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BACHILLERATOUnidad 5. F órmulasy funciones trigonométricas1Fórmulas trigonométricasPágina 1311 Demuestra la fórmula II.2 a partir de la fórmula:cos (α β) cos α cos β – sen α sen βcos (α – β) cos (α (–β)) cos α cos (–β) – sen α sen (–β) cos α cos β – sen α (–sen β) cos α cos β sen α sen β2 Demuestra II.3 a partir de tg (α β) tg (α – β) tg (α (–β)) tg a tg b.1 – tg a tg btg a tg (–b) (*) tg a (–tg b)tg a – tg b 1 – tg a tg (–b)1 – tg a (–tg b) 1 tg a tg bsen (–a) –sen a4 tg (–α) –tg α(*) Comocos (–a) cos a3 Demuestra la fórmula II.3 a partir de las siguientes:sen (α – β) sen α cos β – cos α sen βcos (α – β) cos α cos β sen α sen βsen a cos b cos a sen b–tg a – tg bsen (a – b) sen a cos b – cos a sen b (*) cos a cos b cos a cos b tg (α – β) cos (a – b) cos a cos b sen a sen bcos a cos b sen a sen b 1 tg a tg b cos a cos b cos a cos b(*) Dividimos numerador y denominador por cos α cos β.4 Si sen 12 0,2 y sen 37 0,6, halla cos 12 , tg 12 , cos 37 y tg 37 . Calcula, a partir de ellas,las razones trigonométricas de 49 y de 25 , usando las fórmulas (I) y (II). sen 12 0,2cos 12 1 – sen 2 12 1 – 0, 04 0, 98tg 12 0, 2 0, 20, 98 sen 37 0,6cos 37 1 – sen 2 37 1 – 0, 36 0, 8tg 37 0, 6 0, 750, 8 49 12 37 , luego:sen 49 sen (12 37 ) sen 12 cos 37 cos 12 sen 37 0,2 · 0,8 0,98 · 0,6 0,748cos 49 cos (12 37 ) cos 12 cos 37 – sen 12 sen 37 0,98 · 0,8 – 0,2 · 0,6 0,664tg 49 tg (12 37 ) tg 12 tg 37 0, 2 0, 75 1, 121 – tg 12 tg 37 1 – 0, 2 · 0, 75cPodría calcularse tg 49 sen 49 m .cos 49 1Matemáticas I
Unidad 5.Fórmulas y funciones trigonométricas 25 37 – 12 , luego:sen 25 sen (37 – 12 ) sen 37 cos 12 – cos 37 sen 12 0,6 · 0,98 – 0,8 · 0,2 0,428cos 25 cos (37 – 12 ) cos 37 cos 12 sen 37 sen 12 0,8 · 0,98 0,6 · 0,2 0,904tg 25 tg (37 – 12 ) tg 37 – tg 12 0, 75 – 0, 2 0, 4781 tg 37 tg 12 1 0, 75 · 0, 25 Demuestra esta igualdad:cos (a b) cos (a – b) 1sen (a b) sen (a – b) tg acos (a b) cos (a – b) cos a cos b – sen a sen b cos a cos b sen a sen b sen (a b) sen (a – b) sen a cos b cos a sen b sen a cos b – cos a sen b 2 cos a cos b cos a 12 sen a cos b sen a tg a6 Demuestra las fórmulas (III.1) y (III.3) haciendo α β en las fórmulas (I).sen 2α sen (α α) sen α cos α cos α sen α 2 sen α cos αtg 2α tg (α α) tg a tg a2 tg a 1 – tg a tg a 1 – tg 2 a7 Halla las razones trigonométricas de 60 usando las de 30 .sen 60 sen (2 · 30 ) 2 sen 30 cos 30 2 · 1 · 3 32 2222cos 60 cos (2 · 30 ) cos 2 30 – sen 2 30 e 3 o – c 1 m 3 – 1 2 1224 4 4 2tg 60 tg (2 · 30 ) 2 tg 30 2 · 3 /3 2 · 3 /3 2 · 3 /3 32/31 – tg 2 30 1 – ( 3 /3) 2 1 – 3/98 Halla las razones trigonométricas de 90 usando las de 45 .sen 90 sen (2 · 45 ) 2 sen 45 cos 45 2 · 2 · 2 12 2cos 90 cos (2 · 45 ) tg 90 tg (2 · 45 ) cos 245 –sen 22245 e 2 o – e 2 o 0222 tg 45 2 · 1 No existe.1 – tg 2 45 1 – 19 Demuestra que: 2 sen a – sen 2a 1 – cos a2 sen a sen 2a 1 cos a2 sen a – sen 2a 2 sen a – 2 sen a cos a 2 sen a (1 – cos a) 1 – cos a2 sen a sen 2a 2 sen a 2 sen a cos a 2 sen a (1 cos a) 1 cos aPágina 132Hazlo tú. Halla cos 15 y tg 15 .cos 15 cos 30 1 cos 30 1 3 /2 2 32224tg 15 1 – cos 30 1 – 3 /2 2 – 3 2 – 31 cos 30 1 3 /22 32BACHILLERATOMatemáticas I
