Mini-curso: Modelo De Anderson Parte 1: Introducción Y Objetos Básicos

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Mini-curso: Modelo de AndersonParte 1: introducción y objetos básicosChristian SadelC. Sadel (PUC Chile)Mini-curso: Modelo de Andersonescuela doctoral1 / 38

Section 1Introducción a la mecánica cuántica, su formulaciónmatemática y al modelo de AndersonC. Sadel (PUC Chile)Mini-curso: Modelo de Andersonescuela doctoral2 / 38

Premio Nobel 1977, teorı́a de sistemas desordenadas ymagnéticasC. Sadel (PUC Chile)Mini-curso: Modelo de Andersonescuela doctoral3 / 38

sistemas cuánticas desordenados - operadores aleatoriosEl estudio de operadores aleatorios en fı́sica empecé con un articulo dePhilip Warren Anderson en 1958.C. Sadel (PUC Chile)Mini-curso: Modelo de Andersonescuela doctoral4 / 38

Por qué sistemas desordenados / aleatoriosEjemplo 1: Semi-conductores dopados: En semi-conductores dopadoshay un átomo o material de base (por ejemplo silicio) que estacambiado a un otro átomo en algunos lugares (por ejemplo fósforo).C. Sadel (PUC Chile)Mini-curso: Modelo de Andersonescuela doctoral5 / 38

Por qué sistemas desordenados / aleatoriosEjemplo 1: Semi-conductores dopados: En semi-conductores dopadoshay un átomo o material de base (por ejemplo silicio) que estacambiado a un otro átomo en algunos lugares (por ejemplo fósforo).C. Sadel (PUC Chile)Mini-curso: Modelo de Andersonescuela doctoral5 / 38

Por qué sistemas desordenados / aleatoriosEjemplo 1: Semi-conductores dopados: En semi-conductores dopadoshay un átomo o material de base (por ejemplo silicio) que estacambiado a un otro átomo en algunos lugares (por ejemplo fósforo).El proceso de dopaje es aleatorio, el nivel de energı́a de’extra’-electrón de fósforo es dependiente de todo entorno y esaleatorio.C. Sadel (PUC Chile)Mini-curso: Modelo de Andersonescuela doctoral5 / 38

Por qué sistemas desordenados / aleatoriosEjemplo 1: Semi-conductores dopados: En semi-conductores dopadoshay un átomo o material de base (por ejemplo silicio) que estacambiado a un otro átomo en algunos lugares (por ejemplo fósforo).El proceso de dopaje es aleatorio, el nivel de energı́a de’extra’-electrón de fósforo es dependiente de todo entorno y esaleatorio.Se puede controlar la densidad de dopaje muy precisamente, pero noexactamente, los átomos de fósforo no forman un cristal perfecto.C. Sadel (PUC Chile)Mini-curso: Modelo de Andersonescuela doctoral5 / 38

Por qué sistemas desordenados / aleatoriosEjemplo 1: Semi-conductores dopados: En semi-conductores dopadoshay un átomo o material de base (por ejemplo silicio) que estacambiado a un otro átomo en algunos lugares (por ejemplo fósforo).El proceso de dopaje es aleatorio, el nivel de energı́a de’extra’-electrón de fósforo es dependiente de todo entorno y esaleatorio.Se puede controlar la densidad de dopaje muy precisamente, pero noexactamente, los átomos de fósforo no forman un cristal perfecto.Ejemplo 2: Cristal con defectos: No hay un cristal perfecto, siemprehay defectos, los lugares son aleatoriosC. Sadel (PUC Chile)Mini-curso: Modelo de Andersonescuela doctoral5 / 38

Modelo de AndersonModelo: La partı́cula se puede saltar a los lugares de vecinos y losniveles de energı́a son aleatorios.C. Sadel (PUC Chile)Mini-curso: Modelo de Andersonescuela doctoral6 / 38

Modelo de AndersonModelo: La partı́cula se puede saltar a los lugares de vecinos y losniveles de energı́a son aleatorios.C. Sadel (PUC Chile)Mini-curso: Modelo de Andersonescuela doctoral6 / 38

Mecánica cuántica - formulación MatemáticaUna partı́cula es descrito por un ’estado’. Estados puros son vectoresunitarios en un espacio de Hilbert.C. Sadel (PUC Chile)Mini-curso: Modelo de Andersonescuela doctoral7 / 38

