Notas Em Matem Atica Aplicada 14

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Notas em Matemática Aplicada14Editado porEliana X.L. de AndradeUniversidade Estadual Paulista - UNESPSão José do Rio Preto, SP, BrasilRubens SampaioPontifı́cia Universidade Católica do Rio de JaneiroRio de janeiro, RJ, BrasilGeraldo N. SilvaUniversidade Estadual Paulista - UNESPSão José do Rio Preto, SP, BrasilSociedade Brasileira de Matemática Aplicada e Computacional

Notas em Matemática Aplicada1. Restauração de Imagens com Aplicações em Biologia e EngenhariaGeraldo Cidade, Antônio Silva Neto e Nilson Costa Roberty2. Fundamentos, Potencialidades e Aplicações de Algoritmos EvolutivosLeandro dos Santos Coelho3. Modelos Matemáticos e Métodos Numéricos em Águas SubterrâneasEdson Wendlander4. Métodos Numéricos para Equações Diferenciais ParciaisMaria Cristina de Castro Cunha e Maria Amélia Novais Schleicher5. Modelagem em BiomatematicaJoyce da Silva Bevilacqua, Marat Rafikov e Cláudia de Lello CourtoukeGuedes6. Métodos de Otimização Randômica: algoritmos genéticos e “simulatedannealing”Sezimária F. Pereira Saramago7. “Matemática Aplicada à Fisiologia e Epidemiologia”H.M. Yang, R. Sampaio e A. Sri Ranga

iii8. Computação QuânticaRenato Portugal, Carlile Campos Lavor, Luiz Mariano Carvalho eNelson Maculan Filho9. Aplicações de Análise Fatorial de Correspondência para Análise de Dados10. Modelos Matemáticos baseados em automatas celulares paraGeoprocessamentoMarilton Aguiar, Fábia Amorim da Costa, Graçaliz Pereira Dimuro eAntônio Carlos da Rocha Costa11. Computabilidade: os limites da ComputaçãoRegivan Santiago e Benjamı́n René Callejas12. Modelagem Multiescala em Materiais e EstruturasFernando Rochinha13. Modelagem em Biomatemática1 - “Modelagem de distribuição de espécies”2 - “Redes complexas e aplicações nas Ciências”3 - “Possı́veis nı́veis de complexidade na modelagem de sistemas biológicos”Coraci Malta, 1 - Rafael Luis Fonseca, 2 - Jose Carlos Mombach e 3 Henrique Lenzi14. A lógica na construção dos argumentosAngela Cruz e José Eduardo Moura

A LÓGICA NA CONSTRUÇÃO DOSARGUMENTOSAngela Cruz - UFRNangela@ufrnet.brJosé Eduardo Moura - UFRNjemoura@ufrnet.brSociedade Brasileira de Matemática Aplicada e ComputacionalSão Carlos - SP, Brasil2004

vCoordenação Editorial: Geraldo Nunes SilvaCoordenação Editorial da Série: Geraldo Nunes SilvaEditora: SBMACImpresso na Gráfica:Capa: Matheus Botossi TrindadePatrocı́nio: SBMACCopyright c 2004 by Angela CruzDireitos reservados, 2004 pela SBMAC. A publicação nesta série não impede o autorde publicar parte ou a totalidade da obra por outra editora, em qualquer meio, desdeque faça citação à edição original.Catalogação elaborada pela Biblioteca do IBILCE/UNESP.Cruz, Angela; Moura, José Eduardo de AlmeidaA lógica na construção dos argumentos - São Carlos, SP : SBMAC, 2004(?), 59 p. - (Notas em Matemática Aplicada; 14)ISBN1. Pensamento racional. 2. Análise de argumentos. 3. Discurso.4. Regras de inferência e demonstração de validade. I. Cruz, Angela. II. Tı́tulo. III. SérieAMS 94A08/68U10

