Modelisation Cinematique Et Geometrique Des Liaisons 1 - Sfr

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MPSI/PCSISI, cours sur les liaisonsMODELISATION CINEMATIQUEET GEOMETRIQUE DES LIAISONS 1I. INTRODUCTION.But de la modélisation.On modélise un mécanisme afin de mettre en évidence : Les mouvements relatifs de ses composants, c'est le domaine de la cinématique. Les efforts mis en jeu, c'est le domaine de la statique et de la dynamique. Les puissances transmises, c'est le domaine de la dynamique.Modèle de liaison.Un mécanisme est constitué de solides enmouvement les uns par rapport aux autres.Ces solides sont en contact les uns parrapport aux autres.Ces contacts bloquent certains mouvements.1/20

MPSI/PCSISI, cours sur les liaisonsAfin d’en rendre compte et d’étudier le fonctionnement du mécanisme, on utilise un modèlede représentation des mouvements sous le forme de liaisons.Des symboles normalisés sont associés à ces liaisons.Hypothèses.Définir une liaison revient à choisir un modèle caractérisant les mouvements laissées librespar les surfaces de contact entre les deux solides.Pour cela, il faut étudier la zone de contact entre les deux solides, en faisant les hypothèsessuivantes : Les solides en contact sont indéformables. La zone en contact est géométriquement parfaite (les zones de contact sont despoints, des lignes ou des plans). Les jeux sont nuls (les jeux sont les petits espaces laissés libre au niveau de la zonede contact entre les deux solides). Le contact est maintenu et considéré bilatéral.Surface réelle (défauts amplifiés) et modèle associé.Guidage réel avec jeux (défauts amplifiés) et modèle associé.Géométrie du contact entre 2 solides.La zone de contact entre 2 solides peut être de 3 types : Ponctuelle (un point). Linéique (une ligne droite ou courbe). Surfacique (un plan, un cylindre ou une sphère).2/20

MPSI/PCSISI, cours sur les liaisonsRemarque : Dans la réalité, les contacts ponctuel et linéique n’existent pas, car il y atoujours une déformation au niveau du contact. Cependant, elle reste faible.Afin de définir les mouvements possibles, on associe un repère à partir des caractéristiquesde la zone de contact.Degré de liberté :Une pièce libre dans tous sesdéplacements est une pièce qui n'aaucune liaison avec une autre pièce. Ellepeut alors se déplacer en translation et enrotation suivant trois axes (6 degrés deliberté).Définir la liaison entre deux pièces revientà préciser le nombre de degrés de libertépossibles entre ces deux pièces. A undegré de liberté supprimé correspond undegré de liaison.Dans tous les cas, dans une liaison entredeux pièces : Nbre de degrés de liberté Nbre degrés de liaison 6.On peut distinguer : Les liaisons élémentaires : obtenues par contact entre des surfaces géométriquesélémentaires appartenant aux deux pièces. Les liaisons composées : réalisées par une association de 2 liaisonsélémentaires.3/20

MPSI/PCSISI, cours sur les liaisonsII. LES LIAISONS ELEMENTAIRES.2.1. Liaison sphère plan (ponctuelle).Réalisation :contact sphère/planDegré de liberté : 5Rotation : 3Translation : 2Schématisation dans le planSchématisation dans l’espaceCaractéristiquesgéométriques :Torseur cinématique : x V 2 / 1 y z ( A, z )NormaleA : point de contactvx vy 0 ACe torseur a cette formeuniquement au point A2.2. Liaison sphère cylindre (linéaire annulaire).Réalisation :contact sphère/cylindreDegré de liberté : 4Rotation : 3Translation : 1Schématisation dans le planSchématisation dans l’espaceCaractéristiquesgéométriques :Torseur cinématique :Centre A, direction y x V 2 / 1 y z0 vy 0 ACe torseur a cette formeuniquement au point A4/20

