Barisan Dan Deret Tak Hingga - Perpustakaan UT

Modul 1Barisan dan Deret Tak HinggaDra. Sapti Wahyuningsih, M.Si.PEN D A HU L UA NModul ini menyajikan kajian tentang Barisan dan Deret Tak Hingga.Kajian tentang barisan dan deret memegang peranan sangat pentingkarena sebagai dasar untuk pembahasan Integral Tentu.Barisan dan Deret tak hingga yang dibahas dalam modul ini, meliputiberikut ini.1. Pengertian barisan.2. Kemonotonan barisan.3. Limit barisan.4. Kekonvergenan barisan.5. Pengertian deret.6. Limit suatu deret.7. Kekonvergenan suatu deret.8. Uji kekonvergenan deret.Kajian tentang pengertian barisan memberikan kemampuan mendefinisikan barisan secara umum melalui fungsi dan menentukan suku ke-nsuatu barisan.Kajian kemonotonan barisan memberikan kemampuan menyelesaikansoal-soal bahwa suatu barisan monoton naik, monoton tidak turun, monotonturun dan monoton tidak naik.Kajian limit barisan memberikan kemampuan mendefinisikan limit suatubarisan, membuktikan sifat-sifat limit barisan, serta menyelesaikan soal-soaltentang limit barisan baik dengan menggunakan definisi maupun teorema apituntuk limit barisan.Kajian tentang kekonvergenan barisan memberikan kemampuanmembuktikan bahwa suatu barisan konvergen atau divergen, memberikankemampuan mengaitkan kekonvergenan barisan dengan kemonotonan danbarisan terbatas.

1.2Kalkulus 2 definisikan deret tak hingga dan menentukan jumlah bagian deret takhingga.Kajian limit suatu deret memberikan kemampuan menyelesaikan soalbahwa suatu deret mempunyai limit atau tidak dan membuktikan sifat-sifatkelinieran limit suatu deret.Kajian tentang kekonvergenan suatu deret memberikan kemampuanmembuktikan suatu deret konvergen atau divergen.Kajian tentang uji kekonvergenan deret memberikan kemampuanmembuktikan kekonvergenan atau kedivergenan suatu deret dengan ujibanding dengan deret lain, uji banding limit, uji hasil bagi dan ujikekonvergenan deret ganti tanda.Dalam mempelajari modul ini lebih baik kalau dilakukan dengan belajarkelompok terdiri atas tiga atau empat orang jika ada hal-hal yang kurangdipahami dicatat untuk selanjutnya dapat ditanyakan pada waktu tutorial.Kemampuan umum yang diharapkan setelah mempelajari modul ini,Anda dapat:1. mendefinisikan barisan secara umum melalui fungsi;2. menyelesaikan soal-soal tentang limit barisan;3. menyelesaikan soal tentang barisan konvergen/divergen;4. mendefinisikan deret tak hingga dan jumlah bagian deret;5. menyelesaikan soal-soal tentang limit suatu deret6. menyelesaikan soal tentang kekonvergenan/kedivergenan suatu deret;7. menyelesaikan soal-soal dengan melakukan uji kekonvergenan deretdengan uji banding dengan deret lain, uji banding limit, uji hasil bagi danuji kekonvergenan deret ganti tanda.

1.3 PEMA4218/MODUL 1KEGIATAN BELAJAR 1Barisan Tak HinggaSebelum membahas definisi barisan, perlu Anda ingat lagi pengertianbarisan pada materi di SMU, yaitu barisan aritmatika dan barisangeometri. Sebagai contoh, barisan (a) 2, 8, 14, 20, , (b) 3, 5, 7, 9, (c) 25,20, 15, 10, . Misalkan, suku ke-n adalah U n maka barisanbarisanaritmatikajikaU1 ,U 2 ,.,U n 1 ,U n ,. disebutU 2 U1 U3 U 2 . U n U n 1 konstanta. Dalam hal ini konstantadisebut beda ( b) . Jika suku pertamaa dan beda b , Anda mengenal rumussuku ke-n barisan aritmatika adalah U n a (n 1)b .Perhatikan barisan 2, 6, 18, 54, dan barisan 5, -10, 20, -40, Misalkan, suku ke-n adalah U n maka barisan U1 ,U 2 ,.,U n 1 ,U n ,. disebutbarisan geometri jikaUU1 U 3 U 4 . n r rasio. Jika suku pertamaU 2 U 2 U3U n 1a dan rrasio maka rumus suku ke-n barisan geometri dapat ditentukan denganU n ar n 1 .Barisan aritmatika dan barisan geometri adalah barisan yang mempunyaisifat khusus sehingga dapat ditentukan rumus umum suku ke-n.Di bawah ini dibahas definisi barisan secara umum.1.Pengertian BarisanUntuk pembahasan barisan secara umum adalah dengan fungsi. Andaingat definisi fungsi sebagai berikut. Misalkan, A, B adalah sebarang duahimpunan bagian dari himpunan bilangan real yang tak kosong maka fungsi(atau pemetaan) dari A ke B adalah suatu aturan yang menghubungkansetiap a A dengan tepat satu b B . Notasi yang digunakan untukmenunjukkan bahwa f adalah fungsi dari A ke B adalah f : A B .Definisi 1.1Suatu barisan adalah suatu fungsi yang domainnya adalah himpunanbilangan bulat positif (Z atau N ) atau himpunan bagiannya.