PrefácioPara a tradição ocidental, o pensamento racional se constrói a partir de cânones propostos desde a antiguidade (por Aristóteles, por exemplo, no livro IV da Metafı́sica)e discutidos na contemporaneidade por Brouwer, Lukasiewicz e outros lógicos, denominados de princı́pios da não-contradição, do terceiro excluı́do e da identidade.Com base nesses princı́pios se construiu a lógica clássica. O pensamento, quandoexpresso através de linguagens - do senso comum ou da ciência -, pode se traduzirem um discurso logicamente correto caso se preserve determinada estrutura lógica.Neste trabalho, pretende-se apresentar princı́pios e regras de inferência da lógicaclássica úteis à análise e à construção de argumentos e, com isto, distinguir asnoções de argumentação e demonstração (de validade).Trata-se de um tema que tem suscitado interesse em vários domı́nios da ciência edo seu ensino. Para ilustrar, cita-se alguns casos de solicitações de cursos de graduação e pós-graduação: a) na Biblioteconomia, visando propiciar condições formaispara a extração e organização das informações; b) no Direito, com preocupaçõessobre formas logicamente corretas de argumentação e sobre a modelagem lógicados discursos normativos; e, c) na Matemática para garantir o rigor formal mas,também, com o objetivo de tornar essa ciência mais compreensı́vel a partir daexplicitação de propriedades matemáticas e de regras de inferências subjacentes aosseus teoremas.O conteúdo necessário para alcançar o objetivo delineado está distribuı́do emcinco capı́tulos. O texto não é exaustivo, ou seja, tem-se consciência de que ele nãoesgota todas as explicações dos conceitos envolvidos na temática. No entanto, oscapı́tulos trazem a discussão dos aspectos mais relevantes da lógica na construçãodos argumentos. Portanto, entende-se que esse texto pode servir a alunos de graduação, de pós-graduação e professores interessados na explicitação da estruturalógica dos discursos.Angela Maria Paiva CruzJosé Eduardo de Almeida Mouravi

AgradecimentosAgradecemos aos alunos dos cursos de Lógica que propiciam a discussão sobreo assunto, com suas dúvidas e aos colegas da Base de Pesquisa “Lógica, Conhecimento e Educação” da UFRN, sempre disponı́veis a contribuir para a construção edisseminação do conhecimento.vii

viii

Conteúdo1 PRINCÍPIOS DO PENSAMENTO RACIONAL1.1 O PENSAMENTO RACIONAL . . . . . . . . . .1.1.1 Provar, argumentar, demonstrar . . . . . .1.1.2 Silogismos Categóricos . . . . . . . . . . . .1.1.3 Formas válidas do silogismo categórico . . .1.1.4 Formas válidas adicionais (ANTIGAS) . . .1.2 O MODELO ARISTOTÉLICO . . . . . . . . . . .1.3 OS PRINCÍPIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 PENSAMENTO versus LINGUAGEM3 FORMAS DE ARGUMENTAÇÃO: DEDUÇÃO E3.1 Principais formas de argumentação . . . . . . . . . .3.1.1 Indução por enumeração . . . . . . . . . . . .3.1.2 Indução por analogia . . . . . . . . . . . . . .3.1.3 Indução por eliminação . . . . . . . . . . . .3.2 Análise de argumentos por enumeração e analogia .1115678811.1414161820234 LINGUAGEM E LÓGICA FORMAL4.1 LINGUAGEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2 REGRAS DE INFERÊNCIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2.1 Aspectos semânticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .252527365 ARGUMENTAÇÃO E DEMONSTRAÇÃO DE VALIDADE42BibliografiaINDUÇÃO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50

Capı́tulo 1PRINCÍPIOS DOPENSAMENTORACIONAL1.1O PENSAMENTO RACIONALFalar do pensamento racional remete a Aristóteles, filósofo da antiguidade que emsua obra denominada Metafı́sica se pergunta sobre a possibilidade de uma ciênciaque explique as causas primeiras das coisas. Nos Livros IV e VI desta obra e nosSegundos Analı́ticos ele afirma que cabe à Filosofia essa tarefa, e exige também destao estabelecimento dos princı́pios da demonstração (Metafı́sica, Livro IV, 1003b 15),segundo os quais uma explicação racional verdadeira deve ser construı́da.Ele estabelece ainda (Livro IV) que a Filosofia investiga as causas mais geraise necessárias, enquanto as ciências particulares (tais como a matemática, a fı́sica)tratam das causas distintas e menos gerais, sem questionarem os princı́pios ou axiomas estabelecidos pela primeira, porém seguindo-os com vistas à obtenção dedemonstrações logicamente corretas (Metafı́sica, Livro IV, 1005a 25, 30). Portanto,é a Filosofia que apresenta o modelo do pensamento racional.1.1.1Provar, argumentar, demonstrarA preocupação de Aristóteles com a ciência (a filosofia) foi muito além da apresentação e discussão de seus princı́pios constitutivos. Ele investigou e resolveu problemas metodológicos da mais variada natureza e, sistematizando os procedimentosde prova (apresentração das razões (justificativas)) das “verdades” propostas, construiu as bases de duas grandes áreas atuais de investigação. De sua obra nascem, deum lado, a lógica, que estuda exaustivamente os mecanismos e formas de demonstração, e do outro, a retórica, que estuda e estabelece os mecanismos e as formasde argumentação.

