MATHÉMATIQUESTOUT LE COURS EN FICHESLicence 1 CAPESl
MATHÉMATIQUESTOUT LE COURS EN FICHESLicence 1 CAPESlClaire DavidMaître de conférences à l’UPMC (université Pierre-et-Marie-Curie), ParisSami MustaphaProfesseur à l’UPMC (université Pierre-et-Marie-Curie), Paris
Illustration de couverture : delabo - Fotolia.com Dunod, 20145 rue Laromiguière, 75005 Pariswww.dunod.comISBN 978-2-10-059992-9
Table des matièresAvant-proposXComment utiliser cet ouvrage ?XII Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.Partie 1CalculusNombres réelsFiche 1Les ensembles de nombresFiche 2Intervalles, voisinages, bornesLimitesFiche 3Limite d’une fonction en un pointFiche 4Limite d’une fonction en ou Fiche 5Propriétés des limites – Opérations sur les limitesFiche 6Notations de LandauFonctions numériquesFiche 7Domaine de définition d’une fonction, grapheFocusLa construction de l’ensemble des réels : les coupures de DedekindFiche 8Comment définir une fonction ?Fiche 9Majorations et minorationsFiche 10Fonctions monotonesFiche 11Parité, imparitéFiche 12SymétriesFiche 13Fonctions périodiquesFonctions usuellesFiche 14Fonctions puissances entièresFiche 15Fonctions polynômes et fonction valeur absolueFocusJohn Napier et les tables logarithmiquesFiche 16La fonction logarithme népérienFiche 17La fonction exponentielleFiche 18Fonctions puissances « non entières »FocusLeibniz et la fonction exponentielleFiche 19Fonctions circulairesFiche 20Fonctions hyperboliquesFocusL’origine de la trigonométrieContinuitéFiche 21Continuité d’une fonction en un pointFiche 22Fonctions continues sur un intervalleDérivabilitéFiche 23Dérivabilité en un 4547495151555858v
Fiche 24Dérivabilité sur un intervalleFiche 25Dérivées successivesFiche 26Théorème des accroissements finis et théorème de RolleFiche 27Formule de Taylor-LagrangeFonctions réciproquesFiche 28Fonctions réciproquesFiche 29Les fonctions trigonométriques inversesFiche 30Les fonctions hyperboliques inversesDéveloppements limitésFiche 31Développements limitésFiche 32Formule de Taylor-YoungFiche 33Développements limités usuelsFiche 34Opérations algébriques et composition des développementslimitésDéveloppements asymptotiquesFiche 35Développements asymptotiquesConvexitéFiche 36ConvexitéÉquations différentielles linéaires du 1er ordreFiche 37Équations différentielles linéaires du 1er ordre homogènesFiche 38Équations différentielles linéaires du 1er ordre avec secondmembreFonctions de plusieurs variablesFiche 39TopologieFiche 40Fonctions de plusieurs variablesFiche 41Les systèmes de coordonnées usuellesFiche 42Limites, continuité et 4899295959696100100103111111117119121129133Partie 2AlgèbreLe plan complexe – Les nombres complexesFocusLes nombres complexesFiche 43Le corps des nombres complexesFiche 44Représentation géométrique des nombres complexesFiche 45Inversion des nombres complexesFiche 46Propriétés fondamentales des nombres complexesFiche 47Complément : les polynômes de TchebychevFiche 48Racines nièmes de l’unité, racines nièmes complexesFiche 49Factorisation des polynômes dans le corps CFiche 50Fractions rationnelles et décomposition en éléments simplesvi161162164167170172174177180185
Transformations du plan : translations, homothéties196Fiche 52Transformations du plan : rotations198Fiche 53Transformations du plan : similitudes200FocusTransformations complexes, fractales, et représentationsde la nature204Fiche 54Matrices de taille 2 2206Fiche 55Déterminant de matrices de taille 2 2208Fiche 56Matrices de taille 3 3210 Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.Matrices206Fiche 57Déterminant de matrices de taille 3 3213Fiche 58Matrices de taille m n216Fiche 59Opérations sur les matrices218Fiche 60Matrices remarquables220Fiche 61Introduction aux déterminants de matrices de taille n