MATEMATIKA DISKRIT - WordPress
MATEMATIKADISKRITLogika Proposisi
Matematika Diskrit
Edisi2MATEMATIKADISKRITSamuel WibisonoLogika Proposisi
MATEMATIKA DISKRITOleh: Samuel WibisonoEditor : Asrining Rizky RachmawatiEdisi KeduaCetakan Pertama, 2008Hak Cipta 2005, 2008 pada penulis,Hak Cipta dilindungi undang-undang. Dilarang memperbanyak ataumemindahkan sebagian atau seluruh isi buku ini dalam bentuk apa pun,secara elektronis maupun mekanis, termasuk memfotokopi, merekam, ataudengan teknik perekaman lainnya, tanpa izin tertulis dari penerbit.Candi Gebang Permai Blok R/6Yogyakarta 55511Telp.: 0274-882262; 0274-4462135Fax.: 0274-4462136E-mail: info@grahailmu.co.idWibisono, SamuelMATEMATIKA DISKRIT/Samuel Wibisono- Edisi Kedua Yogyakarta; Graha Ilmu, 2008xii 196 hlm, 1 Jil. : 23 cm.ISBN: 978-979-756-413-11. MatematikaI. JudulMatematika Diskrit
KATA PENGANTARMemasuki era globalisasi, mempersiapkan sumber dayamanusia yang profesional dalam bidangnya merupakanprasyarat utama untuk dapat survive dalam pasar global yangpenuh tantangan dan persaingan.Dengan latar belakang tersebut di atas dan banyaknyakeluhan pembaca tentang: Apa manfaat belajar matematikabuat mereka? atau Apa hubungan matematika yang merekapelajari dengan jurusan yang mereka ambil? , penulis menyadaribahwa sasaran dalam proses pembelajaran mata kuliah ini harusdipertajam, sehingga mampu mendukung terciptanya sarjanasarjana baru dalam bidang teknik informatika, sistem informatika, manajemen informatika, maupun teknik komputer,yang handal dan mempunyai daya saing yang tinggi karena telahdibekali dengan logika dan konsep dasar matematika diskrit,sehingga mampu menyelesaikan segala persoalan yangdihadapi, melalui rancangan usulan penyelesaian problem ataukasus.Hasil proses pembelajaran yang penulis harapkan setelahpembaca membaca buku ini, adalah:Logika Proposisi
Pembaca mengenal konsep dasar logika dan matematikadiskrit dengan baik. Pembaca memahami konsep dasar logika dan matematika diskrit sehingga mampu menggunakannya untukmenyelesaikan permasalahan yang sesuai. Pembaca dapat merancang, menganalisa danmensintesa beberapa kasus aplikasi dalam berbagaibidang, khususnya TI dan komputer.Pada kesempatan ini penulis menyampaikan terimakasihkepada Pimpinan dan Staf Universitas Bina Nusantara dan Universitas Indonesia Esa Unggul, di mana penulis diberi kesempatan mengampu mata kuliah Matematika Diskrit ini, rasa terimakasih juga penulis sampaikan kepada Penerbit Graha Ilmu yangtelah memberikan kepercayaan, sehingga buku edisi 2 ini dapatditerbitkan.Terakhir, kami sampaikan rasa terima kasih kepadarekan-rekan dosen pengampu mata kuliah Matematika Diskritutamanya Dr. Frans Susilo SJ. yang berkenan memberikankritik dan saran yang membangun guna penyempurnaan bukuini, kritik dan saran yang membangun dari rekan-rekan masihkami tunggu untuk edisi mendatang.Demikian semoga bermanfaat.Jakarta, Agustus 2008Samuel WibisonoviMatematika Diskrit
DAFTAR ISIKATA PENGANTARDAFTAR ISIBAB 1 LOGIKA PROPOSISI1.1. Pernyataan1.2. Pernyataan Gabungan1.2.1 Konjungsi1.2.2 Disjungsi1.2.3 Negasi1.2.4 Jointdenial (Not OR/ NOR)1.2.5 Not And (NAND)1.2.6 Exclusive or (exor)1.2.7 Exclusive NOR (ExNOR)1.3 Tautologi dan kontradiksi1.3.1 Tautologi1.3.2 Kontradiksi1.4 Kesetaraan Logis1.5 Aljabar Proposisi1.6 Implikasi dan Biimplikasi1.6.1 ImplikasiDaftar Isivvii112246778910101011121414vii
