, se define una familia de distribucionesde probabilidad que tendrán la misma función genérica de probabilidad o función de densidad.En este tema estudiaremos varias distribuciones de tipo discreto de gran utilidad en aplicaciones. En cada caso, se expondrá detalladamente cómo surgen (el modelo probabilı́sticosubyacente) y se deducirán sus momentos, función generatriz de momentos y otras caracterı́sticas de interés1. Distribución degeneradaLa distribución discreta más sencilla es la correspondiente a una variable aleatoria degeneradao constante, es decir, la asociada a un experimento aleatorio que da lugar siempre al mismoresultado. Por tanto, dicha variable aleatoria tomará un único valor c.Su función masa de probabilidad es x c 1P[X x] 0x 6 cAlgunas de sus caracterı́sticas son:Función de distribución:F (x) P[X x] 0x c1x c Patricia Román Román1

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA E INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDADDoble Grado en Ingenierı́a Informática y MatemáticasMomentos no centrados:mk E[X k ] ck P[X c] ck ,k 1, 2, · · ·Y, en particular, la MEDIAE[X] c.Momentos centrados:µk E[(X c)k ] 0,k 1, 2, · · ·Y, en particular, la VARIANZAVar[X] 0.Esta propiedad caracteriza a las distribuciones degeneradas; es decir, una variable aleatoria tiene varianza cero si y solamente si es degenerada en un punto (Propiedades de lavarianza).Función generatriz de momentos:M (t) E[etX ] etc t R.NotasSi una variable aleatoria tiene función generatriz de momentosMX (t) e5t t Rentonces, dado que la f.g.m. determina de forma única la distribución de la variable, X tieneuna distribución degenerada en el punto 5, es decirP[X 5] 1Si una variable aleatoria tiene función generatriz de momentosMX (t) 1 t Rentonces, dado que la f.g.m. determina de forma única la distribución de la variable, X tieneuna distribución degenerada en el punto 0, es decirP[X 0] 1Patricia Román Román2

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA E INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDADDoble Grado en Ingenierı́a Informática y Matemáticas2. Distribución uniforme discretaEsta es la distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta que toma un númerofinito de valores que son equiprobables y se utiliza para modelizar variables aleatorias asociadas a experimentos aleatorios que tienen un número finito de posibles resultados que sonequiprobables. Su función masa de probabilidad es1, i 1, 2, · · · , nnSe dice entonces que la variable aleatoria X se distribuye uniformemente sobre los puntosx1 , x2 , · · · , xn y se notará X U (x1 , x2 , . . . , xn ).P[X xi ] EjemploLa variable aleatoria asociada al experimento aleatorio de lanzar un dado al aire (tiene seisresultados posibles y equiprobables si el dado está bien construido)1P [X i] , i 1, 2, · · · , 66Algunas de sus caracterı́sticas son:Función de distribución: 0 1iF (x) (Número de valores xi x) nn 1si x x1si xi x xi 1 , i 1, . . . , n 1si x xnMomentos no centrados:n1X kmk E[X ] x ,n i 1 ikk 1, 2, · · ·Y, en particular, la MEDIAn1XE[X] xi x̄.n i 1Momentos centrados:n1Xµk E[(X EX) ] (xi x̄)k ,n i 1kPatricia Román Románk 1, 2, · · ·3

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA E INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDADDoble Grado en Ingenierı́a Informática y MatemáticasY, en particular, la VARIANZAn1X(xi x̄)2 .Var[X] n i 1Función generatriz de momentos:nM (t) E[etX ] 1 X txien i 1 t R.En el caso particular xi i, i 1, 2, . . . , nE[X] 1nE[X 2 ] Pn1nVar[X] i 1Pni i 11 n(n 1)n2i2 (n 1)(2n 1)6 n 121 n(n 1)(2n 1)n6 (n 1)24 (n 1)(2n 1)6n2 1123. Distribución de BernoulliSupongamos un experimento aleatorio que da lugar, únicamente, a dos posibles resultadosque son mutuamente excluyentes y exhaustivos. Los dos posibles resultados se denotan como:- éxito (E), que será el suceso objeto de estudio, y- fracaso (F ), que es el complementario de E.EvidentementeE, F Ω,E F Ω,E F .A este tipo de experimentos aleatorios se les llama experimentos o pruebas de Bernoulli.Asociado a un experimento o prueba de Bernoulli y a su correspondiente espacio muestralΩ {E, F }, se define la variable aleatoria con distribución de Bernoulli como si ocurre el suceso E 1X 0si no ocurre el suceso E (ocurre F )Si se denota por p a la probabilidad del suceso éxito (E) y, por tanto, la probabilidad delsuceso fracaso será 1 p, la función masa de probabilidad de esta variable aleatoria seráP[X 1] pP[X 0] 1 po bien,Patricia Román Román4