Unidad 5.Fórmulas y funciones trigonométricasBACHILLERATO10 Siguiendo las indicaciones que se dan, demuestra detalladamente las fórmulas IV.1, IV.2 y IV.3. cos α cos b2 · a l cos 2 a – sen 2 a222Por la igualdad fundamental:cos 2 a sen 2 a 1 8 1 cos 2 a sen 2 a2222De aquí:a) Sumando ambas igualdades:1 cos a 2 cos 2 a 8 cos 2 a 1 cos a 8 cos a 1 cos a22222ªªb) Restando las igualdades (2. – 1. ):1 – cos a 2 sen 2 a 8 sen 2 a 1 – cos a 8 sen a 1 – cos a22222 Por último: 1 – cos a(a/)sen2a2 1 – cos atg 2 cos (a/2) 1 cos a1 cos a211 Sabiendo que cos 78 0,2, calcula sen 78 y tg 78 . Averigua las razones trigonométricas de39 aplicando las fórmulas del ángulo mitad. cos 78 0,2sen 78 1 – cos 2 78 1 – 0, 2 2 0, 98tg 78 0, 98 4, 90, 2 sen 39 sen 78 1 – cos 78 1 – 0, 2 0, 63222cos 39 cos 78 1 cos 78 1 0, 2 0, 77222tg 39 tg 78 1 – cos 78 1 – 0, 2 0, 821 cos 78 1 0, 2212 Halla las razones trigonométricas de 30 a partir de cos 60 0,5. cos 60 0,5 sen 30 sen 60 1 – 0, 5 0, 522cos 30 cos 60 1 0, 5 0, 86622tg 30 tg 60 1 – 0, 5 0, 5771 0, 5213 Halla las razones trigonométricas de 45 a partir de cos 90 0. cos 90 0 sen 45 sen 90 1 – 0 1 2222 2cos 45 cos 90 1 0 2222tg 45 tg 90 1 – 0 1 11 023Matemáticas I
Unidad 5.BACHILLERATOFórmulas y funciones trigonométricasMatemáticas I14 Demuestra esta igualdad: 2 tg α · sen 2 a sen α tg α22 tg a · sen 2 a sen a 2 tg a · 1 – cos a sen a sen a (1 – cos a) sen a sen a c 1 – cos a 1m 22cos acos a sen a c 1 – cos a cos a m sen a · 1 sen a tg acos acos a cos a15 Demuestra la siguiente igualdad:2 sen a – sen 2a tg 2 a2 sen a sen 2a22 sen a – sen 2a 2 sen a – 2 sen a cos a 2 sen a (1 – cos a) 1 – cos a tg 2 a2 sen a sen 2a 2 sen a 2 sen a cos a 2 sen a (1 cos a) 1 cos a2Página 13316 Para demostrar las fórmulas (V.3) y (V.4), da los siguientes pasos: Expresa en función de α y β:cos (α β) cos (α – β) Suma y resta como hemos hecho arriba y obtendrás dos expresiones. Sustituye en las expresiones anteriores:a b A4a – b B cos (α β) cos α cos β – sen α sen βcos (α – β) cos α cos β sen α sen βSumando cos (α β) cos (α – β) 2 cos α cos β (1)Restando cos (α β) – cos (α – β) –2 sen α sen β (2) Llamandoa b A4 8 a A B , b A – B (al resolver el sistema)a – b B22 Luego, sustituyendo en (1) y (2), se obtiene:(1) cos A cos B 2 cos A B cos A – B22(2) cos A – cos B –2 sen A B sen A – B2217 Transforma en producto y calcula.a) sen 75 – sen 15 b) sen 75 sen 15 c) cos 75 – cos 15 a) sen 75 – sen 15 2 cos 75 15 sen 75 – 15 2 cos 45 sen 30 2 · 2 · 1 2222 2 2b) sen 75 sen 15 2 sen 75 15 cos 75 – 15 2 sen 45 cos 30 2 · 2 · 3 6222 22c) cos 75 – cos 15 –2 sen 75 15 sen 75 – 15 –2 sen 45 cos 30 –2 · 2 · 3 – 6222 2218 Expresa en forma de producto el numerador y el denominador de esta fracción y simplifica elresultado:sen 4a sen 2acos 4a cos 2a2 sen 4a 2a cos 4a – 2asen 4a sen 2a 22 2 sen 3a tg 3acos 4a cos 2a 2 cos 4a 2a cos 4a – 2a 2 cos 3a2a4
Unidad 5.2BACHILLERATOFórmulas y funciones trigonométricasMatemáticas IEcuaciones trigonométricasPágina 134Hazlo tú. Resuelve sen (α 30 ) 2 cos α.sen (α 30 ) 2 cos αsen α cos 30 cos α sen 30 2 cos α1 sen a 3 cos a 2 cos a22Dividimos los dos miembros entre cos α:1 tg a 3 2 8 tg a 3 4 8 tg a 4 – 322a 1 66 12' 22''Soluciones: *a 246 12' 22''2Hazlo tú. Resuelve cos α sen 2α.cos α sen 2αcos α 2 sen α cos α cos α – 2 sen α cos α 0 cos α (1 – 2 sen α) 0cos a 0 8 a 1 90 , a 2 270 Posibles soluciones: *1 – 2 sen a 0 8 sen a 1 8 a 3 30 , a 4 150 2Al comprobarlas sobre la ecuación inicial, vemos que las cuatro soluciones son válidas.Página 135Hazlo tú. Resuelve sen 3α – sen α 0.sen 3α – sen α 02 cos 3a a sen 3a – a 0 8 2 cos 2a sen a 0 8 cos 2a sen a 022Z]2a 90 8 a 1 45 ]2a 270 8 a 2 135 Si cos 2α 0 [2a 90 360 450 8 a 225 3]]2a 270 360 630 8 a 315 4\Si sen α 0 α5 0 , α6 180 1 Resuelve.a) tg α – 3c) sen 2 α 1b) sen α cos αa) x 120 k · 360 o bien x 300 k · 360 Las dos soluciones quedan recogidas en:x 120 k · 180 2π k π rad x con k 3b) x π k π rad con k 4c) Si sen x 1 8 x π 2k π rad24 x π2 k π rad con k π3Si sen x –1 8 x 2k π rad25d) sen α tg α
