Matemáticas II Ejercicios Resueltos De Los Exámenes De .

Matemáticas II – Ejercicios resueltos de los exámenes de Selectividad propuestos en Castilla-La ManchaAutor: Pedro Castro Ortega, profesor del IES “Fernando de Mena” de Socuéllamos (Ciudad Real)Puntos, rectas y planos en el espacio. Problemas métricos en el espacio x 2t 1 x 3y 4z 6 0 1. Estudiar la posición relativa de las rectas r y s: r ; s y t 1 2 x y 3z 2 0 z 3t 2 Calcular la distancia entre ambas rectasjunio 1997SoluciónObtengamos un vector director u y un punto A de r. Llamemos z . Entonces el sistema queda de la x 3 y 4 6forma: . Multiplicando la primera ecuación por 2 y restando queda 2 x y 3 2 11145 y 11 14 y 55Sustituyendo en la primera ecuación:14 33421312 11x 3 4 6 x 4 6 x 5 5555 512 13 x 5 5 1114 Por tanto, la recta es, en ecuaciones paramétricas: r y 55 z 12 14 Así, un punto de r es A , , 0 y un vector director de r es u 13, 11,5 . Por otro lado, es claro que 5 5 un punto de s es B 1,1, 2 y un vector director de s es v 2,1, 3 . Entonces: u 13 11 5 rango rango 2 . pues hay al menos un menor de orden dos distinto de cero.1 3 v 2 13 11 5 u 13 11 5 1 3 0 .1 3 3 , ya que 2 rango v rango 2 7 9 AB 7 / 5 9 / 5 2 2 5 5 Por tanto, r y s se cruzan.Hallemos el plano que pasa por r y es paralelo a s. Para ello escribamos la ecuación del haz de planos dearista r: x 3 y 4z 6 2 x y 3z 2 0 2 x 3 y 4 3 z 6 2 0Para que un plano de este haz sea paralelo a la recta s se debe cumplir que el vector perpendicular al plano 2 ,3 , 3 sea perpendicular al vector director de s: v 2,1, 3 , es decir, que el productoescalar de ambos sea cero: 2 2 3 1 4 3 3 0 7 14 0 .Puntos, rectas y planos en el espacio. Problemas métricos en el espacio1

Matemáticas II – Ejercicios resueltos de los exámenes de Selectividad propuestos en Castilla-La ManchaAutor: Pedro Castro Ortega, profesor del IES “Fernando de Mena” de Socuéllamos (Ciudad Real)Para que esta última igualdad se cumpla basta elegir 2 , 1 , luego el plano es 4 x 7 y 5 z 10 0 .La distancia buscada coincide por tanto con la distancia del punto B 1,1, 2 de s al plano :d r , s d B, ( 1) 4 1 ( 7) 2 5 ( 10)42 ( 7) 2 52 111111 10 uds . †3090 3 10 3 y z 72. Hallar la ecuación de la recta que pasa por A 1, 2, 1 , es perpendicular a la recta r y x 4 y z 8paralela al plano 2 x y z 3 .junio 1997SoluciónLlamemos u a, b, c a un vector director de la recta s que buscamos. Hallemos un vector director v de larecta r. Para ello llamemos, por ejemplo, y . Entonces z 7 3 , x 4 7 3 8 x 1 . Por x 1 tanto, las ecuaciones paramétricas de r son: y , y de aquí, un vector director de r es v 1,1, 3 . z 7 3 Como s r u v u v 0 a b 3c 0 (1).Un vector perpendicular al plano 2 x y z 3 es w 2,1, 1 . Como s , entonces u w , con loque u w 0 , es decir, 2a b c 0 (2).Resolvamos el sistema formado por las ecuaciones (1) y (2). Para ello llamemos, por ejemplo, c t , con lo a b 3t2que . Restando ambas ecuaciones: 3a 2t a t y, sustituyendo en la primera:3 2a b t27t b 3t b t . Para t 3 se obtiene a 2 , b 7 , y c 3 ; con lo que un vector director de s es33 x 1 2 u 2,7,3 y la recta s es, en ecuaciones paramétricas: s y 2 7 . † z 1 3 3. Posición relativa de la rectax 3 y 1 z 2, y el plano x 3 y z 6 0 . Calcular la distancia 52 1entre la recta y el plano.septiembre 1997SoluciónTomemos un punto y un vector director de la recta r: P a1 , a2 , a3 P 3,1, 2 ; u u1 , u2 , u3 5, 2, 1 .Los coeficientes A, B, C del plano son A 1 , B 3 , y C 1 , con lo que A, B, C 1, 3, 1 es unvector perpendicular al plano . Entonces:Au1 Bu2 Cu3 1 5 3 2 1 1 5 6 1 0 A, B, C u .Aa1 Ba2 Ca3 D 1 3 3 1 1 2 6 3 3 2 6 8 0 P .Puntos, rectas y planos en el espacio. Problemas métricos en el espacio2