1.1. O PENSAMENTO RACIONAL2No discurso comum, provar, argumentar e demonstrar são usados com muitose variados significados. O uso do dia-a-dia, impreciso por sua própria natureza,não gera confusão ou desentendimento. Com a mesma insistência com que se exige“Prove que estou errado!”, se diz que “Esse seu argumento não se sustenta” ou “Nãotem quem consiga demonstar que ele está mentindo”. Os pesquisadores das ciênciashumanas e sociais nada provam, mas argumentam a favor de suas teses. Por sua vez,os fı́sicos e quı́micos não argumentam a favor de seus resultados, mas os demonstramempiricamente. Os matemáticos às vezes provam, outras vezes demonstram.Afinal, há distinções razoáveis entre os significados desses termos? O que seganha com distingui-los e diferenciá-los?Essa questão será tratada, primeiramente, com o olhar voltado para o passado.Na Metafı́sica (Met. 1025b 25), Aristóteles classifica as ciências como:1. ciências teoréticas, que têm como próposito último o conhecimento (a matemática, a fı́sica, a metafı́sica);2. ciências práticas, que visam ao conhecimento da conduta humana (a ética, apolı́tica);3. ciências produtivas, voltados para o conhecimento da construção de objetosúteis e bonitos (a estética).A parte da obra aristotélica reunida sob o tı́tulo Organon estuda questões quenão podem ser incluı́das em nenhuma dessas classes. Com efeito, o que hoje éconhecido como Lógica,não é de fato, de acordo com Aristóteles, uma ciência substantiva, masuma parte da cultura geral que todos deveriam aprender antes de estudar qualquer ciênca, e que sozinha habilitará a saber para que tipos deproposição pede-se prova e que tipos de prova se pediria para elas. (P.A.(De Partibus Animalium) 639a 4; Met. 1005b 3, 1006a 6; E N. (EthicaNicomachea) 1094b 23). (cf. [12], p. 20).Na verdade, Aristóteles não usava a palavra “lógica”, mas “analı́tica” para sereferir ao estudo do raciocı́nio, o conjunto dos conteúdos que estabeleceu no Órganon(como se pronuncia):1. nos Analytica Priora, estabeleceu a teoria do silogismo, exibido em todas assuas formas, sem levar em conta o conteúdo – é esta matéria que pode serchamada de lógica formal ou lógica de consistência;2. nos Analytica Posteriora, aplica a teoria do silogismo para caracterizar o raciocı́nio cientı́fico – é uma lógica interessada na verdade, uma lógica material,cujos conteúdos são, depois, absorvidos pela metodologia e pela filosofia daciência e, mesmo, pela teoria do conhecimento; e3. nos Topica e nos Sophistici Elenchi, riquı́ssimo estudo de raciocı́nios silogisticamente corretos, mas que não satisfazem as condições para serem cientı́ficos.

