BAB I PENDAHULUAN A. Geometri Euclid - WordPress

3y ago
49 Views
4 Downloads
528.29 KB
37 Pages
Last View : 16d ago
Last Download : 5m ago
Upload by : Roy Essex
Transcription

BAB IPENDAHULUANA. Geometri EuclidEuclid ( 325-265 SM)Euclid ( 325-265 SM) dariAlexandria, Mesir adalahmatematikawan kuno yangmenghasilkan karya monumental dalam Geometri, yaituthe Elements. Buku itumenjadi buku teks sekolahyang memuat geometri danTeori Bilangan, buku ituterdiri dari 13 bagian buku.Buku 1 sampai 6 memuat tentang Geometri Datar yaitusegitiga, segiempat, lingkaran, segibanyak, perbandinganber Buku 7 sampai dengan 10 tentang teoridan kesebangunan.http://images.google.cBilangan, bukuo.id 11 tentang geometri ruang yangberhubungan dengan geometri datar. Buku ke-12 membahastentang limas, kerucut dan tabung dan buku ke-13membahas bidang banyak. Buku 1 sampai 6 memuat 2definisi, 5 postulat, 5 aksioma, dan 48 dalil. Pada bukuEuclid dibedakan antara aksioma dan postulat. Postulatberlaku untuk sains tertentu sedangkan aksioma berlakuumum.Contoh definisi yang dikemukakan diantaranya“Suatu bidang adalah yang hanya mempunyai panjang danlebar”. Definisi ini mempunyai kelemahan yaitu perluadanya penjelasan tentang panjang dan lebar, untukitu perlu didefinisikan panjang dan lebar. Masihbanyak definisi yang dikemukakan Euclid yang masihperlu adanya definisi baru.Pendahuluan /1

DiskusiCarilah definisi yang dikemukan Euclid yang Andapandang mempunyai kelemahan. Diskusikandefinisi itu dan Ubah sehngga tidak mempunyaikelemahan lagi.Euclid mengemukakan 5 aksioma dan 5 postulat.Aksioma (berlaku umum) yang dikemukakan Euclidada lima yaitu:1. Benda-benda yang sama dengan benda yangsama, satu dengan yang lain juga sama.2. Jika suatu yang sama ditambah dengan suatuyang sama, jumlahnya sama.3. Jika suatu yang sama dikurangi dengan suatuyang sama, sisanya sama.4. Benda-benda yang berimpit satu sama lain,benda-benda tersebut sama.5. Seluruhnya lebih besar dari bagiannya.Postulat-postulat (berlaku khusus pada sainstertentu) yang dikemukakan Euclid ada lima yaitu:1. Melalui dua titik sebarang dapat dibuat garislurus.2. Ruas garis dapat diperpanjang secara kontinumenjadi garis lurus.3. Melalui sebarang titik dan sebarang jarak dapatdilukis lingkaran.4. Semua sudut siku-siku sama.5. Jika suatu garis lurus memotong dua garis lurusdan membuat sudut-sudut dalam sepihakkurang dari dua sudut-siku-siku, kedua garis itujika diperpanjang tak terbatas, akan bertemudipihak tempat kedua sudut dalam sepihakkurang dari dua sudut siku-siku.2 /Pendahuluan

B. Geometri Non-EuclidGeometri Non-Euclides timbul muncul karenapara ahli matematika berusaha membuktikankebenaran dari postulat yang kelima dari Eucliddengan mendasarkan keempat postulat sebelumnya.Postulat kelima itu adalah “Jika suatu garis lurusmemotong dua garis lurus dan membuat sudut-sudut dalamsepihak kurang dari dua sudut-siku-siku, kedua garis itu jikadiperpanjang tak terbatas, akan bertemu dipihak tempatkedua sudut dalam sepihak kurang dari dua sudut sikusiku”.mGaris m memotong garisgg dan k sedemikianP1kQ1hingga P1 Q1 180o ngandipihaktempat kedua sudut dalamsepihak kurang dari 180oBeberapa matematikawan menganggap bahwapostulat kelima di atas bukan postulat, tetapi dapatdibuktikan menggunakan empat postulat yang lain.Matematikawan tersebut diantaranya Proclus (410-485)dari Aleksandria, Girolamo Sacceri (1607-1733) dariIrlandia, Karl Friedrich Gauss (1777-1855) dari Jerman,Wolfgang Bolyai (1775-1856), Yanos Bolyai (1802-1860)dari Hongaria, dan Ivanoviteh Lobachevsky (17931856) dari Rusia. Usaha matematikawan tersebut gagaltetapi usaha itu tidak sia-sia karena usaha tersebutmengakibatkan munculnya geometri Non-Euclid.Saccheri meninggal tahun 1733. Hasil an /3