MPSI/PCSISI, cours sur les liaisons2.3. Liaison cylindre plan (linéaire rectiligne).Réalisation :contact cylindre/planSchématisation dans le planSchématisation dans l’espaceTorseur cinématique :Degré de liberté : 4Rotation : 2Translation : 2Caractéristiquesgéométriques : ( A, y ) , direction normale zLigne de contact 0 V 2 / 1 y zvx vy 0 ACe torseur a cette forme entout point de la ligne decontact2.4. Liaison pivot glissant.Réalisation :contact cylindre /cylindreSchématisation dans le planSchématisation dans l’espaceTorseur cinématique :Degré de liberté : 2Caractéristiquesgéométriques :Rotation : 1Translation : 1Axe ( A, y ) 0 V 2 / 1 y 0 0 vy 0 ACe torseur a cette forme etles mêmes valeurs en toutpoint de l’axe de rotation5/20

MPSI/PCSISI, cours sur les liaisons2.5. Liaison rotule (sphérique).Réalisation :contact sphère/ sphèreSchématisation dans le planSchématisation dans l’espaceTorseur cinématique :Degré de liberté : 3Caractéristiquesgéométriques :Rotation : 3Centre ATranslation : 0 x V 2 / 1 y z0 0 0 ACe torseur a cette formeuniquement au point A2.5. Liaison appui plan.Réalisation :contact plan/planSchématisation dans le planDegré de liberté : 3Caractéristiquesgéométriques :Schématisation dans l’espaceTorseur cinématique :Rotation : 1Translation : 2Normale z 0 V 2 / 1 0 zvx vy 0 MCe torseur a cette forme entout point6/20

MPSI/PCSISI, cours sur les liaisonsIII. LES LIAISONS COMPOSEES.3.1. Liaison pivot.Réalisation :Schématisation dans le planSchématisation dans l’espaceTorseur cinématique :Degré de liberté : 1Caractéristiquesgéométriques :Rotation : 1Translation : 0Axe ( A, y) 0 V 2 / 1 y 0 0 0 0 ACe torseur a cette forme etles mêmes valeurs en toutpoint de l’axe de rotation3.2. Liaison glissière.Réalisation :Schématisation dans le plan Schématisation dans l’espaceDegré de liberté : 1Caractéristiquesgéométriques :Torseur cinématique :Rotation : 0Translation : 1Direction y 0 0 V 2 / 1 0 vy 0 0 Ce torseur a cette forme et lesmêmes valeurs en tout point7/20

MPSI/PCSISI, cours sur les liaisons3.3. Rotule à doigt (sphérique à doigt).Réalisation :Schématisation dans le planSchématisation dans l’espaceTorseur cinématique :Degré de liberté : 2Caractéristiquesgéométriques :Rotation : 2Centre A, rotationinterditeTranslation : 0 ( A, z ) x V 2 / 1 y 0 0 0 0 ACe torseur a cette formeuniquement au point A3.4. Liaison hélicoïdale.Réalisation :Schématisation dans le planSchématisation dans l’espaceExemple :une vis et un écrouTorseur cinématique : 0 V 2 / 1 y 0 Degré de liberté : 1Rotation : 1Translation : 1(conjuguées)Caractéristiques géométriques :Axe ( A, y ) , pas p0 vy 0 AQuand on tourne d’un tour, onavance du pas pCe torseur a cette forme et lesmêmes valeurs en tout pointde l’axe de rotation8/20

MPSI/PCSISI, cours sur les liaisonsIV. GRAPHE ET SCHEMA.4.1. Exemples.Schéma cinématique dans l’espaceSchéma cinématique dans le planGraphe des liaisons :4.2. Graphe des liaisons.Le graphe de liaisons permet de recenser les solides et les liaisons composant le système.Les solides sont représentés par des cercles.Les liaisons sont représentées par des arcs entre les solides.On indique le nom de la liaison et ses caractéristiques géométriques.4.3. Schéma cinématique.Le schéma cinématique permet de comprendre les mouvements du mécanisme.Il représente, dans le plan ou dans l’espace, la disposition des solides et des liaisons.Les solides sont représentés par des traits.Les liaisons sont représentées par leurs représentations normalisées.Le schéma cinématique peut faire apparaitre le paramétrage afin de conduire l’étude dumécanisme.9/20