1.1. O PENSAMENTO RACIONAL3Aristóteles tem, embora não discuta explicitamente a questão, uma claraidéia da diferença entre a lógica e outros estudos com os quais ela temsido muitas vezes identificada ou confundida – gramática, psicologia,metafı́sica. A lógica é, para ele, um estudo não de palavras, mas dopensamento do qual as palavras são signos; do pensamento não comreferência a sua história natural, mas com referência a seu sucesso oufracasso em atingir a verdade; do pensamento não como construindo,mas como apreendendo a natureza das coisas. ([12], p. 21)Os demais livros do Organon, Categoriæ e De Interpretatione estudam os termose as proposições1 . Devem ser considerados como preliminares. De fato, nas ediçõesdo Organon, são os dois primeiros estudos.Categoriæ começa com considerações de fatos lingüı́sticos: distingue “coisas ditassem combinação” de “coisas ditas em combinação” (Cat. Ia 16), para tratar determos e conceitos. As “palavras não combinadas” significam uma ou outra dasseguintes coisas (Cat. Ib 25):1. substância (ex. ‘homem’)2. quantidade (ex. ‘dois cúbitos de comprimento’)3. qualidade (ex. ‘branco’)4. relação (ex. ‘dobro’)5. lugar (ex. ‘no Liceu’)6. data (ex. ‘ontem’)7. postura (ex. ‘senta’)8. posse (ex. ‘está calçado’)9. ação (ex. ‘corta’)10. passividade (ex. ‘é cortado’)Essa lista aparece em quase todos os trabalhos, e a doutrina é sempre tratadacomo algo já estabelecido. É claro que Aristóteles estudou distinções lingüı́sticas,mas não há lista de partes do discurso que sirva como base para as categorias (coisasque a gramática distingue, as categorias juntam e categorias distinguem coisas quea gramática junta (Cat. 6b6-11, 8a17-28)), as únicas partes do discurso que eledistingue são o nome e o verbo (De Int. 2,3).“Categoria” significa “predicado”, mas a primeira categoria, substância, temcomo membros substâncias individuais, que são sempre sujeitos. A substância é acategoria primária: substrato pressuposto por todas as outras.1 No decorrer deste texto as expressões ‘proposição’, ‘enunciado’ e ‘sentença’ são usadas sem seconsiderar os diversos significados que lhes são atribuı́dos. Não cabe, aqui, esta discussão.

1.1. O PENSAMENTO RACIONAL4Estabelecidos os “termos”, o De Interpretatione faz o estudo da proposição comounião ou separação de conceitos conforme a realidade. A “separação” (“divisão”)pode ser vista, também, como união, composição com o conceito negativo. Decorre,daı́, também, uma visão de verdade como correspondência.As proposições são analisadas em nome, que é um som que tem um significadoestabelecido por convenção e não tem referência temporal, e do qual nenhuma partetomada em si tem um significado (De Int. 16a19 s), e verbo, que é aquele que, alémde ter um significado definido como a um nome, tem uma referência temporal eindica algo asserido de algo mais (De Int. 16b6-8, 19-20).Aristóteles reonhece a necessidade de nomes e verbos indefinidos – indefinidosporque podem ser asseridos de todo tipo de coisas, existentes e não-existentes –, ese põe como tarefa principal o estudo das relações de oposição entre as proposiçõesque podem ser construı́das.Porque Aristóteles considera o termo “é” – a cópula –, um elemento distintodo nome (sujeito) e do verbo (predicado) nas proposições, as apresenta na forma‘A é B’ ou ‘B pertence a A’. E classifica-as pela qualidade, como afirmativas ounegativas, e pela quantidade, em universais e particulares.Sobre a natureza da negação, é importante levar em conta o que é dito naMetafı́sica:A negação não é a rejeição de uma afirmação prévia. É a rejeição deuma conexão sugerida, mas é igualmente verdadeiro que a afirmação éa aceitação de uma conexão sugerida (Met. 1017a31-35).Aristóteles, no entanto, não comete o erro de reduzir o negativo ao afirmativo,dizendo que “A não é B” significa “A é não-B”, que é uma afirmação com umpredicado estranho e sem importância.Essas quatro proposições,A Universal Afirmativa: “Todo A é B”, Todo homem é mortal;E Universal Negativa: “Nenhuma A é B”, Nenhum homem é mortal;I Particular Afirmativa: “Algum A é B”, Algum homem é mortal; eO Particular Negativa: “Algum A não é B”, Algum homem não é mortal,vão ser estudadas exaustivamente no Quadrado de Oposições e aı́ serão estabelecidasas inferências imediatas, fundamentais para o processo de transformação conhecidocomo conversão.O Quadrado de Oposições estabelece, basicamente, o seguinte:1. “Todo A é B” e “Algum A não é B” são contraditórias;2. “Nenhum A é B” e “Algum A é B” são contraditórias;3. “Todo A é B” e “Nenhum A é B” são contrárias;4. “Algum A é B” e “Algum A não é B” são subcontrárias;

