Esercizi Di Analisi 2 Nicola Fusco 1. Successioni E Serie .

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Esercizi di Analisi 2Nicola Fusco(Dipartimento di Matematica e Applicazioni, Università ‘Federico II’, Napoli)1. Successioni e Serie di Funzioni1.1 Al variare di α IR studiare la convergenza della serie α X 11 log 1 .( n 2 n ) arctannnn 11.2 Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della serie Xn senx 2n2 xnn 1.1.3 Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della serie Xncosx xn 21 n2n 1.1.4 Studiare la convergenza puntuale e uniforme della serie Xn 11 x2n narctg.nx2n1.5 Studiare la convergenza puntuale e uniforme della serie X sen x n n log 1 1 xnn 1 quando x 0.1.6 Determinare gli α 0 tali che la serie Xn 1xαx n2

converga puntualmente in [0, ).Verificare che per α 2 la serie converge uniformemente in [0, ).1.7 Studiare la convergenza puntuale e uniforme della serie Xn 11.8 Calcolare:Zxn x nsennn limn n.1n2 x2dx .2 arctan1 xnx21.9 Studiare la convergenza puntuale e uniforme della serie Xnn(xn 1 e1.10 Data la funzionef (x) Xn 12 x 2). n x,1 cosnmostrare chei) f è continua in [ 1, 1]ii) f è di classe C 2 in ( 1, 1)iii) f ha un minimo assoluto in 0.1.11 Studiare la convergenza della serie X1 x 1 cos nnn 11.12 Studiare la convergenza puntuale e uniforme della serie hXn 1senxnxn i log 1 nnquando x [ 1, [.1.13 Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della serie Xn senx 2.2 nnxn 1

1.14 Studiare la convergenza puntuale e uniforme della serie x n X1xn arctg .arctg 33nn log2 nlog2 nn 21.15 Studiare la convergenza puntuale e uniforme della serie Xn2 e nxn 1e calcolarne la somma.1.16 Studiare la convergenza puntuale e uniforme della serie Xx 111 cos .nn2 x4n 11.17 Studiare la convergenza puntuale e la convergenza uniforme della successione difunzioni:αe n x fn (x) (1 nx2 )nal variare del parametro positivo α.1.18 Studiare la convergenza puntuale e uniforme nell’intervallo [0, π2 ) della serie Xn 1tan x x tan ln 1 .nn1.19 Studiare la convergenza puntuale e uniforme della serie Xxnnπn sen arctg n .nx2n 1Detta S(x) la somma della serie, calcolarne il limite per x 0 (se esiste).1.20 Provare che la seguente serie di funzioni converge uniformemente su IR: Xnx sin4 x.3 x 31 nn 0

1.21 Studiare la convergenza puntuale e la convergenza uniforme della seguente serie: n1log x Xn.2x n2n 11.22 Studiare la convergenza puntuale e uniforme della serie Xxn log 1 n 11 n2xal variare di x IR.1.23 Provare che la seguente serie di funzioni converge uniformemente su ogni intervallolimitato: Z x Xn2 dtxn arctan .2 sin2 n t2nn0n 1(Suggerimento: si scriva l’arcotangente come un integrale)1.24 Mostrare che, fissato α 2, la serie Xn 1xαx n2converge uniformemente in [0, ).1.25 Provare che la seguente serie di funzioni converge uniformemente su [1, ):Z Xln x n 1x1 n dt .n2 t2 cos2 t1.26 Discutere il comportamento della serie Xπ 2 arctg nn2x x2nn 1al variare di x IR.1.27 Studiare la convergenza della serie Xxn.2nn xn 1

2. Serie di Potenze2.1 Calcolare l’insieme di convergenza e la somma della serie Xx2nn 1n 12.2 Calcolare, utilizzando la formula di Taylor,1Z0sin2 xdxx2a meno di 1/100 .2.3 Sia f (x) sen(x3 )log(1 x2 ). Utilizzando gli sviluppi in serie notevoli calcolaref (11) (0).2.4 Calcolare l’intervallo di convergenza e la somma della serie Xxn.n(n 1)n 12.5 Calcolare la somma della serie Xxn, dove k 0n(n k)n 12.6 Studiare la convergenza e calcolare la somma della serie Xx2nn 1n 12.7 Discutere la convergenza della serie Xxnn(n 2)n 1e calcolare la somma della serie.2.8 Calcolare il seguente integrale a meno di 1/100 (può essere utile ricordare che n! 2nper ogni n 2):Z 1 xe 1 dx .x0