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA E INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDADDoble Grado en Ingenierı́a Informática y MatemáticasP[X x] px (1 p)1 x ,x 0, 1; 0 p 1y se notará como X B(1, p). (Los casos p 0 y p 1 dan lugar a variables degeneradas)Ejemplos- La variable aleatoria asociada al experimento aleatorio de lanzar una moneda (si la monedaestá bien construida p 1/2)- La variable aleatoria asociada a contabilizar ocurrencias, por ejemplo si una persona esvotante de un partido o no, si una pieza manufacturada es defectuosa o no (variables indicadoras).Algunas de sus caracterı́sticas son:Función de distribuciónF (x) 0x 01 p0 x 11x 1 Momentos no centrados:mk p,k 1, 2, · · ·Y, en particular,E[X] p,E[X 2 ] pMomentos centrados:µk (1 p)k p ( p)k (1 p),k 1, 2, · · ·Y, en particular,Var[X] E[X 2 ] (E[X])2 p p2 p(1 p)Función generatriz de momentos:M (t) pet (1 p)Patricia Román Román t R5

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA E INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDADDoble Grado en Ingenierı́a Informática y MatemáticasNotaSi una variable aleatoria tiene función generatriz de momentosMX (t) 0,8et 0,2 t Rentonces, dado que la f.g.m. determina de forma única la distribución de la variable, X tieneuna distribución B(1, 0,8).Ejemplo.- Un agente de seguros dedicado a la venta de seguros de vida, realiza visitas a posiblesclientes con el fin de contratar un seguro de vida. Se sabe de su trayectoria como agente queen el 60 % de las visitas logra contratar un seguro. Definir la variable aleatoria asociada a esteexperimento aleatorio y obtener su media y varianza.Tenemos un experimento aleatorio o prueba de Bernoulli que consiste en realizar una visita aun cliente e intentar contratarle un seguro. Los dos posibles resultados serán:- El cliente contrata el seguro, suceso éxito.- El cliente no contrata el seguro, suceso fracaso.La variable aleatoria asociada al experimento se define como si el cliente contrata el seguro (ocurre el suceso E) 1X 0si el cliente no contrata el seguro (no ocurre el suceso E)En este caso la probabilidad de éxito es p 0,6 y de aquı́ que la función masa de probabilidadde la variable aleatoria X esP[X 1] P (E) 0,6 pP[X 0] P (E) 0,4 1 pLa media y la varianza sonE[X] p 0,6Var[X] p(1 p) 0,6 · 0,4 0,244. Distribución binomialUna generalización de la distribución de Bernoulli se obtiene cuando:- El experimento o prueba de Bernoulli se repite n veces de forma independiente.- La probabilidad de éxito p permanece constante en cada repetición del experimento.Se define ahora una variable aleatoria X como el número de éxitos en las n repeticiones independientes del experimento que puede tomar los valores k 0, 1, · · · , n. Calculemos la probabilidadde que dicha variable tome cada uno de esos valores; esto es, P[X k], k 0, 1, · · · , n, o loque es lo mismo, la probabilidad de obtener k éxitos (o realizaciones del suceso E) en las npruebas de Bernoulli.Una de las posibles formas de obtener k éxitos en las n pruebas serı́a que se realizara E enlas k primeras pruebas y Ē en las n k restantesPatricia Román Román6

