Les Régulateurs Standards

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Systèmes électroniquesChapitre 7CD\SE\Cours\Chap7LES REGULATEURS STANDARDS1. Analyse comportementale des régulateursP, PI, PID analogiques2. PI, PID numériques3. Régulateurs tout ou rienMarc Correvon

T A B L ED E SM A T I E R E SPAGE7.LES REGULATEURS STANDARDS.17.1INTRODUCTION .17.1.1Généralités.17.1.2Amplificateur opérationnel .27.1.3Comparaison de la valeur de consigne et de la valeur réelle. .27.1.4Configuration générale d’un amplificateur de réglage.37.1.5Fonction de transfert.47.1.6Réponse harmonique.47.1.7Régulateur P.67.1.8Régulateur PI.67.1.9Régulateur PD.97.1.10Régulateur PID.177.2DISPOSITIFS DE LIMITATION .237.2.1Généralités.237.2.2Limitation par un pont à diodes.237.3LIMITATION SUR UN RÉGULATEUR COMPORTANT UNE COMPOSANTE INTÉGRALE .257.3.1Généralités.257.3.2Limitation cascadée au régulateur.257.3.3Limitation intégrée au régulateur.277.3.4Conclusion .287.4CORRECTION DE LA COMPOSANTE INTÉGRALE EN CAS DE LIMITATION .287.4.1Généralités.287.4.2Cas du régulateur PI.287.5RÉGULATEUR PI NUMÉRIQUE .337.5.1Description .337.5.2Intégration : approximation d’ordre zéro.337.5.3Intégration : approximation d’ordre un.347.5.4Implémentation dans un DSP .357.5.5Exemple d’algorithme pour régulateur PI.367.6RÉGULATEUR PID NUMÉRIQUE .437.6.1Description .437.6.2Différentiation .437.6.3Implantation dans un DSP.447.7REGULATEUR A ACTION À DEUX POSITIONS.457.7.1Généralités.457.7.2Principe de fonctionnement .457.7.3Régulateur à action à deux positions avec contre-réaction .47A.COMPLÉMENT MATHÉMATIQUE.51A.1RÉGULATEUR PD.51Bibliographie

LES REGULATEURS STANDARDSPage 17. LES REGULATEURS STANDARDS7.1INTRODUCTION7.1.1Généralités.Tout système à régler possède un régulateur, qu’il soit analogique ou numérique. Dans cechapitre, nous nous intéresserons aux régulateurs. Ces régulateurs ont pour tâche de comparer,en premier lieu, une valeur de consigne avec la valeur de mesure correspondante. En secondlieu, le régulateur agit sur la grandeur de commande pour rendre la valeur de mesure aussiproche que possible de la valeur de consigne.Comme exemple de circuit de réglage, on peut citer la régulation de la tension de sortie d’unealimentation à découpage. Dans ce cas, la tension de sortie du convertisseur est comparée àune valeur de consigne et, selon la charge, la température ou les variations de la tensiond’entrée, la tension de sortie est maintenue à la valeur de consigne désirée. La Figure 7-1illustre la structure de la boucle de réglage.Alimentation à découpageUeuSδModulateurdelargeur d'impulsionsG R (s)RégulateurG cm (s)dT STSMesuredetensionErreurRéférence - MesureCommandeduTransistorδ(τ)H(s) uREFGrandeurdeRéférenceFigure 7-1 : Schéma de principe de la régulation de tension d'un convertisseur DC/DCLe régulateur reçoit à son entrée la différence entre la valeur de référence (consigne) et cellede mesure (valeur réelle). Cette différence est appelée « Écart de réglage ». La Figure 7-2représente le schéma bloc fonctionnel pour la régulation de la tension de sortie.Dans ce schéma bloc, on distingue :GR(s)Gcm(s)Gs(s)H(s)CD\SE\Cours\Chap7: fonction de transfert du régulateur.: fonction de transfert du dispositif de commande (modulateur de largeurd’impulsion (PWM) et commande du transistor)Fonction de transfert du convertisseur de tension du filtre et de la charge: Fonction de transfert de la mesure de tension