perkembangan geometri sebab para penggantinyasampai dengan abad 19 terus mencoba membuktikanpostulat kesejajaran Euclides. Pada gilirannya usahausaha pembuktian pada abad itu dilakukan oleh ahliahli matematika sekaliber Gauss (1777–1855) danLegendre (1752–1833). Meskipun demikian, kegagalankegagalan yang terjadi pada abad 20 pada akhirnyamenimbulkan keraguan di benak para ahli matematika.Sehingga pada tahun 1830, J. Bolyai (1802–1860),seorang perwira AD Hungaria, N.I Lobachevsky (1793–1856), seorang profesior matematika Rusia padaUniversitas Kazan, dan Si Raksasa Gauss sendiri an pada suatu kontradiksi anggapan bahwa ada lebih dari satu garis yangsejajar dengan suatu garis tertentu yang melalui suatutitik di luar garis tersebut. Gauss, yang tidak sukapertentangan, enggan menerbitkan ide-idenya, olehkarena itu Bolyai dan Lobacheskylah yang biasanyadianggap sebagai pencipta teori baru itu. Selanjutnyapada tahun 1854 ahli matematika terkenal dari JermanB. Riemann (1826 – 1866) memperkenalkan suatu teoribaru non-Euclides yang lain yang mendasarkan padaasumsi bahwa tidak ada garis-garis yang sejajar.Dengan mendasar bahwa postulat kelima susahdipahami maka Proclus berusaha mengganti denganpostulat yang ekuivalen yaitu “Jika suatu garis lurus memotongsalah satu dari dua garis paralel maka ia jugamemotong yang lain”. Dan postulat pengganti lainnyayaitu “Garis-garis lurus yang paralel dengan suatu garislurus yang sama adalah paralel satu sama lain”4 /Pendahuluan

kmkgGaris m dan g sejajar.Jika k memotong mmaka k juga memotongg.mgGaris m dan g sejajar. Jikak sejajar m maka k jugasejajar g.Proclus dilahirkan di Konstantinopel pada tanggal 8Februari 412. Ia tinggal dikeluarga yang statua sosialnyatinggi. Ayahnya ntine Empire’s. Karenaproclusinginmemilikikedudukan yang sama, iamemutuskan belajar mengenaipidato, filosofi dan matematikadi Alexandria, MesirSetelah menyelesaikan belajarnya, ia kembali ke Konstantinopel danbekerja sebagai pengacara selama 1 periode. Ketika menjadiseorang pengacara, ia baru menyadari bahwa ia lebih menyukaifilosofi. Karena itu, ia kembali ke Alexandria dan memulaimempelajari Aristoteles. Pada periode yang sama, ia juga memulaimempelajari matematika. Karena merasa tidak puas dengan caramengajar ilmu filosofi yang ada di Alexandria, akhirnya ia pergi keAtena.Proclus memutuskan menetap Atena. Hidupnya sangat makmurdan terkenal sangat dermawan terhadap teman-temannya. Ia tidakpernah menikah sampai akhir hidupnya. Proclus lebih banyakmengomentari dialog dari Plato. Ia berfikir bahwa sistem ilmufilosofi lebih komplek dan rumit dibandigkan yang dikatakan Plato.Komentar-komentar tersebut dikumpulkan dan dibukukan. Bukupertamanya berisi mengenai Euclid’s yang berjudul Elements ofGeometry. Proclus menulis dua hal yang utama kerja sistematis padabukunya yang berjudul Elements of Theology. Proclus meninggaldunia pada tanggal 17 April 485 ketika berusia 73 tahun.Pendahuluan /5

