INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE LA MEDIDA. Introducción

INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE LA MEDIDA.1.- IntroducciónLa mayoría de los textos de Física General que existen no hacen referencias a la FísicaExperimental, y si lo hacen es de una forma somera e insuficiente. Sin embargo, no debemosolvidar en ningún momento que la Física es una ciencia experimental y como tal la validez deuna teoría se halla sujeta a la comprobación práctica de la misma. Por tanto, resulta de granimportancia que la preparación práctica recibida por el alumno sea la adecuada.La experimentación implica la recogida de una serie de datos que no son otra cosa quela comparación de una magnitud del sistema con un patrón tomado como referencia. Ahorabien, la medida no es, en muchos casos, una labor fácil, pues se ve a menudo afectada pormuchos errores. Fundamentalmente, atendiendo a las causas que los provocan, existen dos tiposde errores: accidentales y sistemáticos.Los errores accidentales son los que afectan a la medida de forma aleatoria. En muchoscasos es difícil de determinar su origen, y su eliminación es prácticamente imposible. Porejemplo, son errores accidentales las pequeñas fluctuaciones que aparecen en cualquierexperimento en la temperatura, humedad, presión, etc., que hacen que todas las medidas quehacemos sean diferentes unas de otras.Los errores sistemáticos son los que afectan a la medida siempre en la misma cuantía, yestán, normalmente, asociados a la exactitud y a los defectos o mala calibración del aparato quese utiliza para medir. Es de especial importancia el error sistemático asociado a la exactitud delaparato conocido como error instrumental. Por lo general, este tipo de errores son susceptiblesde ser suprimidos, o en el peor de los casos (error instrumental), como veremos, cuantificados.Para determinar si en una medida con un determinado aparato predominan los erroresaccidentales o los errores sistemáticos tenemos que hacer varias medidas de una mismacantidad. Si el máximo del valor absoluto de la diferencia de la media menos las medidashechas es igual o menor que el error instrumental predominarán los errores sistemáticos. Encaso contrario predominarán los errores accidentales. En particular nosotros vamos a seguir elsiguiente criterio:"Se realizan tres medidas y se calcula la media; si la desviación máxima, en valorabsoluto, entre las medidas y la media es superior al error instrumental, las causaspredominantes son accidentales. En caso contrario, las causas del error serán sistemáticas. "Independientemente de que las causas de error sean accidentales o sistemáticastrataremos los errores como si estos fueran sistemáticos mediante la teoría de errores queexplicaremos más adelante. En caso de predominar los errores accidentales sería necesarioaplicar métodos estadísticos, mediante los cuales se puede llegar a algunas conclusionesrelativas al valor más probable en un conjunto de medidas, pero dado el nivel básico del cursono se considerará este caso.2.- Errores Sistemáticos- Error absoluto.- Se define el error absoluto como el valor de la diferencia entre el valorobtenido en la medida, X m , y el verdadero valor de la medida x:1

Ahora bien, está claro que dicha definición carece de utilidad práctica puesto que el valorverdadero de la medida se desconoce. Por esto, en la práctica, suele asociarse el error absolutocon el radio de un intervalo dentro del cual tenemos la certeza de que se encuentra el valorverdadero. Así, si en una experiencia se desprecia el efecto de los errores accidentales y sólo seconsidera el error instrumental, el error absoluto de todas las medidas coincidirá con el errorinstrumental.- Error relativo.- Se define el error relativo como el cociente existente entre el error absoluto yel valor verdadero de una medida:xComo en el caso del error absoluto, la definición de error relativo es inoperante, desde el puntode vista práctico, puesto que no se conoce el valor verdadero de la medida, y es usual tomarcomo valor verdadero el valor medido en el laboratorio. El error relativo es una cantidadadimensional y con frecuencia se multiplica por 100 para expresarlo en tanto por ciento.- Exactitud.- La exactitud se define como el grado de concordancia entre el valor verdadero y elexperimental. Se dice de una medida que es tanto más exacta cuanto menor sea el error absolutoasociado, así que se puede definir la exactitud como la inversa del error absoluto.- Precisión.- Se dice que un aparato es preciso si la diferencia entre distintas medidas de lamisma magnitud es muy pequeña. Una medida es tanto más precisa cuanto menor sea su errorrelativo, así que se puede definir la precisión como la inversa del error relativo.- Sensibilidad.- Se define la sensibilidad como la unidad más pequeña que puede detectar unaparato de medida. Por ejemplo, se dice que la sensibilidad de una balanza es de 5 mg si ésta nopresenta ninguna desviación para masas inferiores a la citada. La sensibilidad se asocia con eldenominado "error instrumental" del aparato.3.- Error Instrumental y Forma Correcta de Expresar las MedidasComo se comentó en la introducción, consideraremos que el único error que afecta anuestras medidas es el error instrumental. Pero, ¿en qué consiste este error? El errorinstrumental es aquel que cometemos al medir con un aparato una magnitud física, debido alcarácter finito de apreciación que tiene el mismo. Por ejemplo, si medimos la distancia existenteentre dos rectas paralelas con una regla calibrada en milímetros podemos tener la situación quese presenta en la figura l.Figura 12