1.6.2 Biimplikasi1.7 Argumentasi1.7.1. Kebenaran/Validitas Argumen1.7.2 Bentuk-bentuk Dasar Menarik1.8. Kuantor Pernyataan1.8.1 Macam-macam Kuantor1.8.2 Negasi KauntorBAB 22.12.22.32.42.518181921252627TEORI HIMPUNANHimpunan2.1.1 Kardinalitas2.1.2 Himpunan Berhingga danTak Berhingga2.1.3 Kesamaan Dua Himpunan danSubhimpunan2.1.4 Macam-macam HimpunanOperasi Himpunan2.2.1 Union/Gabungan dari 2 himpunan2.2.2 Intersection/Irisan dari 2 Himpunan2.2.3 Relative Acomplement/Selisih Antara2 Himpunan2.2.4 Komplemen dari Himpunan2.2.5 Symmetic Difference/Beda SetangkupDiagram VennHukum-hukum Aljabar HimpunanPerhitungan Himpunan Gabungan2.5.1. Gabungan dari 2 Himpunan2.5.2 Gabungan dari 3 HimpunanBAB 3 TEORI HIMPUNAN FUZZY3.1. Fungsi keanggotaan3.2 Operasi himpunan fuzzy3.2.1 Komplemen3.2.2 Gabungan/Union Himpunan 152Matematika Diskrit
3.2.3 Irisan/Itersection Himpunan Fuzzy3.2.4 Pemotongan/Cut Himpunan Fuzzy3.2.5 Pendukung (Support) Himpunan Fuzzy3.2.6 Scalar CardinalityKesamaan dan Himpunan Bagian5354575960BAB 44.14.2.4.3LOGIKA FUZZYPengantarLogika dengan Nilai Kebenaran BeragamSoal-soal67676872BAB 55.15.2RELASI KLASIKPendahuluanPemaparan Relasi5.2.1 Pemaparan Koordinat5.2.2 Pemaparan Matrik5.2.3 Pemetaan5.2.4 Graph BerarahOperasi dalam Relasi binary5.3.1 Inverse Relasi (R 1)5.3.2 Komposisi RelasiEkivalen, Kompatibel dan Ordering Relasi5.4.1 Relasi Ekivalen5.4.2 Relasi Kompatibel5.4.3 Poset (Partially Orderet Set)7575777778787980808182828586FUNGSIDefinisi FungsiMacam-macam Fungsi6.2.1 Fungsi satu-satu6.2.2 Fungsi pada6.2.3 Fungsi konstan6.2.4 Fungsi InversKomposisi FungsiFungsi Karakteristik9393949495969698993.35.35.4BAB 66.16.26.36.4Daftar Isiix
BAB77.17.27.37.4BAB 88.18.28.38.48.58.68.78.88.98.108.118.128.13BAB 99.19.2xALJABAR BOOLE103Aplikasi Aljabar Boole dalamJaringan Switching103Aplikasi Aljabar Boole padaRangkaian Logik (Gate)107Aplikasi Aljabar Boole dalam Operasi KelipatanPersekutuan Kecil (KPK) dan FaktorPersekutuan Besar (FPB)111Minimal dnf (Disjunctive Normal Form)1137.4.1 Dengan Teori Include dan Konsensus1137.4.2 Peta Karnaugh116TEORI GRAPHPendahuluanMacam-macam GraphKoneksitasBerkaitan dengan JarakDerajat/Degree suatu titikTitik Potong Graph (Cut Point)Ukuran secara grafikalMatrik GraphLabeled DigraphDerajat Titik pada DiagraphGraph Bidang (Planar Graph)Pewarna PetaPohon/Tree8.13.1 Spanning Tree8.13.2 Pohon Berakar (Rooted Tree)8.13.3 Pohom Berurut Berakar(Orderd Rootes 163MESIN MATEMATIKPendahuluanFinite Automata (FA)175175177167Matematika Diskrit
9.2.1 Menggambarkan FA dengan Digraph9.2.2 Menggambarkan FA denganDifinisi Formal 5-Tuple9.2.3 Menggambarkan FA denganTabel State9.2.5 Non-Deterministik FiniteAutomata (NFA)9.2.6 Finite State TransducersDAFTAR PUSTAKATENTANG PENULIS178180181181189193195-oo0oo-Daftar Isixi
Matematika Diskrit