Mecánica cuántica - formulación MatemáticaUna partı́cula es descrito por un ’estado’. Estados puros son vectoresunitarios en un espacio de Hilbert.Un espacio de Hilbert es un espacio vectorial H, complejo, con unafunción h· , ·i (producto escalar) de H H C tal que:hλu, γvi λ̄ γ hu , vi para λ, γ C y u, v H (version fı́sica)hu v , wi hu , wi hv , wi, hu , vi hv , ui para u, v, w H.u 6 0 H hu , ui 0 (en particular: hu, ui R).pH es completo referente la norma kuk hu, ui.C. Sadel (PUC Chile)Mini-curso: Modelo de Andersonescuela doctoral7 / 38

Mecánica cuántica - formulación MatemáticaUna partı́cula es descrito por un ’estado’. Estados puros son vectoresunitarios en un espacio de Hilbert.Un espacio de Hilbert es un espacio vectorial H, complejo, con unafunción h· , ·i (producto escalar) de H H C tal que:hλu, γvi λ̄ γ hu , vi para λ, γ C y u, v H (version fı́sica)hu v , wi hu , wi hv , wi, hu , vi hv , ui para u, v, w H.u 6 0 H hu , ui 0 (en particular: hu, ui R).pH es completo referente la norma kuk hu, ui.Vamos a trabajar en ’espacios discretos’,en el espacio deP entonces22Hilbert H (G) {u : G C u(x) }x Gdonde G es un conjunto numerable (los plazos, donde se puedeencontrar laPpartı́cula)Phu , vi u(x) v(x) , kuk2 u(x) 2 .x GC. Sadel (PUC Chile)x GMini-curso: Modelo de Andersonescuela doctoral7 / 38

Mecánica cuántica - formulación Matemática 2 (G) {u : G C P u(x) 2 }, G numerable.x Gψ 2 (G) es un estado (puro) si kψk2 P ψ(x) 2 1.x GC. Sadel (PUC Chile)Mini-curso: Modelo de Andersonescuela doctoral8 / 38

Mecánica cuántica - formulación Matemática 2 (G) {u : G C P u(x) 2 }, G numerable.x Gψ 2 (G) es un estado (puro) si kψk2 P ψ(x) 2 1.x GInterpretación: ψ(x) 2 es la probabilidad de encontrar la partı́culaen el lugar x G.Eso es la ’probabilidad intrı́nseca’ de mecánica cuántica - no es laprobabilidad que viene de modelo de Anderson. En el formalismo demecánica cuántica el movimiento de estado ψ(t) de tiempo t esdeterminista. Dónde se puede encontrar la partı́cula es aleatorio.C. Sadel (PUC Chile)Mini-curso: Modelo de Andersonescuela doctoral8 / 38

Mecánica cuántica - formulación Matemática 2 (G) {u : G C P u(x) 2 }, G numerable.x Gψ 2 (G) es un estado (puro) si kψk2 P ψ(x) 2 1.x GInterpretación: ψ(x) 2 es la probabilidad de encontrar la partı́culaen el lugar x G.Eso es la ’probabilidad intrı́nseca’ de mecánica cuántica - no es laprobabilidad que viene de modelo de Anderson. En el formalismo demecánica cuántica el movimiento de estado ψ(t) de tiempo t esdeterminista. Dónde se puede encontrar la partı́cula es aleatorio.El movimiento de estado ψ(t) de tiempo t es descrito por unoperador H auto-adjunto sobre 2 (G). H se llama HamiltonianoC. Sadel (PUC Chile)Mini-curso: Modelo de Andersonescuela doctoral8 / 38

Mecánica cuántica - formulación Matemática 2 (G) {u : G C P u(x) 2 }, G numerable.x Gψ 2 (G) es un estado (puro) si kψk2 P ψ(x) 2 1.x GInterpretación: ψ(x) 2 es la probabilidad de encontrar la partı́culaen el lugar x G.Eso es la ’probabilidad intrı́nseca’ de mecánica cuántica - no es laprobabilidad que viene de modelo de Anderson. En el formalismo demecánica cuántica el movimiento de estado ψ(t) de tiempo t esdeterminista. Dónde se puede encontrar la partı́cula es aleatorio.El movimiento de estado ψ(t) de tiempo t es descrito por unoperador H auto-adjunto sobre 2 (G). H se llama HamiltonianoEn el modelo de Anderson tambien el movimiento del estado ψ(t) vaa ser aleatorio en el sentido que el Hamiltoniano va a ser aleatorio.C. Sadel (PUC Chile)Mini-curso: Modelo de Andersonescuela doctoral8 / 38