2.9 Data f (x) x3 sen2 x, calcolare f (9) (0).3. Continuità e differenziabilità3.1 Data la funzione f : IR2 IR definita da (x2 y 4 ) ) π 2 arccos(1 e22α(x y )f (x, y) 0se (x, y) 6 (0, 0)se (x, y) (0, 0),con α IR, si chiede di:(i) trovare gli α tali che f è continua in IR2 ;(ii) trovare gli α tali che f è differenziabile in IR2 .3.2 Data la funzione y ) xy log( x p2x y2f (x, y) 0se (x, y) 6 (0, 0)se (x, y) (0, 0),studiarne la continuità e differenziabilità.3.3 Sia f : IR2 IR la funzione definita daf (x, y) x2e x e yse y 6 x 0altrimenti.(i) Studiare il segno di f ;(ii) Studiare la continuità e la differenziabilità di f ;(iii) dire se (0, 100) è un punto di massimo relativo.3.4 Data la funzione f : IR2 IR definita da α x y se (x, y) 6 (0, 0)f (x, y) x2 y 2 0se (x, y) (0, 0),con α 0, si chiede di:(i) trovare gli α tali che f è continua in IR2 ;

(ii) trovare gli α tali che f è differenziabile in IR2 .3.5 Data la funzione f : IR2 IR, definita da x 2x y se (x, y) (0, ) (0, )x yf (x, y) 0altrimenti,si chiede:(a) studiare la continuità di f in IR2 ;(b) studiare la differenziabilità di f in IR2 .3.6 Data la funzione 33 e x 2y 1pf (x, y) x2 y 2 0se (x, y) 6 (0, 0)se (x, y) (0, 0)(a) mostrare che f (x, y) è continua in (0, 0) e calcolare fx e fy in (0, 0) ;(b) f è differenziabile in (0, 0) ?3.7 Data la funzione ln(1p x3 x2 y)f (x, y) x2 y 2 0se (x, y) 6 (0, 0)se (x, y) (0, 0)(a) mostrare che f (x, y) è continua in (0, 0) e calcolare fx e fy in (0, 0) ;(b) f è differenziabile in (0, 0) ?3.8 Data la funzione 5 3 ex y 142f (x, y) x y0se (x, y) 6 (0, 0)se (x, y) (0, 0)mostrare che(i) f (x, y) è continua in (0, 0) ;(ii) f è dotata di derivate parziali in ogni direzione uscente dall’origine, ma non è differenziabile nell’origine.3.9 Data la funzione f : IR2 IR definita da α 2 p x yf (x, y) x6 2y 6 0se (x, y) 6 (0, 0)se (x, y) (0, 0),

con α 0, si chiede di:( i) trovare gli α tali che f è continua in IR2 ;( ii) trovare gli α tali che f è differenziabile in IR2 .3.10 Data la funzione 35 log(1 x y )f (x, y) x2 5x2 y 2 y 4 0se (x, y) 6 (0, 0)se (x, y) (0, 0)mostrare che f(i) è continua nell’origine;(ii) è dotata di derivate parziali in ogni direzione uscente dall’origine;(iii) non è differenziabile nell’origine.3.11 Data la funzionef (x, y) p sin2 (x y) xy 2x y20se (x, y) 6 (0, 0),se (x, y) (0, 0),discutere: (a) la continuità di f in (0, 0); (b) l’esistenza delle derivate parziali in (0, 0); (c)la differenziabilità in (0, 0).3.12 Data la funzione 823 2 x (x y )x4 y 6f (x, y) 1per (x, y) 6 (0, 0)per (x, y) (0, 0) ,discutere in (0, 0): la continuità d f , l’esistenza delle derivate direzionali, la differenziabilità.3.13 Data la funzione 823 2 x (x y )x4 y 6f (x, y) 1per (x, y) 6 (0, 0)per (x, y) (0, 0) ,discutere in (0, 0): la continuità di f , l’esistenza delle derivate direzionali, la differenziabilità.3.14 Data la funzione y 3 x1/3 (x y)f (x, y) x2 y 4 0se (x, y) 6 (0, 0),se (x, y) (0, 0),