1.4Kalkulus 2 Suatu barisan yang daerah hasilnya (range) adalah himpunan bagian darihimpunan bilangan real disebut barisan bilangan real atau dengan kata lain:Suatu barisan bilangan real adalah suatu fungsi f : N R .Contoh 1.1f : N R.n 1n1.nf adalah suatu barisan bilangan real karena domainnya adalah N (yaituhimpunan bilangan asli/bulat positif) dan rangenya adalah himpunan bilanganreal.Dalam pembahasan selanjutnya untuk mempersingkat penulisan, suatubarisan bilangan real hanya akan ditulis sebagai barisan saja, mengingathimpunan semesta yang membatasi hanya terbatas pada himpunan bilanganreal saja.Penting untuk membedakan penulisan suatu himpunan dengan suatubarisan. Oleh karena itu, suatu barisan akan ditulis di antara tanda “ “ dan“ ”, sedangkan untuk menyatakan suatu himpunan akan ditulis di antaratanda kurung kurawal “{“ dan “}”. Selanjutnya, suatu barisan akan ditulisdengan an . Untuk menyatakan barisan yang berbeda akan ditulis denganf (n) an dengan an huruf yang berbeda pula, seperti bn , xn , dan yn .Untuk Contoh 1.1 di atas an barisan bilangan dengan an sebagaisuku ke-n atau rumus umum suatu barisan. Suatu barisan dapat dinyatakandengan menyebutkan beberapa (sejumlah berhingga) suku awalnya, denganrumus eksplisit untuk suku ke-n, dan dengan bentuk rekursif. Pada Contoh1 111.1, beberapa suku awalnya adalah 1, , ,. , sedangkan an , n 1n2 3adalah rumus eksplisit, dan rumus rekursifnya adalah a1 1 danan 1 an.1 an

PEMA4218/MODUL 11.5Anda perlu hati-hati dalam menuliskan rumus suku ke-n dari suatubarisan, karena dalam beberapa kasus adalah tidak tunggal.Contoh 1.2Barisan 1, -1, 1, -1, mempunyai rumus suku ke-n an ( 1)n 1 atau1an cos (n 1) , n N atau an sin (n ) 2Suatu barisan terkadang belum dapat dikenali hanya dengan melihatsejumlah berhingga sukunya, karena dapat mempunyai lebih dari satu rumuske-n dan menghasilkan barisan yang berbeda.Contoh 1.31, 2, rumus ke-n untuk barisan tersebut dapat2113berbentuk an 1 atau an n2 3n 6 yang masing-masing akan22nmenghasilkan barisan131134, 2 , 2, 1 , 1 , dan barisan 4, 2 , 2, 2 , 4, yang merupakan24225barisan yang berbeda.Perhatikan barisan 4, 22.Kemonotonan BarisanDefinisi 1.2Barisan an dikatakana.monoton naik jika untuk setiap n N berlaku an 1 anb.monoton tidak turun jika untuk setiap n N berlaku an 1 anc.monoton turun jika untuk setiap n N berlaku an 1 and.monoton tidak naik jika untuk setiap n N berlaku an 1 anContoh 1.41merupakan barisan yang monoton turunn11 n (n 1)1 0.sebab an 1 an n 1 n(n 1)n(n 1)nBarisan an dengan an

1.6Kalkulus 2 Jadi, an 1 an , yaitu an barisan monoton turun.Atau cara lain:an 11 nn . 1 . Jadi, an 1 an ,ann 1 1 n 1yaitu an barisan monoton turun. 1adalah bukan suatu barisan monoton.n1 1 1Suku-suku barisan tersebut adalah –1, , , ,. karena2 3 4a1 a2 & a2 a3 maka an bukan suatu barisan monoton.Barisan an dengan an 3.Limit BarisanDefinisi 1.3Misalkan an barisan dan L R . Barisan an mempunyailimitL ditulis lim an L apabila untuk setiap bilangan positif ,n terdapat bilangan positif K sehingga an L , n,n K .Contoh 1.51, n N mempunyai limit 0 sebab ambiln1sebarang . 0 dan pilih K maka berlakuBarisan an dengan an an 0 11 1 0 , n, n Knn KContoh 1.61, n N mempunyai limit 1n1sebab ambil sebarang . 0 dan pilih K maka berlakuBarisan an dengan an 1 11 1 1an 1 1 1 , n, n K .nn n K