Disamping Proclus, matematikawan John Playfairjuga mencoba mengganti postulat kelima denganAksioma Playfair yaitu:1. melalui satu titik yang diketahui, tidak padasuatu garis yang diketahui, hanya dapat dibuatsuatu garis paralel dengan garis itu. Atau,2. dua garis yang berpotongan tidak mungkinparalel dengan garis yang sama.g PmkMelalui titik P diluar garis m hanya dapat dibuatsebuah garis yang sejajar dengan m. Jika g danberpotongan maka g dan k tidak mungkin sejajar.John Playfair dilahirkan padatanggal 10 Maret 1748 diBenvie, Angus, Skotlandia. Diamempunyai dua saudara lakilaki yaitu James Playfair(seorang Arsitek) dan WilliamPlayfair (seorang Insinyur).Playfair mendapatkan pendidikannya di rumah hingga umur14 tahun.Kemudian ia masuk Universitas St Andrews. Pada tahun1766, ketika usianya 18 tahun, ia mencalonkan untukjabatan pada matematika di Perguruan Tinggi Marischal,Aberden. Tetapi ia tidak berhasil sehingga tuntutannyapunmenjadi lebih tinggi. Enam tahun kemudian, ia membuatpenerapan untuk jabatannya sebagai filosofi alam, tetapi ia6 /Pendahuluan

tidak berhasil lagi. Lalu pada tahun 1773, ia ditawari danditerima sebagai penasehat pada perkumpulan gereja Liff danBenvie, namun ia berhenti melakukan kegiatannya ketikaayahnya meninggal.Kemudian ia melanjutkan kembali kegiatannya untukmengangkat pelajaran matematika dan fisikanya. Pada tahun1782, ia berhenti lagi dari kegiatannya, lalu berencanamenjadi tutor di Ferguson dari Raith. Karena rencananyaini, ia mampu seringkali berada di Edinburgh untukmengolah kesusastraan dan masyarakat ilmiah, sehinggamembuat ia menjadi terkenal. Buktinya, ia Pada tahun 1785,ketika Dugald Stewart disukseskan Ferguson dengan filosofimoral, Playfair terlebih dahulu sukses dengan matematikahadir pada saat pembukaan sejarah alam John Walker.Kemudian pada tahun 1795, Playfair berhasilmenciptakan suatu rumusan tentang postulat persamaanEuclid yang disebut “Aksioma Playfair”. Pada tahun 1795juga, Playfair selesai menulis bukunya yang berjudul“Element’s of Geometry”. John Playfair yang tinggal diMatthew Stewart, Hutton, Robison akhirnya meninggalpada tanggal 20 Juli 1819.Ada dua rnacam Geometri Non-Euclides. Yangpertama adalah yang ditemukan dalarn waktu yanghampir bersamaan oleh 3 tokoh berlainan dan masingrnasing bekerja sendiri. Tokoh-tokoh itu adalah KarlFriedrich Friedrich Gauss dari Jerman, Yonos Bolyaidari Hongaria dan Nicolay Ivanovitch Lobachevskydari Rusia. Geometri ini disebut Geometri Hiperbolikatau terkenal juga dengan Geometri Lobachevsky.Geometri Non-Euclides yang kedua ialahGeometri yang diketemukan oleh G.F.B BernhardRiemann (1826 – 1866) dari Jerman, Geometri inidisebut Geometri Elliptik atau Geometri Rienmann.Pendahuluan /7

