Meto Do Directo: 1D Estructuras En Formulacion Meto Do Meto Do De . - UPM

CGMEstructuras debarrasarticuladasFelipeGabaldónMÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS.Estructuras de barras ón1DMétododirecto:Estructuras en2D y 3DFelipe Gabaldón CastilloGMCMétodo deelementosfinitosMadrid, 15 de Noviembre de 2007ÍndiceEstructuras 2Método directo. Formulación 1D3Método directo: Estructuras en 2D y 3D4Método de elementos 1DMétododirecto:Estructuras en2D y 3DMétodo deelementosfinitos

CGMIntroducciónEstructuras ucturas en2D y 3DGMCMétodo deelementosfinitosEl Método de los Elementos Finitos (M.E.F.) es unprocedimiento numérico para resolver ecuacionesdiferenciales de manera aproximadaEl dominio en el que está definido el problema se divide en“subdominios” denominados elementos finitosEl conjunto de elementos finitos que discretizan el dominiose denomina mallaSe abordan problemas de contorno (estática) y problemasde valor inicial (dinámica)IntroducciónEstructuras ucturas en2D y 3DMétodo deelementosfinitosEn general, la variable continua queda definida por susvalores aproximados en puntos discretos, denominadosnodosLa aproximación de esta variable en puntos distintos de losnodos (dentro de cada elemento) se interpola mediantefunciones de forma (generalmente polinómicas)Los grados de libertad son variables definidas en losnodos (temperaturas, desplazamientos, etc). También sedenominan incógnitas primarias o variables de estado.

CGMEjemplo: distribución de temperaturas en una barraEstructuras debarrasarticuladasFelipeGabaldónSolu ión aproximadaSolu ión exa �tododirecto:Estructuras en2D y 3D12Método deelementosfinitos1324354GMCInterpola ión linealMotivaciónEstructuras ucturas en2D y 3DEl análisis de las estructuras de barras articuladas esesencialmente unidimensional. La barra elástica linealcargada en dirección axial es el modelo básico que sirve departida, y que posteriormente se generaliza a 2D y 3D.Se presentan dos descripciones alternativas para el análisisdel equilibrio de sistemas barras:1Método deelementosfinitos2Método directo, basado en conceptos ya conocidos de laMecánica de Materiales, para expresar el equilibrio defuerzas, las ecuaciones constitutivas y las ecuaciones decompatibilidad.Formulación débil del problema de contorno como base departida para el desarrollo método de elementos finitos.

CGMMotivaciónEstructuras ucturas en2D y 3DGMCMétodo deelementosfinitosCuestiones generalesEstructuras ructuras en2D y 3DMétodo deelementosfinitosF1u1k11F2u2k221F3u332Fi son las fuerzas nodales directamente aplicadas en losnodos.ui son los desplazamientos nodales.Las constantes ki son las rigideces correspondientes a cadaelemento

CGMCuestiones generalesEstructuras debarrasarticuladasFelipeGabaldónConsiderando sólo un ión1Du11u121 N2N1Métododirecto:Estructuras en2D y 3DMétodo deelementosfinitosP21k1Pie es la fuerza nodal elemental correspondiente al nodolocal i del elemento euie son los desplazamientos del nodo local i del elemento eGMCN y N son las fuerzas internasEcuaciones (elemento 1)Estructuras debarrasarticuladasFelipeGabaldónLey constitutiva 1DMétododirecto:Estructuras en2D y 3DMétodo deelementosfinitosN k(u2 u1 )k EALEquilibrio en los nodos del elemento 1:P11 N P11 k1 (u21 u11 )P21 N P21 k1 (u21 u11 ) k1 k1 k1 k1 u11u21 P11P21

CGMEstructuras debarrasarticuladasFelipeGabaldónExpresión matricial elementalPara el elemento 2 2 2 k2 k2u1P1 P22 k2 Métododirecto:Estructuras en2D y 3DMétodo deelementosfinitosLas ecuaciones anteriores se puede generalizar para unelemento e, expresándose:Ke de Pedonde:Ke : Matriz de rigidez del elemento e (sim. y def. pos.)de : Vector elemental de desplazamientos (nodales)GMCPe : Vector elemental de fuerzasEstructuras debarrasarticuladasFelipeGabaldónCompatibilidad y equilibrio. EnsamblajeConsiderando la compatibilidad de desplazamientos:u1 u11u2 u21 u12u3 ́tododirecto:Estructuras en2D y 3DMétodo deelementosfinitosy el equlibrio de fuerzas:F1 P11F2 P21 P12F3 P22los sistemas matriciales expresados anteriormente para loselementos 1 y 2, se ensamblan mediante la suma paraobtener el sistema global: k1 k10 u1 F1 k1 k1 k2 k2 u2F2 0 k2k2u3F3