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA E INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDADDoble Grado en Ingenierı́a Informática y MatemáticasEE · ·k)E Ē Ē · ·n k)ĒAl ser las pruebas independientes, la probabilidad de la intersección de los n sucesos anterioresserá el producto de las probabilidades de cada uno de los sucesos; esto espp · ·k)p(1 p)(1 p) · ·n k)(1 p) pk (1 p)n kAhora habrá que multiplicar esta probabilidad por el número de posibles ordenaciones de losk éxitos y los n k fracasos, que es el número de permutaciones de n elementos con repeticiónde k elementos de un tipo y n k de otro n!n k!(n k)!kPor tanto n xP[X x] p (1 p)n x ,xx 0, 1, · · · , nDefinición.- Se dice que una variable aleatoria X sigue una distribución binomial deparámetros n y p, n N, p (0, 1) si modeliza el número de éxitos en n repeticiones independientes de un ensayo de Bernoulli con probabilidad p de éxito, manteniéndose ésta constanteen las n repeticiones del experimento; o bien, si su función masa de probabilidad es n xP[X x] p (1 p)n x ,x 0, 1, · · · , n.xSe notará como X B(n, p).Nota.-Observemos que la distribución de Bernoulli no es más que un caso particular de ladistribución binomial con n 1.Probemos que, en efecto, es una función masa de probabilidad. En primer lugar, son valoresmayores o iguales que cero y, en segundo lugar, su suma vale uno. En efecto, teniendo en cuentael binomio de NewtonnXn Xn xP[X x] p (1 p)n x [p (1 p)]n 1xx 0x 0Ejemplo: Número de caras al lanzar una moneda n veces de forma independiente.AplicacionesSus principales áreas de aplicación incluyen control de calidad, ventas, mercadotecnia, medicina,investigación de opiniones y otras.Patricia Román Román7

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA E INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDADDoble Grado en Ingenierı́a Informática y Matemáticas- Número de unidades defectuosas en un proceso de fabricación. En un proceso de manufactura se produce un determinado producto en el que algunas unidades son defectuosas. Si laproporción de unidades defectuosas producidas por este proceso es constante durante un periodo razonable y si, como procedimiento de rutina, se seleccionan aleatoriamente un determinadonúmero de unidades, entonces el número de artı́culos defectuosos en dicha muestra se puedemodelizar mediante el empleo de la distribución binomial.- En aplicaciones de publicidad para la venta de un artı́culo, también puede considerarsela distribución binomial, si se supone que la probabilidad de venta es constante para todas laspersonas consideradas.- En Medicina, por ejemplo, para estudiar el número de individuos que contraen una enfermedad, si para un grupo determinado de la población la probabilidad de contraer tal enfermedadse mantiene constante.Algunas de sus caracterı́sticas son:Función de distribución:F (x) P[X x] 0x 0P[X 0] . . . P[X i]i x i 1; i 1, 2, . . . , n 11x no bien, 0 [x] Xn kF (x) p (1 p)n k k k 0 1x 00 x nx ndonde [x] denota la parte entera de x. Dicha función de distribución es una funciónescalonada con n 1 saltos en los puntos 0, · · · , n de longitudes P[X 0], . . . , P[X n]Función generatriz de momentosM (t) (pet (1 p))n t REn efectoPatricia Román Román8

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA E INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDADDoble Grado en Ingenierı́a Informática y Matemáticas n tX Xtx npx (1 p)n x eM (t) E exx 0 n Xnx 0x(pet )x (1 p)n x [pet (1 p)]nMomentos: Dado que la variable está acotada, existen los momentos de todos los órdenes,pero nos limitaremos a calcular hasta los de orden dos.MediaE[X] nplo cual se puede probar, o bien a partir de la función generatriz de momentos o bien,directamente. Veamos la obtención directa nnXXn xn!n xpx (1 p)n x E[X] xp (1 p) xx!(n x)!xx 0x 0nXx 1nX(n 1)!n!xn xp (1 p) nppx 1 (1 p)n x(x 1)!(n x)!(x 1)!(n x)!x 1Tomando y x 1 y m n 1, entoncesE[X] npmXy 0m!py (1 p)m y npy!(m y)!dado que los términos de la última suma corresponden a la función masa de probabilidadde una B(m, p) y, por tanto, suman uno.VarianzaVar[X] np(1 p)dado que el momento no centrado de orden dos es m2 E[X 2 ] n(n 1)p2 np. Este sepuede obtener a partir de la función generatriz de momentos o bien directamente. Veamosesta última formaE[X 2 ] E[X(X 1)] E[X]Dado que E[X] ya es conocida, obtengamos la otraPatricia Román Román9

