Funções Lógicas E Portas Lógicas - University Of São Paulo
Funções Lógicas ePortas LógicasNesta apresentação seráfornecida uma introduçãoao sistema matemático deanálise de circuitos lógicos,conhecido como Álgebra deBoole Serão vistos os blocosbásicos e suasequivalências José Augusto BaranauskasDepartamento de Computação e Matemática – FFCLRP-USPaugusto@usp.brhttp://dcm.fmrp.usp.br/ augusto
HistóricoEm meados do século XIX omatemático inglês George Booledesenvolveu um sistemamatemático de análise lógica Em meados do século XX, oamericano Claude ElwoodShannon sugeriu que a ÁlgebraBooleana poderia ser usada paraanálise e projeto de circuitos decomutação George Boole (1815-1864)Claude Elwood Shannon (1916-2001)2
Histórico Nos primórdios da eletrônica, todos os problemas eramsolucionados por meio de sistemas analógicosCom o avanço da tecnologia, os problemas passaram aser solucionados pela eletrônica digitalNa eletrônica digital, os sistemas (computadores,processadores de dados, sistemas de controle,codificadores, decodificadores, etc) empregam umpequeno grupo de circuitos lógicos básicos, que sãoconhecidos como portas e, ou, não e flip-flopCom a utilização adequadas dessas portas é possívelimplementar todas as expressões geradas pela álgebrade Boole3
Álgebra BooleanaNa álgebra de Boole, há somente dois estados(valores ou símbolos) permitidos Estado 0 (zero) Estado 1 (um) Em geral O estado zero representa não, falso, aparelho desligado, ausência de tensão, chave elétricadesligada, etcO estado um representa sim, verdadeiro, aparelholigado, presença de tensão, chave ligada, etc4
Álgebra Booleana Assim,na álgebra booleana, serepresentarmos por 0 uma situação, asituação contrária é representada por 1 Portanto, em qualquer bloco (porta oufunção) lógico somente esses dois estados(0 ou 1) são permitidos em suas entradas esaídas Uma variável booleana também só assumeum dos dois estados permitidos (0 ou 1)5
Álgebra Booleana Nesta apresentação trataremos dos seguintes blocoslógicos E (AND) OU (OR) NÃO (NOT) NÃO E (NAND) NÃO OU (NOR) OU EXCLUSIVO (XOR)Após, veremos a correspondência entre expressões,circuitos e tabelas verdadePor último, veremos a equivalência entre blocos lógicos6
Função E (AND)Executa a multiplicação (conjunção) booleanade duas ou mais variáveis binárias Por exemplo, assuma a convenção no circuito Chave aberta 0; Chave fechada 1 Lâmpada apagada 0; Lâmpada acesa 1 AB7
Função E (AND) Situações possíveis:A 0B 0S 0A 1B 0S 0A 0B 1S 0A 1B 1S 18
Função E (AND) Se a chave A está aberta (A 0) e a chave B aberta (B 0), não haverácirculação de energia no circuito, logo a lâmpada fica apagada (S 0)Se a chave A está fechada (A 1) e a chave B aberta (B 0), nãohaverá circulação de energia no circuito, logo a lâmpada fica apagada(S 0)Se a chave A está aberta (A 0) e a chave B fechada (B 1), nãohaverá circulação de energia no circuito, logo a lâmpada fica apagada(S 0)Se a chave A está fechada (A 1) e a chave B fechada (B 1), haverácirculação de energia no circuito e a lâmpada fica acesa (S 1)Observando todas as quatro situações possíveis (interpretações), épossível concluir que a lâmpada fica acesa somente quando aschaves A e B estiverem simultaneamente fechadas (A 1 e B 1)9
Função E (AND) Pararepresentar a expressão S AeB Adotaremos a representação S A.B, onde se lê S A e B Porém, existem notações alternativas S A&B S A, B S A B10