1.7 PEMA4218/MODUL 1Sifat-sifat dari limit barisan dinyatakan dalam teorema berikut.Teorema 1.1Misalkan, barisan an dan barisan bn masing-masingmempunyai limit L1 & L2 dan k suatu konstanta makaa.b.c.d.e.lim k kn lim k a n k lim an kL1n n lim (an bn ) lim an lim bn L1 L2n n n lim (an .bn ) lim an . lim bn L1.L2n limn ann bn lim ann lim bnn L1asalkan L2 0.L2 n Contoh 1.7Tentukan lim4n 3n 5n3 n2Penyelesaian:lim4n 3n 5n3 n24 limn (pembilang dan penyebut dibagi dengan15 ( )npangkat n yang terbesar yang ada padapenyebut)lim 4 n 1lim (5 ( ))n nlim 4n 1n n(berdasar teorema bagian e)(berdasar teorema bagian c)lim 5 limn 415 limn n(berdasar teorema bagian a))

1.8Kalkulus 2 45 04 5 (dari hasil contoh 5)Teorema apit untuk barisanMisalkan, an , bn dan cn barisan.Jika an bn cn , n N dan lim an lim cn L maka lim bn L .n n n Contoh 1.8Dengan teorema apit tunjukkan bahwa lim ( 1)nn 1 0nPenyelesaian:Oleh karena 0 ( 1)nlim ( 1)nn 1 11 dan dari Contoh 1.5 lim 0 makan nn n1 0nTeorema 1.2Jika lim an 0, maka lim an 0n n Bukti:Oleh karena an an an dan lim an 0, makan dengan teorema apit diperolehlim an 0 .n

1.9 PEMA4218/MODUL 1Contoh 1.9Tunjukkan bahwa jika r 1 maka lim r n 0n Penyelesaian:Oleh karena r 1 maka11 1 dan dapat ditulis 1 k , untukrrsuatu k 0.1Sehingga n (1 k )n 1 kn (bilangan positif) kn .r1.kn1 11 1Oleh karena lim lim .0 0 maka berdasarn knk n n knDiperoleh 0 r nteorema apit lim r 0.n nOleh karena lim r 0 maka berdasar Teorema lim r n 0.n 4.n Kekonvergenan BarisanDefinisi 1.4Barisan an dikatakan konvergen ke L R jika lim an L.n Barisan an yang tidak mempunyai limit dikatakan divergen.Barisan yang divergen kemungkinan yang terjadi adalah limit barisannya , , atau beroskilasi.Contoh 1.10a.Barisan an dengan an 12 nkonvergen kekarena44n2 n 1 .n 4n4limb.Barisan an dengan an ( 1)nadalah divergen karena limitbarisannya beroskilasi karena untuk n ganjil limit barisannya –1,sedangkan untuk n genap limit barisannya 1.

1.10c.Kalkulus 2 Barisan an dengan an n adalah divergen karena lim ( n) .n Ada hubungan antara barisan konvergen, kemonotonan barisan danbarisan terbatas. Sebelumnya diberikan pengertian barisan terbatas sebagaiberikut.Definisi 1.5Misalkan, an suatu barisan, barisan an dikatakan terbatas atasjika ada suatu bilangan real M, sedemikian hingga an M untuk semuan N . Barisan an dikatakan terbatas bawah jika ada suatu bilanganreal M, sedemikian hingga an M untuk semua n N .Ditulis dengan notasi matematika:Misalkan, an suatu barisan, M R an M , n N an terbatas atas an terbatas bawah M R an M , n NSelanjutnya, barisan an dikatakan terbatas jika an terbatas atasdan terbatas bawah. Atau dengan kata lain, barisan an terbatas jika danhanya jika ada M 0 sedemikian hingga an M untuk semua n N, dimana an M , M 0 , berarti juga M an M .Contoh 1.11Barisan -n2 adalah barisan yang terbatas atas karena terdapat M 1sehingga –n2 1, n NContoh 1.12Barisan n2 adalah barisan yang terbatas bawah karena terdapat M 0sehingga n2 0, n NContoh 1.13Barisan (-1)n adalah barisan yang terbatas karena terdapat M 2,sehingga 1 n 1 2, n N .

1.11 PEMA4218/MODUL 1Teorema 1.3Setiap barisan yang konvergen selalu terbatasBukti:Misalkan, barisan an konvergen ke L . Akan ditunjukkan barisan an terbatas, yaitu terdapat M 0 sehingga an M , n N .Oleh karena an barisan yang konvergen ke Lmaka terdapatbilangan positif K sehingga an L 1, n, n K .Sehingga berlaku:an an L L an L L 1 L , untuk setiap n K .Pilih M maks{ a1 , a2 ,., aK ,1 L }Maka, diperoleh an M , n N , yaitu an barisan terbatas.Teorema 1.4Setiap barisan yang monoton dan terbatas selalu konvergenDari teorema ini dimaksudkan:a. Jika barisan an monoton naik atau monoton tidak turun danterbatas di atas maka barisan an konvergen.b.Jika barisan an monoton turun atau monoton tidak naik danterbatas di bawah maka barisan an konvergen.Contoh 1.14Tunjukkan bahwa barisan an dengan an 2konvergen tanpa2 4nmenghitung limit.Penyelesaian:Ditunjukkan bahwa barisan an terbatas di atas dan monoton naik.1 1Suku-suku barisan tersebut adalah –1, , , jelas bahwa barisan3 5terbatas atas oleh 0.Ditunjukkan barisan monoton naik, yaitu an 1 an .