MPSI/PCSISI, cours sur les liaisons4.4. Exemple : Robot « Roméo ».Roméo est un projet de développement d’un robothumanoïde destiné à devenir un véritable assistantdes personnes en perte d’autonomie.Pour cela, il doit être capable d’intervenir sur lesobjets du quotidien (ouvrir et fermer une porte,manipuler un verre, une bouteille, un trousseau declés ).Mais il doit également aider une personne à sedéplacer à domicile, et même, lui porter secours encas de chute.Schéma cinématique des jambes du robot.10/20

MPSI/PCSISI, cours sur les liaisonsGraphe des liaisons des jambes du robot.V. COMPOSITION DE LIAISONS.5.1. Liaisons en parallèle.Deux solides sont en liaisonsparallèles si la chaîne de solide estde la forme :Liaison équivalente :Le torseur cinématique de la liaisonéquivalente doit être compatible avec lestorseurs cinématiques des liaisons L1 etL2. VLéqui M VL1 M VL2 MRemarques : Les mobilités s’annulent (si une liaison interdit le mouvement, la liaison équivalenteinterdit le mouvement). Il faut exprimer les torseurs aux mêmes points. Pour simplifier l’écriture, on utilise des notations particulières :11/20

MPSI/PCSISI, cours sur les liaisons 1 ( S 2 / S1) VL1 1 V ( M S 2 / S1) M 1u1 v1 w1 M(Les composantes traduisent des mobilités).Exemple : L1 : ponctuelle en O de normale x L2 : pivot glissant d’axe (O, x ) 1 VL1 1 10 v1 w1 O 2 VL2 0 0 VLéqui O VL1 O VL2 OLéqui : pivot d’axe VLéqui v2 0 0 O 1 2 1 0 1 0 u 0 u2v v1 0w w1 0 VLéqui 0 0 u v w O0 0 0 O (O , x )5.2. Liaisons en séries.Trois solides sont en liaisonsséries si la chaîne de solide estde la forme :12/20

MPSI/PCSISI, cours sur les liaisonsLiaison équivalente :La composition des torseurs cinématiquespermet d’écrire :Remarque : VLéqui M VL1 M VL2 MLes mobilités s’ajoutent (si une liaison autorise le mouvement, la liaisonéquivalente autorise le mouvement).Exemple : L1 : appui plan de normale xL2 : rotule de centre O.On cherche : 1 VL1 0 0 0 v1 w1 O 2 VL2 2 20 0 0 O VLéqui u v w O13/20

MPSI/PCSISI, cours sur les liaisons VLéqui O VL1 O VL2 O Léqui : ponctuelle en O de normale x 1 2 0 2 0 2 u 0 0v v1 0w w1 0 VLéqui 0 v w O5.3. Exemple de composition de liaisons avec changement de point. 1 VL1 1 10 0 0 A 2 VL2 2 2u2 0 w2 BOn cherche le torseur de la liaison équivalente au point A. Il faut exprimer les torseurs en A. VL 2 on veut V ( B) B VL 2 V ( A) A u 2 2 l u 2 V ( A) 0 2 0 l. 2 w 0 w l . 2 2 2 2 V ( A) V ( B) BA 2 VL2 2 2u2 l. 2 w2 l. 2 A14/20

MPSI/PCSI VLéqui SI, cours sur les liaisonsu v w A VLéqui 0 VLéqui A VL1 A VL2 A0 0 0 A 1 2 1 2 1 2u 0 u2 v 0 l. 2w 0 w2 l. 2Rotule à doigt de centre A, rotation ( A, z )interdite5.4. Remarque.Une approche intuitive basée sur l’analyse des mouvements relatifs possibles permetgénéralement de déterminer la liaison équivalente.VI. SCHEMA CINEMATIQUE.Utilité du schéma cinématique en ingénierie. Comprendre le fonctionnement d’un mécanisme (cas de mécanismes existants).La lecture des plans d’ensemble n’est pas toujours aisée et il est utile d’en simplifier lareprésentation. Lorsque le mécanisme n’existe pas (phase de conception), on a besoin d’un schémaillustrant le fonctionnement attendu sans toutefois limiter le concepteur dans lesformes et dimensions à concevoir.Le schéma cinématique minimal est la schématisation préliminaire de toute conceptiond’un mécanisme.Seules les liaisons entre solides et les positions relatives des liaisons vont influencerles mouvements du mécanisme. La forme des pièces et la réalisation des liaisons nesont pas prises en compte.Le schéma cinématique minimal rend compte uniquement des mouvements possiblesentre les différents sous-ensembles qui constituent le mécanisme.15/20

