Mathematische Grundlagen - Für Wirtschaftsinformatiker
Mathematische Grundlagenfür WirtschaftsinformatikerProf. Dr. Peter BeckerFachbereich InformatikHochschule Bonn-Rhein-SiegWintersemester 2016/17Peter Becker (H-BRS)Mathematische GrundlagenWintersemester 2016/171 / 288
VorbemerkungenAllgemeines zur VorlesungAllgemeines zur VorlesungHomepage:http://www2.inf.h-brs.de/ pbecke2m/mathegrund/Die Vorlesung wird überwiegend folienbasiert gehalten.Die Folien enthalten nur die wichtigsten Aspekte (Definitionen, Sätze,knappe Beispiele, wichtige Bemerkung).Alles was sonst eine Vorlesung ausmacht (Erläuterungen, ausführlicheBeispiele, Beweise von Sätzen, Anwendungen, Querverweise auf andereGebiete der Mathematik und Informatik, etc.) gibt es nur in der Vorlesungselbst.Die Folien zur Vorlesung (Skript) stehen auf der Homepage vor derVorlesung zur Verfügung.Peter Becker (H-BRS)Mathematische GrundlagenWintersemester 2016/172 / 288
VorbemerkungenAllgemeines zur VorlesungTermin der VorlesungDonnerstags, 10:45 bis 12:15 Uhr, H 1/2Wir fangen pünktlich an!Nehmen Sie rechtzeitig ihre Plätze ein. Wer zu spät kommt, stört alleanderen Zuhörer.Sollten Sie dennoch zu spät sein, nutzen Sie bitte leise die oberenEingänge.Bitte Ruhe während der Vorlesung.Sie stören nicht mich, sondern Ihre Kommilitonen.Peter Becker (H-BRS)Mathematische GrundlagenWintersemester 2016/173 / 288
VorbemerkungenAllgemeines zur VorlesungÜbungenBeginn der Übungen: ab KW 41 (5. Oktober 2016)2 Stunden Übungen pro Woche3 Gruppen insgesamt: Bitte beachten Sie die Gruppenzuordnung.Mit der Vorlesung wöchentlich Ausgabe eines AufgabenblattsAb dem 2. Aufgabenblatt müssen Sie handschriftliche Lösungenabgeben, die bewertet werden (Vorleistung!!!).Die Aufgaben werden in der Woche nach der Abgabe in den Übungenbesprochen.keine Tests, keine AnwesenheitspflichtPeter Becker (H-BRS)Mathematische GrundlagenWintersemester 2016/174 / 288
VorbemerkungenAllgemeines zur VorlesungTermine für die ÜbungenBIS:Gruppe 1: Mi., 10:45–12:15 Uhr, C 120Gruppe 2: Mo., 9:00–10:30 Uhr, C 115Gruppe 3: Mo., 15:15–16:45 Uhr, C 115Peter Becker (H-BRS)Mathematische GrundlagenWintersemester 2016/175 / 288
lationen und Prädikatenlogik4Beweismethoden5Eigenschaften von Mengen, Relationen und Funktionen6Elementare Kombinatorik und AbzählbarkeitPeter Becker (H-BRS)Mathematische GrundlagenWintersemester 2016/176 / 288
VorbemerkungenLernzieleLernziele (allgemein)Grundlegende mathematische Begriffe kennen und deren exakteDefinition wiedergeben können. Es ist nicht ausreichend, nur eine ungefähre Vorstellung dermathematischen Begriffe zu haben.Die Sprache“ der Mathematik in Grundzügen beherrschen und damit”elementare mathematische Sachverhalte formulieren können. Sprache muss man üben, üben, üben, . . .Beweistechniken beherrschen und einfache mathematische Aussagenbeweisen können. Beweise sind das Herz der Mathematik.Inhaltliche Voraussetzungen: Interesse an Mathematik und InformatikPeter Becker (H-BRS)Mathematische GrundlagenWintersemester 2016/177 / 288
ungWöchentlich erscheint mit der Vorlesung ein Aufgabenblatt.Bearbeitungzeit: eine Woche, Abgabe vor der Vorlesung der nächstenWocheDie Hausaufgaben sind fristgerecht abzugeben und werden bewertet.Es werden nur handschriftliche Lösungen akzeptiert!Geben Sie bei der Abgabe Ihre Matrikelnummer und Übungsgruppean. Keine Gruppenarbeit!Für die Zulassung zur Prüfung müssen 50% der möglichen Punkteerreicht werden.Dies gilt für alle, auch Wiederholer.Wer einmal die Zulassung geschafft hat, muss sie in späteren Jahrennicht wiederholen.Peter Becker (H-BRS)Mathematische GrundlagenWintersemester 2016/178 / 288