Tabela Verdade Atabela verdade é um mapa onde sãocolocadas todas as possíveisinterpretações (situações), com seusrespectivos resultados para uma expressãobooleana qualquer Como visto no exemplo anterior, para 2variáveis booleanas (A e B), há 4interpretações possíveis Em geral, para N variáveis booleanas deentrada, há 2N interpretações possíveis11
Tabela Verdade da Função E (AND)ABA.B00001010011112
Porta Lógica E (AND)A porta E é um circuito que executa a função E A porta E executa a tabela verdade da função E Portanto, a saída será 1 somente se ambas as entradas forem iguais a 1; nos demais casos, a saídaserá 0 RepresentaçãoPorta E(AND)Entrada ASaída SEntrada B13
Porta Lógica E (AND)AS A.BBA B S A.B0000 000 101 001 11A B S A.B001A B S A.B1000 000 101 001 110 000 101 001 11A B S A.B1110 000 101 001 1114
Porta Lógica E (AND) É possível estender oconceito de uma porta Epara um número qualquerde variáveis de entradaNesse caso, temos umaporta E com N entradas esomente uma saídaA saída será 1 se esomente se as N entradasforem iguais a 1; nosdemais casos, a saídaserá 0ABS A.B.C NC N15
Porta Lógica E (AND) Por exemplo,S A.B.C.DABCDS 10100001001010100101101100011010111001111116
Função OU (OR)Executa a soma (disjunção) booleana de duasou mais variáveis binárias Por exemplo, assuma a convenção no circuito Chave aberta 0; Chave fechada 1 Lâmpada apagada 0; Lâmpada acesa 1 AB17
Função OU (OR)A 1A 0S 1S 0B 0B 0A 0A 1S 1S 1B 1B 118
Função OU (OR) Se a chave A está aberta (A 0) e a chave B aberta (B 0), não haverácirculação de energia no circuito, logo a lâmpada fica apagada (S 0)Se a chave A está fechada (A 1) e a chave B aberta (B 0), haverácirculação de energia no circuito e a lâmpada fica acesa (S 1)Se a chave A está aberta (A 0) e a chave B fechada (B 1), haverácirculação de energia no circuito e a lâmpada fica acesa (S 1)Se a chave A está fechada (A 1) e a chave B fechada (B 1), haverácirculação de energia no circuito e a lâmpada fica acesa (S 1)Observando todas as quatro situações possíveis, é possível concluirque a lâmpada fica acesa somente quando a chave A ou a chave Bou ambas estiverem fechadas19
Função OU (OR) Pararepresentar a expressão S A ou B Adotaremos a representação S A B, onde se lê S A ou B Porém, existem notações alternativas S A B S A; B S A B20
Tabela Verdade da Função OU(OR)Observe que, nosistema de numeraçãobinário, a soma1 1 10 Na álgebra booleana,1 1 1, já quesomente dois valoressão permitidos (0 e 1) ABA B00001110111121
Porta Lógica OU (OR) A porta OU é um circuito que executa a função OUA porta OU executa a tabela verdade da função OU Portanto, a saída será 0 somente se ambas as entradas foremiguais a 0; nos demais casos, a saída será 1 RepresentaçãoPorta OU(OR)Entrada AEntrada BEntrada ASaída SSaída SEntrada B22
Porta Lógica OU (OR)AS A BBA B S A B0000 000 111 011 11A B S A B011A B S A B1010 000 111 011 110 000 111 011 11A B S A B1110 000 111 011 1123
Porta Lógica OU (OR) É possível estender oconceito de uma porta OUpara um número qualquerde variáveis de entradaNesse caso, temos umaporta OU com N entradase somente uma saídaA saída será 0 se esomente se as N entradasforem iguais a 0; nosdemais casos, a saídaserá 1ABC S A B C NN24
Porta Lógica OU (OR) Por exemplo,S A B C DABCDS A B C 11001110101101111100111011111011111125
Função NÃO (NOT)o complemento (negação) deuma variável binária Se a variável estiver em 0, o resultado da Executafunção é 1 Se a variável estiver em 1, o resultado dafunção é 0 Essafunção também é chamada deinversora26
