Formelsammlung Höhere Mathematik
FormelsammlungenFormelsammlung Höhere MathematikvonWilhelm Göhler, Barbara Ralle17., bearb. Aufl.Formelsammlung Höhere Mathematik – Göhler / Ralleschnell und portofrei erhältlich bei beck-shop.de DIE FACHBUCHHANDLUNGThematische Gliederung:Mathematik AllgemeinHarri Deutsch 2011Verlag C.H. Beck im Internet:www.beck.deISBN 978 3 8171 1881 6
W. GöhlerFormelsammlungHöhere MathematikZusammengestellt von Wilhelm GöhlerBearbeitet von Dipl.-Math. Barbara Ralle17. AuflageVerlag Harri Deutsch – Göhler Formelsammlung Höhere Mathematik – (978-3-8171-1881-6)
Wissenschaftlicher Verlag Harri Deutsch GmbHGräfstraße 4760486 Frankfurt am liografische Information der Deutschen NationalbibliothekDie Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der DeutschenNationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet überhttp://dnb.d-nb.de abrufbar.ISBN 978-3-8171-1881-6Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt.Alle Rechte, auch die der Übersetzung, des Nachdrucks und der Vervielfältigung des Buches – oder von Teilendaraus – sind vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf ohne schriftliche Genehmigung des Verlages in irgendeiner Form (Fotokopie, Mikrofilm oder ein anderes Verfahren), auch nicht für Zwecke der Unterrichtsgestaltung,reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme verarbeitet werden. Zuwiderhandlungen unterliegenden Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes.Der Inhalt des Werkes wurde sorgfältig erarbeitet. Dennoch übernehmen Autoren und Verlag für die Richtigkeitvon Angaben, Hinweisen und Ratschlägen sowie für eventuelle Druckfehler keine Haftung.17. Auflage, 2011c Wissenschaftlicher Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main, 2011Satz: Satzherstellung Dr. Naake, Brand-Erbisdorf www.naake-satz.de Druck: freiburger graphische betriebe www.fgb.de Printed in GermanyVerlag Harri Deutsch – Göhler Formelsammlung Höhere Mathematik – (978-3-8171-1881-6)
VorwortDie Notwendigkeit und der Zweck von Wissensspeichern in einer Zeit der sprunghaften Entwicklungund Erweiterung der Wissenschaft bedürfen keiner besonderen Begründung. Mit dem vorliegendenkleinen Wissensspeicher »Höhere Mathematik – Formeln und Hinweise« soll nun den bereits vorhandenen Formelsammlungen nicht eine weitere, sondern eine anders geartete hinzugefügt werden.Aufbauend auf den Kenntnissen der Elementarmathematik, an deren wichtigste Formeln und Sätzeaus Geometrie, Arithmetik und Goniometrie erinnert wird, wurden in den einzelnen Gebieten derhöheren Mathematik nur die wesentlichen Formeln aufgenommen, die im Rahmen der Grundvorlesungen an den Hoch- und Fachschulen behandelt werden. Das gleiche gilt für die Auswahl derIntegrationsmethoden und Typen von Differentialgleichungen, deren Lösungswege jeweils angedeutet werden.Zum leichteren Aufsuchen der Formeln und Beziehungen wurde – obwohl eine Formelsammlungkein Lehrbuch sein kann und soll – dem Wissensspeicher die Systematik eines Lehrbuches bzw.einer Vorlesung zugrunde gelegt, und zwar sowohl im einzelnen als auch insgesamt, ohne daß allerdings