Operadores acotados, auto-adjuntos, unitariosSea H espacio de Hilbert, un operador lineal T : H H sobre H esacotado sikT k : sup kT uk kuk 1El conjunto de operadores lineales acotados se escribe B(H).C. Sadel (PUC Chile)Mini-curso: Modelo de Andersonescuela doctoral9 / 38

Operadores acotados, auto-adjuntos, unitariosSea H espacio de Hilbert, un operador lineal T : H H sobre H esacotado sikT k : sup kT uk kuk 1El conjunto de operadores lineales acotados se escribe B(H).Sea T B(H). El operador adjunto de T se escribe T y es dado por u, v H : hu, T vi hT u , vi hv , T uiH B(H) es auto-adjunto si H H , es decir: u, v H : hu , Hvi hHu , vi hv , Hui .C. Sadel (PUC Chile)Mini-curso: Modelo de Andersonescuela doctoral9 / 38

Operadores acotados, auto-adjuntos, unitariosSea H espacio de Hilbert, un operador lineal T : H H sobre H esacotado sikT k : sup kT uk kuk 1El conjunto de operadores lineales acotados se escribe B(H).Sea T B(H). El operador adjunto de T se escribe T y es dado por u, v H : hu, T vi hT u , vi hv , T uiH B(H) es auto-adjunto si H H , es decir: u, v H : hu , Hvi hHu , vi hv , Hui .U B(H) es unitario si cumple uno de propiedades equivalentesa) UU 1 U U donde 1u u,C. Sadel (PUC Chile)b) u, v H : hu, vi hUu, UviMini-curso: Modelo de Andersonescuela doctoral9 / 38

Movimiento cuanticaSea ψt el estado de partı́cula de tiempo t. El movimiento cuántica esdado por un operador auto-adjunto H sobre 2 (G) y cumple (enunidades naturales, 1) la ecuación de Schrödingerdψt H ψt .idtC. Sadel (PUC Chile)Mini-curso: Modelo de Andersonescuela doctoral10 / 38

Movimiento cuanticaSea ψt el estado de partı́cula de tiempo t. El movimiento cuántica esdado por un operador auto-adjunto H sobre 2 (G) y cumple (enunidades naturales, 1) la ecuación de Schrödingerdψt H ψt .idtDado ψ0 la solución está X( itH)n itH itHψt eψ0 con e n!n 0C. Sadel (PUC Chile)Mini-curso: Modelo de Andersonescuela doctoral10 / 38

Movimiento cuanticaSea ψt el estado de partı́cula de tiempo t. El movimiento cuántica esdado por un operador auto-adjunto H sobre 2 (G) y cumple (enunidades naturales, 1) la ecuación de Schrödingerdψt H ψt .idtDado ψ0 la solución está X( itH)n itH itHψt eψ0 con e n!n 0Para la norma en B(H) se puede probar fácilmente kABk kAk kBky con eso k(itH)n k kitHkn t n kHkn que implica Xk( itH)n kn 0n! X t n kHknn 0n! e t n kHkn .Entonces la serie para e itH converge absolutamente y por esoconverge en B( 2 (G)).C. Sadel (PUC Chile)Mini-curso: Modelo de Andersonescuela doctoral10 / 38

TeoremaSi H esta acotada y auto-adjunto, entonces Ut e itH es unitario (parat R) y Ut U t .demostración.primero: h·, ·i es continua referente la norma inducida, se puede cambiarlimites con producto escalar. Con convergencia absoluta obtenemos parau, v 2 (G) H quehu, e itHvi Xn 0( it)n nu,H vn! X(it)nn 0n!nH u, v he itH u, vi.entonces Ut U t . Con formula del producto de series absolutamenteconvergentes se obtiene e aH e bH e (a b)H y con esoUt Ut 1 Ut Ut .C. Sadel (PUC Chile)Mini-curso: Modelo de Andersonescuela doctoral11 / 38

ProposiciónSi U es unitario y ψ 2 (G) un estado, entonces Uψ es un estado:kUψk2 hUψ , Uψi hψ , ψi 1CorolarioSi H es (acotado) auto-adjunto y ψ0 un estado, entonces ψt e itH ψ esun estado. (Entonces ψt (x) 2 define una medida de probabilidad sobre G.)C. Sadel (PUC Chile)Mini-curso: Modelo de Andersonescuela doctoral12 / 38