Função NÃO (NOT) Usando as mesmas convenções dos circuitosanteriores, tem-se que: Quando a chave A está aberta (A 0), passará corrente pela lâmpada e ela acenderá (S 1)Quando a chave A está fechada (A 1), a lâmpadaestará em curto-circuito e não passará corrente porela, ficando apagada (S 0)A 0A 1S 1S 027
Função NÃO (NOT) Para representar aexpressão S não AAdotaremos arepresentação S Ā, onde se lê S não ANotações alternativas S A’ S A S Ã Tabela verdade dafunção NÃO (NOT)AĀ011028
Porta Lógica NÃO (NOT) A porta lógica NÃO, ou inversor, é o circuito que executaa função NÃOO inversor executa a tabela verdade da função NÃO Se a entrada for 0, a saída será 1; se a entrada for 1, a saída será0 RepresentaçãoEntrada APortaNÃO(NOT)Saída SAlternativamente,Após umbloco lógicoAntes de umbloco lógico29
Porta Lógica NÃO (NOT)0110AS ĀAS Ā0110AS Ā011030
Função NÃO E (NAND)Composição dafunção E com afunção NÃO, ou seja,a saída da função E éinvertida S (A.B) A.B (A.B)’ (A.B) Tabela verdadeABS A.B00101110111031
Porta NÃO E (NAND)A porta NÃO E (NE) é o bloco lógico que executaa função NÃO E, ou seja, sua tabela verdade Representação AAS A.BBS A.BB32
Porta NÃO E (NAND) Como a porta E, a portaNÃO E pode ter duas oumais entradasNesse caso, temos umaporta NÃO E com Nentradas e somente umasaídaA saída será 0 se esomente se as N entradasforem iguais a 1; nosdemais casos, a saídaserá 1ABS A.B.C NC N33
Função NÃO OU (NOR)Composição dafunção OU com afunção NÃO, ou seja,a saída da função OUé invertida S (A B) A B (A B)’ (A B) Tabela verdadeABS A B00101010011034
Porta NÃO OU (NOR)A porta NÃO OU (NOU) é o bloco lógico queexecuta a função NÃO OU, ou seja, sua tabelaverdade Representação AABS A BS A BB35
Porta NÃO OU (NOR) Como a porta OU, a portaNÃO OU pode ter duas oumais entradasNesse caso, temos umaporta NÃO OU com Nentradas e somente umasaídaA saída será 1 se esomente se as N entradasforem iguais a 0; nosdemais casos, a saídaserá 0ABC S A B C NN36
Função OU Exclusivo (XOR) A função OUExclusivo fornece 1 na saída quando asentradas foremdiferentes entre si e0 caso contrário S A B Ā.B A. Tabela verdadeA0011B0101S A B011037
Porta OU Exclusivo (XOR)como Bloco BásicoSimbologia adotadaAS A BBOutros símbolos utilizadosAA BS A B S A BB38
Porta OU Exclusivo (XOR)como Circuito CombinacionalAS A BB39
Resumo dos Blocos LógicosBásicosNomeE (AND)OU (OR)NÃO (NOT)InversorNE (NAND)Símbolo GráficoS A.BS ABB0101S A.B0001S A BS A BA0011B0101S A B0111S ĀS ĀS A’S AA01S Ā10S A.BBAAS A.BS A.BS (A.B)’S (A.B)A0011B0101S A.B1110S A BS A BS (A B)’S (A B)A0011B0101S A B1000S A BA0011B0101S A B0110ABNOU (NOR)AXORABS A BBTabela VerdadeA0011ABFunção Algébrica41
Correspondência entre expressões,circuitos e tabelas verdade Todocircuito lógico executa umaexpressão booleana Um circuito, por mais complexo que seja, écomposto pela interligação dos blocoslógicos básicos Veremos, a seguir, como obter asexpressões booleanas geradas por umcircuito lógico42
Expressões Booleanas Geradaspor Circuitos Lógicos Sejao circuito:ABSC43
Expressões Booleanas Geradaspor Circuitos Lógicos Vamosdividi-lo em duas partes (1) e (2) No circuito (1), a saída S1 contém o produtoA.B, já que o bloco é uma porta E Portanto, S1 A.BABCS1(1)S(2)44
Expressões Booleanas Geradaspor Circuitos LógicosNo circuito (2), note que a saída S1 é utilizadacomo uma das entradas da porta OU A outra entrada da porta OU corresponde àvariável C, o que nos leva à: S S1 C ABCS1 A.B(1)S S1 C(2)45
