Notas Em Matem Atica Aplicada
Notas em Matemática Aplicadae-ISSN 2236-5915Volume 34, 2012EditoresCassio Machiaveli OishiUniversidade Estadual Paulista - UNESPPresidente Prudente, SP, BrasilFernando Rodrigo RafaeliUniversidade Estadual Paulista - UNESPSão José do Rio Preto, SP, BrasilRosana Sueli da Motta Jafelice (Editor Chefe)Universidade Federal de Uberlândia - UFUUberlândia, MG, BrasilRubens de Figueiredo CamargoUniversidade Estadual Paulista - UNESPBauru, SP, BrasilSezimária de Fátima P. SaramagoUniversidade Federal de Uberlândia - UFUUberlândia, MG, BrasilVanessa Avansini Botta Pirani (Editor Adjunto)Universidade Estadual Paulista - UNESPPresidente Prudente, SP, BrasilSociedade Brasileira de Matemática Aplicada e Computacional2012
A Sociedade Brasileira de Matemática Aplicada e Computacional- SBMAC publica, desde as primeiras edições do evento, monografiasdos cursos que são ministrados nos CNMAC.Para a comemoração dos 25 anos da SBMAC, que ocorreu duranteo XXVI CNMAC em 2003, foi criada a série Notas em MatemáticaAplicada para publicar as monografias dos minicursos ministradosnos CNMAC, o que permaneceu até o XXXIII CNMAC em 2010.A partir de 2011, a série passa a publicar, também, livros nas áreasde interesse da SBMAC. Os autores que submeterem textos à sérieNotas em Matemática Aplicada devem estar cientes de que poderãoser convidados a ministrarem minicursos nos eventos patrocinados pelaSBMAC, em especial nos CNMAC, sobre assunto a que se refere otexto.O livro deve ser preparado em Latex (compatı́vel com o Miktex versão 2.7), as figuras em eps e deve ter entre 80 e 150páginas. O texto deve ser redigido de forma clara, acompanhado deuma excelente revisão bibliográfica e de exercı́cios de verificaçãode aprendizagem ao final de cada capı́tulo.Veja todos os tı́tulos publicados nesta série na páginahttp://www.sbmac.org.br/notas.phpSociedade Brasileira de Matemática Aplicada e Computacional2012
MODELOS E SUSTENTABILIDADE NASPAISAGENS ALAGÁVEIS AMAZÔNICAS2a ediçãoMaurı́cio Vieira Kritzkritz@lncc.brLaboratório Nacional de Computação Cientı́ficaJaqueline Maria da Silvajaqueline.silva@ufvjm.edu.brInstituto de Ciência, Engenharia e TecnologiaUniversidade Federal dos Vales do Jequitinhonha e MucuriClaudia Mazza Diasmazzaclaudia@gmail.comInstituto MultidisciplinarUniversidade Federal Rural do Rio de JaneiroSociedade Brasileira de Matemática Aplicada e ComputacionalSão Carlos - SP, Brasil2012
Coordenação Editorial: Elbert Einstein Nehrer MacauCoordenação Editorial da Série: Rosana Sueli da Motta JafeliceEditora: SBMACCapa: Matheus Botossi TrindadePatrocı́nio: SBMACcCopyright ⃝2012by Maurı́cio Vieira Kritz, Jaqueline Maria da Silvae Claudia Mazza Dias.Direitos reservados, 2012 pela SBMAC. A publicação nesta série nãoimpede o autor de publicar parte ou a totalidade da obra por outraeditora, em qualquer meio, desde que faça citação à edição original.Catalogação elaborada pela Biblioteca do IBILCE/UNESPBibliotecária: Maria Luiza Fernandes Jardim FronerKritz, Maurı́cio V.Modelos e Sustentabilidade nas Paisagens AlagáveisAmazônicas - São Carlos, SP : SBMAC, 2012, 107 p., 20.5 cm (Notas em Matemática Aplicada; v. 34) - 2a ediçãoe-ISBN 978-85-86883-67-51. Modelos Matemáticos 2. Modelos Computacionais3. Sistemas Ambientais 4. Escoamento de Fluidos5. Amazônia 6. Ecossistemas Inundáveis7. TransdisciplinaridadeI. Kritz, Maurı́cio Vieira. II. Silva, Jaqueline Maria daIII. Dias, Claudia Mazza. IV. Tı́tulo. V. SérieCDD - 51Esta edição em formato e-book é uma edição revisada do livro originaldo mesmo tı́tulo publicado em 2008 nesta mesma série pela SBMAC.
