MENGENALKAN OPERASI HITUNG BILANGAN BULAT Choirul Untung .

MENGENALKAN OPERASI PERKALIAN DAN PEMBAGIAN BILANGAN BULATMENGGUNAKAN KEPING MUATANMateri operasi perkalian dan pembagian bilangan bulat diberikan pada jenjang sekolah dasar. Dalammenanamkan konsep perkalian dan pembagian bilangan bulat tersebut tentunya setiap gurumempunyai cara/strategi sendiri-sendiri sesuai dengan kondisi siswanya. Namun pembelajaran di SDseyogyanya mengacu tahapan pada kegiatan pembelajaran Bruner, yaitu: 1) enactive (konkret), 2) iconic(semikonkret), dan 3) symbolic/abstrak. Terinspirasi oleh video youtube tentang perkalian bilanganbulat[1] dan pembagian bilangan bulat[2] yang disampaikan oleh Prof. Dr. Iwan Pranoto, Guru BesarMatematika ITB, penulis mencoba mengemas kembali dalam sebuah tulisan yang memberikan salahsatu alternatif cara dalam mengenalkan operasi perkalian dan pembagian bilangan bulat menggunakanalat peraga, yaitu keping muatan.Keping muatan yang dimaksud di sini adalah keping berbentuk persegi dengan tanda “ ” untuk mewakilikeping positif, dan bertanda “–“ untuk mewakili keping negatif.–mewakili –1 mewakili 1–– mewakili –2 mewakili 3dan seterusnya.Adapun nol diwakili oleh pasangan keping positif dan keping negatif. – 0– – 0 ––– 0Untuk memulai, sebelumnya kita perlu menyediakan sebuah persegi atau lingkaran sebagai media bantudalam menanamkan konsep perkalian dan pembagian bilangan bulat. Ide dasar dari kegiatan yang akankita lakukan adalah memasukkan atau mengeluarkan keping ke atau dari persegi/lingkaran[1],[2].A. PerkalianKesepakatan: Pengali, mewakili banyaknya kegiatan memasukkan atau mengeluarkan keping Pengali positif, artinya memasukkan/menambahkan keping ke dalam persegiPengali negatif, artinya mengeluarkan/mengambil keping dari persegiBilangan yang dikali, mewakili keping yang dipindahkan (dimasukkan atau dikeluarkan) Hasil kali, menunjukkan keping akhir yang terdapat dalam persegi

1. Positif dengan positifBerdasarkan kesepakatan, perkalian ini dapatdimaknai memasukkan 3 keping positifsebanyak 2 kali.( 2) ( 3) . Dengan memasukkan 3 keping positif sebanyak 2kali maka,keping apa yang terdapat dalam persegi?berapa banyak keping tersebut?memasukkanyang pertamamemasukkanyang keduaTerlihat bahwa dalam persegi terdapat 6 keping positif yang mewakili 6. Dengan demikian,( 2) ( 3) 6, atau ditulis 2 3 6.2. Positif dengan negatif( 2) (–3) Perkalian ini dapat dimaknai memasukkan 3keping negatif sebanyak 2 kali.––––––Keping apa yang terdapat dalam persegi?Berapa banyak keping tersebut?memasukkan memasukkanyang pertama yang keduaTerlihat bahwa dalam persegi terdapat 6 keping negatif yang mewakili –6. Dengan demikian,( 2) (–3) –6, atau ditulis 2 (–3) –6.

3. Negatif dengan positif(–2) ( 3) Perkalian ini dapat dimaknai mengeluarkan 3 kepingpositif sebanyak 2 kali.Isi nol yang pertama – ––Karena belum ada yang bisa dikeluarkan dari persegimaka persegi kita isi dulu dengan nol (pasangankeping positif dan negatif). Perhatikan, karena yangakan dikeluarkan sebanyak 3 keping maka nol yangkita isikan berupa 3 pasang keping positif dannegatif.Lalu 3 keping positif kita keluarkan dari persegi. – – –Keluarkan yang pertama– ––– ––Isi nol yang ke-2Ingat bahwa kita akan mengeluarkan 3 keping positifsebanyak 2 kali. Dengan demikian kita harusmengeluarkan satu kali lagi. Untuk itu kita perlumengisi persegi lagi dengan 3 pasang keping positifdan negatif yang mewakili bilangan nol.Kemudian kita keluarkan lagi 3 keping positif.– –– –– –Keluarkan yang ke-2