Expressões Booleanas Geradaspor Circuitos Lógicos Para obter a expressão final em relação àsentradas A, B e C basta substituir a expressão S1na expressão de S, ou seja: (1) S1 A.B (2) S S1 C Obtém-se S S1 C (A.B) CABCS1 A.B(1)S S1 C(2)46
Expressões Booleanas Geradaspor Circuitos Lógicos Portanto, a expressão que o circuito executa é: S (A.B) C A.B CAA.BBCS A.B C(2)47
Exercício Escrevaa expressão booleana executadapelo circuitoABSCD48
SoluçãoA(A B)BS (A B).(C D)C(C D)D49
Exercício Determinara expressão booleanacaracterística do circuitoABCSD50
SoluçãoA(A.B)BCCS (A.B) C (C.D)(C.D)D51
Circuitos Gerados porExpressões Booleanas Atéo momento, vimos como obter umaexpressão característica a partir de umcircuito Também é possível obter um circuitológico, dada uma expressão booleana Nesse caso, como na aritmética elementar,parênteses têm maior prioridade, seguidospela multiplicação (função E) e, por último,pela soma (função OU)52
Circuitos Gerados porExpressões Booleanas Seja a expressão S (A B).C.(B D) Vamos separar as subfórmulas daexpressão, ou seja: S (A B) . C . (B D)53
Circuitos Gerados porExpressões Booleanas Seja a expressão S (A B).C.(B D) Vamos separar as subfórmulas daexpressão, ou seja:ABS1 (A B) S (A B) . C . (B D) Dentro do primeiro parêntese temos asoma booleana S1 (A B), portanto ocircuito que executa esse parêntese seráuma porta OUDentro do segundo parêntese temos asoma booleana S2 (B D). Novamente, ocircuito que executa esse parêntese seráuma porta OUBDS2 (B D)54
Circuitos Gerados porExpressões Booleanas Seja a expressão S (A B).C.(B D) Vamos separar as subfórmulas daexpressão, ou seja:ABS1 (A B) S (A B) . C . (B D) Dentro do primeiro parêntese temos asoma booleana S1 (A B), portanto ocircuito que executa esse parêntese seráuma porta OUDentro do segundo parêntese temos asoma booleana S2 (B D). Novamente, ocircuito que executa esse parêntese seráuma porta OUPortanto, temos:BDS2 (B D)S1CSS2 S S1 . C . S2 Agora temos uma multiplicação booleanae o circuito que a executa é uma porta E55
Circuitos Gerados porExpressões Booleanas Ocircuito completo é:AS1 (A B)BS (A B).C.(B D)CDS2 (B D)56
Exercício Desenheo circuito lógico que executa aseguinte expressão booleana S (A.B.C) (A B).C57
Solução É importante lembrar que as entradas que representam a mesmavariável estão interligadasContudo o desenho sem interligações facilita a interpretação docircuitoAA.B.CBCAS (A.B.C) (A B).CA BB(A B).CC58
Exercício Desenheo circuito lógico cuja expressãocaracterística é S (A.B C.D)’59
SoluçãoAA.BBS ((A.B) (C.D))’CC.DD60
Expressões ou Circuitosrepresentados por Tabelas VerdadeUma forma de estudar uma função booleanaconsiste em utilizar sua tabela verdade Como visto anteriormente, há uma equivalênciaentre o circuito lógico e sua expressãocaracterística Podemos obter um circuito a partir de sua expressão Podemos obter expressões a partir dos circuitos Uma tabela verdade representa o comportamentotanto do circuito como de sua expressãocaracterística 61
Como obter a Tabela Verdade apartir de uma ExpressãoColocar todas as possibilidades (interpretações)para as variáveis de entrada Lembrar que para N variáveis, há 2N possibilidades Adicionar colunas para cada subfórmula daexpressão Preencher cada coluna com seus resultados Adicionar uma coluna para o resultado final Preencher essa coluna com o resultado final 62
Exemplo Considere a expressão S A.B.C A.D A.B.DComo há 4 variáveis deentrada (A, B, C, D), há24 16 interpretações Variação 1 zero, 1 umABCD010101010101010163