Überschneidungen und Verlagerungen gänzlich vermieden werden konnten. Die kurzgefaßtenDefnitionen und Erläuterungen am Anfang jedes Gebietes stellen Erinnerungshilfen für die nachfolgenden Formeln dar. Neben der Vermittlung von mathematischem Wissen und rechnerischen Fertigkeiten ist es die Hauptaufgabe einer Vorlesung und damit auch des Wissensspeichers, das mathematische, logische Denken zu entwickeln. Beides, Systematik und Logik, sollen in erster Linie auch denWeg weisen, auf dem man die jeweils gesuchte Formel finden kann. Wenn sich der Leser die Mühegemacht hat, die Formelsammlung im Überblick zur Kenntnis zu nehmen, wird er das Gesuchteschneller finden, als es mit dem Sachwörterverzeichnis möglich ist. Auch werden bewußte Erfahrungen und steter Gebrauch das Auffinden beschleunigen.Wenn an manchen Stellen auf die Literatur verwiesen oder gelegentlich ein Hinweis weggelassenwurde, so geschah das aus Platzgründen, da nicht zuletzt der Übersichtlichkeit wegen der Umfangdes Wissensspeichers begrenzt werden mußte.Es ist die Absicht des Verfassers, mit diesem kleinen Wissensspeicher allen Studierenden ein Arbeitsmittel in die Hand zu geben, das die Formulierung und den Ansatz mathematischer Aufgabenund damit deren Lösung erleichtert.W. GöhlerVorwort zur 17. AuflageEs ist schön zu sehen, dass die vor über 40 Jahren von meinem Vater erstmals veröffentlichte Formelsammlung immer mehr Studierenden das Eindringen in die Mathematik erleichtert. Mit dazubeigetragen hat natürlich die ständige Aktualisierung und Anpassung des Inhalts an die Bedürfnisseder Mathematikausbildung unserer Hochschulen.Für die mir dabei erwiesene fachkundige Unterstützung von Mathematikern der TU BergakademieFreiberg, insbesondere Herrn Dr. A. Bellmann, sowie Herrn Prof. Dr. Paditz von der Hochschule fürTechnik und Wirtschaft Dresden möchte ich mich an dieser Stelle herzlich bedanken.Mein Dank gilt auch dem Verlag Harri Deutsch für die gute Zusammenarbeit.Hinweise und Vorschläge zur Verbesserung des Inhalts oder der Gestaltung der nächsten Auflagenimmt der Verlag gern entgegen.B. RalleVerlag Harri Deutsch – Göhler Formelsammlung Höhere Mathematik – (978-3-8171-1881-6)
Verlag Harri Deutsch – Göhler Formelsammlung Höhere Mathematik – (978-3-8171-1881-6)
Inhaltsverzeichnis1Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1é12Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2é23Matrizen und Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5é34Lineare Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13é45Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23é56Analytische Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26é67Zahlenfolgen und Reihen mit konstanten Gliedern . . . . . . . . . . . . . . . . . .32é78Funktionen einer unabhängigen Veränderlichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34é89Differenzial- und Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54é910Differenzial- und Integralrechnung von Funktionen mehrerer Variabler .66é1011Vektoranalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75é1112Differenzialgeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78é1213Gewöhnliche