LES REGULATEURS STANDARDSueucPage 2G R (s)usG cm (s)G s(s)urRégulateurDispositifde commandeSystèmeà réglerH(s)Dispositifde mesureFigure 7-2 : Schéma bloc de la boucle de réglageLes coefficients des régulateurs standards sont ajustables. Une fois ajustés, les coefficientsrestent fixes. L’ajustement optimal n’est donc possible que pour un point de fonctionnementdu système à régler. Si les caractéristiques statiques et dynamiques de ce dernier varient dansun large domaine, il y a des points de fonctionnement où l’amortissement dans le circuit deréglage n’est plus satisfaisant, et où il peut même apparaître un risque d’instabilité. Dans cescas critiques, on fait appel à des régulateurs adaptatifs. Leurs coefficients sont variables enfonction d’une tension de contrôle qui doit dépendre du point de fonctionnement, de sorte quele circuit de réglage est toujours stabilisé de manière optimale.Parfois les régulateurs doivent présenter des caractéristiques non linéaires. Il est assez souventnécessaire de limiter la tension de sortie d’un régulateur, par exemple pour éviter uneintervention trop brutale lors de l’apparition de phénomènes transitoires importants.7.1.2Amplificateur opérationnelPour la réalisation des diverses structures de régulateurs, nous admettrons que lesamplificateurs opérationnels sont idéaux. Si une caractéristique importante de l’amplificateuropérationnel peut influencer la qualité du régulateur, il en sera fait mention. Les hypothèsessimplificatrices sont donc les suivantes :Rin Rout 0Ib( ) Ib(-) 07.1.3: Résistance d’entrée infinie: Résistance de sortie nulle: Courant d’entrée nulleComparaison de la valeur de consigne et de la valeur réelle.La différence entre la valeur de consigne et la valeur de réelle, appelée écart de réglage estréalisée à l’aide de résistances de comparaison Rc et Rr et d’un amplificateur opérationnelutilisé en sommateur ou en montage différentielLa tension de consigne uc dont la polarité dépend du point de fonctionnement est fournie parun organe de contrôle amont (potentiomètre, Convertisseur D/A, ). La tension réelle ur estégale à la grandeur de sortie d’un organe de mesure de la grandeur à régler. Cette tension aune polarité inversée par rapport à uc. Pour obtenir une comparaison précise et constante entreles valeurs de consigne et réelle, on doit en général utiliser des résistances de précision.CD\SE\Cours\Chap7

LES REGULATEURS STANDARDSuc ur ue 0Rc Rr RsPage 3RC7.1uCRRue s uc s urRcRrRSRr7.2urueR0Sommateuru ( ) u ( ) RrcurRr Rrcu c u ( ) u ( ) u s RcRcsRrs Rcs RcRu e cs u c urRcRr RrsRcRC7.37.47.5R CSuCurueRrR rsMontage différentielFigure 7-3 : Comparaison de la valeur de consigne avec la valeur réelle7.1.4Configuration générale d’un amplificateur de réglageLes amplificateurs de réglage sont composés d’un amplificateur opérationnel et d’un réseaude contre-réaction adéquat. Cette contre-réaction a pour but de donner à l’amplificateur deréglage une fonction de transfert déterminée, apte à stabiliser le circuit de réglage. En plus, onréalise, sur les amplificateurs de réglage, la comparaison entre valeur de consigne et valeurréelle. Généralement on utilise des régulateurs standards tels que les régulateurs P, PD, PI etPID. Dans le cas le plus général, le montage extérieur de l’amplificateur de réglage consisteen trois quadripôles, dont deux bornes de chacun d’eux sont reliées au point zéro commun.On peut établir les relations suivantes1ue ( s)Z e (s)1is ( s ) u s ( s)Z s ( s)ie ( s ) ie ( s ) i s ( s ) 0Pour la tension de sortie, on obtientCD\SE\Cours\Chap77.67.77.8