51.1. O PENSAMENTO RACIONAL5. “Algum A é B” é subalterna de “Todo A é B”;6. “Algum A não é B” é subalterna de “Nenhum A á B”.As definições seguintes esclarecem o significado dos “termos técnicos” usados noQuadrado:Definição 1 Duas proposições são contraditórias se e somente se não podem serambas verdadeiras, nem podem ser ambas falsas.Definição 2 Duas proposições são contrárias se e somente se não podem ser ambasverdadeiras.Definição 3 Duas proposições são subcontrárias se e somente se não podem serambas falsas.Definição 4 Uma proposição é uma subalterna de outra se e somente se deve serverdadeira se sua “superalterna” é verdadeira e a “superalterna” deve ser falsa sea subalterna é falsa.Definição 5 O termo Sujeito é distribuı́do nas proposições Universais e o termoPredicado é distribuı́do nas proposições Negativas.Usando um “d” junto ao S(ujeito) ou ao P(redicado) para indicar que o termoé distribuı́do, obtém-se a seguinte Tabela de Distribuição:TipoUniversal AfirmativaUniversal NegativaParticular AfirmativaParticular NegativaLetraAEIORepresentaçãoSd A PSd E PdSI PS O PdSentença padrãoTodo A é BNenhum A é BAlgum A é BAlgum A não é Bque se aplica, junto com as regras que serão enunciadas adiante, para a avaliação davalidade do tipo de “raciocı́nio” mais conhecido e estudado: o Silogismo Categórico.1.1.2Silogismos CategóricosO Silogismo Categórico é um tipo de prova (argumento ou demonstração), compostoexatamente por duas premissas e uma conclusão, nas quais ocorrem somente trêstermos distintos.Os termos Sujeito e Predicado da conclusão são chamados, termo menor e termomaior, respectivamente, e as premissas em que eles ocorrem premissa menor epremissa maior. O terceiro termo, que está presente nas premissas e não ocorrena conclusão, é o termo médio, assim chamado por “mediar” a passagem entre osoutros termos, por ter uma “extensão” intermediária.Assim, a validade de qualquer silogismo categórico pode ser determinada pelaaplicação das seguintes Regras de Avaliação:

61.1. O PENSAMENTO RACIONAL1. O termo médio está distribuı́do exatamente uma vez.2. Nenhum termo extremo pode estar distribuı́do apenas uma vez.3. O número de premissas negativas deve ser igual ao número de conclusõesnegativas.Uma observação atenta das possibilidades de combinação das Proposiçoes Categóricas (que são quatro), três a três (duas premissas e uma conclusão), com trêstermos diferentes (um dos quais não ocorre na conclusão), permite constituir grupos caracterizados pela posição desse termo médio, chamados figuras, que são asseguintes:1. 1a figura: o termo médio é sujeito na premissa maior e predicado na menor2. 2a figura: o termo médio é predicado nas duas premissas3. 3a figura: o termo médio é sujeito nas duas premissas4. 4a figura: o termo médio é predicado na premissa maior e sujeito na menorPois bem, das 256 formas possı́veis de silogismo, somente são válidas as seguintes:1.1.31a FIG.a2 FIG.a3 FIG.a4 FIG.Formas válidas do silogismo categóricoMd A PSd A MSd A PMd E PdSd A MSd E P dMd A PS I MS I PMd E PdS I MS O PdPd E MdSd A MSd E P dPd A MSd E M dSd E P dPd E MdS I MS O PdPd A MS O MdS O PdM I PMd A SS I PMd A PM I SS I PM O PdMd A SS O PdMd E PdM I SS O PdPd A MM d E SdSd E P dP I MMd A SS I PPd E MdM I SS O Pd

1.1. O PENSAMENTO RACIONAL1.1.47Formas válidas adicionais (ANTIGAS)3a FIG.Md A PMd A SS I PMd E PdMd A SS O Pd4a FIG.Pd A MMd A SS I PPd E MdMd A SS O Pd– O que valida estas formas estranhas?– A suposição de existência (não-vacuidade do sujeito) das universais.É a partir da teoria do silogismo válido que Aristóteles constrói, por uma lado, aidéia de demonstração, e, por outro, a de argumentação, como se usa hoje.Como somente o silogismo garante que a verdade das premissas se “transmite” para a conclusão, a prova cientı́fica – demonstração – estudada nos SegundosAnalı́ticos é caracterizada como um silogismo cujas premissas são “verdadeiras eprimeiras”, i. e., são evidências que se impõem

explicita c ao de propriedades matem aticas e de regras de infer encias subjacentes aos seus teoremas. O conte udo necess ario para alcan car o objetivo delineado est a distribu do em cinco cap tulos. O texto n ao e exaustivo, ou seja, tem-se consci encia de que ele n ao esgota todas as explica c oes dos conceitos envolvidos na tem atica.

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