Differenzialgleichungen und Lösungsansatz . . . . . . . . . . . .80é1314Partielle Differenzialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .86é1415Lineare Systeme von Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten88é1516Fehlerrechnung, Näherungsformeln und -verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . .89é1617Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94é1718Wahrscheinlichkeitsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .95é1819Mathematische Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102é1920Tabellen zur Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114é20Sachwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .123éSVerlag Harri Deutsch – Göhler Formelsammlung Höhere Mathematik – (978-3-8171-1881-6)
Einige mathematische a,b](a,b) oder ]a,b[(a,b] oder ]a,b][a,b) oder [a,b[Logik Mengenlehren o{x E(x)} 6 n[i 1 n\i 1\0/ ErläuterungBeispielMenge der natürlichen ZahlenMenge der ganzen ZahlenMenge der rationalen ZahlenMenge der reellen ZahlenMenge der komplexen Zahlen2 N 2 Z1/3 Q 2 R1 i Cabgeschlossenes I.:offenes I.:links offenes I.:rechts offenes I.:{x x R,{x x R,{x x R,{x x R,a 5 x 5 b}a x b}a x 5 b}a 5 x b}0 [0,1]0 6 (0,1)( ,c] {x x 5 c}[d, ) {x x d}Negation, »nicht«Alternative, »oder«Konjunktion, »und«Implikation, »wenn. . . , so«Äquivalenz, »genau dann, wenn. . . «endlicheMengeunendlicheMenge aller Elemente x, die dieEigenschaft E(x) habenElement vonnicht Element vonGleichheit zweier MengenM1 M2 : M1 und M2 haben diegleichen ElementeTeilmenge von; enthalten inM1 M2 : jedes Element von M1ist auch Element von M2Vereinigung von 2 MengenM1 M2 {x x M1 x M2 }Vereinigung von n MengenM1 M2 . . . Mn {x x M1 x M2 . . . x Mn }Durchschnitt von 2 MengenM1 M2 {x x M1 x M2 }Durchschnitt von n MengenM1 M2 . . . Mn {x x M1 x M2 . . . x Mn }Differenz von 2 MengenM1 \ M2 {x x M1 x 6 M2 }leere Mengeenthält überhaupt keine ElementeProduktmengeM1 M2 {(x,y) x M1 und y M2 }{1,2,3}{1,3,5, . . .}{x x 1} (1, )a {a,b,c}d 6 {a,b,c}{2,4} {2,3,4}{1,2} {2,3,4} {1,2,3,4}{1,2,3} {2,3,4} {2,3}{1,2,3} \ {2,3} {1}{2,5} {8} {(2,8),(5,8)}Verlag Harri Deutsch – Göhler Formelsammlung Höhere Mathematik – (978-3-8171-1881-6)
1Komplexe Zahlen1 Komplexe ZahlenImaginäre Einheit i2 1Potenzen i4n 1 i4n 1 i a i · a(a 0)Imaginäre Zahl4n 24n 3 ni 1 i i i ( i)n (n 0,1, . . .)Darstellungsformenz a b i r(cos ϕ i · sin ϕ ) r · e iϕi. A.2iribϕ0a Realteil von zb Imaginärteil von zr Betrag von zϕ Argument von za,b,r reelle Zahlen,r 0, π ϕ 5 π (Hauptwert),ϕ bis auf ganzzahligesVielfaches von 2π bestimmtz2 a1r. A.Umrechnungsformeln:a r · cos ϕb r · sin ϕpr a2 b2 z Euler’sche Formelbtan ϕ a 0, falls a 0bπ , falls a 0, b 0ϕ arctan a π , falls a 0, b 0e iϕ cos ϕ i · sin ϕe iϕ cos ϕ i · sin ϕAddition und Subtraktionz1 z2 (a b i) (c d i) (a c) (b d) iMultiplikationz1 · z2 r1 (cos ϕ 1 i · sin ϕ 1 ) · r2 (cos ϕ 2 i · sin ϕ 2 ) r1 e iϕ 1 · r2 e iϕ 2 r1 r2 [cos(ϕ 1 ϕ 2 ) i · sin(ϕ 1 ϕ 2 )] r1 r2 · e i(ϕ 1 ϕ 2 )Divisionz1rr 1 [cos(ϕ 1 ϕ 2 ) i · sin(ϕ 1 ϕ 2 )] 1 · e i(ϕ 1 ϕ 2 )z2r2r2(r2 6 0)Potenzieren (n ganzzahlig)(cos ϕ i · sin ϕ )n cos(nϕ ) i · sin(nϕ ) (Satz von Moivre)zn [r(cos ϕ i · sin ϕ )]n rn [cos(nϕ ) i · sin(nϕ )] rn e i(nϕ )Radizieren (n reell) ϕ k·2πp ϕ k · 2πϕ k · 2πnr(cos ϕ i · sin ϕ ) n r cos i · sin n r · ei nnnEinheitswurzeln k·2πk · 2πk · 2π(n 2,3, . . .)n1 cos i · sin ei n(k 0,1,2, . . . ,n 1)nnLogarithmierenln z ln(r eiϕ ) ln r i(ϕ 2kπ ) (k 0, 1, 2, . . .)Verlag Harri Deutsch – Göhler Formelsammlung Höhere Mathematik – (978-3-8171-1881-6)1