MPSI/PCSISI, cours sur les liaisonsRéalisation d'un schéma cinématique minimal à partir d’undessin de définition : exemple d'une pince de robot. Etape 1: définition des classes d'équivalence cinématiques.Il s'agit de regrouper les pièces n’ayant aucun mouvement relatif les unes par rapport auxautres en sous-ensemble « cinématiquement lié », appelé classes d'équivalencescinématiques.Chaque sous-ensemble est désigné par le repère de la pièce la plus importante. On obtientainsi pour la pince de préhension étudiée :16/20

MPSI/PCSIS1 :S3 :S5 :corps {1,2,3,4,5,6}biellette supérieure {11}doigt supérieur {10,12}SI, cours sur les liaisonsS2 :S4 :S6 :piston {8,9}biellette inférieure {14}doigt inférieur {10,13} Etape 2: définition des liaisons et élaboration du graphe de structureIl s'agit d'analyser la géométrie des surfaces de contact et les mouvements relatifs associésentre les sous-ensembles « cinématiquement liés» afin d'en déduire une modélisation desliaisons.On peut alors établir le graphe de structure du mécanisme.Remarques : Lorsqu’on étudie la liaison entre deux classes, il faut imaginer le reste du mécanismeretiré et analyser uniquement les mouvements relatifs entre les deux classes parl'intermédiaire de la liaison étudiée. On étudie les mouvements relatifs autorisés dans le repère local de la liaison. Une modélisation est toujours imparfaite et sujet à discussions. On pourra selon l'étude etla finalité du schéma négliger les jeux et petits mouvements autorisés par une liaison ouau contraire les considérer pour une étude plus complexe et précise. Il faut donc pouvoirjustifier le modèle.17/20

MPSI/PCSISI, cours sur les liaisons Etape 3: définition des liaisons et élaboration du graphe de structure.La dernière étape consiste à tracer le schéma cinématique minimal dans le plan ou dansl’espace.Il faut de positionner un à un les symboles de chaque liaison en respectant leur position etorientation relative. Puis on relie les liaisons entre elles en respectant les classesd’équivalence.Pour la représentation du schéma cinématique, trois étapes sont conseillés :1. Positionner, en respectant les proportions, les centres ou les axes des liaisons.2. Mettre en place les représentations des liaisons entre les classes d’équivalence enrespectant l'orientation de chaque liaison.18/20

MPSI/PCSISI, cours sur les liaisonsReprésenter les sous-ensembles par des traits en les connectant aux symboles des liaisons.On peut améliorer la lisibilité en schématisant la forme de classes d'équivalences associés àdes pièces importantes (piston, pinces .)Remarques : Le sous-ensemble qui fait office de référence (souvent le bâti ou le corps dumécanisme) est identifié dans le schéma par un trait bordé de hachures. L’utilisation de couleurs dans le schéma est un facteur important de lisibilité.19/20

MPSI/PCSISI, cours sur les liaisonsVII. Exemple de réalisation d’une liaison pivot avec desroulements à billes.Dessin de définition.Schéma cinématique20/20

Degré de liberté : 1 Rotation : 1 Translation : 0 Caractéristiques géométriques : Axe (A, y) Torseur cinématique : A V y 0 0 0 0 2/1 Ce torseur a cette forme et les mêmes valeurs en tout point de l'axe de rotation 3.2. Liaison glissière. Réalisation : Schématisation dans le plan Schématisation dans l'espace Degré de liberté : 1

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