Matemáticas II – Ejercicios resueltos de los exámenes de Selectividad propuestos en Castilla-La ManchaAutor: Pedro Castro Ortega, profesor del IES “Fernando de Mena” de Socuéllamos (Ciudad Real)Por tanto, la recta y el plano son paralelos: r .La distancia entre la recta r y el plano es la distancia de un punto cualquiera de la recta r al plano :d r , d P, 1 3 ( 3) 1 ( 1) ( 2) 61 ( 3) ( 1)222 88 11 uds . †11114. Ecuación de la recta que pasa por A 2, 1,3 y es perpendicular al plano que pasa por los puntosB 1,1,0 , C 0, 1, 2 y D 2, 2,1 . Calcula el volumen del tetraedro ABCD.septiembre 1997SoluciónLa ecuación del plano que pasa por los puntos B,x 23segunda y tercera filas la cuarta:2 2x 232y 2 z 1 1 1 3121xy z 11 1 0 1C y D es: 0 . Restando a la primera,0 1 2 1 2 2 1 100 0 . Desarrollando por la 4ª columna se tiene:01y 2 z 1 1 1 0 x 2 2 y 4 9 z 9 2 z 2 3 y 6 3x 6 0 31 x 2 y 9z 11 3x 3 y 2 z 2 0 4 x 5 y 7 y 9 0 .La recta r que buscamos tendrá como vector director un vector perpendicular al plano: u 4,5,7 . x 2 4 Entonces las ecuaciones paramétricas de la recta son: r y 1 5 z 3 7 El volumen del tetraedro es:b1 a1 b2 a2 b3 a31 21 ( 1) 0 3111V c1 a1 c2 a2 c3 a3 0 2 1 ( 1) 2 3 666d1 a1 d 2 a2 d3 a3 2 2 2 ( 1) 1 3 1 2 3 2 0 1 4 3 2115 5 0 8 18 0 8 3 uds3 . †66 25. Estudiar la posición relativa de las rectas: x 7 4tx 3 y 4z ; s: r : y 1 t2 3 2 z 2 Hallar la ecuación de un plano que contenga a ambas rectas.junio 1998Puntos, rectas y planos en el espacio. Problemas métricos en el espacio3