n224Fiche 62Inversion des matrices carréesFocusL’origine des matricesFocusLes matrices et leurs applicationsFiche 63Systèmes linéairesFiche 64VecteursFiche 65BarycentresFiche 66Droites, plansFiche 67Produit scalaireFocusProduit scalaire, espaces fonctionnels et calcul numériqueFiche 68Produit vectorielFiche 69Aires et volumesFocusGéométrie euclidienne – ou non ? Encore des matrices !Transformations linéaires du planFiche 70Bases et transformations linéaires du planFiche 71Changement de base en dimension 2, et déterminantd’une application linéaireFiche 72Conjugaison – Matrices semblables de taille 2 2Fiche 73Opérateurs orthogonaux en dimension 2Fiche 74Rotations vectorielles du planTransformations linéaires de l’espaceFiche 75Bases de l’espace R3Fiche 76Transformations linéaires de l’espace R3Fiche 77Changement de base en dimension 3Fiche 78Conjugaison – Matrices semblables de taille 3 3Fiche 79Opérateurs orthogonaux de l’espace R3Fiche 80Rotations vectorielles de l’espace R3L’espace R nFiche 81Vecteurs en dimension n, n 68270273273274278280282284286286viiTable des matièresFiche 51
Fiche 82Espace engendré par une famille de vecteurs – Sous-espacesvectoriels de RnFiche 83Transformations linéaires de l’espace RnFiche 84Changement de baseFiche 85Conjugaison – Matrices semblables de taille n nFiche 86Réduction des matrices carréesFocusGroupe spécial orthogonal et cristallographieFocusDiagonalisation – La toupie de Lagrange (et de Michèle Audin)Espaces vectorielsFiche 87Les espaces vectorielsFiche 88Sous-espaces vectorielsFiche 89Somme de sous-espaces vectorielsFiche 90Projecteurs, 06306310312313315323Partie 3AnalyseSuitesFiche 91Fiche 92FocusFiche 93Fiche 94Fiche 95Fiche 96Fiche 97Fiche 98Fiche 99Fiche 100Fiche 101Fiche 102FocusIntégralesFiche 103Fiche 104Fiche 105Fiche 106Fiche 107Fiche 108viii367Qu’est-ce qu’une suite ? L’espace des suites et opérationssur les suitesLes différents types de suitesSuites arithmético-géométriques et financeÉtude d’une suiteMajorants, minorants d’une suite réelle – Croissanceet décroissanceTechniques d’étude des suites réellesConvergenceConvergence des suites monotonesOpérations sur les limites de suitesConvergence des suites homographiques réellesSuites extraitesSuites de CauchyComparaison des suites réellesSuites et systèmes dynamiques – L’attracteur de HénonQu’est-ce qu’une intégrale ?Intégrale d’une fonction en escaliersIntégrale d’une fonction continue par morceauxCalcul intégralPrimitives de fractions rationnellesCalcul approché 9401405406406408413419425427
Intégrale de Riemann vs intégrale de LebesgueFormulaire de trigonométrieDérivées usuellesDérivées des fonctions réciproques usuellesPrimitives usuellesLimites usuelles des fonctions puissancesRang d’une matrice434436442470472473474475476477Index479 Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.BibliographieixTable des matièresFocusExercicesCorrigésAnnexes
Avant-proposCet ouvrage est destiné aux étudiants du cycle L1 des filières universitaires scientifiques, ou des classes préparatoires. Il se base sur nos cours donnés en première année deLicence à l’UPMC (université Pierre et Marie Curie).Face aux demandes croissantes de nos étudiants, qui recherchaient un ouvrage de référence complet mais abordable, ainsi que des exercices d’application corrigés, nous noussommes lancés dans la conception de ce livre qui, nous l’espérons, sera un outil utilepour les générations d’étudiants à venir.Cet ouvrage est donc le fruit d’un compromis : dans ce volume condensé, nous avonsessayé de donner suffisamment d’éléments recouvrant l’ensemble des mathématiquesde première année. Cet ouvrage correspond aussi à l’arrivée des nouveaux programmesuniversitaires et des classes préparatoires. Pour mieux assurer la jonction avec les