Unidad 5.Fórmulas y funciones trigonométricasBACHILLERATOd) En ese caso debe ocurrir que:O bien sen x 0 8 x k π rad3 x k π rad con k O bien cos x 1 8 x 2k π rad2 Resuelve estas ecuaciones:a) 2 cos 2 α cos α – 1 0b) 2 sen 2 α – 1 0c) tg 2 α – tg α 0d) 2 sen 2 α 3 cos α 3a) cos a –1 1 8 –1 3 441/2 8 a 1 60 , a 2 300 –1 8 a 3 180 Las tres soluciones son válidas (se comprueba en la ecuación inicial).b) 2 sen 2 a – 1 0 8 sen 2 a 1 8 sen a 1 2222 Si sen a 2 8 a 1 45 , a 2 135 2 Si sen a – 2 8 a 3 – 45 315 , a 4 225 2Todas las soluciones son válidas.c) tg 2 α – tg α 0 tg α (tg α – 1) 0tg a 0 8 a 1 0 , a 2 180 tg a 1 8 a 3 45 , a 4 225 Todas las soluciones son válidas.(*)d) 2 sen 2 α 3 cos α 3 2(1 – cos 2 α) 3 cos α 3(*) Como sen 2 α cos 2 α 1 sen 2 α 1 – cos 2 α2 – 2 cos 2 α 3 cos α 3 2 cos 2 α – 3 cos α 1 01cos α 3 9 – 8 3 1 1/244Entonces: Si cos α 1 α1 0 Si cos α 1 α2 60 , α3 –60 300 2Las tres soluciones son válidas.3 Transforma en producto sen 5α – sen 3α y resuelve después la ecuación sen 5α – sen 3α 0.sen 5α – sen 3α 0 2 cos 5a 3a sen 5a – 3a 0 8 2 cos 8a sen 2a 0 82222cos 4a 08 2 cos 4a sen a 0 8 )sen a 0Z8 a 1 22 30']4a 90 ]4a 270 8 a 2 67 30' Si cos 4α 0 [4a 90 36 8 a 3 112 30']]4a 270 360 8 a 4 157 30'\ Si sen α 0 α5 0 , α6 180 Comprobamos que las seis soluciones son válidas.6Matemáticas I
Unidad 5.BACHILLERATOFórmulas y funciones trigonométricasMatemáticas I4 Resuelve.a) 4 cos 2α 3 cos α 1b) tg 2α 2 cos α 0c) 2 cos (α/2) – cos α 1d) 2 sen α cos 2 α – 6 sen 3 α 0a) 4 cos 2α 3 cos α 1 4 (cos 2 α – sen 2 α) 3 cos α 1 4 (cos 2 α – (1 – cos 2 α)) 3 cos α 1 4 (2 cos 2 α – 1) 3 cos α 1 8 cos 2 α – 4 3 cos α 1 8 cos 2 α 3 cos α – 5 0 cos α –3 9 160 –3 13 161610/16 5/8 0, 625–1 Si cos α 0,625 α1 51 19' 4,13'', α2 –51 19' 4,13'' Si cos α –1 α3 180 Al comprobar las soluciones, las tres son válidas.b) tg 2α 2 cos α 0 2 tg a 2 cos α 0 1 – tg 2 asen acos a cos α 0 2asen1–cos 2 a tg a cos α 0 1 – tg 2 a sen a cos a cos α 0 sen α cos α cos α (cos 2 α – sen 2 α) 0 cos 2 a – sen 2 a cos α (sen α cos 2 α – sen 2 α) 0 cos α (sen α 1 – sen 2 α – sen 2 α) cos α (1 sen α – 2 sen 2 α) 0 cos a 0 *1 sen a – 2 sen 2 a 0 8 sen a –1 1 8 –4–1/21 Si cos α 0 α1 90 , α2 270 Si sen α – 1 α3 210 , α4 330 –30 2 Si sen α 1 α5 90 α1Al comprobar las soluciones, vemos que todas ellas son válidas.c) 2 cos a – cos α 1 2 21 cos a – cos α 1 21 cos a – cos α 1 1 – cos a 1 cos α 1 cos α 1 cos 2 α 2 cos α cos 2 α cos α 0 cos α (cos α 1) 0 Si cos α 0 α1 90 , α2 270 Si cos α –1 α3 180 Al comprobar las soluciones, podemos ver que las únicas válidas son: α1 90 y α3 180 d) 2 sen α cos 2 α – 6 sen 3 α 0 2 sen α (cos 2 α – 3 sen 2 α) 0 2 sen α (cos 2 α sen 2 α – 4 sen 2 α) 0 2 sen α (1 – 4 sen 2 α) 0 Si sen α 0 α1 0 , α2 180 Si sen 2 α 1 sen α 1 α3 30 , α4 150 , α5 210 , α6 330 42Comprobamos las soluciones y observamos que son válidas todas ellas.7
Unidad 5.Fórmulas y funciones trigonométricas5 Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas:a) sen (180 – α) cos (270 – α) cos 180 b) sen (45 – α) 2 sen α 0a) sen (180 – α) cos (270 – α) cos 180 sen 180 cos α – cos 180 sen α cos 270 cos α sen 270 sen α – 1sen α –sen α – 1 2 sen α –1 sen α – 1 α1 210 , α2 330 2b) sen (45 – α) 2 sen α 0sen 45 cos α – cos 45 sen α 2 sen α 0 2 cos a – 2 sen a 2 sen a 022cos α – sen α 2 sen α 0 cos α sen α 0Dividimos entre cos α:1 tg α 0 tg α –1 α1 135 , α2 315 8BACHILLERATOMatemáticas I
