TURUNAN, INTEGRAL, PERSAMAAN DIFERENSIAL DAN TRANSFORMASI .
Diktat PerkuliahanMatematika TerapanTURUNAN, INTEGRAL, PERSAMAAN DIFERENSIAL DANTRANSFORMASI LAPLACE DALAM PENERAPANNYA DIBIDANG TEKNIK ELEKTROoleh :Deny Budi Hertanto, M.Kom.FAKULTAS TEKNIKUNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTASEMESTER GANJIL TAHUN 2009/2010
MATEMATIKA TERAPANMateriI. ReviewDefinisi DasarFungsiVariabelTurunan/DerivatifBeberapa aturan pada operasi turunanLatihan SoalIntegralBeberapa sifat pada operasi integralBeberapa sifat trigonometri yang perlu diperhatikanLatihan SoalII Persamaan Diferensial BiasaPengertian persamaan diferensialPembentukan persamaan diferensialOrde persamaan diferensialPersamaan diferensial biasaSolusi persamaan DiferensialSolusi umumSolusi khususMasalah nilai awal dan nilai batasLatihan SoalIII. Persamaan Diferensial Orde 1Bentuk Sederhana persamaan diferensial orde pertamaPemisahan VariabelContoh Soal CeritaIV. Persamaan Diferensial Linear Orde 1Ciri-ciri sifat linearitas pada Persamaan DiferensialPersamaan Diferensial EksakMetode Faktor PengintegralanSolusi Persamaan Diferensial Non Eksak Dengan Faktor PegintegaralanV. Persamaan Diferensial Orde 2Persamaan Diferensial linear Orde 2Persamaan Diferensial Linear Homogen Orde 2 dengan Koefisien Konstan (SecondOrder Homogeneous Linear Differential Equations With Constant Coefficients)Akar-akarnya adalah bilangan riil dan samaAkar-akarnya adalah bilangan riil dan berbedaAkar-akarnya adalah bilangan kompleksPersamaan Diferensial Linear Non-Homogen Orde 2 dengan Koefisien Konstan (SecondOrder Homogeneous Linear Differential Equations With Constant Coefficients)VI. Aplikasi Persamaan Diferensial Dalam Bidang Teknik Elektro2
I. REVIEWDefinisi Dasar FungsiSecara mudah, fungsi dapat dipandang sebagai “aturan” yang menghubungkan input danoutput. Input yang diberikan akan dilewatkan ke sebuah blok fungsi, dan menghasilkan outputsesuai dengan karakteristik blok fungsi. Hal ini dapat diilustrasikan sebagai berikut :aturanoutputinputGambar 1. Hubungan antara input, output, dan blok fungsiSebuah fungsi “pengali input dua kali” akan menghasilkan nilai output dua kali dari nilaiinput. fungsi tersebut apabila dituliskan secara matematis adalah sebagai berikut :f : x 2x ,atau ditulis secara lebih kompakf ( x) 2 xdan digambarkan sebagai berikut :Fungsiinput kalikan 2f2xxoutputinputGambar 2. Sebuah fungsi dengan blok fungsi “input kalikan 2”Input suatu fungsi disebut sebagai argumen. Pada fungsi f ( x) 2 x , yang menjadiargumen adalah x. Jika x diganti dengan nilai 3, maka : f (3) 2.3 6 , dengan nilai argumenadalah 3.Sebuah fungsi dapat digambarkan secara grafik dengan memakai kordinat kartesius.Fungsi f ( x) 2 x dapat digambarkan dengan menguji nilai f ( x) untuk beberapa nilai x sebagaiberikut.x 2, f ( x) 4x 1, f ( x) 2x 0, f ( x) 0x -1, f ( x) -2x -2, f ( x) -4dst.42-2-1012-2-4Gambar 3. koordinat kartesius fungsi f ( x) 2 x VariabelPada fungsi y f ( x) 2 x , x dan y dapat memiliki kemungkinan sejumlah nilaitertentu, sehingga x dan y dinamakan sebagai variabel. x adalah variabel independent (variabel3