Exemplo Considere a expressão S A.B.C A.D A.B.DComo há 4 variáveis deentrada (A, B, C, D), há24 16 interpretações Variação 1 zero, 1 um Variação 2 zeros, 2 umABC0011001100110011D010101010101010164
Exemplo Considere a expressão S A.B.C A.D A.B.DComo há 4 variáveis deentrada (A, B, C, D), há24 16 interpretações Variação 1 zero, 1 um Variação 2 zeros, 2 um Variação 4 zeros, 4 010165
Exemplo Considere a expressão S A.B.C A.D A.B.DComo há 4 variáveis deentrada (A, B, C, D), há24 16 interpretações Variação 1 zero, 1 um Variação 2 zeros, 2 um Variação 4 zeros, 4 um Variação 8 zeros, 8 011D010101010101010166
Exemplo S A.B.C A.D A.B.DA seguir, adicionar umacoluna para cadasubfórmula de S, além deuma coluna para oresultado final S A.B.C A.D 110011D0101010101010101A.B.CA.DA.B.DS67
Exemplo S A.B.C A.D A.B.DA seguir, adicionar umacoluna para cadasubfórmula de S, além deuma coluna para oresultado final S A.B.C A.D A.B.DPreencher cada colunacom seu S1168
Exemplo S A.B.C A.D A.B.DA seguir, adicionar umacoluna para cadasubfórmula de S, além deuma coluna para oresultado final S A.B.C A.D A.B.DPreencher cada colunacom seu 00000011A.DA.B.DS69
Exemplo S A.B.C A.D A.B.DA seguir, adicionar umacoluna para cadasubfórmula de S, além deuma coluna para oresultado final S A.B.C A.D A.B.DPreencher cada colunacom seu 00000011A.DA.B.DS111170
Exemplo S A.B.C A.D A.B.DA seguir, adicionar umacoluna para cadasubfórmula de S, além deuma coluna para oresultado final S A.B.C A.D A.B.DPreencher cada colunacom seu 00000011A.D0000000001010101A.B.DS71
Exemplo S A.B.C A.D A.B.DA seguir, adicionar umacoluna para cadasubfórmula de S, além deuma coluna para oresultado final S A.B.C A.D A.B.DPreencher cada colunacom seu 00000011A.D0000000001010101A.B.DS1172
Exemplo S A.B.C A.D A.B.DA seguir, adicionar umacoluna para cadasubfórmula de S, além deuma coluna para oresultado final S A.B.C A.D A.B.DPreencher cada colunacom seu 3
Exemplo S A.B.C A.D A.B.DA seguir, adicionar uma colunapara cada subfórmula de S,além de uma coluna para oresultado final S A.B.C A.D A.B.D Preencher cada coluna comseu respectivo resultadoPor último, preencher a colunado resultado 0000001010101A.B.D0000000000000101S1111174
Exemplo S A.B.C A.D A.B.DA seguir, adicionar uma colunapara cada subfórmula de S,além de uma coluna para oresultado final S A.B.C A.D A.B.D Preencher cada coluna comseu respectivo resultadoPor último, preencher a colunado resultado 175
Exercício Encontre a tabelaverdade da expressão S Ā B A.B.C’76
Exercício Encontre a tabelaverdade da expressão S Ā B 0111100A.B.C’S77
Solução Encontre a tabelaverdade da expressão S Ā B 1001100010010100001100111111000178
Exercício Montara tabela verdade da expressão S A.B.C A.B’.C A’.B’.C A’.B’.C’79
Exercício Montara tabela verdade da expressão S A.B.C A.B’.C A’.B’.C CA’.B’.C’S80
Solução Montara tabela verdade da expressão S A.B.C A.B’.C A’.B’.C 01000181
Equivalência de ExpressõesBooleanas por Tabela VerdadeSejam S1 e S2 duas expressões booleanas S1 e S2 são equivalentes se e somente se paratodas as interpretações possíveis (linhas) natabela verdade ocorre S1 S2 Se S1 S2 em pelo menos uma interpretação,então S1 e S2 não são equivalentes 82
Exercício Verifique, usando tabelaverdade, se as expressões S1e S2 são equivalentes S1 A S2 A.(A B)AB00011011A BS1S283