Unidad 5.3BACHILLERATOFórmulas y funciones trigonométricasMatemáticas IFunciones trigonométricasPágina 1371 ¿Verdadero o falso?a) El radián es una medida de longitud equivalente al radio.b) Un radián es un ángulo algo menor que 60 .c) Puesto que la longitud de la circunferencia es 2πr, un ángulo completo (360 ) tiene 2π radianes.d) 180 es algo menos de 3 radianes.e) Un ángulo recto mide π/2 radianes.a) Falso. El radián es una medida angular, no es una medida de longitud.b) Verdadero, porque un radián tiene 57 17' 45''.c) Verdadero, porque cada radián abarca un arco de longitud r .d) Falso. 180 es la mitad de un ángulo completo y equivale, por tanto, a π radianes, algo más de 3radianes.e) Verdadero. Un ángulo recto es la cuarta parte de un ángulo completo y tiene 2π π radianes.4 22 Pasa a radianes los siguientes ángulos:a) 30 b) 72 c) 90 d) 127 e) 200 f ) 300 Expresa el resultado en función de π y luego en forma decimal. Por ejemplo:30 30 ·π rad π rad 0,52 rad1806a) 2π · 30 π rad 0,52 rad6360 b) 2π · 72 2π rad 1,26 rad5360 c) 2π · 90 π rad 1,57 rad2360 d) 2π · 127 2,22 rad360 e) 2π · 200 10π rad 3,49 rad9360 f ) 2π · 300 5π rad 5,24 rad3360 3 Pasa a grados los siguientes ángulos:a) 2 radd) 5π rad6c) π rad5f ) π radb) 0,83 rade) 3,5 rada) 360 · 2 114 35' 29,6''2πb) 360 · 0,83 47 33' 19,8''2πc) 360 · π 36 52πd) 360 · 5π 150 62πe) 360 · 3,5 200 32' 6,8''2πf ) 360 · π 180 2π9
Unidad 5.BACHILLERATOFórmulas y funciones trigonométricasMatemáticas I4 Copia y completa la siguiente tabla en tu cuaderno y añade las razones trigonométricas (seno,coseno y tangente) de cada uno de los ángulos:grados0 30 210 225 radianes135 150 2π3π4radianesgrados60 90 π270 330 360 5π34π37π4La tabla completa está en la página 138 del libro de texto.Página 1385 ¿Verdadero o falso?a) Las funciones trigonométricas son periódicas.b) Las funciones sen y cos tienen un periodo de 2π.c) La función tg x tiene periodo π.d) La función cos x es como sen x desplazada π/2 a la izquierda.a) Verdadero. La forma de sus gráficas se repite a lo largo del eje horizontal, cada 2π radianes.b) Verdadero.sen (x 2π) sen x4 porque 2π radianes equivalen a una vuelta completa.cos (x 2π) cos xc) Verdadero.tg (x π) tg xPodemos observarlo en la gráfica de la función tg x en la página 138 del libro de texto.d) Verdadero. Se puede observar en las gráficas de la página 138 del libro de texto.10
Unidad 5.Fórmulas y funciones trigonométricasEjercicios y problemas resueltosPágina 1391. Razones trigonométricas a partir de otrasHazlo tú. Sabiendo que sen 54 0,81 halla cos 108 , tg 27 , sen 24 , cos 99 .sen 2 54 cos 2 54 1 0,812 cos 2 54 1 cos 54 1 – 0, 81 2 0, 59cos 108 cos (2 · 54 ) cos 2 54 – sen 2 54 0,592 – 0,812 –0,31tg 27 tg c 54 m 1 – cos 54 1 – 0, 59 0, 5121 cos 54 1 0, 59sen 24 sen (54 – 30 ) sen 54 cos 30 – cos 54 sen 30 0,81 · 3 – 0, 59 · 1 0, 4122cos 99 cos (54 45 ) cos 54 cos 45 – sen 54 sen 45 0, 59 · 2 – 0, 81 · 2 –0, 16222. Identidades trigonométricasHazlo tú. Demuestra que sen 2α – tg α cos 2α tg α.Aplicamos las fórmulas del ángulo doble y las relaciones fundamentales:sen 2α – tg α cos 2α 2 sen α cos α – tg α (cos 2 α – sen 2 α) 2 sen α cos α – sen a (cos 2 a – sen 2 a) cos a223 2 sen a cos a – sen a cos a sen a cos a sen a (2 cos 2 a – cos 2 a sen 2 a) cos a sen a (cos 2 a sen 2 a) sen a tg acos acos a3. Simplificación de expresiones trigonométricasHazlo tú. Simplifica la expresión2 cos (45 a) cos (45 – a).cos 2a2 cos (45 a) cos (45 – a) 2 (cos 45 cos a – sen 45 sen a) (cos 45 cos a sen 45 sen a) cos 2acos 2a2 e 2 cos a – 2 sen aoe 2 cos a 2 sen ao2222 cos 2a(cos a – sen a) (cos a sen a) 2· 2 · 22 2cos 2a22 cos a – sen a cos 2a 1cos 2acos 2a11BACHILLERATOMatemáticas I