studiare:- la continuità di f ;- l’esistenza delle derivate direzionali;- la differenziabilità .3.15 Sia f la funzione definita da 3 24 x (x y )x4 y 2f (x, y) 0se (x, y) 6 (0, 0)se (x, y) (0, 0).(i) Provare che f è continua nell’origine.(ii) Calcolare fx (0, 0) e fy (0, 0).(iii) Mostrare che f non è differenziabile nell’origine.3.16 Data la funzione 2 x1 p exp42 x2 y 2f (x, y) p x2 y 2 0se (x, y) 6 (0, 0)se (x, y) (0, 0)verificare che è continua in (0, 0);calcolare le derivate parziali nell’origine;provare che è differenziabile nell’origine.3.17 Data la funzione f (x, y) x log y 20se y 6 0se y 0,(a) studiare la continuità di f in IR2 ;(b) trovare gli insiemi di positività, negatività e gli zeri di f ;(c) dire se è vera o falsa la seguente affermazione:lim f (γ1 (t), γ2 (t)) 0,t 0dove γ1 , γ2 : [0, 1] IR sono polinomi tali chelim γ1 (t) lim γ2 (t) 0.t 0t 03.18 Data la funzione 33 e x 2y 1pf (x, y) x2 y 2 0se (x, y) 6 (0, 0) ,se (x, y) (0, 0)

(a) calcolare fx e fy in (0, 0) ;(b) f è continua in (0, 0) ? è differenziabile in (0, 0) ?4. Massimi e Minimi4.1 Data la funzione f (x, y) x2 x sen 2 y, determinarne massimo e minimo assoluti nelrettangolo [ 2, 2] [0, 2].4.2 Determinare il massimo e il minimo assoluti della funzione f (x, y) x2 y 2 y nelcerchio di centro (1/2, 0) e raggio 1.4.3 Determinare il massimo e il minimo assoluti della funzionef (x, y) xy e x2 y 2nel cerchio C di centro (0, 0) e raggio 1.4.4 Determinare il massimo e il minimo assoluti della funzionef (x, y) (x2 y 2 ) e xynel triangolo T di vertici (0, 0), (1, 0), (0, 1).4.5 Determinare massimo e minimo assoluti della funzionef (x, y) 2 xye x2 y 2al variare di (x, y) nel cerchio chiuso di centro l’origine e raggio 2.4.6 Determinare, se esistono, massimi e minimi assoluti della funzionef (x, y) sin( π2 xy 4 )p.1 1 x2 y 44.7 Sia f : IR2 IR la funzionef (x, y) p22 x y e (x y ) .Calcolare i massimi e minimi relativi e assoluti di f in IR2 .

4.8 Data la funzionef (x, y) 1 xy 2,1 x2determinare i massimi e minimi relativi ed assoluti di f inD {(x, y) IR2 : 1 x 1, 1 y 1}.4.9 Data la funzione10 x2 y 2 2 2e x ydire se ammette massimo o minimo assoluto in tutto il piano e in caso affermativo determinarlo.f (x, y) 4.10 Determinare massimo e minimo assoluti della funzione f (x, y) x2 y nella coronacircolare di centro l’origine e raggi 1 e 2.4.11 Determinare minimo e massimo assoluto nel quadrato [0, π/2] [0, π/2] della funzionef (x, y) (sen x cos y)(sen x cos y)2 .4.12 Determinare massimi e minimi assoluti della funzionep3 x2 y 2f (x, y) x y enel settore circolare C {(x, y) : 0 x 3, y x, x2 y 2 9}.4.13 Si trovino estremi relativi e assoluti della funzionef (x, y) ex2 y 2(x4 y 4 )nel cerchio di centro l’origine e raggio 2.4.14 Determinare il massimo ed il minimo assoluti della funzionef (x, y) (x y)2 (x y)nell’insieme D {(x, y) IR2 : x2 y 2 1 , x y 0} .4.15 Determinare massimo e minimo assoluto della funzionex2 z e ynella palla di centro (0, 0, 0) e raggio 1.2 z 2