A todos aqueles quena poeira de suas salas,na lama das várzeas,ou no úmido agreste da floresta,forjaram o conhecimentoque inspira esta obra:Dedicamos o nosso apreço.
AgradecimentosQueremos registrar aqui nossos agradecimentos à SBMAC pelo convitepara submeter a proposta deste curso, particularmente a Nair MariaMaia de Abreu. Gostarı́amos também de agradecer aos colegas queajudaram a formar a Rede GEOMA (Rede Temática de Pesquisa emModelagem Ambiental da Amazônia — http://www.geoma.lncc.br),que propiciou-nos a oportunidade de conhecer e trabalhar com pesquisadores ligados ao sistema ambiental amazônico, e outros mundosalheios ao nosso cotidiano, fonte de desafios e inspiração. Mais especificamente, gostarı́amos de agradecer a todos os membros do grupode Áreas Alagáveis e a nossos colaboradores mais próximos: E. Novo,M. T. F. Piedade, H. L. Queiroz, C. Barbosa, L. Bevilacqua, L.S.Borma, C. Carbonel, F.G. de Oliveira, D.H. Pastore, C. M. Rudorff,e J. Schöngart, a quem pedimos vênia por alguma referência faltosa.E ainda a Rede GEOMA, pelo apoio recebido através das bolsas deJaqueline Maria da Silva e Claudia Mazza Dias.Agradecemos a todos aqueles que, no desenvolvimento deste trabalho, contribuı́ram de diferentes formas para a sua realização. Emespecial, a alguns de nossos leitores iniciais: D. Alves, I.U. Cavalcanti,J.C.L.R. Eiras, M. Trindade dos Santos. Quaisquer imprecisões ou erros restantes no texto são, contudo, de nossa inteira responsabilidade.Finalmente, agradecemos às nossas famı́lias pelo apoio e compreensão.
ConteúdoPrefácio111 Modelagem de Sistemas Ambientais1.1 Modelos . . . . . . . . . . . . . . .1.2 Simplificações . . . . . . . . . . . .1.3 Biologia e Organizações . . . . . . .1.4 Sistemas e Modelos . . . . . . . . .1.5 Sustentabilidade . . . . . . . . . . .Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . .151619222627292 Ecossistemas, Ecólogos e2.1 Introdução . . . . . . .2.2 Ecologia e Matemática2.3 Duas Visões . . . . . .2.4 Conexões . . . . . . .Exercı́cios . . . . . . .Matemáticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3333343741433 A Paisagem Amazônica3.1 Introdução . . . . . .3.2 Amazônia . . . . . .3.3 As Áreas Alagáveis .Exercı́cios . . . . . .4545475053.I.4 O Escoamento através da Floresta554.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.2 Modelo Conceitual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569
104.34.44.5Modelo Matemático . . . . . . . .Modelo Numérico . . . . . . . . .Escoamento Através dos TroncosExercı́cios . . . . . . . . . . . . .576063675 Interação Homem-Natureza715.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.2 A Reserva de Desenvolvimento Sustentável Mamirauá . 715.2.1 Os Aspectos Humanos . . . . . . . . . . . . . . 735.2.2 Os efeitos da inundação nas árvores . . . . . . . 755.2.3 A população das árvores . . . . . . . . . . . . . 775.3 Um modelo simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.3.1 Equações diferenciais para a dinâmica da vegetação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.3.2 Evolução do número de troncos . . . . . . . . . 795.3.3 Evolução da biomassa . . . . . . . . . . . . . . 805.3.4 Perdas por energia para respiração . . . . . . . 835.3.5 Produção de sementes . . . . . . . . . . . . . . 835.4 Aspectos Aleatórios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856 Modelagem de Sistemas Ambientais6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . .6.2 Sistemas Ambientais . . . . . . . .6.3 Sobre as Disciplinas Envolvidas . .6.4 Modelagem de Sistemas Ambientais6.5 Ciência Ambiental . . . . . . . . .Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . .Bibliografia.8787888992939597