mathématiques enseignées au lycée, nous avons opté, pour la première partie d’analyse,relative à l’étude des fonctions, à une présentation de type « Calculus », inspirée del’esprit des « textbooks » anglo-saxons, qui permet d’aborder plus facilement le restedu programme, plus « classique », sur les suites et le calcul intégral. Pour l’algèbre, laprésentation reprend celle de l’ouvrage Calcul Vectoriel (Collection Sciences Sup), enallant un peu plus loin : Rn , réduction, espaces vectoriels.Malgré tout le soin apporté à la rédaction, nous demandons l’indulgence du lecteurpour les éventuelles imperfections qui pourraient subsister ; qu’il n’hésite pas à nous lessignaler.Claire DavidClaire.David@upmc.frSami Mustaphasam@math.jussieu.frx
Nous remercions vivement toutes les personnes dont la relecture et les remarques ontcontribué à améliorer la version initiale du manuscrit :les membres du comité de lecture, pour leur relecture extrêmement minutieuse et leursremarques très pertinentes ; Sylvie Benzoni, Université Claude Bernard Lyon 1, Institut Camille Jordan. Laurent Di Menza, Université de Reims, Laboratoire de Mathématiques de Reims(LMR). Jean-Pierre Escofier, Université de Rennes, Institut Mathématique de Rennes. Sandrine Gachet, Professeur de Mathématiques, Lycée Gustave Eiffel, Dijon. Chloé Mullaert, Professeur de Mathématiques, Lycée Paul Valéry, Paris. Laure Quivy, ENS Cachan et Université Paris XIII, Centre de Mathématiques et leursapplications (CMLA). Lamia Attouche, étudiante à l’UPMC, Paris. Alexis Prel, étudiant à l’UPMC, Paris. Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.mais aussi Albert Cohen, Ramona Anton, Sylvie Delabrière, Patrick Polo, AdnèneBenabdesselem, Matthieu Solnon, Eugénie Poulon, Daniel Hoehener, Julien Piera Vest.xiAvant-proposRemerciements
Comment utiliser cet ouvrage ?Un découpageen trois grandes parties :Calculus, Algèbre, Analyse110 fiches de coursLes notions essentielles du cours1α Z, α RÉtant donné un réel non nul α, α Z désigne l’ensemble des réels de la forme α k, où k estun entier :α Z {α k, k Z}Les ensembles de nombresfiche 1ficheExemple2 π Z {2 k π, k Z}.Un ensemble E est une collection d’objets, qui constituent les « éléments » de l’ensemble. Le nombre d’éléments de l’ensemble peut être fini, ou infini.Les nombres rationnelsL’ensemble des nombres rationnels, c’est-à-dire de la forme1. Notationentiers relatifs, avec qPour décrire l’ensemble, on utilise des accolades, à l’intérieur desquelles on écrit leséléments de l’ensemble.Suivant les cas, on peut, simplement, placer, à l’intérieur des accolades, la liste des éléments de l’ensemble ; ainsi, dans le cas d’un ensemble E avec un nombre fini d’élémentse1 , . . ., en , où n est un nombre entier positif, on écrit :E {e1 , . . . , en }ou bien, dans le cas d’un ensemble d’éléments vérifiant une propriété donnée P, on écritou encoreLes nombres réelsRL’ensemble R { , } est noté R (c’est ce que l’on appelle la « droite réelle achevée »,ou encore, l’adhérence de R)La notation « »{x, P(x)}Lorsque l’on écrit l’un des ensembles précédents avec l’exposant « », cela signifie quel’on exclut 0 ; ainsi, N désigne l’ensemble des entiers naturels non nuls ; Z désignel’ensemble des entiers relatifs non nuls ; etc.ce qui désigne ainsi l’ensemble des éléments x tels que la propriété P soit vérifiée pour x.La notation « »ExemplesLorsque l’on écrit l’un des ensembles précédents avec l’exposant « », cela signifie quel’on ne considère que les nombres positifs de cet ensemble ; ainsi, Z (qui est aussi égalà N), désigne l’ensemble des entiers positifs ou nuls ; R désigne l’ensemble des réelspositifs ou nuls ; etc.1. {1, 2, 3, 4} est un ensemble. Ses éléments sont les nombres 1, 2, 3 et 4.2. {3, 4, 5, 6, , . . .