Instituto De Matem Tica Pura E Aplicada Mestrado Em M .
Instituto de Matemática Pura e AplicadaMestrado em Métodos Matemáticos em FinançasCalibração do Modelo de Schwartz-Smith comFiltro de KalmanLeonardo Lima da Silva MarottaOrientador: Roberto Imbuzeiro OliveiraCoorientador: Jorge Passamani ZubelliIMPAFevereiro de 2011
Instituto de Matemática Pura e AplicadaMestrado em Métodos Matemáticos em FinançasCalibração do Modelo de Schwartz-Smith com Filtro deKalmanAutor:Leonardo Lima da Silva MarottaOrientador:Roberto Imbuzeiro OliveiraCoorientador:Jorge Passamani ZubelliExaminador:Max Oliveira SouzaIMPAFevereiro de 2011
Dedico este trabalho a minha esposa Michellee aos meus pais, Jorge e Lúcia.i
AgradecimentosGostaria de agradecer .a Deus por me guiar no caminho certo.à minha querida e amada esposa Michelle, por ter me dado incondicional apoio emtodos os momentos difı́ceis.aos meus pais Jorge e Lúcia por todos os conselhos e carinho que tiveram comigodurante todo o tempo.ao professor Zubelli pela paciência, pelas incontáveis dicas e conselhos para o términodeste trabalho.ao professor Roberto Imbuzeiro pelas correções e orientação deste trabalho.aos meus colegas de turma Maristela, Rafael, Daniel, Arthur, Fábio e Henrique porterem compartilhado comigo as alegrias e dificuldades de conciliar trabalho, estudoe famı́lia.ii
ResumoEste trabalho coloca em prática o modelo de Schwartz-Smith para modelagemde preços de commodities e utiliza o filtro de Kalman para obter as componentesnão-observáveis em questão. O processo de otimização utilizado visa maximizar afunção de verossimilhança extraı́da através do método do filtro de Kalman e assimobter os parâmetros ótimos que governam a dinâmica da commodity em estudo. Osdados utilizados são de futuros de Gás Natural, mais especificamente Henry-Hub,que por sua vez após a calibração do modelo, seu preço Spot é utilizado para valorarum opção de adiamento de investimento segundo a teoria de Opções Reais.Palavras-Chave: Schwartz-Smith, Filtro de Kalman, Henry-Hub, OpçõesReais.ii
AbstractThis work puts into practice the Schwartz-Smith model for commodity valuation and uses the Kalman filter method to extract the unobservable components inthe model. The optimization process used tries to maximize the likelihood functionextracted from the Kalman filter and thereby obtain the optimal parameters thatgovern the dynamics of the commodity under study. The data used are futures ofNatural Gas, from Henry Hub. The model, the spot price is used to value an optionto defer investment according to the theory of Real Options.Keywords: Schwartz-Smith, Kalman Filter, Henry-Hub, Real Options.iii
SumárioLista de FigurasviLista de Tabelasvii1 Introdução11.1Mercado de Gás Natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21.2Estrutura da Dissertação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42 Revisão Bibliográfica53 Revisão Teórica123.1Probabilidade e Cálculo Estocástico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2Apreçamento Neutro ao Risco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.3Método de Euler-Maruyama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.3.13.4Convergência do Método de Euler-Maruyama . . . . . . . . . 20Filtro de Kalman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 Modelo de Schwartz-Smith264.1Modelo na Medida Fı́sica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.2Modelo na Medida Neutra ao Risco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.3Valorando Contratos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 Resultados33iv