CGMCondiciones de sustentación (apoyos)Estructuras debarrasarticuladasFelipeGabaldóndet(K) 0 existen desplazamientos de sólido rı́gido(el sistema estructural carece de la sustentación ón1DMétododirecto:Estructuras en2D y 3DPara evitarlo es suficiente imponer u1 0: k1 k2 k2 k2k2GMCMétodo deelementosfinitos u2u3 u1 0F2F3 (c.c. de tipo esencial)Metodologı́aEstructuras ucturas en2D y 3DMétodo deelementosfinitosA continuación se generaliza la formulación 1D para el caso deestructuras en dos y tres dimensionesPara la formulación 2D/3D, la metodologı́a es la misma que ladescrita anteriormente:1Ecuaciones de equilibrio en cada elemento (propiedadesconstitutivas y condiciones de equilibrio)2Compatibilidad (topologı́a y conectividad)3Equilibrio de la estructura completa4Condiciones de contorno5Solución del sistema completo de ecuaciones

CGMEjemploEstructuras debarrasarticuladasDefinición de la EstructuraFelipeGabaldónfy3 1Introducciónfx3 23Métododirecto.Formulación1DL1 10E1 A1 100Métododirecto:Estructuras en2D y 3D32L2 10E2 A2 502 L3 10 2 E3 A3 400 2Método deelementosfinitos1GMC1Estructuras debarrasarticuladasEjemploEquilibrio del elemento 3FelipeGabaldón′Py3u′y3 tododirecto:Estructuras en2D y 3DMétodo 1u′x1x′Px3u′x3

CGMEjemploEstructuras ucturas en2D y 3DMétodo deelementosfinitosEquilibrio del elemento 1 0 1E3 A3 0 0 0L3 1 0 10 0 0{z (Ke )03 en ejes locales 0 ux1 0 0 uy 10 0u0 x3 0 uy 30}Relación entre ejes locales y ejes globales 0 uxuxcos φ sen φ ;uy0uysen φ cos φ {z}0Px1Py0 10Px3Py0 3 LT L 1GMCLTEstructuras io del elemento (en ejes globales)ue LT (ue �tododirecto:Estructuras en2D y 3DMétodo deelementosfinitosPe LT (Pe )0resultando:Ke LT (Ke )0 L0cos2 φE3 A3 BφB sen φ cos 2@ cos φL3 sen φ cos φsen φ cos φsen2 φ sen φ cos φ sen2 φ cos2 φ sen φ cos φcos2 φsen φ cos φ1 sen φ cos φC sen2 φCsen φ cos φ Asen2 φ

CGMEjemploEstructuras debarrasarticuladasFelipeGabaldónMatrices de rigidez ón1D Ke 1Métododirecto:Estructuras en2D y 3DGMCMétodo deelementosfinitosKe 310 0 100 20 20 20 20 0 10 000 0 010 0 00 0 Ke 200 05 000 5 000 5 00 05 20 20 2020 20 20 202020 202020EjemploEstructuras ucturas en2D y 3DMétodo deelementosfinitosEnsamblaje 10 20 20 10 0 20 20 202000 20 20 10010000K 50 5000 20 20002020 20 200 5 20 5 20

CGMEjemploEstructuras debarrasarticuladasFelipeGabaldónCondiciones de n1DMétododirecto:Estructuras en2D y 3DGMCMétodo deelementosfinitosux1 0uy 1 0uy 2 0 3020 100 20 20 202000 20 20 10010000K 00050 5 20 20002020 20 200 52025 Solución del sistema de ecuacionesEstructuras ucturas en2D y 3DMétodo deelementosfinitosEl método menos eficiente es el de invertir la matriz derigidez:Kd f d K 1 fMetodologı́a: Eliminación de GaussPartiendo del sistema global de ecuaciones: k11 k12 . . . k1nd1 k21 k22 . . . k2n d2 . . . . . . . . kn1 kn2 . . . knndn f1 f2 . fn

CGMEstructuras ucturas en2D y 3DMétodo deelementosfinitosMétodo directo: Estructuras en 2D y 3DMediante operaciones con pivotes en filas, se llega alsistema: 0 00k11 k12 . . . k1nd1 f1 00 0 k .kfd22222n . . . . . . . 000 . . . knnfndncuya solución es:0fn 1 kn 1fnn dn; . . . d1dn 0 ; dn 1 0knnkn 1n 1 f1 Pni 20k11k1i0 diEjemplo: SoluciónGMCux2 0,0Estructuras ucturas en2D y 3DMétodo deelementosfinitosuy 3 0,2ux3 0,3Problema de contornoLas ecuaciones que, de acuerdo con la mecánica de medioscontinuos, rigen el comportamiento de la barra articulada sonlas siguientes:dσ b 0dxduε dxσ Eεxb dVσσ dσσ(0) tu(L) udxLas condiciones de contorno naturales se expresan en términosde las derivadas de u. Las condiciones de contorno esenciales seexpresan directamente en términos de u.