PrefácioCada vez mais o ambiente (clima, poluição, preservação, recursos naturais, etc.) está na ordem do dia de um debate mundial sobre ofuturo da humanidade. Nele, os problemas ambientais, da paisagem amazônica em particular, ocupam lugar de destaque — tantocom relação à preservação da biodiversidade, como em relação à mudanças climáticas. Esta preocupação com a Amazônia resulta principalmente do desmatamento da floresta, impulsionado por pressõessócio-econômicas e demográficas envolvendo interesses conflitantes departe à parte. Desmatamento este resultante de um status quo tecnológico que precisa ser repensado. Encontrar soluções, mesmo parciais, para problemas ambientais requer um significativo aumento denosso conhecimento, tanto a respeito do comportamento do ambiente,como dos grupamentos humanos e suas interações (preferências, conflitos e negociações). Nosso propósito aqui é, de uma forma didática,apresentar um átimo da diversidade dos problemas matemático-computacionais associados à modelagem de sistemas ambientais, levantando a ponta dum véu de Ísis.De um ponto de vista mais fundamental, os problemas amazônicosnão diferem substancialmente de problemas ambientais em outras regiões do globo. As diferenças residem na enorme complexidade e extensão da paisagem amazônica, na intensa e veloz interação de seussubsistemas, nas dificuldades logı́sticas decorrentes da infra-estruturaexistente e nas peculiaridades das relações sociais vigentes na região.Assim, as soluções e métodos que aqui apresentaremos, com exemplostirados de nosso trabalho nas regiões alagáveis da paisagem amazônica,são inerentes à modelagem ambiental e válidas alhures, onde quer que11
12fenômenos similares ocorram.Por outro lado, os problemas ambientais, tanto ao buscar açõescorretivas quando perturbações ocorrem, quanto ao elaborar formasharmônicas e sustentáveis para interações entre humanidade e natureza, exigem, frequentemente, respostas rápidas para situações voláteis (imprevisivelmente mutáveis) onde nosso conhecimento é bastanteprecário — quer por dificuldades na obtenção de dados, quer devidoà natureza intrı́nseca dos fenômenos envolvidos. A modelagem de sistemas ambientais, portanto, particularmente se voltada para apoioà tomada de decisões, propõe uma série de desafios metodológicos ematemático-computacionais que tem origem diversa; em parte por sernecessário representar a dinâmica das interações homem-natureza amédio e longo prazos, em parte porque alguns fatores a serem considerados na elaboração dos modelos, não apenas resultam de, massão escolhas humanas. algumas observações imprescindı́veis nessa representação, particularmente quando derivadas de escolhas humanas,escapam à metodologia de observação cientı́fica, sem deixar de afetar profundamente os modelos, seu desenvolvimento e conclusões deleadvindas. Além do mais, há o problema de retornar à sociedade oconhecimento obtido através da modelagem e das teorias a tempo dese corrigir rumos ou agir preventivamente, o que implica não apenasobter resultados em tempo hábil mas também apresentá-los de formaconvincente e conveniente [1].Apesar de, ao final deste texto, tecermos alguns comentários a respeito de como o processo de modelagem é afetado pelos agentes efatores sociais intervenientes nos problemas ambientais, nosso objetivo aqui é bem mais modesto. Através de uns poucos exemplos, discutiremos como a complexidade inerente à paisagem amazônica, emespecial nas regiões anualmente inundadas pelo pulso das águas, nosobriga a buscar novas formas de olhar e modelar fenômenos de origempuramente natural.Para isso, falaremos um pouco de modelagem e sustentabilidade naintrodução, estabelecendo um contexto e alguma notação. Retornaremos a estes tópicos ao final do texto para uma discussão mais sólida,usufruindo dos exemplos. Ainda estabelecendo um arcabouço, analisa-