––––––Nha, sekarang keping apa yang tertinggal di dalampersegi? Berapa banyaknya?Terlihat bahwa dalam persegi terdapat 6 keping negatif yang mewakili –6. Dengan demikian,(–2) ( 3) –6, atau ditulis –2 3 –6.4. Negatif dengan negatif(–2) (–2) Perkalian ini dapat dimaknai, mengeluarkan 2keping negatif sebanyak 2 kali.Isi nol yang pertama – – – –Karena belum ada yang bisa dikeluarkan dari persegimaka persegi kita isi dulu dengan nol (pasangankeping positif dan negatif). Perhatikan, karena yangakan dikeluarkan sebanyak 2 keping maka nol yangkita isikan berupa 2 pasang keping positif dannegatif.Lalu 2 keping negatif kita keluarkan dari persegi.Keluarkan yang pertama – –Isi nol yang ke-2Ingat bahwa kita akan mengeluarkan 2 kepingnegatif sebanyak 2 kali. Karena kita barumengeluarkan sekali maka kita perlu mengisi persegilagi dengan 2 pasang keping positif dan negatif yangmewakili bilangan nol.

Kemudian kita keluarkan lagi 2 keping negatif. – –Keluarkan yang ke-2Coba lihat, sekarang keping apa yang tertinggal didalam persegi? Berapa banyaknya? Terlihat bahwa dalam persegi terdapat 4 keping positif yang mewakili 4. Dengan demikian,(–2) (–2) 4, atau ditulis –2 (–2) 4.Dengan mencoba berbagai contoh yang lain, kemudian disimpulkan:Dari keempat contoh di atas diperoleh,2 3 6(perkalian bilangan positif dengan bilangan positif menghasilkan bilangan positif)2 (–3) –6 (perkalian bilangan positif dengan bilangan negatif menghasilkan bilangan negatif)–2 3 –6(perkalian bilangan negatif dengan bilangan positif menghasilkan bilangan negatif)–2 (–2) 4 (perkalian bilangan negatif dengan bilangan negatif menghasilkan bilangan positif)B.PembagianKesepakatan: Yang dibagi Pembagiadalah keping akhir yang diinginkan, adalah keping yang dipindahkan (dimasukkan atau dikeluarkan)

Hasil bagi, menunjukkan banyaknya kegiatan memindah (memasukkan atau mengeluarkan)keping ke/dari persegi sehingga dalam persegi terdapat keping seperti yang diinginkan.Hasil bagi positif menunjukkan kita memasukkan keping ke dalam persegiHasil bagi negatif menunjukkan kita mengeluarkan keping dari persegi1. Positif dengan positif( 4) : ( 2) Memasukkan yangpertama Memasukkan yangkeduaBerdasarkan kesepakatan pembagian ini dapatdimaknai berapa kali harus memasukkan ataumengeluarkan 2 keping positif sehingga di dalampersegi terdapat 4 keping positif?Karena yang harus dipindahkan (dimasukkan ataudikeluarkan) adalah keping positif dan yangdiinginkan di dalam persegi nantinya adalah kepingpositif juga maka yang harus kita lakukan adalahmemasukkan keping positif.Pertama kita masukkan 2 keping positif, ternyatabelum mencukupi yang diinginkan, sehingga kitaperlu memasukkan 2 keping positif lagi. Sekarang didalam persegi sudah terdapat 4 keping positif,sesuai yang diinginkan, berarti kita memasukkan 2keping positif sebanyak 2 kali. Dengan demikian( 4) : ( 2) ( 2) atau ditulis 4 : 2 2.2. Positif dengan negatif( 4) : (–2) Memasukkan yangpertama – –Operasi pembagian ini dapat dimaknai berapa kaliharus memasukkan atau mengeluarkan 2 kepingnegatif sehingga di dalam persegi terdapat 4 kepingpositif.Perhatikan bahwa keping yang diinginkan di dalampersegi nantinya adalah keping positif, sedangkanyang harus dipindahkan (dimasukkan ataudikeluarkan) adalah keping negatif. Jika yang akankita lakukan adalah memasukkan keping negatifjelas hasilnya nanti tidak sesuai dengan yangdiinginkan. Jika yang akan kita lakukan adalahmengeluarkan keping negatif, tentu saja tidak bisakarena persegi masih kosong.

Untuk itu sebelumnya kita perlu mengisi persegidulu dengan nol yang berupa 2 pasang keping positifdan negatif. Mengapa 2 pasang? Banyaknyapasangan nol ini disesuaikan dengan banyaknyakeping yang akan kita pindahkan. – –Kemudian keluarkan 2 keping negatif dari persegi.Perhatikan apakah banyaknya keping positif yangtertinggal dalam persegi sudah sesuai yangdikehendaki?mengeluarkan yangpertamaMemasukkankan yangkedua – – – –Karena yang diinginkan adalah 4 keping positif, makakita harus mengulangi lagi mengisi persegi dengannol (2 pasang keping positif dan negatif).Kemudian 2 keping negatif kita keluarkan untukyang kedua kalinya.mengeluarkan yang kedua Perhatikan keping di dalam persegi, sudah sesuaidengan yang diinginkan bukan?