2Geometrie2 GeometrieSätze, Strecken, Winkel, Punkte bei Dreieck und Kreis2Winkel(an geschnittenen Parallelen)β αα′β ′′α β 180 α0 αβ 00 a b α βa b ca b c(weitere Formeln durch zyklische Vertauschung)β1Bcα(da die Schenkelpaarweise aufeinandersenkrecht stehen)α β γ 180 α β 180 β1 α γ(Außenwinkel)a b α βa b α βaβαα α1α1 . Höhen Seitenhalbierenden SchwerpunktSchnittpunkt der Winkelhalbierenden Mittelpunkt des einbeschriebenen KreisesMittelsenkrechten Mittelpunkt des umbeschriebenen KreisesFlächen- und StreckenbeziehungenKongruenzsätze: Kongruenz von Dreiecken ( ) bei Übereinstimmung in1.2.3.4.zwei Seiten und eingeschlossenem Winkel (sws)einer Seite und zwei gleichliegenden Winkeln (wsw; sww)drei Seiten (sss)zwei Seiten und dem der größeren Seite gegenüberliegenden Winkel (SsW )Ähnlichkeitssätze: Ähnlichkeit von Dreiecken ( ) bei Übereinstimmung im (in)1.2.3.4.Verhältnis zweier Seiten und dem eingeschlossenen Winkelzwei WinkelnVerhältnis der drei SeitenVerhältnis zweier Seiten und dem der größeren Seite gegenüberliegenden WinkelSätze am �SA : SCSA : SC 0AB : CDAB : C 0 D 0C.q SB : SD SB : SD 0 SA : SC SB : SD SA : SC 0 SB : SD 02αAPDCTSehnensatzPB · PC PA · PDSekantensatz SA · SB SC · SD2Tangentensatz SA · SB ST2SB2Pythagoras: a b cHöhensatz: h2 pqKathetensatz: b2 cq, a2 cpBKreispcAγ.βMittelpunkts- und Peripheriewinkel β 2αThales-Satz: Umfangswinkel über Durchmesserein RechterSehnentangentenwinkel γ αVerlag Harri Deutsch – Göhler Formelsammlung Höhere Mathematik – (978-3-8171-1881-6)
3GeometrieFlächeninhalt (A)Umfang (U)2s a b c;h Höhe% Inkreisradius)(r Umkreisradius;UADreieckLängenweitere Formeln durch zyklische Vertauschung11abcA3 chc ab · sin γ %s 224r s(s a)(s b)(s c)sin β · sin γ a2 2r2 sin α sin β sin γ2 sin αβγαs 4r cos cos cos222abcar 4A32 sin α% 4r sinα2sinβ2sin2CγrbAhcαaβc2 3a2 33a % a36 3 2a4h (a b 6 c)1 2c2sin2 αa sin γ c2 tan α22 sin γ4hc Vierecke, f Diagon;allgemeinA4 e · f · sin ϕ Quadrata2Parallelogrammaha bhbp(s a)(s b)(s c)(s d) abcd cos2 ε 124ae 2a r a % a22 2(a b)e a2 b2 für RechteckTrapez1(a c)h mh2a b c dKreisπ r2 gleichseitiges(b c a)gleichschenkligϕ ](e, f );π 2d41br21[br s(r h)]2SektorSegmentEllipseπabParabelabschnitt4x1 y13ε 1(α γ ) oder2akc2π r π db πr180 παBγ 3(a b) ab2r 1p 24a c221(β δ );2hm2s a b c ge über αshSegmentsehneBogenhöhea, b Halbachsen(Sehne durch Parabelpunkt (x1 , y1 )senkrecht zur Achseder Parabel y2 2px)s6Einbeschriebenes regelmäßiges VieleckAn n 2r sin2360 nsn 2r sin180 nh6(n Anzahl der Ecken)hn r cos180 rs6nVerlag Harri Deutsch – Göhler Formelsammlung Höhere Mathematik – (978-3-8171-1881-6)