LES REGULATEURS STANDARDSu s (s) Page 4Z s (s) ue ( s)Z e (s)7.9isZ s (s)ieZ e (s)ueuSR0Figure 7-4 : Configuration générale d’un amplificateur de réglage7.1.5Fonction de transfertA l’aide de la fonction de transfert GR(s) d’un régulateur, on peut écrire la relation généraleu s ( s ) GR ( s) ue ( s)7.10qui correspond au schéma bloc de la Figure 7-5u e (s)G R (s)u s (s)Figure 7-5 : Schéma bloc d’un régulateur7.1.6Réponse harmoniqueLes réponses harmoniques des régulateurs et des filtres sont souvent représentées par desportions de droites représentant les asymptotes des courbes réelles. Les allures du module etde la phase de la réponse harmonique pour un régulateur PI sont représentées sur les figuresci-dessous.CD\SE\Cours\Chap7

LES REGULATEURS STANDARDSPage 5-20dB/decadeω 0 /21dBω02ω 01dB0dB3dBFigure 7-6 : Réponse harmonique (module) pour un régulateur PI0 5.7 10ω 0 45 /decadeω045 ω 0/105.7 -90 Figure 7-7 : Réponse harmonique (phase) pour un régulateur PIPour la phase, il peut être intéressant de tracer la tangente au point d’inflexion situé au milieude la déviation totale de la plage angulaire.0 4.81ω 0ω045 ω 0/4.81-90 Figure 7-8 : Réponse harmonique (phase) pour un régulateur PILorsque la réponse harmonique d’un système est d’ordre supérieur à 1 et si le systèmepossède plusieurs pôles et zéros réelles, l’approximation par des droites peut devenirinsuffisante. Dans ce cas, l’utilisation de programmes informatiques (MathCad, Mathematica,Mapple, Matlab, ) dédicacés aux applications mathématiques permet de tracer aisément laréponse harmonique d’un système complexe sans utiliser d’approximation par des droites. Lesoin est laissé à l’étudiant d’investiguer dans ce sens.CD\SE\Cours\Chap7

LES REGULATEURS STANDARDS7.1.7Page 6Régulateur P7.1.7.1 Fonction de transfertLa fonction de transfert du régulateur P prend la forme générale suivanteGR ( s) K p7.117.1.7.2 Réalisation pratiqueLa Figure 7-9 présente le schéma de principe d’un régulateur PR2R1ueuSR0Figure 7-9 : Schéma d'un régulateur POn peut écrire la relation générale au nœud (-) de l'amplificateurue11 usR1R27.12et finalement la fonction de transfertGR ( s) 7.1.8U s ( s ) R2 U e ( s ) R17.13Régulateur PI7.1.8.1 Fonction de transfertLa fonction de transfert du régulateur PI prend la forme générale suivanteGR ( s ) K pCD\SE\Cours\Chap71 s Tis Ti7.14

LES REGULATEURS STANDARDSPage 77.1.8.2 Réalisation pratiqueLa Figure 7-10 présente le schéma de principe d’un régulateur PI (proportionnel-intégrateur).R2C2R1UeUSR0Figure 7-10 : Schéma de principe du régulateur PIIl possède un circuit de contre-réaction formé d’un condensateur C2 mis en série avec larésistance R2On peut écrire la relation générale au nœud (-) de l'amplificateurUe1 sR2 C 21 UsR1sC 27.15et finalement la fonction de transfertGR ( s) U s ( s ) R2 1 sR2 C 2 U e ( s ) R1 sR2 C 27.16avecKp R2R17.17etTi R2 C 27.187.1.8.3 Réponse harmoniqueLa réponse harmonique du régulateur PI est représentée à la Figure 7-11.Les diverses courbes permettent de définir l'influence de chaque composant sur les résultats. Une variation de R1 provoque une translation verticale du module (une augmentation deR1 entraîne une translation vers le bas de la courbe).CD\SE\Cours\Chap7