1LOGIKA PROPOSISI1.1. PERNYATAANLogika proposisi sering juga disebut logika matematikaataupun logika deduktif.Logika proposisi berisi pernyataan-pernyataan (dapattunggal maupun gabungan).Pernyataan adalah kalimat deklarasi yang dinyatakandengan huruf-huruf kecil, misalnya:p, q, r, sPernyataan mempunyai sifat dasar yaitu dapat bernilaibenar (pernyataan benar) atau bernilai salah (pernyataan salah),tetapi tidak mungkin memiliki sifat kedua-duanya.Kebenaran atau kesalahan sebuah pernyataan dinamakannilai kebenaran dari pernyataan tersebut.Contoh:1. Bilangan biner digunakan dalam sistem digital adalahpernyataan yang benar.Logika Proposisi
2. Sistem analog lebih akurat daripada sistem digital adalahpernyataan yang salah.3. Astaga, mahal sekali harga notebook itu adalah kalimatkeheranan, bukan pernyataan.4. Siang tadi notebook Ira jatuh dari meja adalah bukanpernyataan karena dapat bernilai benar maupun bernilaisalah.5. Corezdeo lebih bagus kinerjanya dan lebih mahal daripentium IV generasi sebelumnya adalah pernyataan yangbenar.Kalimat-kalimat yang tidak termasuk pernyataan, atperintahpertanyaankeherananharapanwalaupun.1.2 PERNYATAAN GABUNGANBeberapa pernyataan dapat digabung dengan katapenghubung dan, atau, tidak/bukan, serta variatifnya, yangselanjutnya disebut pernyataan gabungan atau pernyataanmajemuk atau compound statement.Macam-macam pernyataan gabungan.1.2.1 KonjungsiKonjungsi adalah pernyataan gabungan dari dua pernyataan dengan kata penghubung dan Notasi-notasi konjungsi:R S , p x q, p.q, pqBagaimana menentukan benar atau salah sebuah konjungsi?Konjungsi dianalogikan dengan sebuah rangkaian listrik seri:2Matematika Diskrit
ABi Bila lampu B dan lampu A hidup maka arus listrik dapatmengalir dari kutup positip menuju kutup negatip sebuahbaterai, akibatnya kedua lampu A dan B menyala/hidup.Bilalampu B mati dan lampu A hidup atau sebaliknya, maka aruslistrik tidak dapat mengalir menuju kutub negatip baterai,akibatnya kedua lampu A dan B tidak menyala/mati. Demikianjuga bila lampu A dan B mati. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa konjungsi benar bila keduanya hidup, selainitu salah.Tabel Kebenaran KonjungsipqR S ataup q dimana berarti benar dan - berarti salahContoh:pq sistem analog adalah suatu sistem dimana tanda fisik/kuantitas, dapat berbeda secara terus-menerus melebihijarak tertentu adalah pernyataan benar sistem digital adalah suatu sistem dimana tanda fisik/kuantitas, hanya dapat mengasumsikan nilai yangberlainan adalah pernyataan yang benar.Logika Proposisi3
rs sistem bilangan desimal adalah sistem bilangan yang digunakan dalam sistem digital adalah pernyataan yangsalah aljabar linear adalah alat matematika dasar untuk disainlogika adalah pernyataan salah.Maka:R Sq rr.sadalah konjungsi yang benar karena p benar, q benar.adalah konjungsi yang salah karena q benar, r salah.adalah konjungsi yang salah karena r salah, s salah.1.2.2 DisjungsiDisjungsi adalah pernyataan gabungan dari dua pernyataan dengan kata penghubung atau.Notasi-notasi disjungsi:R S R SBagaimana menentukan benar atau salah sebuah disjungsi?Disjungsi dapat dianalogikan dengan sebuah rangkaian listrikyang pararel:ABi 4 Matematika Diskrit