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA E INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDADDoble Grado en Ingenierı́a Informática y MatemáticasnX nXn xn!n xpx (1 p)n xE[X(X 1)] x(x 1)p (1 p) x(x 1)x!(n x)!xx 0x 0nXx 2nXn!(n 2)!xn x2p (1 p) n(n 1)ppx 2 (1 p)n x(x 2)!(n x)!(x 2)!(n x)!x 2Tomando ahora y x 2 y m n 2, de forma análoga a la media , se obtieneE[X(X 1)] n(n 1)p2mXy 0m!py (1 p)m y n(n 1)p2y!(m y)!dado que los términos de la última suma corresponden a la función masa de probabilidadde una B(m, p) y, por tanto suman uno.Propiedad de simetrı́a.- Si X B(n, p), entonces la variable aleatoria que contabilizael número de fracasos, Y n X B(n, 1 p) y, ademásP[X x] P[Y n x]Se puede probar calculando la función generatriz de momentos. n nMY (t) E[et(n X) ] etn MX ( t) etn pe t (1 p) (1 p)et p .Cálculo de probabilidades y representaciones gráficas(Ver apuntes y scripts de R, y applets de Java con Geogebra)EJERCICIOS1.- Un club nacional de automovilistas comienza una campaña telefónica con el propósito deaumentar el número de miembros. En base a experiencia previa, se sabe que una de cada 20personas que reciben la llamada se une al club. Si en un dı́a, 25 personas reciben la llamadatelefónica, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos dos de ellas se inscriban al club? ¿Cuáles el número esperado?Solución: Si cada persona que recibe la llamada se une o no al club, independientemente delresto, entonces,X : Número de personas que se unen al club de las 25 llamadasPatricia Román Román10

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA E INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDADDoble Grado en Ingenierı́a Informática y MatemáticasX B(25, 1/20)P[X 2] 1 P[X 2] 1 [P[X 0] P[X 1]] " 1 24 #0252511925119 1 0.357602020120201 1.25202.- Un representante realiza cinco visitas cada dı́a a los comercios de su ramo y, por experienciaanterior, sabe que la probabilidad de que le hagan un pedido en cada visita es 0.4. CalcularE[X] np 25a) La distribución del número de pedidos por dı́a.b) Media y varianza del número de pedidos por dı́a.c) Probabilidad de que el número de pedidos que realiza durante un dı́a sea 4.d) La probabilidad de que realice por lo menos dos pedidos.e) La probabilidad de que el número de pedidos que realiza durante un dı́a esté comprendidoentre 1 y 3.Solución: Supuesto que en cada visita se hace un pedido o no independientemente de lo que sehaga en otra visita:a) X : Número de pedidos diarios B(5, 0.4)b) E[X] 5 0.4 2, V ar[X] 5 0.4 0.6 1.2 c) P (X 4) 54 0.44 0.61 0.0768.Con R, dbinom(4,5,0.4) 0.0768.d) P (X 2) 1 P (X 2) 1 P (X 1) 1 (P (X 0) P (X 1)) 0.66304.Con R, 1-pbinom(1,5,0.4) 0.66304, o bien, dado que P (X 2) P (X 1),pbinom(1,5,0.4,lower.tail FALSE) 0.66304. e) P (1 X 3) P (X 1) P (X 2) P (X 3) 51 0.41 0.64 52 0.42 0.63 53 0.43 0.62 0.2592 0.3456 0.2304 0.8352.Con R, sum(dbinom(1:3,5,0.4)) 0.8352, o bien, pbinom(3,5,0.4)-pbinom(0,5,0.4) 0.8352.3.- Se envı́an 20 invitaciones a los representantes estudiantiles para asistir a una conferencia.De experiencias anteriores se sabe que la probabilidad de aceptar la invitación es 0.8. Si lasdecisiones de aceptar estas invitaciones son independientes, determinar la probabilidad de quecomo mı́nimo 17 estudiantes acepten la invitación.Solución:X : Número de representantes que aceptan la invitación B(20, 0.8)Patricia Román Román11