ProposiciónSi U es unitario y ψ 2 (G) un estado, entonces Uψ es un estado:kUψk2 hUψ , Uψi hψ , ψi 1CorolarioSi H es (acotado) auto-adjunto y ψ0 un estado, entonces ψt e itH ψ esun estado. (Entonces ψt (x) 2 define una medida de probabilidad sobre G.)Interpretación de términos de HamiltonianoSea δx 2 (G), δx (y ) 0 si y 6 x y δx (x) 1. Si x 6 y , hδx , Hδy i 6 0,la partı́cula puede saltar de x a y (energı́a cinética) y eso pasa con tasa hδx , Hδy i . V (x) hδx , Hδx i R es un potencial (energı́a de lugar) en x.Definición y proposición, Conservación de energı́aPara un estado ψ, la esperanza de energı́a es dado por hψ, H ψi Rque es constante: hψt , H ψt i hψ0 , e itH He itH ψ0 i hψ0 , H ψ0 i.C. Sadel (PUC Chile)Mini-curso: Modelo de Andersonescuela doctoral12 / 38

Operador de Schrödinger en ZdConsidera GP Zd . Puntos x, y Zd son vecinos en Zd sikx y k1 dj 1 xj yj 1, es decir x y ej para algoj 1, . . . , d, donde (ej )dj 1 es la base canonica en Rd .C. Sadel (PUC Chile)Mini-curso: Modelo de Andersonescuela doctoral13 / 38

Operador de Schrödinger en ZdConsidera GP Zd . Puntos x, y Zd son vecinos en Zd sikx y k1 dj 1 xj yj 1, es decir x y ej para algoj 1, . . . , d, donde (ej )dj 1 es la base canonica en Rd .El Laplaciano discreto es dado por( Zd ψ)(x) Xψ(y ) y Zd :kx y k1 1C. Sadel (PUC Chile)Mini-curso: Modelo de AndersondXψ(x ej )j 1escuela doctoral13 / 38

Operador de Schrödinger en ZdConsidera GP Zd . Puntos x, y Zd son vecinos en Zd sikx y k1 dj 1 xj yj 1, es decir x y ej para algoj 1, . . . , d, donde (ej )dj 1 es la base canonica en Rd .El Laplaciano discreto es dado por( Zd ψ)(x) Xψ(y ) y Zd :kx y k1 1dXψ(x ej )j 1Un potencial V es un operador de multiplicación con valores reales:(V ψ)(x) V (x) ψ(x)C. Sadel (PUC Chile)con V (x) R .Mini-curso: Modelo de Andersonescuela doctoral13 / 38

Operador de Schrödinger en ZdConsidera GP Zd . Puntos x, y Zd son vecinos en Zd sikx y k1 dj 1 xj yj 1, es decir x y ej para algoj 1, . . . , d, donde (ej )dj 1 es la base canonica en Rd .El Laplaciano discreto es dado por( Zd ψ)(x) Xψ(y ) y Zd :kx y k1 1dXψ(x ej )j 1Un potencial V es un operador de multiplicación con valores reales:(V ψ)(x) V (x) ψ(x)con V (x) R .Un operador de Schrödinger en Zd es dado por una suma deLaplaciano y un potencial: H Zd V .C. Sadel (PUC Chile)Mini-curso: Modelo de Andersonescuela doctoral13 / 38

Tipos de dinámicaSea H operador de Schrödinger en Zd (sobre 2 (Zd ). Se interesa el’tipo de dinámica’ cuando empezamos con una partı́cula localizada enx, es decir ψ0 δx .C. Sadel (PUC Chile)Mini-curso: Modelo de Andersonescuela doctoral14 / 38

Tipos de dinámicaSea H operador de Schrödinger en Zd (sobre 2 (Zd ). Se interesa el’tipo de dinámica’ cuando empezamos con una partı́cula localizada enx, es decir ψ0 δx .La probabilidad de encontrar la partı́cula en y despues de tiempo t esdado por hδy , e itH δx i 2 . Los momentos de distanciad(x, y ) kx y k que se movió la partı́cula referente estedistribución en y son dado porXMp (t) kx y kp hδy , e itH δx i 2y ZdC. Sadel (PUC Chile)Mini-curso: Modelo de Andersonescuela doctoral14 / 38