CGMEstructuras étododirecto.Formulación1DFormulación fuerteSea Ω Ω Ω la parte del eje local x ocupado por la barraarticulada (Ω (0, L), Ω [0, L] y Ω el contorno de la barra:x 0 y x L). La formulación fuerte del problema seestablece en los siguientes términos:Dados b : Ω R y las constantes u R, t R, encontrar elcampo de desplazamientos u R que cumple:Métododirecto:Estructuras en2D y 3Dd 2uE 2 b 0 en Ωdxu(L) uMétodo deelementosfinitosGMCEEstructuras ucturas en2D y 3DMétodo deelementosfinitosdudx tx 0Formulación débilDados b : Ω R y las constantes u R t R, encontrar elcampo de desplazamientos u U δu V cumple:Z0Ldδu duEAdx dx dxZLδub dx δu(0)t0donde: 1V δu δu H , δu(L) 0 ; U u u H 1 , u(L) usiendo H 1 el espacio de Sobolev de orden 1 y grado 2:()Z L 2duH 1 u(x) : Ω R dx dx0

CGMMétodo de GalerkinEstructuras debarrasarticuladasLa formulación de Galerkin es el punto de partida delmétodo de elementos finitos: permite obtener una soluciónaproximada de la formulación débil.El primer paso es la construcción de los subespacios V h yU h , que son aproximaciones de dimensión finita de V y rmulación1DMétododirecto:Estructuras en2D y 3DVh V(δu h ν h δu h ν)Uh U(u h δ h u h δ)El método de Galerkin establece que los elementosu h U h se construyen a partir de los elementos v h V hmediante:uh v h uhMétodo deelementosfinitosGMCdonde u h es una función dada que verifica u h (L) uLa idea clave es que los espacios V h y U h contienenlas mismas funciones con la única excepción de u hEstructuras debarrasarticuladasFelipeGabaldónMétodo de GalerkinLa aproximación de Galerkin del problema de contorno seobtiene expresando la formulación débil en términos de lossubespacios de dimensión finita ν h y δ h :IntroducciónMétododirecto:Estructuras en2D y 3DMétodo D0dδu h d(v h u h )EAdx dxdxZLδu h b dx δu h (0)t0y operando:Z0Ldδu h dv hdx EAdx dxZ0Lδu h b dx δu h (0)t Z Ldδu h du hEAdxdxdx0

CGMEstructuras debarrasarticuladasFelipeGabaldónFormulación de GalerkinDados b : Ω R y las constantes u R t R, encontrarel campo de desplazamientos u h v h u h U h , conv h V h , tal que δu h V h se n1DL0dδu h dv hEAdx dx dxZL0Métododirecto:Estructuras en2D y 3DGMCMétodo deelementosfinitosEstructuras ucturas en2D y 3DMétodo deelementosfinitosδu h b dx δu h (0)t Z Ldδu h du hdxEAdxdx0(1)En el método de Galerkin las funciones v h , δu h pertenecenal mismo subespacio V h . Existen otros métodos,denominados “métodos de Petrov-Galerkin”, en los cualeslas funciones v h no pertenecen a V h . Dichos métodos seemplean principalmente en el contexto de la Mecánica deFluidos ComputacionalFormulación matricialCon las expresiones:hδu nXc A NAhhhu v u A 1nXdA NA uNn 1A 1la formulación de Galerkin resulta:!!Z LnnXXdNAdNBEAcAdBdx dxdx0A 1B 1!!Z L XnnXcA NA b dx cA NA (0) t 0A 1ZLEA0A 1nXA 1cAdNAdx!udNn 1dxdx

CGMFormulación matricialEstructuras ucturas en2D y 3DTeniendo en cuenta que los coeficientes cA son arbitrarios, seobtiene:nXcA GA 0A 1siendo:GA GMCMétodo deelementosfinitosn ZX0B 1L Z LdNA dNBdx dB NA b dx NA (0)t EAdx dx0Z LdNA dNn 1EAudxdxdx0Formulación matricialEstructuras debarrasarticuladasFelipeGabaldónFinalmente, se puede DMétododirecto:Estructuras en2D y 3DMétodo deelementosfinitosKd fsiendo:ZLEAKAB 0ZdNA dNBdxdx dxLZNA b dx NA (0)t fA 0LEA0dNA dNn 1udxdxdx

CGMEstructuras étododirecto.Formulación1DElementos 1DFunciones de interpolación lineal( x xA 1xA 1 x xAhA 1NA (x) xA 1 xxA x xA 1hAN2N1Métododirecto:Estructuras en2D y 3DMétodo deelementosfinitos1GMC1Estructuras tododirecto.Formulación1D234Elementos 1DReferencias global y localx xAx xA xB xAhe1 ξb ξNb (ξ) 2Métododirecto:Estructuras en2D y 3DMétodo deelementosfinitos4N4NB (x) Introducción3Aa 1ξa 1xξBb 2ξb 1(2)(3)