5.1Pré-Processamento dos Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.2Simulação Henry-Hub. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.2.1Simulação dos Processos χt e ξt . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.2.2Simulação dos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.3Filtragem de Kalman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.4Calibragem do Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.5Aplicação para Opções Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456 Conclusão49Referências51Apêndice A -- Distribuição Log-Normal53Apêndice B -- Distribuição conjunta de χt e ξt54Apêndice C -- Figuras56Anexo A -- Códigos59A.1 Arquivo simChiXi2.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59A.2 Arquivo simSSfutPrices.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59A.3 Arquivo inicialsimSSfutPrices2.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60A.4 Arquivo testKalman.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61A.5 Arquivo logLikeGrad.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62A.6 Arquivo optmizeParamGrad.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64A.7 Arquivo SSSpotSim.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66A.8 Arquivo AmOptLSM.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66v
Lista de Figuras1Cadeia de Suprimento do LNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2Formato dos dados antes da rolagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343Formato dos dados depois da rolagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344Dados do Henry Hub após o pré-processamento . . . . . . . . . . . . 355Tempo ao Vencimento (τ ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366Realização dos processos χt e ξt com 1000 amostras . . . . . . . . . . 377Realização dos processos χt e ξt com 10000 amostras . . . . . . . . . 388Superfı́cie de A(τ ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399Preços Simulados para 24 maturidades e 1200 amostras . . . . . . . . 3910Preços Simulados vs Preços pós Filtragem de Kalman . . . . . . . . . 4111Valor da Opção vs Taxa de Juros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4712Valor da Opção vs Valor do Investimento . . . . . . . . . . . . . . . . 4813Média do Processo χt com 1000 simulações e 10000 amostras . . . . . 5614Média do Processo ξt com 1000 simulações e 10000 amostras . . . . . 5615Variância do Processo χt com 1000 simulações e 10000 amostras . . . 5716Variância do Processo ξt com 1000 simulações e 10000 amostras . . . 5717Covariância dos Processos χt e ξt com 1000 simulações e 10000 amostras 58vi3
Lista de Tabelas1Parâmetros para Simulação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372Testes para o Filtro de Kalman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423Resultado da Otimização para Dados Simulados . . . . . . . . . . . . 444Resultado da Otimização para Dados Reais . . . . . . . . . . . . . . . 455Quadro comparativo entre opções reais e financeiras . . . . . . . . . . 46vii
1IntroduçãoUm dos campos mais explorados em finanças na atualidade é a valoração deativos reais. Muitas vezes utiliza-se os preços futuros de alguma commodity paraprecificá-los. A busca por modelos cada vez mais sofisticados faz com que a pesquisapara tal fim esteja na fronteira do conhecimento matemático aplicado às finanças.Sendo assim, é de suma importância entender o comportamento das commodities.Diversos autores discutem as principais diferenças entre um ativo comum,como uma ação, e uma commodity (ver [1] e [2]). Em primeiro lugar, podemosnotar que commodities, em geral, não são negociadas no mercado à vista fazendocom que seu preço spot não seja observável. No entanto é muito comum encontrarna literatura que os contratos futuros com vencimento mais próximo são uma proxypara o preço spot.As commodities por serem bens fisicamente negociados apresentam o quechamamos de custo de carregamento (cost of carry) que pode estar relacionado àdespesas financeiras, custos de estocagem, seguros, custos de obtenção de crédito,juros e impostos sobre propriedades. Sendo assim, é importante também entendero papel do retorno de conveniência (convenience yield ) que nada mais é do que oprêmio cobrado pelo detentor da commodity fı́sica ao detentor do contrato futuro.Outro ponto muito discutido é a caracterı́stica de reversão à média dos preços das commodities. Isto pode ser explicado intuitivamente com conceitos básicosde oferta e demanda. Vamos supor que os preços de uma determinada commodityestejam maiores do que algum preço de equilı́brio hipotético. Então o suprimentodesta commodity irá aumentar, novos produtores começam a produzir e produtorescom custos maiores não deixam de operar e em algum momento este suprimentoem excesso gerará uma pressão de queda nos preços. Por outro lado, quando estes