Tipos de dinámicaSea H operador de Schrödinger en Zd (sobre 2 (Zd ). Se interesa el’tipo de dinámica’ cuando empezamos con una partı́cula localizada enx, es decir ψ0 δx .La probabilidad de encontrar la partı́cula en y despues de tiempo t esdado por hδy , e itH δx i 2 . Los momentos de distanciad(x, y ) kx y k que se movió la partı́cula referente estedistribución en y son dado porXMp (t) kx y kp hδy , e itH δx i 2y ZdDecimos que la partı́cula (referente el momento p, tı́pico p 2)esta estrictamente localizada si supt Mp (t) Cp se mueve balı́stico si Mp (t) t p (como con velocidad fija)se mueve difusivo si Mp (t) t p/2 (como camino aleatorio)se mueve super-difusivo si Cp t αp Mp (t) o(t p ), 1 α 12 , Cp 0se mueve sub-difusivo si Cp t αp Mp (t) o(t p/2 ), 0 α 12 , Cp 0C. Sadel (PUC Chile)Mini-curso: Modelo de Andersonescuela doctoral14 / 38

Modelo de AndersonSea ν una distribución de probabilidad en R (medida de Borel,positivo, ν(R) 1), considera el espacio producto (espacio dedddprobabilidad) (RZ , B Z , ν Z ) (Ω, A, P)El potencial independiente y idénticamente distribuido (corto:i.i.d.) con distribución ν en un vertex es dado por Vω (x) ωx dondeVω (x) tiene interpretación de una variable aleatoria V (x) : Ω Rcon distribución P para ω.C. Sadel (PUC Chile)Mini-curso: Modelo de Andersonescuela doctoral15 / 38

Modelo de AndersonSea ν una distribución de probabilidad en R (medida de Borel,positivo, ν(R) 1), considera el espacio producto (espacio dedddprobabilidad) (RZ , B Z , ν Z ) (Ω, A, P)El potencial independiente y idénticamente distribuido (corto:i.i.d.) con distribución ν en un vertex es dado por Vω (x) ωx dondeVω (x) tiene interpretación de una variable aleatoria V (x) : Ω Rcon distribución P para ω.La familia (V (x))x Zd de variables aleatorias sobre Ω conV (x) : ω 7 Vω (x) es independiente y cada V (x) es ν-distribuido.El modelo de Anderson es dado por el operador aleatorio deSchrödinger con un potencial i.i.d.H : Ω Her(Zd ),ω 7 Hω Zd Vωdonde Her(Zd ) es el conjunto de operadores auto-adjuntos sobre 2 (Zd ).C. Sadel (PUC Chile)Mini-curso: Modelo de Andersonescuela doctoral15 / 38

Normalisaciónes, desordenTı́picamente se asume que el potencial tiene esperanza 0 y unavarianza positivafinita, E(V (x)) 0, 0 E(V (x)2 ) . aquı́:RE(V (x)) Vω (x) dP(ω).Para investigar diferencias de gran y pequeño desorden, se puedeintroducir una constante de acoplamiento. En fı́sica se usatı́picamente λ - conflicto con notación en matemáticas: λnormalmente reservado para parámetro espectral (por ejemplo:auto-valores) - en fı́sica este parámetro se reemplaza con E (energı́a).C. Sadel (PUC Chile)Mini-curso: Modelo de Andersonescuela doctoral16 / 38

Normalisaciónes, desordenTı́picamente se asume que el potencial tiene esperanza 0 y unavarianza positivafinita, E(V (x)) 0, 0 E(V (x)2 ) . aquı́:RE(V (x)) Vω (x) dP(ω).Para investigar diferencias de gran y pequeño desorden, se puedeintroducir una constante de acoplamiento. En fı́sica se usatı́picamente λ - conflicto con notación en matemáticas: λnormalmente reservado para parámetro espectral (por ejemplo:auto-valores) - en fı́sica este parámetro se reemplaza con E (energı́a).Consideramos la familia de modelos de Anderson:Hλ λV ,Hλ,ω λVωDesorden pequeño: 0 λ 1 (es decir se estudia el modelo enlimite λ 0 pero no igual a 0)Desorden grande: λ 1 (λ grande, se estudia limite λ ).C. Sadel (PUC Chile)Mini-curso: Modelo de Andersonescuela doctoral16 / 38

Sorpresa de Fı́sica: LocalizaciónEn una dimensión (cable desordenado) y en dos dimensiones (ası́ dicenlos fı́sicos) un desorden pequeño inmediatamente causa localización.(el nivel de energı́a en un lugar potencial)C. Sadel (PUC Chile)Mini-curso: Modelo de Andersonescuela doctoral17 / 38