} est un ensemble. Ses éléments sont les nombres entiers supérieurs ou égauxà 3.3.CalculusL’ensemble des nombres réels est noté R.AlgèbreE x P(x)p, où p et q sont deuxqx {1, 2, 3, 4, 5, 6} x est impair {1, 3, 5}.AnalyseDe trèsnombreuxexemples0, est noté Q.La notation « »Lorsque l’on écrit l’un des ensembles précédents avec l’exposant « », cela signifie quel’on ne considère que les nombres négatifs de cet ensemble ; ainsi, Z (qui est aussi égalà N), désigne l’ensemble des entiers négatifs ou nuls ; R désigne l’ensemble des réelspositifs ou nuls ; etc.Les entiers naturelsL’ensemble des entiers naturels, c’est-à-dire des entiers positifs ou nuls, est noté N :N {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .}Les nombres pairsLes entiers relatifsL’ensemble des entiers relatifs, c’est-à-dire des entiers qui sont soit positifs ou nuls, soitnégatifs ou nuls, est noté Z :Z {. . . , 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .}2xiiLorsque l’on écrit l’un des ensembles précédents avec l’exposant « », cela signifie quel’on ne considère que les nombres strictement positifs de cet ensemble ; ainsi, Z (quiest aussi égal à N ), désigne l’ensemble des entiers strictement positifs ; R désignel’ensemble des réels strictement positifs ; etc.La notation « »Lorsque l’on écrit l’un des ensembles précédents avec l’exposant « », cela signifie quel’on ne considère que les nombres strictement positifs de cet ensemble ; ainsi, Z (quiest aussi égal à N ), désigne l’ensemble des entiers strictement négatifs ; R désignel’ensemble des réels strictement négatifs ; etc.On a :N Z Q R3Nombres réelsk N, k NÉtant donné un entier naturel non nul k, k N désigne l’ensemble des entiers naturelsmutiples de k :k N {k n, n N}La notation « » Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.L’ensemble des entiers naturels pairs est noté 2 N :2 N {0, 2, 4, 6, . . .} {2 n, n N}Un repéragefacileLes fichessontregroupéespar thème
Comment utiliser cet ouvragDes exercices corrigés pours’entraîner Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.Des focuspour découvrirdes applicationsdes mathématiquesou approfondirun point du coursxiii
PartieCalculus1IntroductionAprès de brefs rappels sur les ensembles de nombres, nous présentons, dans ce qui suit, les notions d’analyse indispensables à l’étudedes fonctions : l’étude des limites ; des généralités sur les fonctions numériques et les fonctions usuelles. Nous passons ensuite, naturellemment, à l’étude de la continuité, puis de la dérivabilité. Nous introduisons alors les fonctions réciproques. Puis, nous passons à l’étude desdéveloppements limités, et aux équations différentielles. Enfin, nousintroduisons brièvement les fonctions de deux et trois variables.Dans ce cours, certains résultats, dont la démonstration n’est pas considérée comme indispensable à l’apprentissage des techniques de base,sont admis.PlanNombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Fonctions numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Focus : La construction de l’ensemble des réels :les coupures de Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Fonctions usuelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33Focus : John Napier et les tables logarithmiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Focus : Leibniz et la fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44Focus : L’origine de la trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58Fonctions réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81Développements asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95Convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96Équations différentielles linéaires du 1er ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100Fonctions de plusieurs variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