bebas) dan y adalah variabel dependent (variabel tak-bebas), mengingat nilai y ditentukan olehnilai variabel x.Contoh I.1a. y x 4 5x 2 , variabel dependent y. variabel independent xdq 6q 3t 2 , variabel dependent q. variabel independent tdtd2 yc. 9 x et , variabel dependent y, variabel independent x, t2dtb.pada contoh b dan c terlihat bahwa pada persamaan differensial, variabel dependent-nya adalahvariabel dalam bentuk turunannya.TURUNAN/DERIVATIFBerikut ini adalah turunan dari beberapa fungsi.Tabel I.1. Beberapa fungsi yang sering digunakan beserta turunannyaFungsi, y(x)KonstantaTurunan, y’0Fungsi, y(x) 1sin (ax b)Turunan, y’a1 (ax b ) 2xnnx n 1cos 1 (ax b) a1 (ax b ) 2a1 (ax b) 2a cosh(ax b)a sinh(ax b)exextan 1 (ax b)e xe axln xsinh(ax b)cosh(ax b)tanh(ax b)sin x e xaeax1xcos xcos ech(ax b) a cos ech(ax b)coth(ax b)cos xsin(ax b) sin xa cos(ax b)sec h(ax b)coth(ax b) a s ech(ax b) tanh(ax b)cos(ax b) a sin(ax b)sinh 1 (ax b)a sec h2 (ax b) a cos ech 2 (ax b)a(ax b ) 2 1tan(ax b)a sec2 (ax b)cosh 1 (ax b)a(ax b ) 2 1cos ec(ax b) a cos ec(ax b)cot(ax b)tanh 1 (ax b)a1 (ax b ) 2sec(ax b)a sec(ax b) tan(ax b)4
Beberapa Aturan Pada Operasi TurunanJika u dan v adalah sebuah fungsi, dan c adalah konstanta, maka :1.(u v) ' u ' v '2. (uv) ' u ' v uv '3. (cu) ' cu '4.uu ' v uv '( )' vv25.Jika y y( z ) , dan z z ( x) , maka :dy dy dz *dx dz dxContoh I.2Carilah turunan dari fungsi y berikut ini :1. y ( x 2 sin x)jawab :d ( x 2 ) d (sin x) dxdxy ' 2 x cos xy' 2.y x sin x.misalkan : u x, v sin xu ' 1 , dan v ' cos xmaka y menjadi y uv .y ' (uv) 'y ' u ' v uv 'y sin x x cos x3. y 10cos xJawab :y ' 10sin x4. y t2.2t 1Jawab :Misalkan u t 2 dan v 2t 1 .u ' 2t , dan v ' 2uuu ' v uv 'y ( ) , maka y ' ( ) ' vvv22t (2t 1) t 2 .2y' (2t 1) 24t 2 2t 2t 2 2t 2 2t 2t (t 1)y' (2t 1) 2(2t 1) 2 (2t 1) 25. y z 6 , z x 2 1 . Carilahdy!dx5
Jawab :y ( x 2 1)6 ,dy dy dz *dx dz dx 6 z 5 .2 x 12 x.z 5 12 x( x2 1)5Latihan Soal I.1Temukan turunan dari1.y e 7 x2.y tan(3x 2)6.7.y x5y sin( x )1y 5ty cos(4 t )y 8.y cos 1 (4t 3)9.y sin 1 ( 2t 3)1y sin(5 x 3)y 3sin(5t ) 2e4ty 2e3t 17 4sin(2t )1 cos 5ty 3 t232w e4 wy 32y x ln( x )3.4.5.10.11.12.13.14.15.y 3sin 1 (2t ) 5cos 1 (3t )117. y tan 1 (t 2) 4cos 1 (2t 1)2t 3 5t 2 4t 118. Sebuah fungsi : y (t ) 3 2dy(a) tentukandt16.(b) jika turunan pertama fungsi tersebut adalah nol, berapa nilai t ?6
Latihan Soal I. 2Carilah turunan dari fungsi berikut ini :1. y sin x cos x2. y xe x3. y et sin t cos t4. y et sin t cos t(nomor 1-4, gunakan aturan perkalian)cos xsin xe 2ty 3t 13x 2 2 x 9y x3 1y ln( x 2 1)y sin3 (3t 2)1y t 15. y 6.7.8.9.10.INTEGRALProses mengintegralkan suatu fungsi merupakan kebalikan turunan/derivatif. Suatufungsi f(x) dapat kita turunkan menjadi :d ( fx). Apabila kita ingin mencari suatu fungsi f(x)dxdari turunan/derivatif-nya, maka dinamakan : integralTabel I.2. Beberapa fungsi yangs sering digunakan beserta integral fungsi tersebutFungsi, f(x) f ( x)dxFungsi, f(x) f ( x)dxln sec ax caln sec(ax b) ca1 ln co sec(ax b) cot(ax b) caK,Konstantakx ctan axxntan(ax b)exx n 1 c, n 1n 1e x ccos ec(ax b)e x e x cs ec(ax b)e axe ax caln x ccot(ax b)x 11a2 x21 ln sec(ax b) tan(ax b) ca1 ln sin(ax b) caxsin 1 ca7