VorbemerkungenFormalesPrüfungKlausur, 90 MinutenInhalte: alles aus Vorlesung und Übung3 CreditsTermin: siehe Prüfungsplan (der ca. Anfang November erscheint)Vergessen Sie nicht sich zur Prüfung anzumelden.Abmeldung bis sieben Tage vor der Klausur möglich.Zulassung zur Prüfung nur mit erbrachter Vorleistung!Peter Becker (H-BRS)Mathematische GrundlagenWintersemester 2016/179 / 288
VorbemerkungenFormalesVorsicht! Stolpergefahrin der Vergangenheit hohe DurchfallquotenVorleistung erforderlichdeutliche Steigerung im Niveau und Tempo gegenüberder Schulmathematikanderer Charakter der Hochschulmathematik:IIIklare Definition von Begriffenim Vordergrund stehen mathematische Aussagen,weniger RechentechnikenSchema: Definition, Satz, BeweisPeter Becker (H-BRS)Mathematische GrundlagenWintersemester 2016/1710 / 288
VorbemerkungenFormalesWas tun bei Problemen?Realistisch bleiben und ehrlich zu sich selbst sein!Besser verzichten als erzwingen: Gehen Sie niemals schlechtvorbereitet in eine Prüfung.Besser zwei Module voll als vier Module halb: Die Durchfallquotensind hoch!Formal haben Sie beliebig lange Zeit fürs Studium, aber nicht beliebigviele Fehlversuche.Nehmen Sie mit, was Sie gelernt haben: Die Vorkenntnisse aus diesemSemester erleichtern Ihnen den Wiedereinstieg im nächsten Jahr.Peter Becker (H-BRS)Mathematische GrundlagenWintersemester 2016/1711 / 288
VorbemerkungenLiteraturLiteraturKurt-Ulrich WittMathematische Grundlagen für dieInformatikSpringer Vieweg, 2013Standardwerk für dieseVeranstaltung, auch für dieInformatikerIch halte mich inhaltlich eng andieses Buch.PDF in Bibliothek onlineverfügbarPeter Becker (H-BRS)Mathematische GrundlagenWintersemester 2016/1712 / 288
VorbemerkungenLiteraturChristoph Meinel, Martin MundhenkMathematische Grundlagen derInformatikVieweg und Teubner, 2011Inhaltlich ähnlich zum Buch vonWitt.weniger kompakt und dieReihenfolge ist etwas andersAls Ergänzung sehr zuempfehlen.PDF in Bibliothek onlineverfügbarPeter Becker (H-BRS)Mathematische GrundlagenWintersemester 2016/1713 / 288
VorbemerkungenLiteraturSebastian Iwanowski, Rainer LangDiskrete Mathematik mit GrundlagenSpringer Vieweg, 2014Logik wird eher nur kurzabgehandelt.enthält viele AufgabenAls Ergänzung sehr zuempfehlen.PDF in Bibliothek onlineverfügbarPeter Becker (H-BRS)Mathematische GrundlagenWintersemester 2016/1714 / 288
VorbemerkungenLiteraturRudolf BerghammerMathematik für InformatikerSpringer Vieweg, 2014Inhaltlich ähnlich zum Buch vonWitt.Als Ergänzung sehr zuempfehlen.PDF in Bibliothek onlineverfügbarPeter Becker (H-BRS)Mathematische GrundlagenWintersemester 2016/1715 / 288
MengenKapitel 1MengenPeter Becker (H-BRS)Mathematische GrundlagenWintersemester 2016/1716 / 288
MengenInhaltInhalt1MengenDer Cantorsche MengenbegriffNotation von MengenBezeichner für ZahlenmengenRussellsche AntinomiePeter Becker (H-BRS)Mathematische GrundlagenWintersemester 2016/1717 / 288
MengenDer Cantorsche MengenbegriffEin MengenbegriffIn der Mathematik dient der Begriff der Menge dazu, Objekte zu einerneuen Einheit zusammenzufassen,so dass diese Einheit als (neues) Ganzes betrachtet undweiterverwendet werden kann.Festlegung: Cantorscher MengenbegriffEine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedenerDinge unserer Anschauung oder unseres Denkens, welche Elemente derMenge genannt werden, zu einem Ganzen.Peter Becker (H-BRS)Mathematische GrundlagenWintersemester 2016/1718 / 288