LES REGULATEURS STANDARDSPage 8 Une variation de R2 provoque une translation oblique (20dB/décade) du module (uneaugmentation de R2 entraîne une translation dans le sens décroissant des pulsations etcroissant du module). Une variation de C2 provoque une translation horizontale du module (une augmentationde C2 entraîne une translation vers la gauche).Diagramme de Bode100 GR (ω) [d B]8060Légende :340420200arg(GR (ω)) [D 0R110R1R1R1103410510ω [rad/sec ]Figure 7-11 : Réponse harmonique du régulateur PI : R1 10k, R2 100k, C2 10nF7.1.8.4 Réponse indicielleL’expression de la fonction de transfert selon 7.16 se prête particulièrement bien à ladétermination de la réponse indicielle γR(t) (grandeur rapportée à la tension d'entrée). Apartir de la relation générale, on obtientKpKp1L[γ R (t )] GR ( s ) 2 ss Tis7.19D’où l’on tire par la transformée de Laplace inverseγ R (t ) t KpTi / K p7.20Cette réponse indicielle est représentée à la Figure 7-12 . A l’instant initial (t 0 ), on observeun saut égal à Kpε(0 ), correspondant à la composante proportionnelle. Ensuite γR(t) augmentelinéairement en fonction du temps t en correspondance avec la composante intégrale.On peut donc déterminer Ti et Kp expérimentalement à partir de la réponse indicielle. Lavaleur de la réponse indicielle augmente pour t théoriquement jusqu’à γR(t) . Enréalité, la tension de sortie d’un amplificateur opérationnel est limitée par sa tension desaturation. Pour enregistrer expérimentalement la réponse indicielle, il est nécessaired’appliquer à l’entrée de l’amplificateur de réglage une petite variation de la tension ue desorte que la tension de sortie reste, pour une grande partie du phénomène transitoire, dans leslimites données par la saturation, afin de relever correctement la composante intégrale.CD\SE\Cours\Chap7

LES REGULATEURS STANDARDSPage 91203100Légende :1:2:3:4:γR (t) [V .20.30.40.50. 6t [s]0.70.80. 91x 10-3Figure 7-12 : Réponse indicielle du régulateur PI : R1 10k, R2 100k, C2 10nF7.1.9Régulateur PD7.1.9.1 Fonction de transfertCe type de régulateur est utilisé pour augmenter la marge de phase. Pour des fréquencesélevées, la partie dérivée pose un problème majeur de stabilité. Il est donc judicieux d'ajouterun pôle afin de limiter l'effet dérivateur à des fréquences inférieures à la fréquence depulsation Fp.La fonction de transfert de ce type de régulateur est donnée par la relation1 sTz Kp GR ( s) K p 1 sT p(1 (1 sωzsωp))7.21Le déphasage maximum se situe à une pulsation ωϕmax correspondant à la moyennegéométrique des pulsations ωz et ωp (voir annexe mathématique §A.1)ωϕ max ω p ω z7.22Pour obtenir une marge de phase maximum, le régulateur PD doit être dimensionné pour quela pulsation ωϕmax corresponde à la pulsation de coupure ωC de la fonction de transfert enboucle ouverte.La valeur de la phase à cette pulsation se détermine en remplaçant s par jωϕmax. Aprèsquelques calculs on obtientCD\SE\Cours\Chap7

LES REGULATEURS STANDARDSPage 10 ωpω z ωzωp ϕ (GR ( jωϕ max )) tan 1 2 7.23Cette relation peut être résolue en fonction de ϕmax (voir annexe)ω p 1 sin(ϕ max ) ω z 1 sin(ϕ max )7.24Finalement, connaissant la pulsation de coupure ωC de la fonction de transfert en boucleouverte, et en faisant coïncider à cette pulsation ωC la pulsation correspondant au déphasagemaximum du régulateur PD, soit la pulsation ωϕmax, on peut écrire la relation.ω z ωC1 sin(ϕ max )1 sin(ϕ max )ω p ωC1 sin(ϕ max )1 sin(ϕ max )7.25G R ( ω ) [dB]KPωpωzKPωpωzω max ω [ rad / s ]ωp ω zarg(G R (ω ))ϕ max45 / décade45 / décade0 ω z / 10ω p / 1010 ω z10 ωpω [ rad / s ]ω max ω p ω zFigure 7-13 : Diagramme de Bode (Amplitude et Phase) du régulateur PDCD\SE\Cours\Chap7