cos x csin x1a x22sin axsin(ax b)cos xcos axcos(ax b)tan x cos ax ca cos(ax b) casin x csin ax casin(ax b) caln sec x c1xtan 1 caaContoh I.3Temukan fungsi y jika :(a) y ' 6 x(b) y ' 4 x3(c) y ' cos x xjawab :1.y 6 xdxy 3x 2 c , dengan c adalah suatu konstanta sembarang.Perlu diingat, bahwa turunan dari suatu konstanta adalah nol.2.y 4 x3dxy 3.4x(3 1) , y x 4 c(3 1)y (cos x x)dxy sin x 1 2x c2Beberapa sifat pada operasi integral (sifat linearitas):1. ( f g )dx fdx gdx 2. Afdx A fdx3. ( Af Bg )dx A f dx B gdx(sifat 1-3 dinamakan sifat linearitas)4. uv ' dx uv vu ' dx8
Beberapa sifat trigonometri yang perlu diingat :1. sin 2 t cos2 t 11 cos 2t21 cos2t3. sin 2 t 2sin t4. tan t cos t5. sin 2t 2sin t cos t6. cos 2t 1 2sin 2 t 2cos2 t 1 cos2 t sin 2 t7. tan 2 t 1 sec2 t8. 1 cot 2t co sec2 t9. sin( A B) sin A cos B sin B cos A10. cos( A B) cos A cos B sin A sin Btan( A B)11. tan( A B) 1 tan A tan B12. 2sin A cos B sin( A B) sin( A B)13. 2sin A sin B cos( A B) cos( A B)14. 2cos A cos B cos( A B) cos( A B)2. cos 2 t Latihan Soal I.3Temukan fungsi y jika :1.y sin(3x 2)y 5.92.3.4.y e 3t1y 5x6.7.10.11.12.nomor 5 dst, gunakan sifat linear integral5.9.y 3t 2 tsin x cos xy 2 y 7 cos ec( )2y 4cos(9 x 2)13. cos tdt sin tdt xe dx e sin tdt (3x 1) dx222xt5214. sin t cos2tdt115.4 (5x 7)dx8.nomor 9 dst. Carilah :9
II. Persamaan Diferensial Biasa(Ordinary Differential Equations)II. 1 Pengertian Persamaan DiferensialPersamaan Diferensial/PD adalah persamaan yang di dalamnya berisi turunan(derivative atau differential) satu atau lebih variabel. Persamaan diferensial orde 1 dengan ysebagai variabel independent dan x sebagai variabel dependent ditulis secara matematis sebagaidy f ( x, y ) . Sedangkan persamaan diferensial dalam orde 2 ditulis secara matematisdxd2ydysebagai : f ( x, y, ) dengan catatan, tidak semua variabel dari fungsi f harus muncul2dxdxberikut :dalam persamaan. Contoh dari persamaan diferensial antara lain:(1)dy e x sin xdx(x adalah variabel independent, y adalah variabel dependent yang nilainya tergantung x)(2) y" 2 y' y cos x(3) 2 u 2 u u x 2 y 2 t(4) 3x 2 dx 2 ydy 0IIPembentukan persamaan diferensialPersamaan diferensial muncul ketika terjadi perubahan pada suatu besaran, yang biasanyadinyatakan dalam suatu fungsi matematis. Contoh (1), (2), (3) dan (4 ) merupakan persamaandiferensial yang secara matematis diekspresikan tanpa mengetahui latar belakangpembentukan/terjadinya persamaan diferensial tersebut.Contoh pembentukan persamaan diferensial dalam dunia riil adalah persamaandifferensial yang terbentuk dari suatu objek yang sedang bergerak. Dimisalkan objek tersebutd2xdxbergerak dengan karakteristik persamaan : 6 2 x 3t dengan :2dtdtx menyatakan jarakd2x(yaitu turunan kedua fungsi jarak) menyatakan percepatan, dandt 2dx(turunan pertama) menyatakan kecepatan.dtContoh yang lain adalah muatan listrik yang bergerak, dimisalkan memiliki persamaan :dqdq 8q sin t dengan q merupakan muatan listrik,merupakan laju aliran muatan (yangdtdtdiistilahkan sebagai aliran arus listrik).Contoh lain pembentukan persamaan diferensial adalah pada rangkaian listrik yang terdiridari komponen RC sebagaimana diperlihatkan dalam gambar berikut :10