Bila lampu A dan lampu B hidup maka arus listrik i dapatbergerak/mengalir dari kutup positip ke kutup negatip sebuahbaterai, akibatnya lampu A dan B menyala.Bila lampu A hidup dan lampu B mati (atau sebaliknya),maka arus listrik i masih dapat mengalir dari kutup positip kekutup negatip sebuah baterai. Akibatnya lampu yang hidup akanmenyala dan yang mati tidak menyala.Bila lampu A dan B mati, maka arus listrik i tidak dapatmengalir ke kutup negatip.Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa disjungsisalah bila kedua lampu mati, selain itu benar.Tabel Kebenaran DisjungsipqR Sp q atau Catatan:Simbol tabel kebenaran yang biasa digunakan :BenarSalah T, B, , 1 F, S, , 0Contoh:pqr keyboard adalah alat yang dapat digunakan untukinput data kedalam komputer adalah pernyataanbenar. Harddisk adalah alat yang menentukan kecepatankerja komputer adalah pernyataan salah. Procesor alat yang berfungsi sebagai otak dari sebuahkomputer adalah pernyataan benar.Logika Proposisi5
s Windows XP adalah sistematika menulis bukuadalah pernyataan salah.Maka:Q RQ SR Tadalah disjungsi yang benar karena p benar, q salah.adalah disjungsi yang benar karena p benar, r benar.adalah disjungsi yang salah karena q salah, s salah.1.2.3 NegasiNegasi adalah sebuah pernyataan yang meniadakanpernyataan yang ada, dapat di bentuk dengan menulis adalahsalah bahwa atau dengan menyisipkan kata tidak dalamsebuah pernyataan.Notasi-notasi negasi: R R′ RContoh:p Harddisk adalah alat yang menentukan kecepatan kerjakomputer adalah pernyataan salahMaka p Adalah salah bahwa harddisk adalah alat yang menentukan kecepatan kerja komputer adalah pernyataanbenar.Jadi kebenaran sebuah negasi adalah lawan dari kebenaran pernyataannya.Tabel kebenaran negasi:p 6 p Matematika Diskrit
1.2.4 Jointdenial (Not OR/ NOR)Jointdenial adalah pernyataan gabungan yang dihasilkandari menegasikan disjungsi.Notasi NOR:R S R PQT S R SKarena jointdenial adalah negasi dari or, maka tabelkebenaran NOR adalah sebagai berikut:pqR SRoS (p q)atau 1.2.5 Not And (NAND)NAND adalah pernyataan gabungan yang dihasilkan darimenegasikan konjungsi.Notasi NAND: R S R S ′Karena NAND negasi dari konjungsi, maka tabelkebenaran NAND adalah sebagai berikut:pqR S Logika Proposisi R S atau (p q) 7
1.2.6 Exclusive or (exor)Exor adalah pernyataan gabungan dimana salah satu patau q (tidak kedua-duanya) adalah benarNotasi exor:R SContoh:pqrs sistem analog adalah suatu sistem dimana tanda fisik/kuantitas, dapat berbeda secara terus-menerus melebihijarak tertentu. adalah pernyataan benar sistem digital adalah suatu sistem dimana tanda fisik/kuantitas, hanya dapat mengasumsikan nilai yangberlainan adalah pernyataan yang benar. sistem bilangan desimal adalah sistem bilangan yangdigunakan dalam system digital adalah pernyataan yangsalah. aljabar linear adalah alat matematika dasar untuk disainlogika adalah pernyataan salah.Maka:R S adalah exor yang salah karena p benar, q benar.Q S adalah exor yang benar karena p benar, r salah.T RS Tadalah exor yang benar karena q benar, s salah.adalah exor yang salah karena r salah, s salah.dengan demikian tabel kebenaran exor dapat ditulis sebagaiberikut:8R S R S R X S CVCW Matematika Diskrit