13remos no capı́tulo 2 a representação de sistemas ecológicos como vistospor ecólogos e matemáticos, com especial atenção para variações na estrutura desses sistemas. No capı́tulo 3, apresentaremos caracterı́sticase condições da paisagem amazônica e suas regiões alagáveis, relevantes para o desenvolvimento subseqüente. O capı́tulo 4 será dedicadoa problemas afetos ao escoamento das águas durante a cheia anual eo problema de escala associado. No capı́tulo 5 apresentaremos umaforma inovadora de representar a interação homem-natureza, e discutiremos como modelos tradicionais em Ecologia devem ser alteradospara se coadunarem a essa formulação. No capı́tulo 6 retornaremosaos problemas metodológicos e de modelagem introduzidos pela modelagem ambiental e pelo manejo sustentável.Petrópolis, outubro de 2011.Maurı́cio Vieira KritzJaqueline Maria da SilvaClaudia Mazza Dias
Capı́tulo 1Modelagem de SistemasAmbientais IAo considerarmos os problemas ambientais, dois fatores nos saltamaos olhos. Primeiro, a grande complexidade do mais simples dos ecossistemas — elementos fundamentais das paisagens que produzem ouonde residem recursos naturais necessários ao homem. Nas paisagens eseus ecossistemas podemos distinguir recursos que são gerados e regenerados por processos naturais e recursos que se encontram estocadosde alguma forma em seus substratos. Esta distinção é basicamentede escala, tanto temporal como em relação a quantidades disponı́veis,visto que, em última análise, tudo se altera no correr dos séculos.Segundo, quando falamos de sustentabilidade, estamos sempre considerando um horizonte de longo prazo, não importando o que estejamos analisando. Décadas, no mı́nimo, séculos mais freqüentemente.Em particular quando se trata do uso de recursos naturais de formaa resguardar sua disponibilidade para gerações subseqüentes. Alémdisso, estamos interessados em sustentabilidade enquanto relacionadaàs interações entre seres humanos (em seus aspectos sociais) e a natureza; o que, visto planejarmos e tomarmos decisões, se caracterizacomo manejo ou gestão sustentável.Obter soluções sustentáveis, ou mesmo aproximá-las, envolve compreender não só a dinâmica da natureza mas também dos proces-
16Modelagem de Sistemas Ambientaissos de produção e beneficiamento, particularmente os que empregammais diretamente recursos naturais, e das relações humanas, que criamvı́nculos, cultos e regras que afetam nossa interação com a natureza. Neste capı́tulo inicial, tecemos algumas considerações sobre observação, representação, simplificação e sustentabilidade, necessáriasà boa compreensão dos temas discutidos nos capı́tulos seguintes. Aofinal, voltaremos a estes tópicos sob uma outra perspectiva.1.1ModelosModelos são representações simplificadas de algo, algum objeto, processo ou fenômeno, com um propósito bem definido. De forma análogaàs operações aritméticas onde temos operandos, operador e resultado,a elaboração de modelos envolve o que será modelado, o modelador eo modelo resultante do processo de modelagem [4]. Contrariamenteporém à simplicidade algorı́tmica das operações aritméticas, a elaboração de modelos requer decisões por parte do modelador sobre queaspectos do modelado serão representados no modelo e quão detalhadaserá esta representação (simplificações), bem como, decisões sobre deque forma e em que linguagem ou contexto o modelo será