LES REGULATEURS STANDARDS90Page 11φmax f(ωp , ωz) [Deg]80706050403020100 010110ωp/ωz [1]102310Figure 7-14 : Déphasage maximum en fonction du rapport ωz/ωp pour un régulateur PD7.1.9.2 Réalisation pratique.En pratique, il existe un grand nombre de façon de réaliser un régulateur PD, toutefois lechoix de l'amplificateur opérationnel reste un point déterminant. La Figure 7-15 illustre un telrégulateur.C1R2R C1R1ueusR0Figure 7-15 Régulateur PDOn peut écrire la relation générale au nœud (-) de l'amplificateurUe1 s (RC1 R1 )C1 11 Us1 sRC1C1R1R2et finalement la fonction de transfertCD\SE\Cours\Chap77.26

LES REGULATEURS STANDARDSGR ( s) Page 12U s ( s ) R2 1 s (RC1 R1 )C1 U e ( s ) R11 sRC1C17.27avecKp R2R17.281(RC1 R1 )C11ωp RC1C1ωz 7.297.307.1.9.3 Exemple de régulateur PDOn prend pour exemple un régulateur PD ayant un gain statique KP 2 et une avance dephase maximum fixée à ϕmax 55 pour une pulsation de ωC 1000 rad/s.Le zéro de la fonction de transfert correspond à une pulsation deω z ωC1 sin(ϕ max )1 sin(55) 10 3 3.15 10 2 [rad / s ]1 sin(ϕ max )1 sin(55)7.31alors que le pôle de la fonction de transfert correspond à une pulsation deω p ωC1 sin(ϕ max )1 sin(55) 10 3 3.17 10 3 [rad / s ]1 sin(ϕ max )1 sin(55)7.32Le dimensionnement du régulateur se déroule de la manière suivante1 Choix : C1 33nF2 RC1 1ω p C1 11 13 R1 ω ω Cp 1 z 11 14 R2 K p ω ω Cp 1 zA.N . : RC1 9.55kΩA.N . : R1 86.6kΩA.N . : R2 123kΩLa Figure 7-15 illustre le diagramme de Bode du régulateur PDCD\SE\Cours\Chap77.33

LES REGULATEURS STANDARDSPage 13Diagramme de Bode25 GR (ω) [ dB]2015105060arg( GR (ω)) [D eg]φmax 55 30001012101010343ωc 1010510ω [rad/s]Figure 7-16 : Diagramme de Bode du régulateur PDωC 1krad/s, ϕmax 55 , Kp 2 , C 33nF,RC1 9.55k, R1 86.6k, R2 123k7.1.9.4 Réponse indicielleA partir de la relation générale 7.21, on peut déterminer de la réponse indicielle γR(t).(grandeur rapportée à la tension d'entrée)1L[γ R (t )] GR ( s ) K ps Tz 1 s (1 sT ) (1 sT ) pp 7.34D’où l’on tire par la transformée de Laplace inverse Tz T p Tpγ R (t ) K p 1 e t / T p 7.35Cette réponse indicielle est représentée à la Figure 7-12 . A l’instant initial (t 0), on aγ R ( 0) K pTzTp7.36correspondant à l'effet dérivateur. Ensuite γR(t) diminue exponentiellement en fonction dutemps t. La valeur finale (t ) valantγ R ( ) K pCD\SE\Cours\Chap77.37

LES REGULATEURS STANDARDSPage 1415γR (t) [ V/V]105000.51 t [s]1.5x 10-3Figure 7-17 : Réponse indicielle du régulateur PDωC 1krad/s, ϕmax 55 , Kp 2 , C 33nF,RC1 9.55k, R1 86.6k, R2 123k7.1.9.5 Caractéristique réelle de l'amplificateur.En réalité la fonction de transfert donnée par la relation 7.27 est idéalisée par le fait que l’onsuppose infinie l’amplification (en tension ) de l’amplificateur opérationnel. Le calcul de lafonction de transfert avec une amplification finie est relativement complexe. On se limiterapar la suite à une déduction qualitative, donnant des résultats satisfaisants, à l’aide de laréponse harmonique.isieueZ e (s)Z s (s)ui-Au iuSFigure 7-18 : Configuration d’un régulateur avec caractéristique réelle de l'amplificateur opèrationelDe la Figure 7-18, on peut écrire :CD\SE\Cours\Chap7