Jika kita perhatikan kembali postulat paralleldari Geometri Euclides bunyinya kurang lebih adalahsebagai berikut “melalui satu titik di luar sebuah garisdapat dibuat tidak lebih dari satu garis yang parallel dengangaris tersebut”.Sedangkan postulat parallel dariGeometri Hiperbolik atau Geometri Lobachevsky yangditemukan dalam tahun 1826 adalah sebagai berikut:“Melalui satu titik di luar sebuah garis dapat dibuat lebihdari satu garis (tepatnya dua garis) yang parallel dengangaris tersebut”. Perlu kita perhatikan bahwa dalamGeometri Hiperbolik garis yang tidak memotong garisyang lain tidak berarti bahwa garis itu parallel dengangaris tersebut.Dalam tahun 1854 G.F. Benhard Riemannmengumumkan penemuannya. Ia tidak mengindahkanpostulat parallel dan dalam Geometrinya setiap duagaris berpotongan dan tidak ada garis-garis yangparallel. Geometri Riemann ini disebut GeometriElliptik. Jika ditulis dalam bentuk seperti di atasterdapat: “Melalui suatu titik di luar sebuah garis tidak adagaris yang dapat dibuat yang parallel dengan garistersebut”.Demikianlah salah satu perbedaan antaraGeometri Euclides, Geometri Lobachevsky danGeometri Riemann yang dapat disebut pula sebagaiGeometri Parabolik, Geometri Hiperbolik danGeometri Elliptik.C. Perkembangan GeometriEuclides telah mengumpulkan rnaterinya daribeberapa sumber. maka tidak mengherankan bahwadari Geometri Euclides dapat diambil sarinya berupadua Geometri yang berlainan dalam dasar logikanya;8 /Pendahuluan

pengertian pangkalnya dan Aksiomanya. KeduaGeometri itu ialah Geometri Affine dan GeometriAbsolut atau Geometri Netral.Yang pertama-tama memperkenalkan GeometriAffine ialah Leonhard Euler dari Jerrnan (1707 -1793).Dalam Geometri ini garis parallel tunggal, sesuaipostulat Playfair, memegang peranan yang pentingsekali. Karena dalam Geometri ini lingkaran tidakdisebut-sebut dan sudut-sudut tak pemah diukur makadapat dikatakan. bahwa Geometri ini mempunyaidasar postulat I, II dan V dari Postulat Euclides.Postulat III dan IV tidak berarti sama sekali.Geometri Absolut pertama-tama diperkenalkanoleh Y. Bolyai dari Hongaria (1802 -1860). Geornetri inididasarkan atas 4 postulat pertama dari Euclides danmelepaskan postulat kelima. Dengan demikianGeometri Affine dan Geometri Absolut mempunyaidasar persekutuan dua postulat pertama dari Euclides.Ada pula suatu inti dari dalil-dalil yang berlaku cy"). Pengertian ini terkandung dalamdefinisi keempat dari Euclides.Suatu garis Iurus (ruas garis) ialah garis yangterletak rata dengan titik-titik padanya atau Suatu garislurus (ruas garis) ialah yang terletak rata antara ujungujungnya. Pengertian ini memberikan kemungkihanuntuk memandang keantaraan sebagai pengertianpangkal yaitu sebagai relasi yang tidak didefinisikan.Pengertian ini dipakai untuk mendefinisikan ruas garissebagai himpunan titik-titik antara 2 titik yangdiketahui.Kemudian ruas garis dapat diperpanjangmenjadi garis tak berhingga. Jika B terletak antara APendahuluan /9

dan C kita dapat mengatakan bahwa A, B dan Cterletak berurutan pada garis itu. Geometri yangmenjadi dasar dari Geometri Affine dan GeometriAbsolut ini disebut Geometri "Orderied" (Geometriterurut), karena urutan memegang peranan penting(“Geometri. "Ordered" ini didasarkan dua postulatpertama dari Euclides tetapi penyajiannya lebih teliti.Mengingatat hal-hal di atas mala (“Geometri Affinedan (Geometri Absolut termuat dalam GeometriOrdered)” Sedangkan (Geometri Euclides termuatdalam Geometri Afifine dari Geometri Absolut. Jadigambarannya sebagai berikut :Geometri TerurutGeometri AffineGeometri AbsolutGeometri EuclidesSeperti telah kita ketahui Geometri NonEuclides timbul karena para matematikaawanberusaha untuk membuktikan postulat kelima dariEuclides.JadiGeometri Non-Euclides masihberdasarkan empat postulat pertama dari Euclides danhanya berbeda pada postulat kelimanya. Dengandemikian Geometri Non-Euclides termuat dalamGeometri Absolut.Topologi adalah cabang Geometri yang palingumum, tetapi yang termuda, yang sekarang masihterus berkembang. Dapat dikatakan, bahwa Topologilahir pada tahun 1895. Tokoh-tokohnya antara lainLeonhard Euler, Henri Poincare (1854 – 1912) dariPerancis dan Georg Cantor (1845 – 1918) dari Jerman.10/Pendahuluan