MengenDer Cantorsche MengenbegriffGeorg CantorGeorg Cantor (1845-1918) war eindeutscher Mathematiker.Cantor lieferte wichtige Beiträge zurmodernen Mathematik. Insbesondereist er der Begründer der Mengenlehreund veränderte den Begriff derUnendlichkeit.Peter Becker (H-BRS)Mathematische GrundlagenWintersemester 2016/1719 / 288
MengenNotation von MengenDarstellung von MengenDie Notation einer Menge erfolgt in der Art{. . .}Die Elemente der Menge werden durch die Mengenklammern { und } zueinem Ganzen zusammengefasst. . .“ ist ein Platzhalter und steht für die eindeutige Festlegung, welche”Dinge Elemente der Menge sind (dazu später mehr).Wir können Mengen einen Namen geben. Dies erfolgt mithilfe einesGleichheitszeichens:M {. . .}Peter Becker (H-BRS)Mathematische GrundlagenWintersemester 2016/1720 / 288
MengenNotation von MengenElementIst ein Ding a Element einer Menge M, dann schreiben wira MIst ein Ding a kein Element einer Menge M, dann schreiben wira /MFür mehrere Elemente vereinbaren wir abkürzende Schreibweisen.a, b, c Mbedeutet a M und b M und c M. Analog bedeuteta, b, c /Mdass a / M und b / M und c / M gilt.Peter Becker (H-BRS)Mathematische GrundlagenWintersemester 2016/1721 / 288
MengenNotation von MengenSchachtelung und leere MengeAnschaulich kann man sich Mengen als Behälter, z. B. als Schachteln,vorstellen. Die Schachtel wird durch die Mengenklammern dargestellt.Genau wie Schachteln weitere Schachteln enthalten können, kann aucheine Menge weitere Mengen enthalten.Und genau wie eine Schachtel leer sein kann, kann auch eine Menge leersein.Die leere Menge wird durch { } oder durch dargestellt.Ist die Menge M leer, so notieren wir M (oder M { }).Offensichtlich gilt a / für jedes Ding a.Peter Becker (H-BRS)Mathematische GrundlagenWintersemester 2016/1722 / 288
MengenNotation von MengenBeispiele zur NotationBeispiel 1.1(i) Die MengeA {1, 2, 3, 4, 5}enthält als Elemente die Zahlen 1, 2, 3, 4 und 5. Es gilt also z. B.2, 5 A sowie 0, 6, 13 / A.(ii) Die MengeB {1, 2, {3, 4, 5, 6}}enthält drei Elemente: die Zahlen 1 und 2 sowie die MengeC {3, 4, 5, 6}, die selbst vier Elemente enthält. Wir könnten auchB {1, 2, C }schreiben.Peter Becker (H-BRS)Mathematische GrundlagenWintersemester 2016/1723 / 288
MengenNotation von MengenFortsetzung Beispiel.(iii) Die MengeD {{ }}enthält genau ein Element, nämlich die leere Menge. Somit ist dieMenge D selbst nicht leer.Schachtelmetapher: Die Schachtel D ist nicht leer, denn sie enthältein Element, die leere Schachtel.Es gilt { } D.Wenn wir E { } setzen, dann istD {E }wodurch auch in der mathematischen Notation deutlich wird, dass Dnicht die leere Menge ist.Peter Becker (H-BRS)Mathematische GrundlagenWintersemester 2016/1724 / 288
MengenNotation von MengenDarstellung von MengenUnsere Festlegung des Mengenbegriffs besagt, dass die Elemente einerMenge bestimmt sein müssen.Dazu verwenden wir zwei Arten der Darstellung von Mengen:aufzählende DarstellungBei der aufzählenden Darstellung werden die Elemente einer Mengewie in Beispiel 1.1 explizit angegeben.beschreibende DarstellungBei der beschreibenden Darstellung werden die Elemente nicht explizitaufgezählt, sondern es wird eine definierende Eigenschaft angegeben.Peter Becker (H-BRS)Mathematische GrundlagenWintersemester 2016/1725 / 288