Unidad 5.Fórmulas y funciones trigonométricasPágina 1404. Resolución de ecuaciones trigonométricasHazlo tú. Resuelve estas ecuaciones:a) sen 3 x – sen x cos 2 x 0b) 3 sen x cos x 2c) tg 2 x 1 – cos x2cos4x cos 2x 1d)sen 4x – sen 2xa) Extraemos factor común: sen x (sen 2 x – cos 2 x ) 0Igualamos a cero cada factor:sen x 0 x 0 360 · k; x 180 360 · ksen 2 x – cos 2 x 0 sen 2 x – (1 – sen 2 x ) 0 2sen 2 x 1 sen 2 x 1 sen x 222Si sen x 2 , entonces x 45 360 · k ; x 135 360 · k2Si sen x – 2 , entonces x 225 360 · k ; x 315 360 · k2b) Pasamos cos x al segundo miembro y elevamos al cuadrado después:( 3 sen x) 2 (2 – cos x) 2 8 3sen 2 x 4 – 4 cos x cos 2 x 8 3(1 – cos 2 x) 4 – 4cos x cos 2 x 4cos 2 x – 4cos x 1 0 cos x 4 0 1 8 x 60 360 · k ; x 300 360 · k82Comprobamos las soluciones porque pueden aparecer falsas soluciones al elevar al cuadrado.x 60 360 · k x 300 360 · k 3 · 3 1 2 Vale.2 23 · – 3 1 2 No vale.22c) Utilizamos la fórmula de la tangente del ángulo mitad:2c 1 – cos x m 1 – cos x 8 1 – cos x 1 – cos x 8 1 – cos x 1 – cos 2 x 81 cos x1 cos x cos 2 x – cos x 0 cos x (1 – cos x) 0 cos x 0 8 x 90 360 · k ; x 270 360 · k )cos x 1 8 x 0 360 · kd) Transformamos las sumas en productos:2 cos 4x 2x cos 4x – 2x22 1 8 cos x 1 8 1 1 8 tg x 1 8sen xtg x4 24–2xxxx2 cossen22 x 45 360 · k ; x 225 360 · k12BACHILLERATOMatemáticas I
Unidad 5.Fórmulas y funciones trigonométricasBACHILLERATOMatemáticas IEjercicios y problemas guiadosPágina 1411. Razones trigonométricas de (α β); (α – β); 2α y α/2bSi sen α 3 , 90 α 180 , y cos β – 1 , 180 β 270 , hallar: cos (α β); sen (α – β); tg 2α; tg .542sen 2 α cos 2 α 1 9 cos 2 α 1 cos 2 α 16 2525tg α 3/5 – 3– 4/54 cos α – 4 porque el ángulo está en el segundo cuadrante.5sen 2 β cos 2 β 1 sen 2 β 1 1 sen 2 β 15 1616 sen β – 15 porque el ángulo está en el tercer cuadrante.4–15/4tg β 15–1/4cos (α β) cos α cos β – sen α sen β c– 4 m · c– 1 m – 3 · e– 15 o 3 15 4545420sen (α – β) sen α cos β – cos α sen β 3 · c– 1 m – c– 4 m · e– 15 o – 4 15 – 3545452 · c– 3 m2 tg a4 – 24tg 2α 2271 – tg a1 – c– 3 m4b1 – cos b –tg –21 cos b1 – c– 1 m4b – 5 ya que el ángulo está en el segundo cuadrante.3211 c– m42. Identidades trigonométricasDemostrar que: cos 3x 4 cos 3 x – 3 cos xcos 3x cos(2x x ) cos 2x cos x – sen 2x sen x (cos 2 x – sen 2 x ) cos x – 2 sen x cos x sen x cos 3 x – sen 2 x cos x – 2 sen 2 x cos x cos 3 x – 3 sen 2 x cos x3. Expresiones algebraicas equivalentesEscribir la expresión cos (α β) cos (α – β) en función de cos α y sen β.cos (α β) cos (α – β) (cos α cos β – sen α sen β) (cos α cos β sen α sen β) cos 2 α cos 2 β – sen 2 α sen 2 β cos 2 α (1 – sen 2 β) – (1 – cos 2 α) sen 2 β cos 2 α – cos 2 α sen 2 β – sen 2 β cos 2 α sen 2 β cos 2 α – sen 2 β4. Simplificación de expresiones trigonométricasSimplificar esta expresión: 2 tg α cos 2 a – sen α222 tg a cos 2 a – sen a 2 tg a c 1 cos a m – sen a 2 sen a · 1 cos a – sen a 22cos a2 sen a (1 cos a) – sen a cos a sen a sen a cos a – sen a cos a sen a tg acos acos acos a13
Unidad 5.Fórmulas y funciones trigonométricasBACHILLERATO5. Ecuaciones trigonométricasResolver estas ecuaciones:a) cos 2 (2x 30 ) 141a) cos (2x 30 ) 2b) 4 sen x 4 cos 2 x tg x tg x 0, con tg x 0Z]2x 30 60 8 x 15 360 · k]2x 30 300 8 x 135 360 · kSi cos (2x 30 ) 1 [2]2x 30 60 360 8 x 195 360 · k]2x 30 300 360 8 x 315 360 · k\Z]2x 30 120 8 x 45 360 · k]2x 30 240 8 x 105 360 · kSi cos (2x 30 ) – 1 [2]2x 30 120 360 8 x 225 360 · k]2x 30 240 360 8 x 285 360 · k\b) Si tg x 0 entonces x 0 360 · k; x 180 360 · k son soluciones de la ecuación, ya que el senode estos ángulos también es 0.Si tg 0, dividimos entre esta función en los dos términos de la ecuación:4 