Jadi untuk mendapatkan 4 keping positif di dalam persegi kita perlu mengeluarkan 2 keping negatifsebanyak 2 kali. Mengeluarkan atau mengambil sebanyak 2 kali ini diwakili oleh bilangan –2 yangtidak lain adalah hasil bagi dari 4 dibagi –2. Dengan demikian diperoleh,( 4) : (–2) (–2), atau ditulis 4 : (–2) –2.3. Negatif dengan positif(–4 ): ( 2) Operasi pembagian ini dapat dimaknai berapa kaliharus memasukkan atau mengeluarkan 2 kepingpositif sehingga di dalam persegi terdapat 4 kepingnegatif.Pembagian ini sejenis dengan pembagian bilanganpositif dengan bilangan negatif. Perhatikan bahwakeping yang diinginkan di dalam persegi nantinyaadalah keping negatif, sedangkan yang harusdipindahkan (dimasukkan atau dikeluarkan) adalahkeping positif. Jika yang akan kita lakukan adalahmemasukkan keping positif jelas hasilnya nanti tidaksesuai dengan yang diinginkan. Kita juga tidak bisamengeluarkan keping positif, karena persegi masihkosong.Memasukkan yangpertama – –Untuk itu sebelumnya kita perlu mengisi persegidulu dengan nol yang berupa 2 pasang keping positifdan negatif. Mengapa 2 pasang? Banyaknyapasangan nol ini disesuaikan dengan banyaknyakeping yang akan kita pindahkan. – –Keluarkan yang pertamaKemudian keluarkan 2 keping positif dari persegi.Perhatikan apakah banyaknya keping negatif yangtertinggal dalam persegi sudah sesuai yangdikehendaki?

Memasukkan yang kedua– –– –– –– –Karena yang diinginkan adalah 4 keping negatif,maka kita harus mengulangi lagi mengisi persegidengan nol (2 pasang keping positif dan negatif).Kemudian 2 keping positif kita keluarkan untukyang kedua kali.Mengeluarkan yang kedua––––Nah, sekarang keping yang ada di dalam persegisudah sesuai dengan yang diinginkan, yaitu 4 kepingnegatif.Jadi untuk mendapatkan 4 keping negatif di dalam persegi kita perlu mengeluarkan ataumengambil 2 keping positif sebanyak 2 kali. Mengeluarkan atau mengambil sebanyak 2 kali inidiwakili oleh bilangan –2 yang tidak lain adalah hasil bagi dari –4 dibagi 2. Dengan demikiandiperoleh,(–4) : ( 2) (–2), atau ditulis –4 : 2 –2.4. Negatif dengan negatif(–4) : (–2) Berdasarkan kesepakatan, pembagian ini dapatdimaknai berapa kali harus memasukkan ataumengeluarkan 2 keping negatif sehingga di dalampersegi terdapat 4 keping negatif.

Memasukkan yangpertama––––Memasukkan yangkeduaKarena yang harus dipindahkan (dimasukkan ataudikeluarkan) adalah keping negatif dan yangdiinginkan di dalam persegi nantinya adalah kepingnegatif juga maka yang harus kita lakukan adalahmemasukkan keping negatif.Pertama kita masukkan 2 keping negatif, ternyatabelum mencukupi yang diinginkan, sehingga kitaperlu memasukkan 2 keping negatif lagi. Sekarang didalam persegi sudah terdapat 4 keping negatif,sesuai yang diinginkan, berarti kita memasukkan 2keping negatif sebanyak 2 kali. Dengan demikian,(–4) : (–2) ( 2) atau ditulis –4 : (–2) 2.Dari keempat contoh pembagian di atas diperoleh,4:2 2(pembagian bilangan positif dengan bialngan positif menghasilkan bilangan positif)4 : (–2) –2(pembagian bilangan positif dengan bilangan negatif menghasilkan bilangan negatif)(–4) : 2 –2(pembagian bilangan negatif dengan bilangan positif menghasilkan bilangan negatif)(–4) : (–2) 2(pembagian bilangan negatif dengan bilangan negatif menghasilkan bilangan positif)Silakan pembaca mencoba untuk bilangan bulat yang lain, kemudian silakan cara ini dicobakan ketikapembelajaran di kelas.Sumber:[1] http://www.youtube.com/watch?v gDtfzVr-Raw, diakses anggal 28 Januari 2013[2] http://www.youtube.com/watch?v ei6xHqWYjs, diakses anggal 28 Januari 2013

Terinspirasi oleh video youtube tentang perkalian bilangan bulat[1] dan pembagian bilangan bulat[2] yang disampaikan oleh Prof. Dr. Iwan Pranoto, Guru Besar Matematika ITB, penulis mencoba mengemas kembali dalam sebuah tulisan yang memberikan salah satu alternatif cara dalam mengenalkan operasi perkalian dan pembagian bilangan bulat menggunakan