1.2.7 Exclusive NOR (ExNOR)EXNOR adalah pernyataan gabungan ingkaran dariEXOR di mana nilai kebenarannya benar bila kedua pernyataannya benar atau salah.Notasi EXNOR: (p q )Contoh:pqrs sistem analog adalah suatu sistem dimana tanda fisik/kuantitas, dapat berbeda secara terus-menerus melebihijarak tertentu. adalah pernyataan benar sistem digital adalah suatu sistem dimana tanda fisik/kuantitas, hanya dapat mengasumsikan nilai yangberlainan adalah pernyataan yang benar. sistem bilangan desimal adalah sistem bilangan yangdigunakan dalam sistem digital adalah pernyataan yangsalah aljabar linear adalah alat matematika dasar untuk disainlogika adalah pernyataan salah.Maka:p EXNOR q, adalahp EXNOR r, adalahs EXNOR q, adalahr EXNOR s, yangyangyangbenarsalahsalahbenarDengan demikian tabel kebenaran EXNOR:Logika Proposisipq R S 9
1.3 TAUTOLOGI DAN KONTRADIKSIProposisi dipandang dari nilai kebenarannya dapatdigolongkan menjadi 2 yaitu1.3.1 TautologiTautologi adalah proposisi yang selalu benar apapunpernyataannya.Notasi tautologi:p v pContoh:p Harddisk adalah alat yang menentukan kecepatan kerjakomputer adalah pernyataan salah p adalah salah bahwa harddisk adalah alat yang menentukan kecepatan kerja komputer adalah pernyataan benar.MakaR R adalah proposisi yang benarTabel kebenaran tautologi:p S R R ataup R 1.3.2 KontradiksiKontradiksi adalah proposisi yang selalu salah apapunpernyataannyaNotasi kontradiksi:R R10Matematika Diskrit
Contoh:p Harddisk adalah alat yang menentukan kecepatan kerjakomputer adalah pernyataan salah p adalah salah bahwa harddisk adalah alat yang menentukan kecepatan kerja komputer adalah pernyataanbenar.MakaR R adalah proposisi yang salahTabel kebenaran kontradiksi:p R R R 1.4 KESETARAAN LOGISDua buah pernyataan yang berbeda dikatakan setara bila nilaikebenarannya samaContoh:1. Tidak benar, bahwa aljabar linear adalah alat matematikadasar untuk disain logika adalah pernyataan benar.2. Aljabar Boole adalah alat matematika dasar untuk disainlogika adalah pernyataan benar.Kedua pernyataan di atas mempunyai nilai kebenaranyang sama. Jadi kedua pernyataan di atas setara/ekivalen.Akibatnya dua proposisi P(p, q, r, .) dan Q(p, q, r, .)dapat dikatakan setara jika memiliki tabel kebenaran yangsama. Dua buah proposisi yang setara dapat dinyatakan denganP(p, q, r, .) Q(p, q, r, .).Logika Proposisi11
Contoh:Selidiki apakah kedua proposisi di bawah setara:1. Tidak benar, bahwa sistem bilangan biner digunakan dalamsistem digital atau sistem digital hanya dapat mengasumsikan nilai yang berlainan.2. Sistem bilangan biner tidak digunakan dalam sistem digital dan tidak benar bahwa sistem digital hanya dapat mengasumsikan nilai yang berlainan.Kedua proposisi di atas dapat dituliskan dengan notasi sbb:1. R S2. R Ssehingga tabel kebenarannya sebagai berikut:R S R S R S R S R S Jadi, kedua proposisi tersebut setara atau R S R S1.5 A LJABAR PROPOSISIAljabar proposisi merupakan penerapan hukum-hukumaljabar dalam logika proposisi.Hukum-hukum tersebut adalah:1. IdempotenR R z RR R z R12Matematika Diskrit
2. AsosiatifR S T z R S TR S T z R S T3. KomutatifR S z S RR S z S R4. DistribusiR S Tz R S R TR S T z R S R T5. IdentitasR H z R R H z HR V z V R V z R6. KomplemenR R V V HR R H H V7. Involution R R R8. De Morgan s R S R S R S R S9. AbsorbsiR R S RR R S R10. ImplikasiR S R S11. BiimplikasiR S R S S RLogika Proposisi13