Matemáticas II – Ejercicios resueltos de los exámenes de Selectividad propuestos en Castilla-La ManchaAutor: Pedro Castro Ortega, profesor del IES “Fernando de Mena” de Socuéllamos (Ciudad Real)SoluciónUn punto de r es A 7,1, 2 y un vector director es u 4, 1,0 . Un punto de s es B 3, 4,0 y un vectordirector de s es v 2, 3, 2 . u 4 1 0 rango rango 2 . pues hay al menos un menor de orden dos distinto de cero. v 2 3 2 u 4 1 04 1 0 4 1 0 rango v rango 2 3 2 2 , ya que 2 3 2 8 2 0 10 5 2 AB 10 5 2 10 5 2 ( 2)4 1 ( 2)(8 8) 0 . 8 2Entonces las rectas son secantes. Hallemos el punto P donde se cortan ambas: x 7 4t x 7 4 y 4 x 4 y 3x 7 y 1 z 2 r y 1 t r r r 4 10 0 z 2 z 2 z 2 s 3x 9 2 y 8 3x 2 y 1x 3 y 4 z s s 2 3 2 2 y 8 3z 2 y 3z 8Uniendo todas las ecuaciones se obtiene z 2 , y 1 , x 1 . Por tanto, el punto P donde se cortan ambasrectas es P 1, 1, 2 .El plano que contiene a r y a s, contiene a P y tiene por direcciones las de u y v .x 1 y 1 z 2Entonces: 4 10 0 2 x 2 12 z 24 2 z 4 8 y 8 0 2 3 2 2x 12 z 22 8 y 2 z 4 0 2 x 8 y 10 z 26 0 x 4 y 5z 13 0Por tanto x 4 y 5 z 13 0 . †6. Hallar el ángulo que forman la recta r :x 1 y 2 z 1y el plano x 2 y z 3 0 . Obtener el 211punto de corte de la recta y el planojunio 1998SoluciónUn vector director de la recta es v 2,1,1 y un vector perpendicular al plano es u 1, 2, 1 . El ánguloentre una recta y un plano viene dado por la fórmula:Av1 Bv2 Cv3, donde A, B, C es un vector perpendicular al plano y v v1 , v2 , v3 A B 2 C 2 v12 v2 2 v32es un vector director de la recta. Entonces, en nuestro caso:sen 2Puntos, rectas y planos en el espacio. Problemas métricos en el espacio4

Matemáticas II – Ejercicios resueltos de los exámenes de Selectividad propuestos en Castilla-La ManchaAutor: Pedro Castro Ortega, profesor del IES “Fernando de Mena” de Socuéllamos (Ciudad Real)sen r 1 2 2 1 ( 1) 11 2 ( 1)2222 1 1222 33 1 30º .6 6 6 2 x 1 2 y 4 x 2 y 3x 1 y 2 z 1. r r 211 y 2 z 1 y z 3Uniendo las ecuaciones implícitas de la recta con la ecuación del plano obtenemos el sistema: x 2 y 3 y z 3 x 2 y z 3 1 2 0El determinante de la matriz de los coeficientes es: 0 1 1 1 2 ( 2) 3 . Las soluciones del1 2 1sistema son, por tanto: 3 2 0 1 2 03 1 1 3 1 1 1 1 2 00 1 1 1 13 2 11 2 1x 1 1 1 0 1 0 1 . 1 0331 2 1 1 2 11 3 01 1 00 3 1 3 0 1 11 1 01 1 01 11 3 11 1 1y 0 1 1 0 1 1 1.2 1331 1 1 0 2 11 2 31 2 10 1 330 1 11 2 1 1 2 11 11 2 31 2 1z 0 1 1 0 1 1 2 .4 2331 2 10 4 2Entonces el punto de corte de la recta y el plano es 1,1, 2 . †7. Estudiar si las rectas r y s son coplanarias. En caso afirmativo, dar la ecuación del plano que lascontiene: 2 x 3 y 13 0x 1 y 2 z 1r ; s 324 2 y z 4 0septiembre 1998SoluciónHallemos un vector director u y un punto A de r. Para ello pasemos a paramétricas. Llamemos, por ejemplo,313y . Entonces, 2 z 4 0 z 2 4 ; 2 x 3 13 0 2 x 3 13 x . Por tanto, las22Puntos, rectas y planos en el espacio. Problemas métricos en el espacio5