Sorpresa de Fı́sica: LocalizaciónEn una dimensión (cable desordenado) y en dos dimensiones (ası́ dicenlos fı́sicos) un desorden pequeño inmediatamente causa localización.(el nivel de energı́a en un lugar potencial)Una partı́cula clásica no sea localizado. Efecto ’túnel’: normalmentepartı́culas cuánticas son menos localizada como clásicas.C. Sadel (PUC Chile)Mini-curso: Modelo de Andersonescuela doctoral17 / 38

Sorpresa de Fı́sica: LocalizaciónEn una dimensión (cable desordenado) y en dos dimensiones (ası́ dicenlos fı́sicos) un desorden pequeño inmediatamente causa localización.(el nivel de energı́a en un lugar potencial)Una partı́cula clásica no sea localizado. Efecto ’túnel’: normalmentepartı́culas cuánticas son menos localizada como clásicas.Partı́culas cuánticas también tienen ’fase’ como olas. Con el potencialaleatorio (nivel de energı́a) hay difracción aleatoria y muchainterferencia negativa. Este atrapa el y localiza la partı́cula cuántica.C. Sadel (PUC Chile)Mini-curso: Modelo de Andersonescuela doctoral17 / 38

Resultados en MatemáticaLa interferencia negativa es mas probable si el desorden es masgrande: En cada dimension hay localización para un desorden grande(por ejemplo: Fröhlich-Spencer (1983), Aizenman-Molchanov(1993) )C. Sadel (PUC Chile)Mini-curso: Modelo de Andersonescuela doctoral18 / 38

Resultados en MatemáticaLa interferencia negativa es mas probable si el desorden es masgrande: En cada dimension hay localización para un desorden grande(por ejemplo: Fröhlich-Spencer (1983), Aizenman-Molchanov(1993) )Métodos perturbativos: Hω λVω . es parte cinético sin no hay movimiento, Vω es trivialmente localizado. Si λ es grande(desorden grande), es perturbación y la localización persiste.C. Sadel (PUC Chile)Mini-curso: Modelo de Andersonescuela doctoral18 / 38

Resultados en MatemáticaLa interferencia negativa es mas probable si el desorden es masgrande: En cada dimension hay localización para un desorden grande(por ejemplo: Fröhlich-Spencer (1983), Aizenman-Molchanov(1993) )Métodos perturbativos: Hω λVω . es parte cinético sin no hay movimiento, Vω es trivialmente localizado. Si λ es grande(desorden grande), es perturbación y la localización persiste.En una dimension el sistema es especial, solamente hay dosdirecciones para la partı́cula. Para cada desorden (también pequeño)tenemos localización (Goldsheid-Molchanov-Pastur (1977),Kunz-Soulliard (1980) )C. Sadel (PUC Chile)Mini-curso: Modelo de Andersonescuela doctoral18 / 38

Resultados en MatemáticaLa interferencia negativa es mas probable si el desorden es masgrande: En cada dimension hay localización para un desorden grande(por ejemplo: Fröhlich-Spencer (1983), Aizenman-Molchanov(1993) )Métodos perturbativos: Hω λVω . es parte cinético sin no hay movimiento, Vω es trivialmente localizado. Si λ es grande(desorden grande), es perturbación y la localización persiste.En una dimension el sistema es especial, solamente hay dosdirecciones para la partı́cula. Para cada desorden (también pequeño)tenemos localización (Goldsheid-Molchanov-Pastur (1977),Kunz-Soulliard (1980) )Nota: También se han estudiado sistemas con desordencuasi-periódico, especialmente en dimension d 1. Analizar estos yexponentes de Lyapunov en sistema dinámica relacionada fue un granparte de medalla de Fields de Artur Avila. ( Global theory ofone-frequency Schrödinger operators, Acta Math. 215, Vol. 1, 1-54)C. Sadel (PUC Chile)Mini-curso: Modelo de Andersonescuela doctoral18 / 38

Desafı́os de Matemática, conjeturasLos Fı́sicos ’saben’ de experimentos que en sistemas en tresdimensiones hay des-localización y difusión cuántica (movimientodifusivo) para un desorden pequeño.El movimiento difusión e relacionada con un material conductivo conuna conductividad positiva y finita. (Movimiento super-difusivo obalı́stico sea conductividad infinita)Idea : Hω λVω , para λ pequeño la des-localización de persiste.C. Sadel (PUC Chile)Mini-curso: Modelo de Andersonescuela doctoral19 / 38