LES REGULATEURS STANDARDS Page 15u e ( s ) ui ( s ) u s ( s) ui ( s) 0Z e ( s)Z s (s)7.38etu s ( s) A( s ) ui ( s )7.39et par conséquent, après quelques calculs, on peut écrire pour la réponse harmoniqueu s ( jω ) Z s ( jω )A( jω )u c ( jω )Z e ( jω )Z e ( jω ) Z s ( jω ) 1A( jω ) Z e ( j ω ) Z s ( jω )1444244437.40β ( jω )La fonction de transfert de l'amplificateur est considérée comme un retard du 1er ordre dont laforme est la suivanteA A01 s 2πFT7.41où A0 représente le gain DC de l'amplificateur opérationnel en boucle ouverte et FT lafréquence de coupure. La Figure 7-19 illustre un exemple.Diagramme de Bode120 GR (ω) [dB ]1001280601:2:3:4:340420090arg(GR (ω) [De g]Légende :AmplificateurRC1 9.55ΩRC1 95.5ΩRC1 9.55kΩ2453401-45-90010110210103410105610710ω [rad/sec]Figure 7-19 Diagrame de Bode du régulateur PD avec amplificateur opérationnel réelωC 1krad/s, ϕmax 55 , Kp 2 , C 33nF,RC1 9.55k, R1 86.6k, R2 123k, A0 120dB, FT 50HzLa réponse indicielle montre de manière évidente les effets de la caractéristique del'amplificateur.CD\SE\Cours\Chap7

LES REGULATEURS STANDARDSPage 1610008004600γR (t) [V/V]4002000-2003-400-600-800012t [s]x 10-4Figure 7-20 : Réponse indicielle du régulateur PD avec amplificateur opérationnel réelωC 1krad/s, ϕmax 55 , Kp 2 , C 33nF,RC1 9.55k, R1 86.6k, R2 123k, A0 120dB, FT 50HzOn constate l’apparition d’oscillations mal amorties à une pulsation ω très élevée . Ceciprovient du fait que la boucle formée par le réseau de contre-réaction et l’amplificateuropérationnel se trouve très proche de la limite de stabilité.Diagramme de Bode150βA(ω) [dB ]1001Légende :501:2:3:4:403-502AmplificateurRC1 9.55ΩRC1 95.5ΩRC1 9.55kΩa rg(βA (ω) [De � [rad/sec]Figure 7-21 : Bode en boucle ouverte A(jω)β(jω)ωC 1krad/s, ϕmax 55 , Kp 2 , C 33nF,RC1 9.55k, R1 86.6k, R2 123k, A0 120dB, FT 50HzCD\SE\Cours\Chap7