MengenNotation von MengenAufzählende DarstellungBeispiel 1.2A {2, 3, 5, 7, 11}B {1, 2, . . . , 50}C {1, 2, . . .}D {43, 44, . . .}Die Menge A enthält fünf Element, nämlich die Primzahlen kleiner gleich11.Bei den drei anderen Mengen wird ein Problem der aufzählendenDarstellung von Mengen eutlich: Für welche Elemente steht . . .“?”Bei B sind vermutlich die natürlichen Zahlen von 1 bis 50 gemeint, bei Cdie natürlichen Zahlen und bei D die natürlichen Zahlen größer gleich 43.Peter Becker (H-BRS)Mathematische GrundlagenWintersemester 2016/1726 / 288
MengenNotation von MengenDie allgemeine Form der aufzählenden Darstellung von Mengen ist alsoM {a1 , a2 , . . . , an }für endliche Mengen sowieM {a1 , a2 , . . .}für unendliche Mengen.Peter Becker (H-BRS)Mathematische GrundlagenWintersemester 2016/1727 / 288
MengenNotation von MengenBeschreibende DarstellungBei der beschreibenden Darstellung werden die Elemente nicht explizitaufgezählt, sondern es wird eine definierende Eigenschaft angegeben.Die allgemeine Form istM {x p(x)}Dabei ist x ein Platzhalter (eine Variable) für die Elemente derMenge,und p(x) ist eine für x (informal oder formal) angegebene Eigenschaft.Genau die Dinge x, die die Eigenschaft p(x) erfüllen, sind Elementeder Menge.Für die formale Definition solch einer Eigenschaft nutzen wir späterdie Prädikatenlogik.Peter Becker (H-BRS)Mathematische GrundlagenWintersemester 2016/1728 / 288
MengenNotation von MengenBeispiel 1.3A {x x ist eine Primzahl kleiner gleich 11}B {x x ist eine positive ganze Zahl und x x 10}C {(x, y ) x und y sind positive ganze Zahlen und x y 6}T64 {y y ist ein positiver Teiler von 64}S {st st studiert Informatik an der Hochschule Bonn-Rhein-Sieg}Aufzählende Darstellung für die ersten vier Mengen: .Peter Becker (H-BRS)Mathematische GrundlagenWintersemester 2016/1729 / 288
MengenNotation von MengenKardinalitätEnthält eine Menge M endlich viele Elemente, etwa m Stück, dannschreiben wir M mund nennen M eine endliche Menge. M heißt die Kardinalität von M.Nicht endliche Mengen heißen unendlich, und wir notieren M .Offensichtlich gilt 0.Peter Becker (H-BRS)Mathematische GrundlagenWintersemester 2016/1730 / 288
MengenBezeichner für ZahlenmengenBezeichner für ZahlenmengenNatürliche Zahlen:N {1, 2, 3, . . .}N0 {0, 1, 2, 3, . . .}Nk {k, k 1, k 2, . . .}Nu,o {u, u 1, u 2, . . . , o}P {2, 3, 5, 7, 11, . . .}natürliche Zahlennatürliche Zahlen mit 0natürliche Zahlen ab k, k N0natürliche Zahlen zwischen u und oPrimzahlenGanze Zahlen:Z {. . . , 2, 1, 0, 1, 2, . . .}G {0, 2, 4, . . .}G { 2, 4, . . .}G {. . . , 4, 2, 0, 2, 4, . . .}U {1, 3, 5, . . .}U { 1, 3, 5, . . .}U {. . . , 5, 3, 1, 1, 3, 5, . . .}Peter Becker (H-BRS)ganze Zahlennicht negative gerade Zahlennegative gerade Zahlengerade Zahlenpositive ungerade Zahlennegative ungerade Zahlenungerade ZahlenMathematische GrundlagenWintersemester 2016/1731 / 288
MengenBezeichner für ZahlenmengenRationale, reelle und komplexe Zahlen:onrationale Zahlen (Brüche)Q qp p Z und q NQ , Q R, R , R C {a ib a, b, R, i2 1}Peter Becker (H-BRS)rationale Zahlen größer gleich/kleiner 0reelle Zahlen/größer gleich/kleiner 0komplexe ZahlenMathematische GrundlagenWintersemester 2016/1732 / 288
MengenRussellsche AntinomieParadoxonSei S die Schlange, die all diejenigen Schlangen in den Schwanzbeißt, die sich nicht selbst in den Schwanz beißen.Beißt S sich selbst in den Schwanz?Es gibt nur zwei Möglichkeiten: S beißt sich selbst in den Schwanzoder nicht.Nehmen wir an, S beiße sich in den Schwanz.Dann gehört sie zu den Schlangen, die sich selber in den Schwanzbeißen.Also wird sie nicht von S in den Schwanz gebissen.Also beißt sich S nicht selber in den Schwanz. Widerspruch!Peter Becker (H-BRS)Mathematische GrundlagenWintersemester 2016/1733 / 288