RVRiVs CVc-Gambar II.1 Suatu Rangkaian listrik dengan saklarBerdasarkan hukum kirchof, jumlah tegangan pada loop tertutup dari suatu rangkaian listrikadalah nol. Jika dituliskan : VS VR VC , atau VR VS VC .Vs tegangan sumberVc tegangan pada kapasitorVR tegangan pada resistorBerdasarkan hukum Ohm, arus yang mengalir pada resistor (pada rangkaian tertutup)dapat dicari dengan rumus : i Vs Vc.RArus yang mengalir pada kapasitor adalah : i CdVc.dtOleh karena arus yang mengalir pada kapasitor arus yang mengalir pada resistor, maka :Vs VcdVc C.RdtSehingga didapatkan : RCdVc Vc Vs .Persamaan ini merupakan persamaan diferensialdtdengan Vc adalah variabel dependent, dan t merupakan variabel independent.Lebih lanjut tentang aplikasi persamaan diferensial dalam bidang elektro, dapat dipelajaridi bagian akhir bab ini.Orde Persamaan DiferensialOrde persamaan diferensial adalah orde tertinggi dari turunan yang ada di dalampersamaan diferensial tersebut.Rdq q 3 , adalah persamaan diferensial orde pertama dalam qdt Cd sin( ) , adalah persamaan diferensial orde pertama dalam θdtx '' 4t 2 0 , adalah persamaan diferensial orde kedua dalam xd 3u du u 4t 2 , adalah persamaan diferensial orde ketiga dalam u3dtdtPersamaan Diferensial BiasaPersamaan diferensial yang hanya melibatkan satu variabel independent disebut sebagaipersamaan diferensial biasa. Sehingga contoh (1), (2), dan (4) di muka merupakan contohpersamaan diferensial biasa, sedangkan contoh (3) bukan merupakan persamaan diferensial biasa.Selanjutnya, (3) merupakan persamaan diferensial parsial (partial differential equation,PDE).11
Persamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial yang melibatkan dua atau lebihvariabel independent. Contoh : persamaan diferensial parsialorde 1 dengan 2 variabelindependent : x1 dan x2 ditulis dalam bentuk : y f ( x1, x 2, y ) , dan bukan x1dy f ( x1, x 2, y ) .dx1Solusi Persamaan DiferensialSolusi persamaan differensial adalah suatu fungsi yang memenuhi persamaan diferensialyang dimaksudkan. Pada kedua kasus di atas adalah dimaksudkan untuk mencari nilai x(t) danq(t). Solusi persamaan differensial dapat berupa solusi analitis, dimana jawaban dari persamaandifferensial tersebut dapat dinyatakan dalam fungsi-fungsi dasar seperti et, sin t, cos t, dst. Tidaksemua persamaan diferensial dapat dicari solusinya secara analitis. Solusi persamaan differensialdapat juga dicari dengan menggunakan metode numerik yang menghasilkan solusi dengan nilaipendekatan.Contoh II.1: Tunjukkan bahwa x t3 adalah solusi dari persamaan diferensial :dx 3t 2dtJawab :Untuk membuktikan bahwa x t3 adalah solusi dari persamaan diferensialsubstitusikan x t3 kedalam persamaand (t 3 ) 3t 2 ,dtdx 3t 2 .dtdx 3t 2 , makadtdx 3t 2 .dt 3t 2 3t 2 , berlaku untuk semua nilai t, sehingga x t3 adalah solusi dariContoh II.2 : Tunjukkan bahwa y t 2 3t 3.5 adalah solusi dari persamaan diferensialy '' 3 y ' 2 y 2t 2 .Jawab : y t 2 3t 3.5 , y ' 2t 3 , y '' 2 . Substistusikan ke dalam persamaan diferensialy '' 3 y ' 2 y 2t 2 , sehingga :2 3(2t 3) 2(t 2 3t 3.5) 2t 2 2t 6t 9 2t 2 6t 7 2t 2 2t 2 2t 2Solusi ini berlaku untuk semua nilai t. Sehingga y t 2 3t 3.5 merupakan solusi daripersamaan diferensial y '' 3 y ' 2 y 2t 2Solusi Umum dan KhususPersamaan diferensial boleh jadi memiliki banyak solusi. Sebagai contoh, persamaandx 3t 2 dapat memiliki solusi x t3, x t3 9, x t3-6, dst. Solusi solusi ini disebutdtdx 3t 2 .sebagai solusi khusus, sedangkan x t3 C merupakan solusi umum daridtdiferensial12