sen x 4 cos 2 x 1 0 8 4 sen x 4 cos 2 x 1 0 8 4 cos 2 x 4 cos x 1 0 8sen xtg xcos x8 cos x – 4 0 – 1 8 x 120 360 · k ; x 240 360 · k826. Resolución de sistemas de ecuaciones trigonométricasResolver el siguiente sistema de ecuaciones en el intervalo [0 , 360 ]:*cos y – sen x 14 sen x cos y 1 0cos y 1 sen x4 sen x (1 sen x ) 1 0 4 sen 2 x 4 sen x 1 0 sen x – 4 0 – 182 Si sen x 1 cos y 1 1 3 , que es imposible.22 2 Si sen x – 1 cos y 1 – 1 122 2Las diferentes posibilidades son:x 210 360 · k x 210 360 · k x 330 360 · k x 330 360 · k*;*;*;*y 300 360 · ky 60 360 · ky 300 360 · ky 60 360 · k14Matemáticas I
Unidad 5.Fórmulas y funciones trigonométricasBACHILLERATOMatemáticas IEjercicios y problemas propuestosPágina 142Para practicarFórmulas trigonométricas1 Sabiendo que cos α – 3 y 90 α 180 , calcula sin hallar el valor de α:4a) sen 2αb) tg ac) sen (α 30 )2d) cos (60 – α)e) cos af ) tg (45 α)2sen 2 α cos 2 α 1 sen 2 α 9 1 sen 2 α 7 sen α 7 ya que el ángulo está en el 2.º cuadrante.16416tg a sen a 7 /4 – 7cos a –3/43a) sen 2a 2 sen a cos a 2 · e 7 o · c– 3 m – 3 7448b) tg a 1 – cos a 21 cos a1 – c– 3 m4 7 ya que a está comprendido entre 45 y 90 (está en el 1.er cuadrante).231 c– m4c) sen (a 30 ) sen a cos 30 cos a sen 30 7 · 3 c– 3 m · 1 21 – 34 24 28d) cos (60 – a) cos 60 cos a sen 60 sen a 1 · c– 3 m – 3 · 7 – 21 – 3242 48e) cos a 1 cos a 221 c– 3 m4 2 porque a está comprendido entre 45 y 90 (está en el 1.er cuadrante).224tg 45 tg a f ) tg (45 a) 1 – tg 45 tg a1 e– 7 o3 1– 71 771 – 1 · e– o32 Calcula las razones trigonométricas de 22 30' a partir de las de 45 .sen (22 30') sen 45 1 – 2 /2 2 – 2222cos (22 30') cos 45 1 2 /2 2 2222tg (22 30') tg 45 1 – 2 /2 2 – 221 – 2 /22 23 Si cos 78 0,2 y sen 37 0,6 halla las razones trigonométricas de 41 y de 115 .41 78 – 37 sen 78 1 – cos 2 78 1 – 0, 2 2 0, 98 cos 37 1 – sen 2 37 1 – 0, 6 2 0, 815
Unidad 5.BACHILLERATOFórmulas y funciones trigonométricasMatemáticas IAhora ya podemos calcular: sen 41 sen (78 – 37 ) sen 78 cos 37 – cos 78 sen 37 0, 98 · 0, 8 – 0, 2 · 0, 6 0, 664 cos 41 cos (78 – 37 ) cos 78 cos 37 sen 78 sen 37 0, 2 · 0, 8 0, 98 · 0, 6 0, 748 tg 41 sen 41 0, 664 0, 8877cos 41 0, 748 sen 115 sen (78 37 ) sen 78 cos 37 cos 78 sen 37 0, 98 · 0, 8 0, 2 · 0, 6 0, 904 cos 115 cos (78 37 ) cos 78 cos 37 – sen 78 sen 37 0, 2 · 0, 8 – 0, 98 · 0, 6 –0, 428 tg 115 sen 115 – 0, 904 –2, 112cos 115 0, 4284 a) Halla el valor exacto de las razones trigonométricas de 75 a partir de las de 30 y 45 .b) Utilizando los resultados del apartado anterior, calcula las razones trigonométricas de:105 ; 165 ; 15 ; 195 y 135 .a) sen 75 sen (30 45 ) sen 30 cos 45 cos 30 sen 45 1 · 2 3 · 2 2 62 22 24cos 75 cos (30 45 ) cos 30 cos 45 – sen 30 sen 45 3 ·23 1tg 30 tg 45 3 3 3 tg 75 tg (30 45 ) 1 – tg 30 tg 45 3– 31 – 3 ·13b) sen 105 sen (30 75 ) sen 30 cos 75 cos 30 sen 75 1 ·22 – 1 · 2 6– 22 2 243 26 – 2 3 · 2 6 6 24244cos 105 cos (30 75 ) cos 30 cos 75 – sen 30 sen 75 3 · 6 – 2 – 1 · 2 6 2 – 6242446 24 6 2 – 3 –2tg 105 2– 62– 64sen 165 sen (90 75 ) sen 90 cos 75 cos 90 sen 75 cos 75 6 – 24cos 165 cos (90 75 ) cos 90 cos 75 – sen 90 sen 75 –sen 75 – 2 – 646– 24 2– 6 3–2tg 165 – 2– 62– 64sen 15 sen (90 – 75 ) sen 90 cos 75 – cos 90 sen 75 cos 75 6 – 24cos 15 cos (90 – 75 ) cos 90 cos 75 sen 90 sen 75 sen 75 2 646– 24tg 15 6 – 2 2 – 32 62 64sen 195 sen (270 – 75 ) sen 270 cos 75 – cos 270 sen 75 –cos 75 2 – 64cos 195 cos (270 – 75 ) cos 270 cos 75 sen 270 sen 75 –sen 75 – 2 – 642– 64 2 – 6 6 – 2 2 – 3tg 195 6 22 6 – 2 – 6416