fiche1Les ensembles de nombresUn ensemble E est une collection d’objets, qui constituent les « éléments » de l’ensemble. Le nombre d’éléments de l’ensemble peut être fini, ou infini.1. NotationPour décrire l’ensemble, on utilise des accolades, à l’intérieur desquelles on écrit leséléments de l’ensemble.Suivant les cas, on peut, simplement, placer, à l’intérieur des accolades, la liste des éléments de l’ensemble ; ainsi, dans le cas d’un ensemble E avec un nombre fini d’élémentse1 , . . ., en , où n est un nombre entier positif, on écrit :E {e1 , . . . , en }ou bien, dans le cas d’un ensemble d’éléments vérifiant une propriété donnée P, on écrit E x P(x)ou encore {x, P(x)} ou encore {x ; P(x)}ce qui désigne ainsi l’ensemble des éléments x tels que la propriété P soit vérifiée pour x.Exemples1. {1, 2, 3, 4} est un ensemble. Ses éléments sont les nombres 1, 2, 3 et 4.2. {3, 4, 5, 6, , . . .} est un ensemble. Ses éléments sont les nombres entiers supérieurs ou égauxà 3. 3. x {1, 2, 3, 4, 5, 6} x est impair {1, 3, 5}. Les entiers naturelsL’ensemble des entiers naturels, c’est-à-dire des entiers positifs ou nuls, est noté N :N {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .} Les nombres pairsL’ensemble des entiers naturels pairs est noté 2 N :2 N {0, 2, 4, 6, . . .} {2 n, n N} k N, k NÉtant donné un entier naturel k, k N désigne l’ensemble des entiers naturels mutiples dek:k N {k n, n N} Les entiers relatifsL’ensemble des entiers relatifs, c’est-à-dire des entiers qui sont soit positifs ou nuls, ounégatifs ou nuls, est noté Z :Z {. . . , 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .}2
α Z, α Rfiche 1Étant donné un réel α, α Z désigne l’ensemble des réels de la forme α k, où k est unentier :α Z {α k, k Z}Exemple2 π Z {2 k π, k Z}. Les nombres rationnelsL’ensemble des nombres rationnels, c’est-à-dire de la formeentiers relatifs, avec q 0, est noté Q.p, où p et q sont deuxq Les nombres réelsL’ensemble des nombres réels est noté R.Calculus RL’ensemble R { , } est noté R (c’est ce que l’on appelle la « droite réelle achevée »,ou encore, l’adhérence de R) La notation « »AlgèbreLorsque l’on écrit l’un des ensembles précédents avec l’exposant « », cela signifie quel’on exclut 0 ; ainsi, N désigne l’ensemble des entiers naturels non nuls ; Z désignel’ensemble des entiers relatifs non nuls ; etc. La notation « »Lorsque l’on écrit l’un des ensembles précédents avec l’exposant « », cela signifie quel’on ne considère que les nombres positifs de cet ensemble ; ainsi, Z (qui est aussi égalà N), désigne l’ensemble des entiers positifs ou nuls ; R désigne l’ensemble des réelspositifs ou nuls ; etc.Analyse La notation « »Lorsque l’on écrit l’un des ensembles précédents avec l’exposant « », cela signifie quel’on ne considère que les nombres négatifs de cet ensemble ; ainsi, Z (qui est aussi égalà N), désigne l’ensemble des entiers négatifs ou nuls ; R désigne l’ensemble des réelspositifs ou nuls ; etc.Lorsque l’on écrit l’un des ensembles précédents avec l’exposant « », cela si
Fiche 7 Domaine de définition d’une fonction, graphe 18 Focus La construction de l’ensemble des réels : les coupures de Dedekind 21 Fiche 8 Comment définir une fonction? 22 Fiche 9 Majorations et minorations 24 Fiche 10 Fonctions monotones 26 Fiche 11 Parité, imparité 28 Fiche 12 Symétries 30 Fiche 13 Fonctions périodiques 32
4.2 Le niveau de stress en fonction des variables socio-démogra-phiques 7 9 4.2.1 Niveau de stress en fonction de l'âge 8 0 4.2.2 Niveau de stress en fonction du sexe 8 0 4.2.3 Niveau de stress en fonction de l'expérience 8 0 4.2.4 Niveau de stress en fonction du titre d'emploi 8 4 4.2.5 Niveau de stress en fonction du type d'unité 8 4
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