Está claro que el valor verdadero de la medida es mayor que 7.7 centímetros y menorque 7.8 centímetros, pero no podemos determinar de forma exacta cual es este valor (no sepuede decir que la mediad es 7,75, por ejemplo). Lo único que podemos hacer es acotar lamedida diciendo que ésta se encuentra entre los citados valores. La pregunta que nos surgeentonces es ¿de qué forma podemos expresar la medida realizada? Para ello, tomaremos comovalor de la medida cualquiera de los dos valores entre Jos que está comprendido el valor real dela misma es decir 7.7 o 7.8 centímetros, y a continuación afectaremos el valor elegido con unerror igual al error instrumental de la regla que en este caso es 0.1 centímetros. Así la medidaanterior se podría expresar de las dos formas siguientes:medida 7.7 O.l(cm)o bienmedida 7.8 O.1(cm)La primera de las medidas expresa que el valor verdadero se encuentra comprendidoentre 7.7-0.1 7.6 centímetros y 7.7 0.1 7.8 centímetros, y la segunda medida que el valorverdadero está situado entre 7.8-0.1 7.7 centímetros y 7.8 0.1 7.9 centímetros. Como puedeobservarse cualquiera de las dos formas de expresar la medida es correcta puesto que en losintervalos que definen está comprendido el valor verdadero.Con este ejemplo queda claro que el error instrumental viene, por tanto, dado por lamínima variación de la magnitud que el aparato puede detectar en el intervalo en el cual seencuentra el valor verdadero de la magnitud. En el citado ejemplo de la regla el error es elmismo para cualquier medida. Sin embargo, hay aparatos de medida en los cuales el error varíadependiendo del valor medido, e incluso otros en los que nosotros podemos elegir cuál es elerror instrumental. Hay, por tanto, que tener esto en cuenta; en los primeros para anotar el errorque corresponda según el intervalo en que se encuentre la medida y en los segundos para elegirel menor error instrumental que se pueda en cada caso.El error instrumental es el error absoluto con que solemos dotar inicialmente a unamedida obtenida directamente con un aparato de medida.A veces se llevan a cabo múltiples medidas de un fenómeno (x], X2, . , x n ). El error de lamedia aritmética puede entonces calcularse a través del error cuadrático medio, o desviacióntípica de la media, que viene dado por la expresión:i 1n(n -1)siendox¿¡Xinel valor medio de las n medidas.4.- Propagación Lineal de Errores SistemáticosNormalmente, el objetivo de la medida de una o más magnitudes en el laboratorio espoder hallar el valor de otra magnitud que está relacionada con las medidas mediante unaexpresión matemática. Como ya hemos visto, la medida de cualquier magnitud está afectada deun error que, como ya hemos dicho, vamos a identificar con el error instrumental, el cualdepende directamente a su vez de la exactitud del aparato con el que realicemos la medida.Lógicamente, si calculamos cualquier valor a partir de unos datos medidos en el laboratorio,como estos están afectados por el error instrumental, el valor calculado estará afectado por otroerror que tendremos que hallar.3

Supongamos que queremos obtener el error de una magnitud y que es función de nvariables diferentes Xi, relacionadas entre sí por una función de la formayy(x¡,c), donde las Cj son constantesEn qué medida afectan a y los errores cometidos en la determinación de las Xi y Cj. En laaproximación de errores pequeños de tipo instrumental, el cálculo diferencial nos da la solución,dyayLi (.,.-:) dXiuXIay Lj (-a.)dCjCJdy, dx¡ y dCj representan los errores absolutos y, x¡y CjSi mediante el cálculo matemático, algún término de la ecuación anterior figurase consigno negativo, éste se convertirá en positivo, ya que se trata de calcular una cota o límite deerror y éstos siempre se deben sumar. Dado que la ecuación anterior es una expresión lineal, sehabla de propagación lineal de errores.ySi hacemos A L¡ laaXI.¡ dx¡ , que representa la contribución de los errores dx¡ en dy, yB LjIaOYeJ.I dCj , contribución a dy de los errores de las constantes, tenemos que tenerpresente que por norma se elige que ésta última contribución sea diez veces menor que las de lasvariables, es decir, B O.IA, lo que permite elegir el número de cifras de las constantes.Tabla.- Propagación lineal de errores en las funciones más habitualesOperaciónErroru x yl'1uu x-yu xyxu yu axIfu l'1yuErrorsinel'1u leos el 1'1 e( ee are sin xfu l'1y- - lul Ixl Iyll'1uu elalfu1eIl'1uen radiatles}xIxaUl'1u I I fu¡;¡ aRi.( e.l'1u- lnx1- en radilmesfufuIRVeamos a continuación un ejemplo: Supongamos que queremos calcular la velocidadmedia de un móvil entre dos puntos. Tendríamos que:- Primero, elegir entre qué dos puntos vamos a medir la velocidad media.- Segundo, medir la distancia x entre los puntos elegidos.Tercero, medir el tiempo t que tarda el móvil en recorrer la distancia entre los dospuntos elegidos.- Cuarto, calcular mediante la expresión Vmedia X/t la velocidad media.4I1'1 fululiuI. Operación