Unidad 5.BACHILLERATOFórmulas y funciones trigonométricasMatemáticas Isen 135 sen (180 – 45 ) sen 180 cos 45 – cos 180 sen 45 sen 45 22cos 135 cos (180 – 45 ) cos 180 cos 45 sen 180 sen 45 –cos 45 – 222tg 135 2 –1– 225 Desarrolla, en función de las razones trigonométricas de α, y simplifica las siguientes expresiones:cos 2acos a sen aa) sen (45 α) – cos (α – 45 )b)c) (sen α cos α)2 – 2 sen α cos 2αd) cos 2 a · sen 2 a 1 cos 2 α224a) sen (45 α) – cos (α – 45 ) sen 45 cos α cos 45 sen α – (cos α cos 45 sen α sen 45 ) 2 cos a 2 sen a – 2 cos a – 2 sen a 02222b)cos 2a cos 2 a – sen 2 a (cos a sen a) (cos a – sen a) cos a – sen acos a sen acos a sen acos a sen ac) (sen α cos α)2 – 2 sen α cos 2α sen 2 α 2 sen α cos α cos 2 α – 2 sen α cos 2 α – sen 2 α 2(cos 2 α sen α cos α – sen α)22d) cos 2 a · sen 2 a 1 cos 2 a c 1 cos a m · c 1 – cos a m 1 cos 2 a 22 422422 1 cos a · 1 – cos a 1 cos 2 a 1 – cos a cos a 1224444a b6 Sabiendo que cos α –7 (180 α 270 ) y tg β 4 (180 β 270 ), calcula tg.2532Usamos la relación sen 2 α cos 2 α 1 para calcular sen α:sen 2 a cos 2 a 1 8 sen 2 a 49 1 8 sen 2 a 576 8 sen a – 24 porque el ángulo está en el 3.er cuadrante.62562525sen b 4 8 sen b 4 cos bcos b 33sen 2 b cos 2 b 1 8 16 cos 2 b cos 2 b 1 8 25 cos 2 b 1 8 cos 2 b 9 8 cos b – 3 porque también perte99255nece al tercer cuadrante.sen b 4 · c– 3 m – 4355Como 360 α β 540 , dividiendo las desigualdades entre 2 tenemos que 180 Por tanto,a ba bpertenece al tercer cuadrante y la tangente dees positiva.22Calculamos cos (α β) cos α cos β – sen α sen β –7 · –3 – –24 · – 4 – 325 525 55Por tanto, tga b 21 – cos (a b)1 – (3/5) 2 1 cos (a b)1 (–3/5)17a b 270 .2
Unidad 5.BACHILLERATOFórmulas y funciones trigonométricasMatemáticas I7 Si tg a –3 y α 270 , halla sen α, cos α y tg α.2tg a –3 821 – cos a –3 8 1 – cos a 9 81 cos a1 cos a 1 – cos a 9 9 cos a 8 10 cos a –8 8 cos a – 452sen a – 1 – c– 4 m – 9 – 32555tg a –3/5 3– 4/5 48 Si tg 2α 6 y α 90 , halla sen α, cos α y tg α.2 tg a 6 8 2 tg a 6 – 6 tg 2 a 8 6 tg 2 a 2 tg a – 6 0 8 tg a –2 28 –1 722 661 – tg aComo α está en el primer cuadrante, solo puede darse que tg α –1 7 .67–1cos asen α 62f 7 – 1 p cos 2 a cos 2 a 1 8 8 – 2 7 cos 2 a cos 2 a 1 86638 7 – 7 cos 2 a 1 8 cos 2 a 38 cos a 37– 77– 77 –13 sen a 7 – 1 ·67– 72 (7 – 7)9 Expresa en función de α y simplifica esta expresión:sen 2 a – cos 2 a 2 sen (90 – α)22sen 2 a – cos 2 a 2 sen (90 – a) 1 – cos a – 1 cos a 2 (sen 90 cos a – cos 90 sen a) – cos a 2 cos a cos a222210 Transforma las siguientes sumas en productos:a) sen 65 sen 35 b) sen 65 – sen 35 c) cos 48 cos 32 d) cos 48 – cos 32 e) 1 sen 50 2f)2 cos 75 2a) sen 65 sen 35 2 sen 65 35 cos 65 – 35 2 sen 50 cos 15 22b) sen 65 – sen 35 2 cos 65 35 sen 65 – 35 2 cos 50 sen 15 22c) cos 48 cos 32 2 cos 48 32 cos 48 – 32 2 cos 40 cos 8 22d) cos 48 – cos 32 –2 sen 48 32 sen 48 – 32 –2 sen 40 sen 8 22e) 1 sen 50 sen 30 sen 50 2 sen 30 50 cos 30 – 50 2 sen 40 cos (–10 ) 2 sen 40 cos 10 222f ) 2 cos 75 cos 45 cos 75 2 cos 45 75 cos 45 – 75 2 cos 60 cos (–15 ) 2 cos 60 cos 15 22218
Unidad 5.BACHILLERATOFórmulas y funciones trigonométricasMatemáticas IIdentidades trigonométricas11 Demuestra las siguientes identidades teniendo en cuenta las relaciones fundamentales:a) (sen α cos α)2 – (sen α – cos α)2 4 sen α cos αc) sen a sen a 21 cos a 1 – cos a sen ab) sen α · cos 2 α sen 3 α sen αd) cos a sen a · cos 2α 1 sen 2αcos a – sen aa) (sen a cos a) 2 – (sen a – cos a) 2 sen 2 a 2 sen a cos a cos 2 a – (sen 2 a – 2 sen a cos a cos 2 a) sen 2 a 2 sen a cos a cos 2 a – sen 2 a 2 sen a cos a – cos 2 a 4 sen a cos ab) sen a · cos 2 a sen 3 a sen a (cos 2 a sen 2 a) sen a · 1 sen ac)sen a sen a