Beberapa orang tokoh dari Geometri Proyektifialah antara lain Arthur Cayley (1821 – 1895) dariInggris, Jean Victor Poncelet (1788 – 1867) dari Perancisdan R. G. Christian von Staudt (1798 – 1867) dariJerman dan beberapa lainnya. Dapat dikatakan bahwaGeometri Proyektif mulai diakui sebagai sistem formalyang berdiri pada tahun 1859.Menurut pandangan Felix Klein (1849 – 1925)dari Jerman tentang Geometri, maka dapatdigambarkan iktisar Geometri sebagai berikut :TopologiGeometri ProyektifGeometri AffineGeometri HiperbolikGeometri ElleiptikGeometri EuclidesD. Kekurangan Logika Dalam Geometri EuclidesHampir dua ribu tahun, unsur-unsur karyaEuclides (300 M) dipandang sebagai suatu modelpenalaran matematik. Sejak itu, pelajaran tentangunsur-unsur “elemen” atau teks yang ekuivalenmenjadi faktor yang esensial dalam pendidikan liberal.Dari generasi ke generasi diajar dengan menggunakanpemikiran deduktif dari pengajaran geometri Euclides.Pada akhir abad ke-19, dari penelitian secaramendalam terhadap ide-ide dasar dari Euclides, paraahli matematika menemukan kekurangan-kekurangandalam generasi Euclides. Hal tersebut tidak dianggap“tepat (mutlak)” saat ini. Materi atau obyek kita dalambab ini adalah untuk memberikan ilustrasi danPendahuluan /11

menjelaskan kekurangan logika tertentu pada geometriEuclides serta menunjukkan mengapa hal itu tidaksesuai dengan standart yang baku (kebakuan).Banyak siswa matematika beranggapan bahwageometri Euclides merupakan model yang sempurnadari pemikiran yang logis. Perkembangan tersebutdimulai dengan pernyataan dari asumsi dasar,kemudian setiap teorema dibuktikan, sehinggalangkah-langkah logika diturunkan dari asumsiasumsi ini. Namun dalam Euclides dan dalam bukuteks sekolah lanjutan yang standart, terdapat beberapakejanggalan logis dalam berfikir yang tidak diketahuisecara pasti. Perbedaan tersebut muncul disebabkanasumsi-asumsi yang berdiri sendiri-sendiri yangdidasarkan pada bukti yang nampak (terlihat) ataupandangan instuisi yang dibuat. Hal tersebutmematahkan (merusak) susunan yang terurut daripenyimpulan-penyimpulan yang logis. Kita akanmenjelaskan hal tersebut dengan menunjukkan bahwapenggunaan secara sendiri-sendiri dari buktipengamatan dalam cara yang biasa digunakan padageometri sekolah lanjutan barangkali ditemukan buktidari teorema yang menakjubkan sebagai berikut:Setiap segitiga adalah samakakiTerdapat suatu segitiga dengan dua sudut siku-sikuKita juga akan membahas beberapa teoremageometri yang buktinya dalam buku teks sekolahlanjutan kurang logis dengan menunjukkan dimanaasumsi-asumsi yang berdiri sendiri tersebut dibuat danmenunjukkan bagaimana bukti-bukti perlu diperbaikiagar menjdai logis.12/Pendahuluan