descrito.Assim, o desenvolvimento de modelos requer conhecimento adequado não apenas sobre o que está sendo modelado mas também sobrea linguagem, ou arcabouço, na qual o modelo será descrito. Requertambém experiência e criatividade nas decisões sobre quais aspectosincluir na descrição e como descrevê-los. Daı́, tanto o propósito domodelo (para quê será usado, que tipo de resposta ou conhecimentose espera obter através dele,.), como a forma ou linguagem na qualsua representação é descrita, afetam tanto o modelo como seu desenvolvimento (ver Figura 1.1 e o exercı́cio 1.3).Portanto, é necessário conhecer bem tanto o que se quer modelar,como os instrumentos e objetos que servirão à descrição do modelo.Além disso, é necessário ter sempre em mente para que se está desenvolvendo o modelo, pois isto deverá influenciar, entre outras coisas, oque será representado ou desconsiderado.Por exemplo, num modelo cujo propósito é aumentar nosso conhe-
ra 1.1: Elementos da Geração de Modeloscimento, haverá sempre algo que desconhecemos e que não será, portanto, representado. O modelo, porém, deverá ser construı́do e usadode tal modo que, ao compararmos as inferências que dele tiramos como que é observado na situação nele representada, possamos aumentarnosso conhecimento e tecer hipóteses sobre o que falta representar, gerando modelos alternativos cada vez mais completos e representativos.Assim, modelos visando aumentar nosso conhecimento sobre algo são,forçosamente, modelos incompletos; planejados para evoluir.Mais concretamente, se estamos estudando as deformações de umabarra de metal, contemplamos inicialmente um modelo que descrevasomente movimentos, dando pouca atenção ao balanço de energia.Este modelo poderá ser adequado para uma grande gama de metaise para deformações ditas pequenas. Há metais porém, muito macios,para os quais tal tratamento implicará em discrepâncias entre a deformação inferida e a observada para esforços medianos. Para estescasos, é necessário incluir o balanço energético no modelo. Eventualmente, pode ser mesmo necessário incluir uma descrição mais acuradado comportamento ou da constituição da barra no modelo.Um dos aspectos que mais influencia o desenvolvimento de um modelo é a escala (temporal ou espacial) na qual o fenômeno ocorre, ouna qual é observado ou ainda na qual se quer representar os fenômenosem foco. Por exemplo, suponha que somente possamos fotografar umaparede na qual oscila um pêndulo a cada 3 segundos. Se o pêndulooscila com um perı́odo de 6 segundos e acontece termos começado afotografar num momento em que ele estava em seu ponto mais baixo
18Modelagem de Sistemas Ambientais(central), provavelmente diremos que o pêndulo está parado, ou quase,atribuindo eventuais discrepâncias a erros de medida ou observação(ver exercı́cio 1.1).Por outro lado, desenvolver modelos é uma atividade continuada,e frequentemente um modelo é obtido a partir de outro, adaptando,aprimorando, generalizando ou simplificando; quer porque ele descrevauma situação mais abstrata, quer porque ele se mostre incompleto, ouporque descreva uma situação análoga, ou ainda por guardar algumarelação com o problema em foco. Tal é o caso com relação a problemasde escala. A derivação de modelos para casos particulares a partir deum que descreva o caso geral ou genérico é quase regra em algumasáreas, tais como o escoamento de fluidos (ver capı́tulo 4).Importa notar neste ponto que, ao se alterar um modelo obtendooutro, o esquema da Figura 1.1 se repete. Há uma revisitação do objeto a ser modelado e das ações do modelador. Entretanto, o contextoagora é outro. Fazem parte deste novo contexto, por