12. KontraposisiR S S RSalah satu manfaat hukum-hukum aljabar proposisi adalahuntuk menyederhanakan pernyataan gabungan.Contoh:Sederhanakan proposisi di bawah (buktikan hukum.Absorbsi):R R Sz R H R Sz R H Sz R HzR1.6 IMPLIKASI DAN BIIMPLIKASI1.6.1 ImplikasiPerhatikan pernyataan berikut: jika memakai MicrosoftWord maka Windows adalah sistem operasinya.Microsoft Word merupakan syarat cukup bagi Windows,sedangkan Windows merupakan syarat perlu bagi MicrosoftWord, artinya Microsoft Word tidak dapat digunakan tanpa windows tetapi Windows dapat digunakan tanpa Microsoft Word.Contoh pernyataan di atas disebut pernyataan bersyaratatau conditional statement.Notasi implikasi:RnSdibaca: jika p maka q14Matematika Diskrit
1.6.1.1 Kebenaran implikasi1. Jika Microsoft Word maka Windows sistem operasinyaadalah implikasi benar, karena keduanya buatan Microsoft.Mengacu pada implikasi di atas maka:2. Jika Microsoft Word maka bukan Windows sistemoperasinya adalah pernyataan salah, karena sistem operasiMicrosoft Word adalah Windows3. Jika bukan Microsoft Word maka Windows sistemoperasinya adalah pernyataan benar karena aplikasi underWindows tidak hanya Microsoft Word4. Jika bukan Microsoft word maka bukan windows sistemoperasi-nya adalah pernyataan benar, karena aplikasi selainMicrosoft Word, sistem operasinya bisa jadi bukan Windows.Tabel kebenaran implikasi sebagai berikut:RnSpq Contoh:Misalkan pernyataan p adalah benar, q adalah salah danr adalah benar, tentukan kebenaran proposisi berikut:R SnTJawab:Proposisi di atas dapat diubah menjadiV HnHVnHHLogika Proposisi15
Jadi proposisi di atas salahBukti dengan tabel : p qrr 1.6.1.2 Konvers, Invers, dan KontraposisiJika implikasi: RMaka:nSKonversnyaInversnyaKontrapositipnya:::S R R S S RContoh:Jika Microsoft Word maka Windows sistem operasinya adalahimplikasi yang benar, berdasarkan implikasi di atas maka:Konversennya:Inversenya:Kontrapositipnya :Jika Windows sistem operasinya makaMicrosoft Word aplikatifnya.Jika bukan Microsoft Word maka bukanWindows sistem operasinyaJika bukan windows sistem operasinyamaka bukan Microsoft Word aplikatifnyaTabel kebenaranpq R S RnS S R S setara16nR R S setaraMatematika Diskrit
Jadi dapat disimpulkan bahwa proposisi yang salingkontra-positif mempunyai nilai kebenaran yang sama(ekuivalen).Berdasarkan sifat tersebut maka kita dapat membuktikansuatu dalil dalam bentuk implikasi melalui nilai kebenarankontra-positipnya.Contoh:Buktikan bahwa:Jika x2 bilangan genap, maka x juga bilangan genapdapat ditulis : x2 genap x genapJawab:Kontrapositif dari implikasi di atas adalah:Jika x bukan bilangan genap maka x2 juga bukan bilangangenap.dapat ditulis :Jika x ganjil maka x2 ganjilSetiap bilangan bulat bukan genap adalah ganjil, sehinggax ganjil ditulis x 2k 1, k bilangan bulat, akibatnya:Z M M M M M Karenakk22k2k2 2kbilangan bulat maka:juga bilangan bulatjuga bilangan genapjuga bilangan genapsehingga x2 bilangan ganjil, karena bilangan genap ditambah1 sama dengan bilangan ganjil.Jadi kontrapositipnya benar akibatnya implikasinya juga benar.Logika Proposisi17
1.6.2 BiimplikasiPerhatikan pernyataan berikut:Microsoft Word jika dan hanya jika ingin membuat dokumendengan sistem operasi
MATEMATIKA DISKRIT MATEMATIKA DISKRIT Samuel Wibisono 2 Edisi .