4GeometrieInhalt von Oberflächen (O) und Mantelflächen (M), Rauminhalte (V)(G Grundfläche h HöheO2KugelV4 3πR34π R2Kugelzonebzw. -schichtKugelabschnitt(-segment)M2π hRπh6πhπ h(4R h)2π hR (r2 h2 )π6 π h232π hR23Prisma2G MG·h2π r(h r)2π rhgeraderKreiskegelstumpfRrhR(3R h)π r2 hphG G2(G1 G1 G2 G2 ) 1h32G1 G2 M1G·h3π r(r s)π [r12 r22 s(r1 r2 )]π rs1 2πr h3π s(r1 r2 )πh 2(r1 r1 r2 r22 ) 3s 4π abc3Rotationsellipsoid4π ab23(Rotation um a)π ph2 r2 h2πh 2(r r22 )2 derKreiskegelhRG·hPyramidePyramidenstumpfr(3r2 h2 )π R(2h r)Zylinderr1(3r2 3r12 h2 )Kugelausschnitt(-sektor)geraderKreiszylinderr,R Radius s Mantellinie)(r1 r2 )2a,b,c Halbachsen(y2 2px rotiert um x-Achse; h x)Verlag Harri Deutsch – Göhler Formelsammlung Höhere Mathematik – (978-3-8171-1881-6)
80Gewöhnliche Differenzialgleichungen und Lösungsansatz13 Gewöhnliche Differenzialgleichungenund Lösungsansatz(Auswahl)F(x, y, y 0 ) 01. Ordnungy 0 g(x) · h(y)Trennung der Variablen:ZZdy g(x) dxh(y)y0 ϕSubst.:z yx y y 0 xz 0 zxZH(y) G(x) CÄhnlichkeitsdifferenzialgl.dzϕ (z) z ln x CLineare Differenzialgleichungen 1. OrdnungAllgemeine Hinweise für lineare Differenzialgleichungen beliebiger OrdnungHomogene lineare DifferenzialgleichungenEine homogene lineare Differenzialgleichung n-ter Ordnung hat genau n linear unabhängige Lösungen,deren Linearkombination die allgemeine Lösung yH (x) der homogenen Differenzialgleichung ist.Inhomogene lineare Differenzialgleichungen13Die allgemeine Lösung yI (x) einer inhomogenen linearen Differenzialgleichung gewinnt man aus der allgemeinen Lösung yH (x) der zugehörigen homogenen Differenzialgleichung durch Addition einer beliebigenpartikulären Lösung yS (x) der inhomogenen Differenzialgleichung:yI (x) yH (x) yS (x)yS (x) erhält man u. a. durch das Verfahren der Variation der Konstanten: allgemeine Lösung der homogenenDifferenzialgleichung mit Funktionen von x anstelle der Integrationskonstanten als Ansatz für die Lösungder inhomogenen Differenzialgleichung verwenden.a1 (x)y 0 a0 (x)y r(x)y 0 p(x)y q(x)Allgem. Form derlin. Dgl. 1. Ordn.p(x) Normalforma0 (x)r(x); q(x) a1 (x)a1 (x)a) Lagrangehomogene Differenzialgleichungy 0 p(x)y 0: Trennung der VariablenR p(x) dxyH C einhomogene Differenzialgleichung: Variation der Konstanteny C(x)ψ (x) ZRRψ (x) e p(x) dx C 0 (x)ψ (x) q(x) 0; C(x) C1 q(x) e p(x) dx dxb) Bernoulli (Produktansatz) (nur für lineare Differenzialgleichungen 1. Ordnung)y u · v;y 0 u 0 v uv 0 ;in Differenzialgleichung einsetzenu oder v ausklammern;Klammerausdruck null setzenVerlag Harri Deutsch – Göhler Formelsammlung Höhere Mathematik – (978-3-8171-1881-6)
81Gewöhnliche Differenzialgleichungen und Lösungsansatzy 0 p(x)y q(x)yn 0 Bernoulli’sche Dgl.Division durch ( yn ); Subst.: z spez.:y 0 p(x)y q(x)y2 0;1y0; z 0 (n 1) nyyn 1z 1;yz0 führt auf lin. Dgl. in z und xy0y2y 0 p(x)y q(x)y2 r(x) Ricatti’sche Dgl.mit (geg. oder erratener) part. Lösung y y1 (x) lösbar; Ansatz: y y1 (x) v(x)führt auf Bernoulli’sche Differenzialgleichung (n 2) für v(x)y x · g(y 0 ) h(y 0 ) d’Alembert’sche Dgl.dpausklammern; führt auf lineare Diffey 0 p(x) in differenzierte Ausgangsgleichung einsetzen,dxdxrenzialgleichung: h(p)x k(p) 0dpLösung in Parameterdarstellung:spez.:y 