1. Bukti bahwa setiap segitiga adalah samakakiAndaikan ABC tidak samakaki, maka garisbagi sudut B tidak tegak lurus pada AC, sebaliknya jikagaris bagi sudut B tegak lurus pada AC, maka ABCharus samakaki. Selanjutnya garis bagi dari sudut Bmemotong garis sumbu AC di titik E yang mungkinterletak di dalam atau di luar ABC.Dari E dibuat tegak lurus AB di F dan tegak lurus BCdi G.BBGFFGEACBAECBFGCAACEGFEPada segitiga siku-siku BFE dan BGE didapatkan:(definisi garis bagi sudut) dan FBE GBEBE BE(identitas), sehingga BFE BGE (hipotenusa, sudut lancip)sehingga diperoleh:(*) BF BG(bagian dari yang kongruen)Pada segitiga siku-siku FAE dan GCE diperoleh:AE CE(E sebuah titik pada garis sumbu AC)FE GE(E sebuah titik pada garis bagi B )Pendahuluan /13

FAE GCE (hipotenusa, kaki sudut)sehingga diperoleh:(**) FA GC(bagian dari yang kongruen)Dalam kasus tiga diagram yang pertama, denganmenjumlahkan (*) dan (**) didapatkan:BF FA BG GC atau BA BCDalamkasusdiagramkeempat,denganmengurangkan (**) dari (*) diperoleh:BF – FA BG – GC juga didapat BA BC.Dalam hal ini ABC samakaki.2. Dimana letak kesulitannya?Hal ini tidak mendapatkan perhatian selamabukti terlihat sesuai dengan bukti-bukti standart dalamgeometri sekolah lanjutan dan lebih efektif daribeberapa langkah yang bertentangan dengankenyataan sehari-hari. Hal ini mungkin terjadi padakita bahwa suatu ketelitian menggambar diagrammungkin tidak memperhatikan kunci terjadinyaparadoks (suatu hal yang berlawanan). Misalnya kitamenggambar salah satu dan perhatikan diagrambahwa titik E terletak di luar ABC, F terletak padaperpanjangan AB di belakang A, dan G terletakdiantara B dan C. Maka seperti di atas, BFE BGE, FAE GCE,BF BG,BFA GCGACF14/PendahuluanE

Sekarang kita dapat menentukan BA BC daripersamaan sebelumnya baik dengan hkan, didapatkan:BF FA BG GCWalaupun BG GC benar sama dengan BC, BF FA tidak sama dengan BA, karena BF sendiri lebihpanjang dari BA. Melalui cara yang sama, denganpengurangan didapatkan:BF – FA BG – GCDapat dilihat bahwa BF – FA BA, tetapi BG – GC BCApakah pengguguran tersebut suatu paradok?Jawabnya adalah tidak. Kita telah menunjukkan secarasepintas bahwa ilustrasi seperti pada gambar 1.2pembuktiannya keliru, dan demikian juga barangkalitidak setiap segitiga adalah samakaki. Kita tidakmengetahui, apakah dalam segitiga sebarang mestisalah dalam pembuktiannya seperti itu. Hal itumungkin tepat untuk salah satu dari bentuksebelumnya dan dengan demikian buktikan menjadisegitiga samakaki.Kita dapat menyelesaikan paradoks (lawanazas) dengan membuktikan bahwa masalah padagambar 1.2, secara essensial hanya suatu kasus (suatubentuk kejadian khusus). Karena itu, untuk suatu segitiga sebarang ABC, garis bagi B memotong garissumbu AC di titik E yang terletak diluar segitiga dangaris tegak lurus dari E ke AB dan BC sedemikianhinga salah satu kakinya jatuh pada salah satu sisisegitiga dan sekaligus terletak diantara dua titik,sedangkan kaki yang lainnya terletak padaperpanjangan sebuah sisi segitiga dan tidak terletakPendahuluan /15

diantara dua titik. (Hal ini betul-betul perludiperhatikan pada latihan di akhir bab ini)Analisa kita menunjukkan bahwa dalampenggunaan logika yang komplit pada geometri, kitamesti memahami konsep-konsep “di dalam” dan “diluar” suatu segitiga, dan konsep sebuah titik padasebuah garis yang terletak diantara dua titik pada garistersebut.Sebuah Segitiga Dengan Dua Sudut Siku-