preços caem os produtores com custos mais elevados tendem a sair do mercado oque diminuirá o suprimento desta commodity e portanto gerará uma pressão de altanos preços. É razoável supor que estas entradas e saı́das de produtores levem umcerto tempo, ou seja, os preços devem operar em patamares relativamente baixos ourelativamente altos por algum tempo em relação a um preço de equilı́brio e semprerevertendo a este equilı́brio. Outro ponto interessante é a mudança de patamares deprodução em decorrência de fenômenos naturais que podem afetar significativamentea produção de uma certa commodity em uma determinada região. Um exemplo dissosão as variações climáticas ocorridas nos últimos tempos, como consequência do ElNiño e do efeito estufa gerando impacto na produção de determinadas commodities agricolas. Vale a pena ressaltar que a evolução tecnológica pode aumentar opatamar de produção de uma determinada commodity: podemos citar o álcool desegunda geração produzido pela cana-de-açúcar que ao chegar em escala industrialelevará radicalmente os patamares de produção. Pelo lado da demanda, podemoscitar o enriquecimento de paı́ses emergentes, tais como a China que se tornou umagrande consumidora de commodities. Estes são apenas alguns exemplos de que nolongo prazo é possı́vel enxergarmos uma mudança nos preços de equilı́brio de umadeterminada commodity.Este trabalho visa implementar o modelo de Schwartz-Smith [3] para preçosfuturos de gás natural. Consideramos aqui especificamente Henry-Hub, porém a metodologia é aplicavel a outros problemas. Esta implementação é feita com o métodoclássico do filtro de Kalman que relaciona as variáveis de estado não observáveis comos preços futuros de diversas maturidades. Após isso é gerada uma função de verossimilhança que posteriormente é maximizada através de um processo de otimização,chegando-se nos parâmetros ótimos.1.1Mercado de Gás NaturalOs maiores consumidores de gás natural estão basicamente divididos em trêsgrandes blocos, Estados Unidos, Europa e Japão.Praticamente todo gás natural consumido nos EUA é produzido internamente, grande parte em uma região chamada Henry-Hub localizado no estado da2
Louisiana. É neste local onde está construı́do um dos maiores hubs de dutos de gásnatural do mundo que é operado pela Sabine Pipe Line LLC. Este local também é oponto de precificação dos contratos futuros de gás natural negociados no NYMEX.Para ter a intuição da precificação do gás natural é importante entendercomo estes grandes mercados consumidores estão conectados e como os preços deum mercado afetam o outro. Basicamente o gás natural pode ser transportado deduas formas diferentes, através de dutos e de navios carregadores de gás naturalliquefeito (GNL ou LNG em inglês).Em geral os dutos conectam estados de um determinado paı́s ou até partes deum paı́s próximo, como é o caso de alguns dutos do Henry-Hub que se conectam aoMéxico. Para maiores distâncias a única alternativa disponı́vel hoje é o transportemarı́tmo. Vamos ver brevemente como funciona a cadeia de suprimento do LNG.Figura 1: Cadeia de Suprimento do LNGComo podemos ver na Figura 1 um determinado produtor localizado em umpaı́s distante produz o gás natural em um determinado campo on-shore ou off-shore,o transporta para uma planta de liquefação, armazena este gás que foi liquefeito,carrega o navio com LNG, o tranporta até o paı́s de destino, armazena no tanque dedestino, passa por uma planta de gaseificação e entra no sistema interno de dutos.Uma observação importante é que um navio de LNG é capaz de diminuir o volume aquase um milésimo de seu volume original; este é um dos motivos pelo qual há umarazão econômica no transporte deste LNG. Outro ponto importante é que ao entrarno sistema de dutos do paı́s de destino o gás natural tem o mesmo valor que o gásnatural produzido internamente. Disto podemos concluir que para o explorador deum determinado campo de gás natural só valerá a pena vender para outros paı́sesse a soma do seu custo mais a soma de todos os custos da cadeia até o destinosejam menores que o preço ofertado pelo gás natural no destino. Está é uma das3