MengenRussellsche AntinomieNehmen wir an, S beiße sich nicht in den Schwanz.Dann gehört sie zu den Schlangen, die sich nicht selber in denSchwanz beißen.Diese Schlangen werden aber gerade von S gebissen.Also beißt sich S selber in den Schwanz. Widerspruch!In beiden möglichen Fällen führt die jeweilige Annahme zu einemWiderspruch.Somit kann die Frage Beißt S sich selbst in den Schwanz?“ nicht”beantwortet werden.Es liegt ein sogenanntes Paradoxon vor.Peter Becker (H-BRS)Mathematische GrundlagenWintersemester 2016/1734 / 288
MengenRussellsche AntinomieRussellsche AntinomieWir betrachten die Menge M’ aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten:M 0 {A A / A}Enthält M 0 sich selbst, also gilt M 0 M 0 ?Annahme: M 0 M 0Dann gehört M 0 zu den Mengen, die sich selbst enthalten.Daraus folgt aber nach Definition M 0 / M 0 . Widerspruch!Annahme: M 0 / M0Also enthält M 0 sich nicht selbst.Daraus folgt aber nach Definition M 0 M 0 . Widerspruch!Dieses Paradoxon ist die Russellsche Antinomie.Es zeigt die Unzulänglichkeit des Cantorschen Mengenbegriffs.Peter Becker (H-BRS)Mathematische GrundlagenWintersemester 2016/1735 / 288
MengenRussellsche AntinomieDiskussion zur Russellschen AntinomieDie Russellsche Antinomie zeigt die Unzulänglichkeit des CantorschenMengenbegriffs.Eine Mengendefinition sollte in jedem Fall die eindeutigeBeantwortung der Frage ermöglichen, ob ein Ding in einer Mengeenthalten ist oder nicht.Stellt die Russellsche Antinomie die Mathematik insgesamt in Frage, dadiese wesentlich auf der Mengenlehre basiert?Nein. Die axiomatische Mengenlehre vermeidet Antinomien.Eine axiomatische Herleitung würde aber den Rahmen dieserVorlesung sprengen.Für unsere Zwecke ist der Cantorsche Mengenbegriff ausreichend.Peter Becker (H-BRS)Mathematische GrundlagenWintersemester 2016/1736 / 288
MengenRussellsche AntinomieBertrand RussellBertrand Russell (1872-1970) war einbritischer Philosoph, Mathematiker undLogiker.Er erhielt 1950 den Nobelpreis für Literatur.Zusammen mit Alfred North Whiteheadveröffentlichte er die Principia Mathematica,eines der bedeutendsten Werke des 20.Jahrhunderts über die Grundlagen derMathematik.Peter Becker (H-BRS)Mathematische GrundlagenWintersemester 2016/1737 / 288
MengenZusammenfassungZusammenfassungMenge als Zusammenfassung von Dingen.Durch die Zusammenfassung entsteht ein neues Ding.Schachtelung: Mengen können Mengen enthalten.Notation:IIaufzählend: {3, 4, 5, 6, 7}beschreibend: {x x N und 3 x 7}Kardinalität: Anzahl der Elemente in einer MengeDie Russellsche Antinomie zeigt die Unzulänglichkeit des CantorschenMengenbegriffs.Peter Becker (H-BRS)Mathematische GrundlagenWintersemester 2016/1738 / 288
AussagenlogikKapitel 2AussagenlogikPeter Becker (H-BRS)Mathematische GrundlagenWintersemester 2016/1739 / 288
AussagenlogikInhaltInhalt2AussagenlogikSyntax und Semantik der AussagenlogikLogische Folgerung und ImplikationÄquivalenzen, Basen und NormalformenResolutionskalkülPeter Becker (H-BRS)Mathematische GrundlagenWintersemester 2016/1740 / 288
AussagenlogikSyntax und Semantik der AussagenlogikAussagenlogik als SpracheWir wollen die Aussagenlogik als formale Sprache einführen.Eine (formale) Sprache wird festgelegt durchein Alphabet, welches ein endlicher Zeichenvorrat ist, aus dem dieWörter und Sätze einer Sprache zusammengesetzt sind,die Syntax, die festlegt, welche mit den Elementen des Alphabetsgebildete Zeichenketten als Wörter oder Sätze zur Sprache gehören,die Semantik, welche den Wörtern und Sätzen der Sprache eineBedeutung zuordnet.Peter Becker (H-BRS)Mathematische GrundlagenWintersemester 2016/1741 / 288