Solução Verifique, usando tabelaverdade, se as expressões S1e S2 são equivalentes S1 A S2 A.(A B) Como S1 S2 em todas asinterpretações possíveis natabela verdade, as expressõessão equivalentes A.(A B) AComo veremos mais adiante,esta é uma propriedade,conhecida como absorçãoABA BS1S20000001100101111111184
Exercício Verifique, usando tabelaverdade, se as expressões S1,S2, S3 são equivalentes entresi S1 A S2 A.(1 B) S3 A A.BAB000110111 BA.BS1S2S385
Solução Verifique, usando tabelaverdade, se as expressões S1,S2, S3 são equivalentes entresi S1 A S2 A.(1 B) S3 A A.B AB1 BA.BS1S2S30010000011000010101111111111Como S1 S2 S3 em todas asinterpretações possíveis natabela verdade, as expressõessão equivalentes A A.B A.(1 B) AComo veremos mais adiante,esta é uma propriedade,conhecida como absorção86
Exercício Verifique, usando tabelaverdade, se as expressões S1e S2 são equivalentes S1 A.(B C) S2 A.B A.CA B C000001010011100101110111B CA.BA.CS1S287
Solução Verifique, usando tabelaverdade, se as expressões S1e S2 são equivalentes S1 A.(B C) S2 A.B A.C Como S1 S2 em todas asinterpretações possíveis natabela verdade, as expressõessão equivalentes A.(B C) A.B A.CComo veremos mais adiante,esta é a propriedadedistributiva da multiplicaçãobooleanaA B CB 010110111110110111111111188
Exercício Verifique, usando tabelaverdade, se as expressões S1e S2 são equivalentes S1 A (B.C) S2 (A B) . (A C)A B C000001010011100101110111B.CA BA CS1S289
Solução Verifique, usando tabelaverdade, se as expressões S1e S2 são equivalentes S1 A (B.C) S2 (A B) . (A C) Como S1 S2 em todas asinterpretações possíveis natabela verdade, as expressõessão equivalentes A (B.C) (A B) . (A C)Como veremos mais adiante,esta é a propriedadedistributiva da adiçãobooleanaA B CB.CA BA 111110011111111111190
Exercício Verifique, usando tabelaverdade, se as expressões S1e S2 são equivalentes S1 (Ā. ) S2 (A.B)’A BA’B’A.BS1S20 00 11 01 191
Solução Verifique, usando tabelaverdade, se as expressões S1e S2 são equivalentes S1 (Ā. ) S2 (A.B)’ Como S1 S2 em pelo menosuma interpretação (de fato, em2 das 4 possíveis) na tabelaverdade, as expressões nãosão equivalentesPortanto,A BA’B’A.BS1S20 0110110 1100011 0010011 100100 (Ā. ) (A.B)’92
Resumo de Algumas Propriedadesprovadas por Tabelas Verdade Absorção A (A.B) A A . (A B) A Distributiva A.(B C) A.B A.C A (B.C) (A B) . (A C)93
Obtendo a Tabela Verdade apartir de um Circuito Deforma análoga, é possível estudar ocomportamento de um circuito por meio dasua tabela verdade Dado um circuito, é necessário extrair suaexpressão característica; a partir dela épossível montar a tabela verdadecorrespondente94
Exemplo Apartir do circuito:ABSBC95
Exemplo Apartir do circuito:A(A B)BS (A B).(B.C)’B(B.C)’C Extraímossua expressão característica S (A B) . (B.C)96
ExemploA partir da expressão S (A B) . (B.C) Obtém-se a tabelaverdade, comoanteriormenteexplicado ABCA 110111101011111110097
Equivalência de Blocos Lógicos Qualquer bloco lógico básico pode ser obtido utilizandooutro bloco qualquer e inversoresInversores podem ser obtidos a partir de portas NAND eNORVeremos a seguir essas equivalências entredeterminados blocosTais equivalências podem ser provadas pela tabelasverdades correspondentes da seguinte forma Seja S1 a expressão característica do primeiro bloco B1 Seja S2 a expressão característica do segundo bloco B2 Se para todas as interpretações possíveis de B1 e B2, sempreocorrer que S1 S2, então B1 é equivalente a B298