peculiaridades mais importantes do mercado de gás natural.Com o avanço da tecnologia nas plantas de liquefação e com o aumentoda capacidade de transporte de LNG tornou-se viável economicamente levar estacommodity para vários destinos, principalmente para aqueles paı́ses que não possuemauto-suficiência na produção e para aqueles que vem mudando sua matriz energéticapara fontes mais limpas, comparada ao carvão e ao petróleo. Um bom exemplo dissoé o Japão, que importa a maior parte do gás natural que consome.Esta complexa cadeia deu incentivo a criação de novos instrumentos financeiros tais como o cancelation option, no qual o comprador tem o direito de cancelaro contrado de fornecimento de gás natural em datas pré-determinadas. Uma boarefrência sobre o tema pode ser encontrada em [4].Visto isso como motivação podemos começar os estudos para calibrar o modelo Schwartz-Smith.1.2Estrutura da DissertaçãoEsta seção descreve muito resumidamente o que cada capı́tulo a seguir aborda.O Capı́tulo 2 faz uma revisão de todos os trabalhos relacionados a este temados quais informações importantes foram extraı́das. São citados trabalhos de diversos autores com modelos e metodologias diferentes para a identificação da dinâmicade preços de commodities.O Capı́tulo 3 faz uma revisão geral da teoria e das ferramentas utilizadasnesta dissertação, passando por cálculo estocástico, apreçamento neutro ao risco,método de Euler-Maruyama para discretização dos modelos e filtragem de Kalman.O Capı́tulo 4 entra no detalhe do modelo de Schwartz-Smith, onde os principais resultados são demonstrados.O Capı́tulo 5 mostra os principais resultados na simulação dos processosnão observáveis, dos preços futuros de commodities, da filtragem de Kalman e dacalibração do modelo de Schwartz-Smith.Por fim o Capı́tulo 6 descreve as principais conclusões desta dissertação.4
2Revisão BibliográficaEsta seção destina-se a fazer um apanhado geral de todos os artigos, teses ereports relevantes para esta dissertação.Eduardo Schwartz em [5] aborda três modelos a respeito do comportamentoestocástico dos preços das comodities levando em consideração reversão à média. Oprimeiro modelo é o mais simples de todos. Neste é considerado somente um fator,no qual o logaritmo do preço spot segue um processo de reversão à média. O segundomodelo leva em consideração um fator adicional, o covenience yield da comodity,no qual também é assumido que este segue um processo de reversão à média. Oterceiro e último modelo leva em consideração além dos dois fatores supracitados,a estocasticidade da taxa de juros. Vale lembrar que os modelos apresentados sãoapenas uma das possibilidades de modelos de um, dois e três fatores.O artigo também trata do filtro de Kalman para relacionar as variáveis observáveis com as não observáveis e para a calibração dos três modelos.O Modelo de Um Fator (MUF) assume que o preço spot da commodity segueo processo estocástico descrito pela dinâmica.dS κ(µ ln S)Sdt σSdZ(2.1)Definindo X ln S e aplicando o lema de Itô chegamos a um processo deOrnstein-Uhlenbeck.dX κ(α X)dt σdZonde(2.2)