LES REGULATEURS STANDARDSPage 17Effectivement pour ω très élevée, le réseau de contre-réaction provoque un déphasage prochede –90 .β ( jω ) Z e ( jω )Z e ( jω ) Z s ( jω )7.42De même, l’amplificateur opérationnel présente un déphasage proche de –90 , de sorte que ledéphasage total β(ω)A(ω) (boucle ouverte vaut presque 180 . Pour pallier cet inconvénient,on doit utilise la résistance RC1 en série avec le condensateur C1. Celle-ci amène le déphasagedu réseau de contre-réaction vers 0 pour ω . Ceci permet de rendre la boucle de contreréaction bien amortie.β ( jω ) A( jω ) Z e ( jω )A0Z e ( jω ) Z s ( jω ) 1 jω 2πFT7.437.1.10 Régulateur PID7.1.10.1Fonction de transfertLe régulateur PD vu au paragraphe précédent présente un inconvénient aux basses fréquencespar le fait qu'il a un gain limité. Il existe donc une erreur statique qui peut être éliminée parl'adjonction d'une composante intégrale. La relation 7.44 donne la fonction de transfert durégulateur PID usuellement utilisé pour ce type d'applicationPartie PDωs64748(1 L )(1 ) (1 sTz )ωzs1 KPGR ( s ) K P 1 sssTi (1 sT p1 )(1 sT p 2 ) 1(1 )(1 )4243Partie PIω p17.44ω p2La Figure 7-22 illustre, sous forme du diagramme de Bode, l'amplitude et la phase en fonctionde la pulsation d'un tel régulateur.Le zéro à la pulsation ωz permet d'ajouter une avance de phase dans le voisinage de lapulsation de coupure ωC comme pour le régulateur PD.S'il a été possible de définir des relations mathématiques exactes pour les pulsationscaractéristiques ωz, ωp, ωϕmax du régulateur PD, il n'en est plus de même pour le régulateurPID tel qu'il est défini par la relation 7.44. Une manière pratique de choisir les différents zéroset pôles du régulateur peut être décrite de la manière suivante.1. Choix de l'avance de phase maximum ϕmax.2. Définir, par rapport au système à régler la pulsation ωC correspondant au gain unitépour la fonction de transfert en boucle ouverte.3. Calculer les pulsations ωz, et ωp14. Calculer ωL comme ω L ω Z / 105. Calculer ωp2 comme ω p 2 10 ω p1CD\SE\Cours\Chap7

LES REGULATEURS STANDARDSPage 18G R (ω ) [dB]Partie PIPartie PDPartie filtre PBKpωLωzω p1ωp2ω [ rad / s ]arg(GR (ω))ϕ maxωL / 1010 ωp1ω z / 1010 ω Lω p 2 / 10ω [ rad / s ]10 ω zω p1 / 10 90 Figure 7-22 : Diagramme de Bode (Amplitude et Phase) du régulateur PID7.1.10.2Réalisation pratique.En pratique, il existe un grand nombre de façon de réaliser un régulateur PID. La Figure 7-15illustre un tel régulateur.C3C1R C1R2C2R1UeUsR0Figure 7-23 Régulateur PIDCD\SE\Cours\Chap7

LES REGULATEURS STANDARDSPage 19On peut écrire la relation générale au nœud (-) de l'amplificateurUe1 s(RC1 R1 )C1 1 Us1 sRC1C1R1C 2 C3C1 C3s (C 2 C3 )1 sR2 C 21 sR27.45et finalement la fonction de transfertGR ( s) U s ( s ) R2 C 2 U e ( s ) R1 C 2 C3(1 sR2 C 2 )(1 s ( R1 RC1 )C1 )CCsR2 C 2 (1 sR2 2 3 )(1 sRC1C1 )C 2 C37.46avecR2 C 2R1 C 2 C31ωL R2 C 21ωz (RC1 R1 )C11ω p1 RC1C11ω p2 CCRC 2 2 3C 2 C3Kp 7.1.10.37.477.487.49Exemple de régulateur PIDSoit le régulateur PID suivant1. Avance de phase maximum :2. Pulsation correspondant à ϕmax :3. Calcul des pulsations ωz, et ωp1 :4. Calcul de ωL :5. Calcul de ωp2 :ϕ max 75 .ω C 5 10 3 [rad / s] .ω z 3.15 10 4 [rad / s] ,ω p1 3.17 10 5 [rad / s ]ω L ω Z / 10 3.15 10 3 [rad / s]ω p 2 10 ω p1 3.17 10 6 [rad / s]Le dimensionnement du régulateur se déroule de la manière suivante1 Choix : C 2 33nF 1 11 12 R1 ω L K p ω z ω p1 C 2 CD\SE\Cours\Chap7A.N . : R1 280kΩ