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA E INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDADDoble Grado en Ingenierı́a Informática y MatemáticasP (X 17) P (X 17) P (X 18) P (X 19) P (X 20)Con R, pbinom(16,20,0.8,lower.tail FALSE) 0.4114489.5. Distribución de PoissonEsta distribución sirve para representar el número de ocurrencias de un determinado suceso durante un periodo de tiempo fijo o en una región fija del espacio, cuando el número deocurrencias sigue unas determinadas pautas:El número de ocurrencias en un intervalo o región especificada debe ser independiente delnúmero de ocurrencias en cualquier otro intervalo o región.Si se considera un intervalo de tiempo muy pequeño (o una región muy pequeña), laprobabilidad de una ocurrencia es proporcional a la longitud del intervalo (al volumen dela región) y la probabilidad de dos o más ocurrencias es prácticamente nula (despreciable).Definición: Una variable aleatoria X tiene distribución de Poisson de parámetro λ (λ 0) sisu función masa de probabilidad esP[X x] e λλx,x!x 0, 1, . . .Se nota X P(λ).Probemos que en efecto es una función masa de probabilidad. En primer lugar, son valoresmayores o iguales que cero y, en segundo lugar, su suma vale uno. En efecto, teniendo encuenta el desarrollo de la exponencial Xx 0P[X x] Xe λx 0 Xλxλx e λ e λ eλ 1x!x!x 0AplicacionesEsta distribución sirve para representar, por ejemplo:- Número de accidentes que ocurren durante un determinado espacio de tiempo en unadeterminada carretera.- Número de llamadas telefónicas a una oficina (en un determinado intervalo de tiempo).- Número de bacterias en un cultivo.En general, las situaciones reales en las que se usa la distribución de Poisson se caracterizanporque la probabilidad del suceso cuyo número de ocurrencias se contabiliza es pequeña y porello suele denominarse la LEY DE LOS SUCESOS RAROS.Algunas de sus caracterı́sticas son:Patricia Román Román12

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA E INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDADDoble Grado en Ingenierı́a Informática y MatemáticasFunción de distribuciónF (x) 0x 0[x]kX λ λ e k!x 0k 0donde [x] denota la parte entera de x.Función generatriz de momentosM (t) eλ(e 1)t t REn efectoM (t) Xxtx λ λe ex 0x! λ e X(et λ)xx 0x! e λ ee λ eλ(e 1)ttMediaE[X] λlo cual se puede probar o bien directamente, o a partir de la función generatriz de momentos. Veamos la obtención directaE[X] Xx 0xe λ Xλxλx 1 λe λ λe λ eλ λx!(x 1)!x 1Por tanto, el parámetro λ de la distribución es el número medio de ocurrencias en elintervalo de tiempo o región del espacio considerada.VarianzaVar[X] λRazonando de forma análoga a la binomial y calculando E[X(X 1)]E[X(X 1)] Xx 0 λ λx(x 1)exx!2 λ λ e Xλx 2 λ2 e λ eλ λ2(x 2)!x 2se obtiene E[X 2 ] λ2 λ, de donde se deduce el valor de la varianza.Patricia Román Román13

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA E INTRODUCCIÓN A LA PROB

ESTAD ISTICA DESCRIPTIVA E INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD Doble Grado en Ingenier a Inform atica y Matem aticas 2. Distribuci on uniforme discreta Esta es la distribuci on de probabilidad de una variable aleatoria discreta que toma un numero nito de valores que son equiprobables y se utiliza para modelizar variables aleatorias aso-

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