acréscimo, pelomenos o modelo que estamos alterando e todo o conhecimento queadquirimos sobre o objeto modelado. Esta alteração do contexto podeprovocar grandes mudanças na construção do modelo, até mesmo noprocesso de observação.Um objeto pode ter modelos descritos em vários contextos diferentes. Por exemplo, Matemática Contı́nua é constituı́da por objetosmatemáticos que, de uma forma ou outra, estão associados a topologias contı́nuas em estruturas infinitas e densas. Enquanto que aMatemática Discreta por objetos matemáticos de alguma forma associados a topologias discretas em estruturas com um número finito ouenumerável de elementos. Por outro lado, a Matemática Computacional é constituı́da de algoritmos e programas de computador, estesúltimos dependentes ainda de métodos de discretização, linguagensde programação e ambientes computacionais. Modelos descritos emcada um desses contextos devem estar em conformidade com a
Apesar de, ao final deste texto, tecermos alguns coment arios a res-peito de como o processo de modelagem e afetado pelos agentes e fatores sociais intervenientes nos problemas ambientais, nosso obje-tivo aqui e bem mais modesto. Atrav es de uns poucos exemplos, dis-cutirem
Portuguesa de Matem atica, com o prop osito de desenvolver um estudo de ele-mentos do sistema educativo portuguˆes a luz dos sistemas educativos espanhol, belga frac ofono e inglˆes. Coube a Sociedade Portuguesa de Matem atica estudar o que se refere ao ensino das disciplinas de matem atica dos ultimos seis anos de
explicita c ao de propriedades matem aticas e de regras de infer encias subjacentes aos seus teoremas. O conte udo necess ario para alcan car o objetivo delineado est a distribu do em cinco cap tulos. O texto n ao e exaustivo, ou seja, tem-se consci encia de que ele n ao esgota todas as explica c oes dos conceitos envolvidos na tem atica.
O produto vetorial e o produto misto normalmente s ao vistos nos livros did aticos atrav es de uma de ni c ao arti cial do seu objeto. Isso muitas vezes confunde os estudantes de matem atica, por achar que esse conceito foi criado do nada. Este
Tesis presentada como parte de los requisitos de la Universidad Nacional del Litoral para la obtencion del Grado Acad emico de Mag ıster en Matem atica En el campo de: Matem atica . Introduccion vii Cap ıtulo 1. Problemas inversos desde el enfoque determin ıstico 1 1.1. Teor ıa Clasica 3 1.2. Regularizacion de tipo Tikhonov .
Para cada m 1, el conjunto de las mclases de equivalencia lo denotamos por Z my se conoce como el conjunto de los enteros m odulo m. Z m f0;1;2;:::;m 1g donde los elementos a2Z mrepresentan a sus respectivas clases de equivalencia m odulo m. Camacho Introd. a la Matem atica Discreta 13 / 39.
ORIGEN Y DESARROLLO HISTORICO DEL C ALCULO INFINITESIMAL M.C. Munoz-Lecanda 1, N. Rom an-Roy 2 Departamento de de Matem atica Aplicada y Telem atica C/ Jordi Girona 1; Edi cio C-3, Campus Norte UPC E-08034 BARCELONA 1MATMCML@MAT.UPC.ES 2MATNRR@MAT.UPC.ES
Instituto de Matem a tica Pura e Aplicada . na o-observa veis em quest ao. O processo de otimiza ca o utilizado visa maximizar a . similhanc a que posteriormente e maximizada atrav es de um processo de otimiza cao, chegando-se nos paraˆmetros o timos.
ABR ¼ American Board of Radiology; ARRS ¼ American Roentgen Ray Society; RSNA ¼ Radiological Society of North America. Table 2 Designing an emergency radiology facility for today Determine location of radiology in the emergency department Review imaging statistics and trends to determine type and volume of examinations in emergency radiology Prepare a comprehensive architectural program .