LES REGULATEURS STANDARDSPage 20 11 1ωz ω p3 C1 C2 1 11 ω K ω ω p1 L p z1C24 R2 A.N . : C1 5.3nFA.N . : R2 460kΩωL 111 ω L K p ω z ω p1 15 RC1 11 C 2ω p1 ω z ω p1 1C26 C3 ω p2 1A.N . : RC1 4.9kΩA.N . : C3 5.7 pFωLLa Figure 7-24 illustre le diagramme de Bode du régulateur PIDDiagramme de Bode100 GR ( ω) [dB]8060Légende :12:2030903:RC1C3RC1C3RC1C3 1φmax 75 arg(GR (ω) [D eg]1:2404520-453-90010110210103410105610710ω [rad/sec]Figure 7-24 : Diagramme de Bode du régulateur PIDR1 280k , RC1 4.9k, R2 460k, C1 5.3nF, C2 33nF, C3 5.7pF7.1.10.4Réponse indicielleA partir de la relation générale 7.44, on peut déterminer de la réponse indicielle γR(t).(grandeur rapportée à la tension .7pF

LES REGULATEURS STANDARDSPage 21K (1 sTz )11 L[γ R (t )] GR ( s ) P 1 ss sTi (1 sT p1 )(1 sT p 2 )7.50D’où l’on tire par la transformée de Laplace inverseγ R (t ) tt ()()()()TTTTTTTTTTTT TTtzp1p2p1zp1p2zp2Kp e p1 ie p2 i i()()TTTTTTTT {ip1p2p1p242i 4443 14i444444444244i444444443 Partie I 144PartiePPartieD Passe bas 7.51Cette réponse indicielle est représentée à la Figure 7-25.A l’instant initial (t 0), on observe un saut égal àγ R (0) Tp 2 0γ R (0) Tp 2 0 0 Kp7.52TzT p1En comparant avec la relation 7.36, on voit que pour Tp2 0, il y a similitude entre lesrégulateur PD et PID.Par contre en ajoutant un filtre Passe-Bas (Tp2 0), la valeur initiale de la réponse indiciellepart de zéro.La Figure 7-25 montre la partie PD du régulateur PID. Pour des temps plus longs, on retrouvela partie intégrale du régulateur.1009028070Légende :γR (t) [ V/V]32:603:50RC1C3RC1C3 4.9kΩ0F4.9kΩ5.7pF40302010000.10.20.30.40.5t [s]0. 60.70.80. 91x 10-4Figure 7-25 : Réponse indicielle du régulateur PID R1 280k , RC1 4.9k, R2 460k, C1 5.3nF, C2 33nFCD\SE\Cours\Chap7

LES REGULATEURS STANDARDSPage 22Amplificateur opérationnel réel7.1.10.5En se référant au §7.1.9.5, on peut tenir compte du comportement en fréquence del'amplificateur opérationnel. On rappelle ici la réponse harmonique de ce dernierA A01 s 2πFT7.53Pour notre exemple, nous avons admisA 0 100dBFT 50 HzDiagramme de Bode100 G (ω) [dB ]R801Légende :601:2:3:40220AmpliPIDAmpli & PID3090a rg(G (ω) [De g]Rφmax 75 4520-4531-90-135010110210103410105610710ω [rad/sec]Figure 7-26 : Réponse harmonique du régulateur PID réelleR1 280k , RC1 4.9k, R2 460k, C1 5.3nF, C2 33nF

On peut écrire la relation générale au nœud (-) de l'amplificateur 1 2 1 1 R u R ue s 7.12 et finalement la fonction de transfert 1 2 ( ) ( ) R R U s U s G s e s R 7.13 7.1.8 Régulateur PI 7.1.8.1 Fonction de transfert La fonction de transfert du régulateur PI prend la forme générale suivante i i R p s T s T G s K 1 .

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par un Pacs vivant sous le même toit, les enfants (légitimes, natu-rels ou adoptés), les petits-enfants, un frère ou une sœur, le père, la mère, les beaux-parents, les grands-parents, le tuteur légal, les beaux-frères et belles-sœurs, les gendres et belles-filles, les oncles et tantes, les neveux et nièces de l’Assuré. NULLITÉ

par un Pacs vivant sous le même toit, les enfants (légitimes, natu-rels ou adoptés), les petits-enfants, un frère ou une sœur, le père, la mère, les beaux-parents, les grands-parents, le tuteur légal, les beaux-frères et belles-sœurs, les gendres et belles-filles, les oncles et tantes, les neveux et nièces de l’Assuré.