0 p(x);x x(p,C);y y(p,C)y xy 0 h(y 0 ) Clairaut’sche Dgl.weiter wie oben ergibt Dgl.: [x h 0 (p)]dp 0, p C;dx[x h 0 (p)] 0;dp 0dxallgem. Lösung: y Cx h(C)singuläre Lösung in Parameterdarstellung:x h 0 (p)y ph 0 (p) h(p)M(x, y) dx N(x, y) dy 01. Exakte (vollst., totale) Dgl.My Nx(Integrabilitätsbedingung)M(x,y) dx N(x,y) dy dΦ (x,y) vollständiges Differenzial der Funktion Φ (x,y)Z Φ Φ M; Φ M dx G(y); N; allgemeine Lösung: Φ (x,y) C x y2. Integrierender Faktorµ µ (x,y) so bestimmen, dass µ (x,y)M(x,y) dx µ (x,y)N(x,y) dy 0 exakte DifferenzialgleichungMy Nx f (x)NMy Nx f (y)MMy Nx f (z)y·N x·M(My Nx ) · x2 f (z)y·N x·Mz x·yz yx Rµ µ (x) e f (x) dx Rµ µ (y) e f (y) dy Rµ µ (z) e f (z) dz Rµ µ (z) e f (z) dzVerlag Harri Deutsch – Göhler Formelsammlung Höhere Mathematik – (978-3-8171-1881-6)13
82Gewöhnliche Differenzialgleichungen und LösungsansatzF(x, y, y 0 , y 00 ) 02. OrdnungBestimmte Glieder fehleny 00 f (x) y(n) g(x)unmittelbare Integrationy kommt nicht vory 0 p(x) y 00 p 0F(x,y 0 ,y 00 ) 0 ;F(y 0 ,y 00 ) 0x kommt explizit nicht vor F(x,p,p 0 ) 0;F(p,p 0 ) 0y 0 q(y) y 00 dq dydq· q·dy dxdyF(x,y 0 ,y 00 ) 0 dq G y,q, 0dySpezialfall: y 00 f (y)auch:Multipl. m. 2y 0 ;2y 00 y 0 d 02ydxLineare Differenzialgleichungen 2. Ordnunga2 (x)y 00 a1 (x)y 0 a0 (x)y 0Allgem. Lsg.: yH (x) C1 y1 (x) C2 y2 (x)Allgem. homog.lin. Dgl. 2. Ordn.(y1 , y2 partikuläre Lösungen)Bestimmung der partikulären Lösungen für ausgewählte Fälle1.a2 y 00 a1 y 0 a0 y 0 konst. KoeffizientenAnsatz: y eλ xCharakterist. Gleichung: a2 λ 2 a1 λ a0 0y1 eλ 1 xy1 eλ 0 xy1 cos(bx) eaxa) λ 1 6 λ 2 reellb) λ 1 λ 2 λ 0c) λ 1, 2 a ib132.a2 x 2 y 00 a1 xy 0 a0 y 0Ansatz: y x λhomog. Euler’sche Dgl.Charakterist. Gleichung: a2 λ (λ 1) a1 λ a0 0a) λ 1 6 λ 2 reellb) λ 1 λ 2 λ 0c) λ 1, 2 a ib3.y2 eλ 2 xy2 x eλ 0 xy2 sin(bx) eaxy1 xλ 1y1 xλ 0y1 xa cos(b ln x)y2 xλ 2y2 xλ 0 ln xy2 xa sin(b ln x)x 2 y 00 xy 0 (x 2 ν 2 )y 0 Bessel’sche Dgl.ν nicht ganzzahlig:Jν (x) y Jν (x) x 2µ ν 12 ( 1)µ Γ (µ 1)Γ(µ ν 1)µ 0(Bessel’sche Funktionen 1. Art)ν n ganzzahligNn (x) limν n(s. a. S. 51)y1 Jn (x)cos ν π · Jν (x) J ν (x)sin ν πJ ν y2 J ν (x) x 2µ ν ( 1)µ Γ (µ 1)Γ2 ( ν µ 1)µ 0y2 Nn (x)(Bessel’sche Funktionen 2. Art)(s. a. S. 51)Verlag Harri Deutsch – Göhler Formelsammlung Höhere Mathematik – (978-3-8171-1881-6)
89Fehlerrechnung, Näherungsformeln und -verfahren16 Fehlerrechnung, Näherungsformelnund -verfahrenFehler: Näherungswert (Istwert)–wahrer Wert (Sollwert)Näherungswertwahrer Wertaabsoluter Fehlerrelativer Fehlerεε a xxx bεx· 100 %Fehlerabschätzung beim Rechnen mit Näherungswerten (Methode der Fehlerschranken)k (fehlerbehaftete) Variable:zu berechnende Funktion:absoluter Fehler von f :Näherungswerte für die xi :ab
Formelsammlung Höhere Mathematik von Wilhelm Göhler, Barbara Ralle 17., bearb. Aufl. Formelsammlung Höhere Mathematik – Göhler / Ralle . Alle Rechte, auch die der Übersetzung, des Nachdrucks und der Vervielfältigung des Buches oder von Teilen daraus sind vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf ohne schriftliche Genehmigung des Verlages .
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