α µ σ22κ(2.3)O termo κ mede o grau de reversão à média para o logarı́tmo do preço spotde longo prazo, α. O termo σ caracteriza a volatilidade do processo e o dZ é adiferencial de um movimento Browniano padrão.Passando a medida neutra ao risco [6] temosdX κ(α X)dt σdZ (2.4)onde α α λ, λ é o prêmio de risco de mercado. Neste artigo o prêmio derisco λ é suposto constante. Além disso, denota dz é o incremento do movimentoBrowniano na medida neutra ao risco.Da equação (2.4) podemos extrair os seguintes resultadosE0 [X(T )] e κT X(0) (1 e κt )α V ar0 [X(T )] σ2(1 e κt )2κ(2.5)(2.6)Como X ln S, o preço spot da commodity no tempo T possui uma distribuição log-normal.Assumindo a taxa de juros constante temos que o preço do futuro da commodity com maturidade T é o valor esperado do preço da commodity no tempo Tsob a medida neutra ao risco. Então, temos pela Equação (2.7) o valor do futuro dacommodity no tempo T .F (S, T ) E[S(T )] exp(E0 [X(T )] 1/2V ar0 [X(T )]) σ2 κT κT 2κT exp eln S (1 e)α (1 e)4κO lado direito da Equação (2.7) satisfaz a equação diferencial parcial6(2.7)
1/2σ 2 S 2 FSS κ(µ λ ln S)SFS FT 0(2.8)com condição de contorno terminal F (S, 0) S.O Modelo de Dois Fatores (MDF) considera o preço spot da commodity (fator1: S) e o convenience yield instantâneo (fator 2: δ). Esses dois fatores seguem oprocesso estocástico descrito nas Equações (2.9) e (2.10).dS (µ δ)Sdt σ1 SdZ1(2.9)dδ κ(α δ)dt σ2 dZ2(2.10)onde os incrementos do movimento Browniano são correlacionados segundo a Equação (2.11).dZ1 dZ2 ρdt(2.11)Note que se o valor de δ fosse determinı́stico, seguindo a relação δ(S) κ ln S,terı́amos então que o Modelo de Dois Fatores se reduziria ao Modelo de um Fator.Mais uma vez fazendo X ln S chegamos a Equação (2.12).dX (µ δ 1/2σ12 )dt σ1 dZ1(2.12)Neste modelo a commodity é tratada como um ativo que paga um dividendoestocástico δ. Assim, o termo de drift ajustado ao risco será r δ. Novamente éconsiderado um prêmio de risco de mercado associado λ que é constante. O processoestocástico para os fatores deste modelo sob a medida martingal equivalente podeser expresso como nas Equações (2.13), (2.14) e (2.15).dS (r δ)Sdt σ1 SdZ1 7(2.13)
dδ [κ(α δ) λ]dt σ2 dZ2 (2.14)dZ1 dZ2 ρdt(2.15)Os preços futuros satisfazem a seguinte equação diferencial parcial com condição inicial em T 0 F (S, δ, 0) S1/2σ12 S 2 FSS σ1 σ2 ρSFSδ 1/2σ22 Fδδ (r δ)SFS (κ(α δ) λ)Fδ FT 0 (2.16)É possı́vel mostrar que a solução da Equação (2.16) com condição inicial emT 0 é da forma da Equação (2.17). 1 e κTF (S, δ, T ) S exp δ A(T )κ (2.17)ondee 1 2 1 e 2κT1 σ22 σ1 σ2 ρT σ A(T ) r α̂ 2 κ2κ4 2κ3 σ22 1 e κT α̂κ σ1 σ2 ρ κκ2α̂ α λκ(2.18)(2.19)O Modelo de Três Fatores (MTF) considera as variáveis de estado comosendo o preço spot, o convenience yield instantâneo e a taxa de juros instantânea.Assumindo que a taxa de juros segue um processo de Ornstein-Uhlenbeck, como nomodelo de Vasicek, podemos estender o modelo de dois fatores para o de três fatores.Utilizando o processo estocástico conjunto descrito nas Equações (2.13) e (2.14) eincluindo a taxa de juros estocástica teremos as Equações (2.20), (2.21), (2.22) e(2.23) que governam o MTF.8
dS (r δ)Sdt σ1 SdZ1 (2.20)dδ κ(α̂ δ)dt σ2 dZ2 (2.21)dr α(m r)dt σ3 dZ3 (2.22)dZ1 dZ2 ρ1 dt,dZ2 dZ3 ρ2 dt,(2.23)dZ1 dZ3 ρ3 dtOnde α e m são, respectivamente, a velocidade de reversão à média da taxade juros e a taxa de juros de curto prazo ajustada ao risco. Os preços futuros devemobedecer a equação diferencial parcial (2.24) conforme visto nos modelos anteriores.1/2σ12 S 2 FSS 1/2σ22 Fδδ 1/2σ32 Frr σ1 σ2 ρ1 Fδr σ1 σ3 ρ3 SFSr (r δ)SFS κ(α̂ δ)Fδ α(m r)Fr FT 0(2.24)com condição de contorno inicial F(S, δ, r, 0) S. A soluç
Instituto de Matem a tica Pura e Aplicada . na o-observa veis em quest ao. O processo de otimiza ca o utilizado visa maximizar a . similhanc a que posteriormente e maximizada atrav es de um processo de otimiza cao, chegando-se nos paraˆmetros o timos.
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BOLET N: fiLAS MATEM TICAS EN LA ENSEÑANZA MEDIAfl Nœmero 40 aæo 4 20 de junio de 2006 ISSN 1688-2563 www.matematicaparatodos.com URUGUAY Montanaro ARGENTINA LICENCIATURA EN ENSEÑANZA DE LA MATEM TICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL Œ FACULTAD REGIONAL SAN NICOL S INSTITUTO SUPERIOR DEL PROFESORADO N 3 fiE.
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