Desafı́os de Matemática, conjeturasLos Fı́sicos ’saben’ de experimentos que en sistemas en tresdimensiones hay des-localización y difusión cuántica (movimientodifusivo) para un desorden pequeño.El movimiento difusión e relacionada con un material conductivo conuna conductividad positiva y finita. (Movimiento super-difusivo obalı́stico sea conductividad infinita)Idea : Hω λVω , para λ pequeño la des-localización de persiste.Pero: es perfectamente periódico y la de-localización viene deeste propiedad. Un potencial aleatorio destruye la periodicidad!Además sabemos que un argumento ası́ no funciona en dimension 1.Entonces, el argumento tiene que ser sutil.C. Sadel (PUC Chile)Mini-curso: Modelo de Andersonescuela doctoral19 / 38

Desafı́os de Matemática, conjeturasLos Fı́sicos ’saben’ de experimentos que en sistemas en tresdimensiones hay des-localización y difusión cuántica (movimientodifusivo) para un desorden pequeño.El movimiento difusión e relacionada con un material conductivo conuna conductividad positiva y finita. (Movimiento super-difusivo obalı́stico sea conductividad infinita)Idea : Hω λVω , para λ pequeño la des-localización de persiste.Pero: es perfectamente periódico y la de-localización viene deeste propiedad. Un potencial aleatorio destruye la periodicidad!Además sabemos que un argumento ası́ no funciona en dimension 1.Entonces, el argumento tiene que ser sutil.GRAN PROBLEMA EN MATEMÁTICA!C. Sadel (PUC Chile)Mini-curso: Modelo de Andersonescuela doctoral19 / 38

Desafı́os de Matemática, conjeturasLos Fı́sicos ’saben’ de experimentos que en sistemas en tresdimensiones hay des-localización y difusión cuántica (movimientodifusivo) para un desorden pequeño.El movimiento difusión e relacionada con un material conductivo conuna conductividad positiva y finita. (Movimiento super-difusivo obalı́stico sea conductividad infinita)Idea : Hω λVω , para λ pequeño la des-localización de persiste.Pero: es perfectamente periódico y la de-localización viene deeste propiedad. Un potencial aleatorio destruye la periodicidad!Además sabemos que un argumento ası́ no funciona en dimension 1.Entonces, el argumento tiene que ser sutil.GRAN PROBLEMA EN MATEMÁTICA!Para obtener ideas se estudia sistemas / modelos mas generales, notodos tienen una relación directa con un sistema real de fı́sica.C. Sadel (PUC Chile)Mini-curso: Modelo de Andersonescuela doctoral19 / 38

Section 2Teorı́a básica de medidasC. Sadel (PUC Chile)Mini-curso: Modelo de Andersonescuela doctoral20 / 38

Medida de BorelUna sigma-algebra (σ-algebra) sobre R es un sistema de conjuntosA P(R) tal que: a) , R A, b) para A A tambien R \ A A yc) para una cantidad numerable de elementos An A, n N SAn A.tenemosn 1La sigma-algebra de Borel B es la sigma-algebra más pequeño quecontiene todos los conjuntos abiertos T en R, es decirT {O R : ( x O ε 0 : (x ε, x ε) O)},\B A , A B se llama Borel-medible.A:σ-algebra,T AUna medida de Borel es una función µ : B [0, ] tal que µ( ) 0y para An B disjuntos (n N) tenemos! GXµAn µ(An ) , (σ-aditividad)n 1C. Sadel (PUC Chile)n 1Mini-curso: Modelo de Andersonescuela doctoral21 / 38

Medidas de Borel y integralPUna función de forma g (x) nj 1 cj 1Aj (x) donde Aj B es unafunción escalonada, el conjunto de estos funciones sea S(R) y sedefineZnXg (x)dµ(x) cj µ(Aj )j 1Una función f : R R es medible si A B : f 1 (A) B. Para fmedible y f 0 se defineZZf (x)dµ(x) supg (x)dµ(x) [0, ]g S(R),0 g fSi f es medible podemos escribir f f f dondef (x) max{0, f (x)} son medibles y definimosZZZf (x)dµ(x) f (x)dµ(x) f (x)dµ(x)si uno de integralesC. Sadel (PUC Chile)Rf (x)dµ(x) como definido antes es finito.Mini-curso: Modelo de Andersonescuela doctoral22 / 38

medidas signadas, finitas y regularidadUna medida signada µ̃ es una diferencia de dos medidas µ̃ µ µ tal que existe A B con µ (R \ A) 0 µ (A). Para f medible yµ medida signada definimosZZZf (x)dµ̃(x) f (x)dµ (x) f (x)dµ (x)si esta diferencia es bien definido en [ , ].Una medida de Borel µ sobre R es finito si µ(R) . La medida µes una medida de probabilidad (o distribución de probabilidad) siµ(R) 1.Una medida signada µ̃ µ µ es finito si ambos partes, µ y µ son finita.Todas las medidas finitas de Borel sobre R son regular: Para A Bµ(A) supµ(K ) K A, K compactoC. Sadel (PUC Chile)Mini-curso: Modelo de AndersoninfA O, O Tµ(O)escuela doctoral23 / 38