Soal Matematika Model PISA Indonesia Tahun 2015 Soal Matematika Model PISA Menggunakan Konteks Lam. Soal UAN dan Jawaban Matematika SMA Lingkaran Soal UN dan Jawaban Matematika Peluang Soal Matematika Eksponen UM UNDIP Contoh Soal Matematika Masuk UGM Soal UN dan Jawaban Persamaan Linier Soal UN dan Jawaban Trigonometri
MateMatika Diskrit 1 STMIK “Parna Raya” Manado Ir. Hasanuddin Sirait, M.T. Logika Logika merupakan dasar dari semua penalaran (reasoning ). Penalaran didasarkan pada hubungan antara pernyataan (statements ). 2 Proposisi Pernyataan atau kalimat deklaratif yang bernilai
c. Tujuan Pembelajaran Matematika 10 d. Perlunya Belajar Matematika 10 e. Kesulitan Belajar Matematika 11 f. Penyebab kesulitan Belajar Matematika 13 g. Upaya Dalam Mengatasi Penyebab Kesulitan Belajar Matematika 22 2. Tunarungu 25 a. Pengertian Tunarungu 25 b
Tuntutan Perubahan Strategi Pembelajaran Matematika A. Praktek Pembelajaran Matematika Masa Lalu Pembahasan mata diklat strategi pembelajaran matematika ini akan dimulai dengan kegiatan mengilas-balik, merefleksi, atau merenungkan tentang hal-hal yang sudah dilakukan para guru matematika SMK selama bertahun-tahun di kelasnya masing-masing.
Buku Matematika ini disusun untuk membantu siswa SMA memahami Matematika. Buku Matematika ini juga diharapkan dapat menjadi referensi bagi guru dalam membimbing siswa mempelajari Matematika. Bab-bab dalam buku ini disusun dengan sistematika yang unik, sehingga mempermudah siswa dalam mempelajari materi yang disajikan.
Memiliki kemampuan mengembangkan silabus dan RPP Matematika SMP. B. Peta Bahan Ajar 1. Bahan ajar ini merupakan bahan ajar pada Diklat Guru Pemandu/Guru Inti/Pengembang Matematika SMP/MTs Tahun 2010 2. Mata diklat: a. Teknik Pengembangan Silabus dan RPP Matematika SMP (3 jam). b. Pengembangan Silabus dan RPP Matematika SMP (10 jam). 3.
2. Teori Himpunan (set) 3. Relasi dan Fungsi (relationandfunction) 4. Induksi Matematik (mathematicalinduction) 5. Teori Bilangan Bulat (integers) 6. Aljabar Boolean (Booleanalgebra) 7. Kombinatorial (combinatorics) 8. Teori Peluang Diskrit (discreteprobability) 9. Fungsi Pembangkit dan Analisis Rekur
language classes (and be honest, did you actually learn all that much in there?). There are now many different online lessons and tutorials to help you become proficient in the language of your choice. FluentU stands out among language learning websites, thanks to the huge range of learning opportunities it provides. 5 The Complete Guide to Foreign Language Immersion. FluentU takes real-world .