Persamaan differensial dalam bidang teknik umumnya digunakan untuk memodelkansistem dinamis, yaitu sistem yang berubah terhadap waktu. Contoh dari beberapa sistem dinamisantara lain:1. Rangkaian listrik dengan arus/tegangan yang merupakan fungsi waktu.2. Dalam produksi kimia, dimana tekanan, laju aliran, dst selalu berubah terhadap waktu.3. Peralatan semikonduktor, dimana kerapatan hole dan elektron selalu berubah.Masalah Nilai Awal dan Nilai BatasJika dalam suatu persamaan diferensial diberikan suatu kondisi tambahan dengan sebuahnilai yang sama pada variabel independent-nya (baik fungsi maupun turunannya), maka dikatakanbahwa persamaan diferensial tersebut sebagai masalah nilai-awal (initial-value problem). Jikakondisi tambahan yang diberikan merupakan nilai yang berbeda pada variabel independent-nya,maka dikatakan sebagai masalah nilai-batas (boundary-value problem).Contoh II.3 :Sebuah persamaan diferensial :y 2 y e x ; y( ) 1, y ( ) 2merupakan bentuk initial-value problem, karena terdapat dua kondisi tambahan yaitu pada x , dengan y (π) 1 dan y’ (π) 2.Sedangkan pada persamaan diferensial :y 2 y e x ; y( 0 ) 1, y( 1 ) 1merupakan bentuk boundary-value problem, karena dua kondisi tambahan diberikan pada nilai xyang berbeda, yaitu pada x 0 and x 1 .Latihan Soal II.1:1. Tunjukkan bahwa :y 3sin 2 x adalah solusi dari persamaan diferensial :d2y 4y 0dx 2dy 2 y , carilah solusi khusus yang memenuhidx2.Jika y Ae2x adalah solusi umum dari3.y(0) 3.Identifikasi variabel dependent dan independent dari persamaan diferensial berikut ini.Dan sebutkan orde persamaan diferensial tersebut!d3ydy 5 cos x3dxdxdy 9y 0(b)dxdy d 2 ydy 0(c) ( )( 2 ) 9dx dxdxd2ydy y 0 adalah : y Axe x Be x . Carilah solusiSolusi umum dari : ( 2 ) 2dxdxdy(0) 1khusus yang memenuhi : y(0) 0,dx(a)4.13
III. Persamaan Diferensial Orde 1Sebelum membahas persamaan diferensial orde tinggi, akan dibahas terlebih dahulupersamaan diferensial orde 1.Bentuk SederhanaBentuk sederhana persamaan diferensial orde 1 adalah :dicari dengan cara mengintegralkan f(x), yaitu : y dy f ( x) . Fungsi y dapatdx f ( x)dx . Namun d, kebanyakan padademikian, persamaan diferensial yang dijumpai dalm soal umumnya tidak sesederhana itubentuknya.Contoh III.1dy 5sin 2 x . Untuk mencari fungsi y (x), persamaan tersebut diintegralkan :dx5Maka y 5sin 2 xdx , y cos 2 x C2Pemisahan VariabelJika persamaan diferensial memiliki bentuk :dy f ( x) g ( y ) , maka penyelesaiandxpersamaan diferensial tersebut dapat dicari dengan metode pemisahan variabel, yaitu :1 g ( y)dy f ( x)dx .Berikut ini adalah contoh penyelesaian persamaan diferensial dengan metode pemisahan variabel.Perhatikan bahwa variabel dikelompokkan sesuai dengan variabel sejenisnya, yaitu variabel xdengan dx, variabel y dengan dy.Contoh III.2Temukan solusi persamaan diferensial berikut dengan metode pemisahan variabel :(a)dy x 2 dxy(b)dyx2 dx y 1 x 3(c)dy x, y(0) 1 dxy(d)dm 2 m sin t ,dt m(0) 4Jawab :(a) Persamaan diferensialdy x 2menjadi ydy x 2 d x sehingga dxy14