4.16 Trovare (se esistono) il massimo e il minimo assoluti nel piano della funzionef (x, y) 2 x2 y 2 p .exp 4 x2 y 24.17 Determinare il massimo e il minimo assoluti della funzionepf (x, y) exy x2 y 2nel cerchio di centro l’origine e raggio 2.4.18 Determinare il massimo e il minimo assoluti della funzione2 2pf (x, y) e x y x2 y 2nel cerchio di centro l’origine e raggio 2.4.19 Determinare massimi e minimi assoluti della funzione x 2 e x y se (x, y) 6 (0, 0)f (x, y) x2 y 2 0se (x, y) (0, 0).nel quadrato [0, 1] [0, 1].4.20 Trovare massimo e minimo assoluti della funzione 2 x1 p exp42 x2 y 2f (x, y) pse (x, y) 6 (0, 0) x2 y 2 0se (x, y) (0, 0)nel cerchio (chiuso) di centro l’origine e raggio 1.4.21 Calcolare minimo e massimo assoluto della funzione 2 2f (x, y) (2x 3) e x ynel cerchio di centro (0, 0) e raggio 1.(Fac.: mostrare che l’origine è un estremo relativo per f )4.22 Trovare estremi relativi ed assoluti nel piano della funzionef (x, y) 5 (x sin y)3 (x sin y) .

4.23 Determinare massimo e minimo assoluti della funzione f (x, y) x4 y 4 x2 y 2 alvariare di (x, y) nel cerchio chiuso di centro l’origine e raggio 1.4.24 Data la funzione100 x2 y 2 2 2 ,e x yf (x, y) calcolarne gli eventuali massimi e minimi in tutto IR2 .4.25 Trovare, se esistono, massimi e minimi, relativi e assoluti, della funzione no 22f (x, y) arcsin max 1, ex 2y 2(x 2y) 1 2nel suo insieme di definizione.5. Derivazione sotto il segno di integrale5.1 Studiare la monotonia della funzionex2Z2 2exF (x) tdt .06. Equazioni Differenziali6.1 Determinare l’integrale generale dell’equazioney 00 y cos x.(1 sin2 x)6.2 Al variare del parametro reale β, determinare l’integrale generale dell’equazioney 00 2βy 0 β 2 y e 2x ,e individuare tutte le soluzioni tali chelim y(x) 0.x

6.3 Risolvere il seguente problema di Cauchy 02y 2xy y 2x y2 y(1) 1 .6.4Risolvere il seguente problema di Cauchy y 00 21 (y x)2y(0) 3 y 0 (0) 4 .6.5 Mostrare che le soluzioni del problema di Cauchy y 00 (x y 0 )2y(0) α, y 0 (0) 0hanno tutte un minimo relativo in 0. E’ possibile dimostrare cio’ senza risolvere esplicitamente l’equazione?6.6 Integrare l’equazione(y ln x 2)y xy 0e discutere la sommabilità in (0, ) delle soluzioni.6.7 Integrare l’equazione3y 2 y 0 y 3 x 1 0e determinare l’unica curva integrale che tocca l’asse delle x in un sol punto.6.8 Determinare la soluzione del seguente problema di Cauchy 2 xy 0 y xyx2 y 2 y(1) 1 .6.9 Determinare la soluzione del seguente problema di Cauchy (1 x2 )y 00 y 02 1 0 y(0) 0 y 0 (0) 16.10 Trovare tutte le soluzioni dell’equazione0ey e yy 1 x2000.

Dedurre direttamente dall’equazione che le soluzioni y(x) tali che y 0 (0) 0 hanno in 0minimo assoluto.6.11 Risolvere il seguente problema di Cauchy y 001 y2[1 (y 0 )2 ]3/2 y(0) 1, y 0 (0) 06.12 Determinare tutte le funzioni y(x) tali che y(1 logy)y 00 (1 logy)y 0 2 0y(0) 16.13 Risolvere il seguente problema di Cauchy 0y 2y y 2 sen2 x 0y(0) 16.14 Determinare le soluzioni del seguente problema di Cauchy xy 00 2x3 (y 0 )2 y 0 0 y(0) 0 , y 0 (0) 0(Fac. Senza risolvere esplicitamente l’equazione provare che tutte le sue soluzioni sonofunzioni pari)6.15 Determinare le soluzioni dell’equazione differenzialey 00 3y 0 2y 1.1 e x6.16 Determinare la soluzione del seguente problema di Cauchy 2y 0 y 00 (1 y 02 )2 0y(0) 0, y 0 (0) 1 .6.17 Dare una formula risolutiva per l’equazioney 00 y 11 x2