sen a – sen a cos a sen a sen a cos a 2 sen a 2 sen a 21 cos a 1 – cos a(1 cos a) (1 – cos a)1 – cos 2 a sen 2 a sen ad) cos a sen a · cos 2a cos a sen a (cos 2 a – sen 2 a) cos a sen a (cos a sen a) (cos a – sen a) cos a – sen acos a – sen acos a – sen a (cos a sen a) (cos a sen a) cos 2 a 2 cos a sen a sen 2 a 1 2 sen a cos a 1 sen 2a12 Prueba que son verdaderas las identidades siguientes:a) cos (x 60 ) – cos (x 120 ) cos xb) tg (x 45 ) – tg (x – 45 ) 2 2 tg 2 x1 – tg 2 xa) cos (x 60 ) – cos (x 120 ) cos x cos 60 – sen x sen 60 – (cos x cos 120 – sen x sen 120 ) cos x cos 60 – sen x sen 60 – cos x cos 120 sen x sen 120 cos x cos 60 – sen x sen 60 – cos x ·(– cos 60 ) sen x sen 60 2 cos x cos 60 2 · 1 cos x cos x2tg x tg 45 tg x – tg 45 tg x 1 tg x – 1 b) tg (x 45 ) – tg (x – 45 ) –– 1 – tg x tg 45 1 tg x tg 45 1 – tg x 1 tg x 1 2 tg x tg 2 x – (–1 2 tg x – tg 2 x) 2 2 tg 2 x (1 – tg x) (1 tg x)1 – tg 2 x13 Comprueba que se verifican las dos identidades siguientes:sen (a b) tg a tg ba) sen α sen (α β) cos α cos (α β) cos βb) sen (a – b) tg a – tg bEn b), divide numerador y denominador entre cos α cos β.a) sen a sen (a b) cos a cos (a b) sen a (sen a cos b cos a sen b) cos a (cos a cos b – sen a sen b) sen 2 a cos b sen a cos a sen b cos 2 a cos b – cos a
5. BACHILLERATO 5 2 Ecuaciones trigonométricas Página 134 Hazlo tú. Resuelve sen (α 30 ) 2 cos α. sen (α 30 ) 2 cos α sen α cos 30 cos α sen 30 2 cos α sen aa cosc os a 2 1 2 3 2 Dividimos los dos miembros entre cos α: tg a8 tg a8 tg a 2 1 2 3 23 44 - 3
gina, big data, and the future of employee privacy 711 feature contents introduction 713 i. 715gina in theory A. A Brief Introduction to GINA 716 B. GINA's Purpose 718 1. Background Information 718 a. Rise of Genetic Information 719 b. The American Health-Insurance System 720 2. Congress's Intent in Passing GINA 722 3.
131 EMMOTT JP EE 101666 AA LAN Targets: 79 84 163 131 GIBBS AP EE 82084 A SUF Targets: 87 76 163 131 GREEN R EE 123409 AA KEN Targets: 78 85 163 131 Hodgkinson K EE 104418 AA STA Targets: 80 83 163 131 SUNDSTROM R EE 131282 B ROW Targets: 81 82 163 131 TOWNSEND FC EE 93880 AAA OXO Targets
55:131 Introduction to VLSI Design 10 . Simplified Sea of Gates Floorplan 55:131 Introduction to VLSI Design 11 . SoG and Gate Array Cell Layouts 55:131 Introduction to VLSI Design 12 . SoG and Gate Array 3-in NAND 55:131 Introdu
El informe de la GINA ("Estrategia Global para el Manejo y la Prevención del Asma") ha sido actualizado anualmente desde 2002, y las publicaciones basadas en los informes de la GINA se han traducido a muchos idiomas. En 2001, la GINA instauró el Día Mundial del Asma, para aumentar la concienciación sobre la carga
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14 Gina’s journal has a square cover with the side length shown. G . 24 cm . What is the perimeter of the cover of Gina’s journal in centimeters? Record your answer and fill in the bubbles on your answer document. Be sure to use the correct place value. 15 Roger has two boxes of nails. One box has 438 nails, and the other box has 375 nails.
Gibson, Dunn, & Crutcher LLP, in the areas of securities regulation, banking, and . Gina-Gail S. Fletcher Page 5 of 19 . capital available in the market in general. 11. Thus, failure to address the issues that GameSto
DOCUMENT RESUME. ED 416 205 TM 028 051. AUTHOR Musolino, Gina M. TITLE Evaluation of the Performance Criteria Ratings of New. Graduates of Nova Southeastern University Physical Therapy Program. PUB DATE 1997-10-00 NOTE 80p.; Practicum report, Nova Southeastern University. PUB TYPE