y2 x3 C 232 yd y x d x y 2 x3 C3(b) Persamaan diferensial yd y (c)2x 3 2C , cukup ditulis:3y dyx2x2 menjadiydy d x sehinggadx y 1 x 31 x3 x2dx 1 x3 y2 1 ln 1 x 3 C 23y 2ln 1 x 3 C'3Pisahkan variabel yang sama sehingga persamaan diferensialnya menjadi : ydy xdx , integralkan kedua ruas :1 ydy xdx 2 y21 x2 c ,2Kalikan kedua ruas dengan 2 sehingga menjadi : y 2 x 2 c ( seharusnyaadalah 2c, namun karena masih bersifat konstanta, cukup ditulis c saja). Untuk mencarinilai c, substitusikan nilai y(0) 1.12 02 c , c 1Sehingga solusi persamaan diferensialdm 2 m sin t ,dt(d)dm 2sin tdt , m 1dy xadalah : x 2 y 2 1 dxym(0) 4 . Pisahkan variabel yang sama sehingga : m 2 dm 2 sin t dt , dm 2 sin t dt ,m12m 2 2cos t c , oleh karena c 3, maka m 3 cos t m cos t c2Latihan Soal1.2.3.4.dxdtdydxdydxdxdt 10 e2 xe 2 xy29cos 4t x2 15
5.6.7.8.9.dx 3cos 2t 8sin 4t dtx2 xdy 3sin t, y(0) 2 dtydy 6 x 2, y(0) 1 dxydyx2 2 y 2 yxdxdyy sin xdx10. temukan solusi umum dari persamaan diferensial :dx ( x 2 1). Tentukan solusi dttkhusus yang memenuhi : x(0) 5Contoh Soal CeritaContoh III.3Laju pertumbuhan penduduk suatu negara adalah 1,3 kali jumlah penduduk saat ini. Jika jumlahpenduduk saat ini adalah 80, berapakah jumlah penduduk setelah 100 minutes ?Jawab :Langkah 1 Pemodelan menjadi persamaan diferensialdN 1.3NdtLangkah 2 Integralkan dN 1.3dt , ln N 1.3t cN Langkah 3 Jadikan N sebagai subjek :N e1.3t cLangkah 4 Susun kembali persamaan N dengan konstanta yang bersangkutan:N e1.3t ec , N Ae1.3t dengan A ecLangkah 5 Cari nilai konstanta :80 Ae0 A 80 (didapat dari N(0) 80)Langkah 6 Temukan solusinya :N 80e1.3 100 , N 2.298 1058 individuContoh III.4Jawab :Blok es deng berat 10kg meleleh dalam lingkungan yang temperaturnya naik. Laju penguranganberat es per detik adalah sebanding dengan 20 dikurangi berat es yang tersisa. Setelah 60 detik,berat es adalah 9.5 kg. berapa berat es setelah 120 detik ?Langkah 1 Susun persamaan diferensialnya :dM k (20 M ) , M(0) 10, M(60) 9.5dtLangkah 2 Integralkan :16
dMdM k (20 M ) , k dtdt20 M ln 20 M kt cLangkah 3 Jadikan M sebagai subjek :ln 20 M kt c , 20 M ekt c , M 20 ekt cLangkah 4 Susun kembali persamaan M dengan konstanta yang bersangkutan:M 20 ekt e c , M 20 Aekt , dengan A ecLangkah 5 Cari nilai konstantaGunakan nilai kondisi awal : M(0) 10, M(60) 9.510 20 Ae0 A 10 ,9.5 20 Ae60k , 10e60k 10.5 , e60k 1.05 ,60k ln1.05 , k 0.000813maka M 20 10e0.000813tLangkah 6 Temukan solusinya :M 20 10e0.000813t , M (120) 20 10e0.000813 120 ,M (120) 8.975 kgContoh III.5Jawab :Laju pertumbuhan suatu kultur bakteri adalah sebanding (proporsional) dengan fungsieksponensial pangkat t, dengan t adalah waktu (dalam jam). Disebabkan karena pertumbuhanbakteri yang sangat cepat, maka terjadi overcrowding, sehingga laju pertumbuhan bakteri jugaberbanding terbalik dengan pangkat empat dari jumlah bakteri saat itu. Lewat eksperimendiketahui bahwa ko
4 bebas) dan y adalah variabel dependent (variabel tak-bebas), mengingat nilai y ditentukan oleh nilai variabel x. Contoh I.1 a. y x x 425, variabel dependent y. variabel independent x b. 632 dq qt dt , variabel dependent q. variabel independent t c. 2 2 9 t dy xe dt , variabel dependent y, variabel independent x, t pada contoh b dan c terlihat bahwa pada persamaan differensial .