Topologı́a débil y vagaEl conjunto de las funciones continuas acotadas de R a C sea notadopor Cb (R) que es un espacio de Banach con la normakf k : sup f (x) .x RPara cada medida signada finita µ̃ la funciónZZZFµ̃ : f Re f i Im f 7 f (x)dµ̃(x) Re f dµ̃ i Im f dµ̃es una función lineal continua de Cb (R) a C. Si µ̃ 6 µ̃0 entoncesFµ̃ 6 Fµ̃0 . Para Fµ (f ) escribimos simplemente µ(f ).Sean µn , µ (n N) medidas (signadas) finitas de Borel sobre R.Decimos que µn converge débilmente a µ para n silimn µn (f ) µ(f ) para cada f Cb (R).El conjunto de funciones continuas de R a C con soporte compactosea notado C0 (R). Sean µn , µ medidas (signadas) localmente finitas(finitas en conjuntos compactos). µn converge vagamente a µ silimn µn (f ) µ(f ) para cada f C0 (R).C. Sadel (PUC Chile)Mini-curso: Modelo de Andersonescuela doctoral24 / 38

Comentarios:Definiciones: Una medida compleja es una suma µ µr iµi dondeµr y µi son medidas signadas.El soporte de una medida (signada) supp µ es el conjunto cerrado Amás pequeño tal que µ(R \ A) 0.Una medida(positiva) µ es σ-finita si An B, n N tal queSR An , µ(An ) .Una medida de Borel sobre R localmente finita tambien es regular yσ-finita.El espacio dual de Cb (R) es mas grande que los medidas complejasfinitas y es dado por las medidas de Radon en la compactación deStone-C̆ech de R.El espacio dual de C0 (R) es dado por las medidas complejaslocalmente finitas. La topologı́a vaga es un ejemplo de una topologı́a -débil.El espacio dual de C (K ) para K R compacto es dado por todas lasmedidas complejas finitas que tienen soporte en un subconjunto de K .C. Sadel (PUC Chile)Mini-curso: Modelo de Andersonescuela doctoral25 / 38

Medidas continuas y singularesLa medida de Lebesgue, Leb, es la única medida de Borel sobre Rque cumple Leb([a, b]) Leb((a, b)) b a para todoa b, a, b R. Para dLeb(x) se escribe simplemente dx.C. Sadel (PUC Chile)Mini-curso: Modelo de Andersonescuela doctoral26 / 38

Medidas continuas y singularesLa medida de Lebesgue, Leb, es la única medida de Borel sobre Rque cumple Leb([a, b]) Leb((a, b)) b a para todoa b, a, b R. Para dLeb(x) se escribe simplemente dx.Sea µ una medida de Borel sobre R y localmente finita.µ es absolutamente continua si hay una función ρ : R [0, )medible tal que dµ(x) ρ(x)dx, es decir, para cada f medible dondeel µ(f ) existe tenemosZZµ(f ) f (x) dµ(x) f (x) ρ(x) dxLema: µ es absolutamente continua si y solamente si para cada A Btal que Leb(A) 0 tenemos µ(A) 0.µ es continua si µ({a}) 0 para cada a R.µ es singular si hay A B tal que Leb(A) 0 y µ(R \ A) 0.µ es singular continua si µ es continua y singular.Pµ es puro punto si µ n cn δxn con xn R, cn 0, dondeδx ({x}) 1, δx (R \ {x}) 0.C. Sadel (PUC Chile)Mini-curso: Modelo de Andersonescuela doctoral26 / 38

Decomposición de medidasTeorema (Radon-Nikodym)Sea µ una medida de Borel localmente finita en R. Entonces, hay unaúnica decomposición µ µ

Mini-curso: Modelo de Anderson Parte 1: introducci on y objetos b asicos Christian Sadel C. Sadel (PUC Chile) Mini-curso: Modelo de Anderson escuela doctoral 1 / 38. . En el modelo de Anderson tambien el movimiento del estado (t) va a ser aleatorio en el sentido que el Hamiltoniano va a ser aleatorio. C. Sadel (PUC Chile) Mini-curso: Modelo .

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