e mostrare che esiste una soluzione y(x) tale chelim y(x) 0x .6.18 Determinare la soluzione del seguente problema di Cauchy 1 y 00 4y sen 2x 1 y(0) 0 y 0 (0) 0e verificare che ha un minimo relativo in 0.6.19 Integrare l’equazione(y ln x 2)y xy 0e discutere la sommabilità in (0, ) delle soluzioni.6.20 Dire per quali valori del parametro α IR la soluzione del problema di Cauchy xy 0 x log x(log x 1)y 2 y 0 y(1) αè definita per ogni x 0 ed è sommabile in (0, ).6.21 Determinare la soluzione del seguente problema di Cauchy y 00 y p(y 0 )2 (y 00 )2 y(0) 0 y 0 (0) 16.22 La soluzione del problema di Cauchy 22 xy 0 y y xy y(1) 0 ,è una curva chiusa γ. Detta D la regione del semipiano x 0 racchiusa da γ, calcolare ilbaricentro di D.6.23 Dato il problema di Cauchy y 0 2x y (1 x2 )1 α y 1 α ,1 x2 y(0) 1 ,

determinare i valori di α 0 per i quali la soluzione ammette limite finito per x .6.24 Si risolva il problema di Cauchy y 3 y 00 ey (y 2)y(0) 1 0y (0) 2ee si calcoli il limite, per x , della soluzione.6.25 Risolvere il seguente problema di Cauchy: y 00 y 02 cos2 y cos y sen y y 0 (0) 1 .y(0) 0,6.26 Si risolva il problema di Cauchy 2y 3/2 y 00 1 (y 0 )2 3/2 2 y(0)y 0 (0) 1 .6.27 Determinare le funzioni y(x) : [0, [ [0, [ tali che l’area della superficieottenuta ruotando il grafico di y in [0, x] di un angolo di 2π intorno all’asse delle x sia paria πx.6.28 Risolvere il seguente problema ai limiti 2 004 x 4x3 e x x y 2y x e y(1) 0lim y(x) 0x 6.29 Sia f : IR IR una funzione continua, pari, sommabile, verificante Zf (x) cos x dx 0 .06.30 Mostrare che l’equazione differenzialey 00 (x) y(x) f (x)ammette un’unica soluzione infinitesima per x .

6.31 Disegnare l’andamento delle soluzioni del problema di Cauchy 0y (y x)ey sin yy(0) αal variare di α IR. Calcolare, se esistono, i limiti di tali soluzioni a .Suggerimento: si trovino subito le soluzioni costanti.6.32 Determinare tutte le soluzioni dell’equazione differenziale log2 x000xy 2y y e 3 .x6.33 Risolvere il seguente problema di Cauchy y 001 3 y20 2 2 [1 (y ) ]y(0) 1 ,y 0 (0) 06.34 Si risolva il problema di Cauchy 000 20 3 yy (y ) y(y ) 0y(0) e y 0 (0) 1eMostrare che la soluzione, che è definita per ogni x 0, è una funzione crescente e concava,e chey(x)1y(x)lim 0 , α .limαx x x2x6.35 Determinare la soluzione del seguente problema di Cauchy 00 0y y 2 sen 2x y(π) 0 0y (π) 0 .6.36 Determinare la soluzione del seguente problema di Cauchy 22 xy 0 y x yy y(1) 1 .

6.37 Risolvere il seguente problema di Cauchy: 4x3 4x2 y xy 2 y 3 0y x(y 2 4x2 ) y(2) 2 .6.38 Risolvere il seguente problema di Cauchy: 0 000xy y(1 xy ) 0 y(e) 0 y 0 (e) 4 .e6.39 Risolvere il seguente problema di Cauchy: y 3 y 00 e y (y 2)y(0) 1 0y (0) 2 e .6.40 Risolvere il seguente problema di Cauchy y 00 y 0 2 3 xxy(1) 1 0y (1) 07. Curve e Forme Differenziali7.1 CalcolareZxy dx y dy, Ddove D è il dominio del piano delimitato dalla parabola y x2 , dal semiasse delle y positivee dalla retta y 1, contenuto nel I quadrante.7.2 Dopo aver riconosciuto che la regione di piano racchiusa dalla curva di equazione(x2 y 2 )2 xy è simmetrica rispetto all’origine, calcolarne l’area.7.3 Sia γ l’arco della curva di equazione implicita (x2 y 2 )2 x2 y 0 contenuto nelprimo quadrante. Calcolare l’area della porzione di piano racchiusa da γ.