Matemáticas II – Ejercicios resueltos de los exámenes de Selectividad propuestos en Castilla-La ManchaAutor: Pedro Castro Ortega, profesor del IES “Fernando de Mena” de Socuéllamos (Ciudad Real)313 x 2 2 ecuaciones paramétricas de r son r y , con lo que un punto de r es A 5,1, 2 (haciendo z 2 4 1) y un vector director de r es u 3, 2, 4 .Un vector director de s es v 3, 2, 4 y un punto de s es B 1, 2,1 .Entonces: u 3 2 4 rango rango 1 , pues las dos filas son iguales. v 3 2 4 u 3 2 4 rango v rango 3 2 4 2 , pues hay al menos un menor de orden dos distinto de cero. 6 3 3 AB Esto quiere decir que r y s son paralelas: r s y, por tanto, coplanarias. Para hallar el plano que lascontiene tomamos un punto cualquiera de una de las dos rectas, por ejemplo, A 5,1, 2 ; la dirección de r:u 3, 2, 4 y la otra dirección, la del vector w que une A con B: AB 6, 3,3 . Podemos tomar puesw 2, 1,1 . Así pues:x 5 y 1 z 2324 0 2 x 10 8 y 8 3z 6 4 z 8 3 y 3 4 x 20 0 2 11 2x 8 y 3z 4 4x 3 y 4z 15 0 6x 5 y 7 z 11 0 .Por tanto, el plano que contiene a r y s es 6 x 5 y 7 z 11 0 . †8. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P 3, 4,7 y es perpendicular al plano 2 x 3 y z 11 0 . Hallar el punto simétrico de P respecto del plano .septiembre 1998SoluciónLa recta r que buscamos tendrá como vector director un vector perpendicular al plano : u 2, 3,1 . Lasecuaciones de r serán: x 3 2 3x 9 2 y 8 3x 2 y 1x 3 y 4 z 7 r y 4 3 r r r 2 31 y 4 3z 21 y 3z 17 z 7 Resolviendo el sistema formado por la recta y el plano obtenemos el punto M donde la recta corta al plano:Puntos, rectas y planos en el espacio. Problemas métricos en el espacio6

Matemáticas II – Ejercicios resueltos de los exámenes de Selectividad propuestos en Castilla-La ManchaAutor: Pedro Castro Ortega, profesor del IES “Fernando de Mena” de Socuéllamos (Ciudad Real) 3x 2 y 1 y 3z 17 2 x 3 y z 11 PMEl determinante de la matriz de los coeficientes es:3 2 00 1 3 3 12 27 42 .2 3 1P'Por tanto:3 1 01 2 00 17 317 1 32 11 1 51 6 99 4211 3 1 1 66 34 9 42 1 ;x 1; y 4242424242423 2 10 1 172 3 11 33 68 2 153 252z 6424242Así, el punto M donde la recta r corta al plano es M 1, 1,6 . Este punto es el punto medio del simétricoP ' a, b, c de P 3, 4,7 respecto del plano . a 3 b 4 c 7 ,,Entonces: (1, 1, 6) a 1 , b 2 , c 5 .22 2Por tanto, el simétrico del punto P respecto del plano es P ' 1, 2,5 . †9. Hallar la ecuación de la proyección ortogonal r ' de la recta r x 3 y 2 z 12 0 .x 1 y 1 z 2 sobre el plano212junio 1999SoluciónHallemos el plano , perpendicular al plano que contiene a la recta r. Esta condición nos lleva a que unpunto de será A 1,1, 2 (punto de la recta) y dos direcciones del mismo serán u 2,1, 2 (la de la recta,por contenerla) y v 1, 3,2 (la de un vector perpendicular a ). Entonces:x 1 y 1 z 2212 0 2 x 2 2 y 2 6 z 12 z 2 4 y 4 6 x 6 0 1 32 2x 2 y 6z 8 6 x 4 y z 0 8x 2 y 7 z 8 0 .Por tanto, el plano es 8 x 2 y 7 z 8 0 .Puntos, rectas y planos en el espacio. Problemas métricos en el espacio7