Pendahuluan / 1 BAB I PENDAHULUAN A. Geometri Euclid Buku 1 sampai 6 memuat tentang Geometri Datar yaitu segitiga, segiempat, lingkaran, segibanyak, perbandingan dan kesebangunan. Buku 7 sampai dengan 10 tentang teori Bilangan, buku 11 tentang geometri ruang yang

Related Documents:

Transformasi Geometri, Aplikasi Maple 13, Motif Batik Sekar Jagad 1. PENDAHULUAN Geometri adalah salah satu cabang dari ilmu matematika yang memuat konsep-konsep abstrak dan tidak mudah dipahami. Dalam geometri dipelajari hubungan antara titik-titik, garis-garis, sudut-sudut, bidang-bidang, serta bangun .

Geometri transformasi adalah bagian dari geometri yang memberikan pembahasan tentang geometri dengan pendekatan transformasi. Eccles (2003: 3) menyebutkan bahwa geometri transformasi sebagai kajian geometri yang mendalami kekongruenan, kesebangunan, dan konsep dasar fungsi, khususnya fungsi satu-satu dari titik-titik pada bidang .

Buku Keterampilan Dasar Tindakan Keperawatan SMK/MAK Kelas XI ini disajikan dalam tiga belas bab, meliputi Bab 1 Infeksi Bab 2 Penggunaan Peralatan Kesehatan Bab 3 Disenfeksi dan Sterilisasi Peralatan Kesehatan Bab 4 Penyimpanan Peralatan Kesehatan Bab 5 Penyiapan Tempat Tidur Klien Bab 6 Pemeriksaan Fisik Pasien Bab 7 Pengukuran Suhu dan Tekanan Darah Bab 8 Perhitungan Nadi dan Pernapasan Bab .

Sedangkan dari sudut pandang matematik, geometri menyediakan pendekatan-pendekatan untuk pemecahan masalah, misalnya gambar-gambar, diagram, sistem koordinat, vektor, dan transformasi (Burger dan Shaughnessy dalam Widiyanto dan Rofiah, 2012) Geometri menurut Clements (dalam Nidho, 2013) membangun

Texts of Wow Rosh Hashana II 5780 - Congregation Shearith Israel, Atlanta Georgia Wow ׳ג ׳א:׳א תישארב (א) ׃ץרֶָֽאָּהָּ תאֵֵ֥וְּ םִימִַׁ֖שַָּה תאֵֵ֥ םיקִִ֑לֹאֱ ארָָּ֣ Îָּ תישִִׁ֖ארֵ Îְּ(ב) חַורְָּ֣ו ם

bab ii penerimaan pegawai . bab iii waktu kerja, istirahat kerja, dan lembur . bab iv hubungan kerja dan pemberdayaan pegawai . bab v penilaian kinerja . bab vi pelatihan dan pengembangan . bab vii kewajiban pengupahan, perlindungan, dan kesejahteraan . bab viii perjalanan dinas . bab ix tata tertib dan disiplin kerja . bab x penyelesaian perselisihan dan .

Bab 24: Hukum sihir 132 Bab 25: Macam macam sihir 135 Bab 26:Dukun,tukang ramal dan sejenisnya 138 Bab 27: Nusyrah 142 Bab 28: Tathayyur 144 Bab 29: Ilmu nujum (Perbintangan) 150 Bab 30: Menisbatkan turunnya hujan kepada bintang 152 Bab 31: [Cinta kepada Allah]. 156 Bab 32: [Takut kepada Allah] 161

TABE 11 & 12 READING PRACTICE TEST LEVEL M. Read the passage. Then answer questions 1 through 7. Whale Watching. Across the blue, rolling waves, a dark hump rises from the sea. It slides out of sight as an enormous tail lifts and falls. As it does, another hump rises beside it and begins the same dance. Several people cheer from the pontoon boat. Some raise their cameras, while others lift .