7.4 Calcolare la lunghezza della curva di equazione polare % cos2 ϑ, π/2 ϑ π/2.7.5 Data la forma differenzialeω 2x(y 1)ex2 y 2dx yex y Zcalcolareω, dove γ è l’ellisse di equazioneγx2x y2 dy,x2 y 2 1, percorsa in senso antiorario.47.6 Sia γ {(x, y) IR2 : x 0, (x2 y 2 )2 xy 0}. Si calcoli l’area della superficieottenuta ruotando γ di un giro completo intorno all’asse x.7.7 Determinare una funzione b(x, y) tale che la forma differenzialeω logp1 (x2 y 2 ) dx b(x, y) dyZrisulti esatta nel suo insieme di definizione. Calcolare poiω dove γ è una curva, con 1 1tenuta nell’insieme di definizione di ω, che connette i punti (0, 0) e,.2 2γ7.8 Data la forma differenzialei1xyx222 log(1 x y)dx dy ,221 x y21 x2 y 2Zsi verifichi che la forma è esatta. Calcolare poiω dove γ è una curva, contenutaγ 1 1nell’insieme di definizione di ω, che connette i punti (0, 0) e,.2 2ω h7.9 Calcolare il baricentro della curva γ di equazione γ(t) (cos3 t, sen3 t), t [0, π/2].7.10 Calcolare la primitiva dixzyzx2 y 2dx dy dz(1 x2 )2(1 y 2 )22(1 x2 y 2 x2 y 2 )che vale 1 in (1, 1, 1).7.11 Data la forma differenzialez2dyzdz ,22 dx y 2x(x z )x z2

mostrare che è esatta e calcolarne la primitiva che vale 0 in (1, 1, 1)7.12 Dire per quali funzioni Y (x, y) di classe C 1 in IR2 \ {(0, 0)} la forma differenzialexdx Y (x, y)dy y2x2risulta esatta in IR2 \ {(0, 0)} .1) La forma differenzialey 2 z 2 yz 1xz(y 2 z 2 1)xy(z 2 y 2 1dx dy dzy2 z2 1(y 2 z 2 1)2(y 2 z 2 1)2è esatta. Determinarne la primitiva che vale zero in (1, 1, 1).7.13 Calcolare l’integrale della forma differenziale xyω xy dx dy221 x y1 x2 y 2lungo la curvay x2 log x ,x (0, 1) .Suggerimento: si ‘spezzi’ la forma differenziale in modo opportuno.7.14 Sia E F \ (E1 E2 ), dove F è il semicerchiox2 y 2 1 ,y 0,E1 è il cerchio di raggio 1 e centro (1, 0), e E2 è il cerchio di raggio 1 e centro ( 1, 0). Sicalcoli il baricentro del bordo di E.7.15 CalcolareZxy dx y dy , Ddove D è il dominio del piano delimitato dalla parabola y x2 , dal semiasse delle y positivee dalla retta y 1, contenuto nel primo quadrante.7.16 CalcolareZx dx y dy ,γdove γ è la spirale di equazione polare % e ϑ , ϑ 0, orientata in senso antiorario.7.17 Calcolare il baricentro della cardioide di equazione polare % 1 cos ϑ, ϑ [0, 2, π].

7.18 Sia γ la curva di equazioni parametriche (t 1)2 x(t) e y(t) t [0, 2] .12t t 1Disegnare γ e calcolareZsen2 x log(xy)dx x sen x cos x 2yγdy .8. Integrali Doppi8.1 Dato α (0, 12 ) si ponga22ZZ2Dα {(x, y) IR : x y 0, x y 1, x α},Iα Dα(x2yα dxdy . y2 ) 2Calcolare il valore di Iα e il limite lim I

Esercizi di Analisi 2 Nicola Fusco (Dipartimento di Matematica e Applicazioni, Universit a ‘Federico II’, Napoli) 1. Successioni e Serie di Funzioni 1.1 Al variare di 2IR studiare la convergenza della serie X1 n 1 (p n 2 n) arctan 1 n log 1 1 n : 1.2 Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della serie X1 n 1 p n senx n2xn 2:

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