Jika pada persamaan diferensial ada dua atau lebih variabel bebas dan memuat . Orde persamaan diferensial adalah tingkat dari turunan tertinggi yang termuat dalam persamaan tersebut. Persamaan diferensial (1 .3) dan (1 .4) adalah persamaan diferensial orde-n sebab turunan tertinggi yang terlibat dalam .
PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE DUA KOEFISIEN VARIABEL 1. Persamaan Diferensial Euler Cauchy Homogen 90 . BAB XI APLIKASI PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE 2 1. Rangkaian Arus Searah (RLC). 96 2. Latihan 11 . 99 DAFTAR PUSTAKA. 100 . 1 1. DEFINISI PERSAMAAN DIFERENSIAL Persamaan diferensial merupakan persamaan yang .
PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL Pendahuluan Persamaan diferensial parsial adalah persamaan yang memuat satu atau lebih turunan parsial dengan dua atau lebih variabel bebas. Orde dari PD parsial : tingkat tertinggi dari derivatif yang ada dalam PD. Derajat dari PD parsial : pangkat tertinggi dari turunan tingkat tertinggi yang ada dalam PD.
persamaan diferensial, Macam-macam persamaan diferensial, dan Beberapa metode penyelesaian persamaan diferensial orde satu. Modul ini terdiri atas dua kegiatan belajar.
yaitu persamaan diferensial linier non homogen orde dua. Sedangkan Pada BAB IX akan dibahas aplikasi persamaan diferensial biasa dengan transformasi Laplace, sedangkan Bab X membahas mengenai aplikasi persamaan diferensial dalam kehidupan sehari-hari. Berbagai sumber referensi dasar dan esensial yang relevan dari artikel ilmiah, buku,
2.4 Turunan Fungsi Trigonometri Menentukan turunan fungsi trigonometri. 2.5 Aturan Rantai Menentukan turunan fungsi yang merupakan komposisi dari dua fungsi sederhana dengan Aturan Rantai. 9/12/2019 (c) Hendra Gunawan 3. 2.3 ATURAN TURUNAN Menggunakan aturan turunan untuk
Bahan Ajar : Persamaan dan Fungsi Kuadrat PERSAMAAN KUADRAT Dalam kehidupan sehari-hari, seringkali kita jumpai persoalan atau perhitungan yang berkaitan dengan materi persamaan kuadrat.Agar kalian lebih memahami tentang bentuk umum persamaan kuadrat dalam persoalan matematika yang berkaitan dengan persamaan kuadrat tersebut.
7.6. Integral dengan Panjang Pias Tidak Sama 65 7.7. Metode Kwadratur 66 7.8. Soal-soal Latihan 72 BAB VIII PERSAMAAN DIFERENSIAL 8.1. Pendahuluan 73 8.2. Metode Euller 76 8.3. Metode Euller Yang Dimodifikasi 78 8.4. Metode Runge Kutta 80 8.5. Persamaan Differensial Parsiil 81 8.6. Beberapa Bentuk Persamaan Diferensial Parsiil 83 8.7.