Inversor a partir de porta NAND Inversor AS ĀA01S10Ao interligar asentradas de uma portaNAND, obtém-se uminversorAS ĀABS A.BBA0011B0101S1110Note que, para cadainterpretaçãopossível, osresultados sãoequivalentesA B0 01 1S1099
Inversor a partir de porta NOR Inversor AS ĀA01S10Ao interligar asentradas de uma portaNOR, obtém-se uminversorAS ĀBAS A BBA0011B0101S1000A B0 01 1S10100
Porta NOU a partir de porta E einversores Porta E e inversores Porta NOUĀA BAASBA0011B0101Ā1100S A BB 1010S1000A0011B0101S A B1000101
Equivalência de Blocos Lógicos Demaneira similar, a equivalência entre osblocos mostrados a seguir pode serverificada102
Blocos Lógicos EquivalentesBloco LógicoNomeBloco EquivalenteAANDNANDABBAAS A.BBABS (Ā. )S A BBANORS Ā BBAORS (Ā )S A.BAS A BS Ā. B103
Exercício Prove,usando tabela verdade, que osseguintes blocos lógicos são equivalentesABAS2 (Ā. )S1 A BB104
Solução AABS1 A BAS2 (Ā. )BĀ Ā. S1 S2 A BĀ. 0011100011001110010111100011B105
Copyright Apresentação 2012 porJosé Augusto BaranauskasUniversidade de São PauloProfessores são convidados a utilizarem esta apresentação da maneira que lhesfor conveniente, desde que esta nota de copyright permaneça intacta.Slides baseados em: Idoeta, I.V. & Capuano, F.G.; Elementos de Eletrônica Digital, 12ª. edição,Érica, 1987. E. Mendelson; Álgebra booleana e circuitos de chaveamento, McGraw-Hill,1977.106
circulação de energia no circuito e a lâmpada fica acesa (S 1) Observando todas as quatro situações possíveis, é possível concluir que a lâmpada fica acesa somente quando a chave A ou a chave B ou ambas estiverem fechadas. 20 Função OU (OR) Para representar a expressão
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HAVING FUN: It seems like every time I pick up a book that has anything to do with fitness, they never say a word about having fun. The people in the pictures demonstrating the lifts have absolutely no trace of a smile on their face. A coach of mine once told me there are 2 kinds of fun: 1. Having fun building your house 2. Having fun at a .
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Selection of the fun facts was based on criterion children in the pre-test reported as being the most fun. The fun facts were reviewed and approved by the SNDs, and met reading level appropriate for the third grade. Table tents were used as the medium to communicate the fun facts about each F/V. Table tents were three-sided communicators similar
Octomys mimax (Rodentia: Octodontidae) RAU L SOBRERO,VALERIA E. CAMPOS,STELLA M. GIANNONI, AND LUIS A. EBENSPERGER Departamento de Ecologı a, Facultad de Ciencias Biolo gicas, Pontificia Universidad Cato lica de Chile, Casilla 114-D, Santiago
La universidad sede, y espec ficamente la Facultad de Ciencias Biol gicas, es la coorganizadora del evento. Se convoca a socios, estudiantes, investigadores y p blico en general, a difundir las novedades de sus investigaciones en cualquier rea del conocimiento de la bot nica (incluyendo micolog a).
En el diseño de unidades didácticas se han de-sarrollado propuestas desde diversas teorías psicoló-gicas, particularmente la Teoría Interconductual, en donde la enseñanza-aprendizaje se concreta en las interacciones didácticas. Dichas interacciones se es-tablecen entre el estudiante, el objeto referente y el Presentación
They offer fun worksheets to accompany the Thematic units. Social Studies Activity Fun Character Christmas Columbus Day Communications . Thanksgiving Transportation Valentine's Day History Activity Fun Age of Dis