AussagenlogikSyntax und Semantik der AussagenlogikAlphabet der AussagenlogikDas Alphabet der Aussagenlogik besteht aus zwei Mengen:aus der Menge O der aussagenlogischen OperatorsymboleO {0, 1, , , , (, )}sowie aus einer Menge V von aussagenlogischen Variablen.Wir nutzen als aussagenlogische Variablen Kleinbuchstaben vom Endedes deutschen Alphabets, z. B. p, q, r , v , x, y , z, bei Bedarf auchindiziert, also z. B. x1 , x2 , x3 .Peter Becker (H-BRS)Mathematische GrundlagenWintersemester 2016/1742 / 288
AussagenlogikSyntax und Semantik der AussagenlogikSyntax aussagenlogischer FormelnDie Sprache A der Aussagenlogik, deren Elemente aussagenlogischeFormeln heißen, ist durch folgende Syntaxregeln festgelegt:(i) Die Operatorsymbole 0, 1 O, die so genannten aussagenlogischenKonstantenbezeichner, sind aussagenlogische Formeln: 0, 1 A.(ii) Jede aussagenlogische Variable ist auch eine aussagenlogische Formel:Für alle v V gilt v A.(iii) Als Variablenbezeichner für aussagenlogische Formeln verwenden wirkleine Buchstaben vom Anfang des griechischen Alphabets:α, β, γ, . . ., bei Bedarf auch indiziert, z. B. α1 , α2 , . . .Aus bereits vorhandenen aussagenlogischen Formeln werden mithilfeder Operator- und Klammersymbole neue Formeln gebildet: Sindα, β A, dann auch (α β), (α β), α A.Peter Becker (H-BRS)Mathematische GrundlagenWintersemester 2016/1743 / 288
AussagenlogikSyntax und Semantik der Aussagenlogik(iv) Genau die gemäß den Regeln (i) bis (iii) bildbaren Zeichenkettengehören zu A.Aussagenlogische Konstantenbezeichner und Variablen heißen auchatomare Formeln.Die unter Verwendung von Regel (iii) gebildeten Formeln heißenzusammengesetzt.Formeln der Gestalt v sowie der Gestalt v mit v V heißen Literale.Literale sind also aussagenlogische Variab
Mathematische Grundlagen der Informatik Vieweg und Teubner, 2011 Inhaltlich ahnlich zum Buch von Witt. weniger kompakt und die Reihenfolge ist etwas anders Als Erg anzung sehr zu empfehlen. PDF in Biblioth
Grundlagen der Mechanischen Verfahrenstechnik Grundlagen der Mikrotechnik Grundlagen der Technischen Optik Grundlagen der Thermischen Strömungsmaschinen Grundlagen der Umformtechnik Grundlagen der Fahrzeugantriebe Grundlagen Schienenfahrzeugtechnik und -betrieb Grundlagen Technischer Verbrennungsvorgänge I II
01363 Parametrische Statistik WS SWS 4 2 Stochastik und Mathematische Physik (SP) Bearbeiten der Kurseinheiten: 150 Stunden Einüben des Stoffes: 150 Stunden Aufbauend auf den Inhalten der Kurse "Einführung in die Stochastik" und "Maß- und Integrationstheorie" ist dieser Kurs eine Vertiefung in die mathematische Statistik mit
Modellbildung und Simulation, gemäß den Bedingungen des § 8, Absatz (1) bis (6) und § 8, Absatz (7), Tabellen 5a . Physik für Maschinenbau VO 2 . (16 Semesterstunden) Technisches Zeichnen / CAD VU 3 KU 3 . Grundlagen der Konstruktionslehre VO 2 . Grundlagen der Fertigungstechnik VO 2 . Grundlagen der Betriebstechnik VO 2 .
15. Lehrveranstaltungen und -formen: 140601Vorlesung Grundlagen der Technischen Optik 140602Übung Grundlagen der Technischen Optik 140603Praktikum Grundlagen der Technischen Optik 16. Abschätzung Arbeitsaufwand: Präsenzzeit: 42h Nacharbeitszeit: 138h 180 17.
Technische Grundlagen In den technischen Grundlagen sind aus dem Angebot insgesamt drei Module im Umfang von jeweils 9 Leistungspunkten zu wählen. Module LP Lehrveranstaltungen Sem. Bauelemente 9 Werkstoffe 2 Halbleiterbauelemente 3 Grundlagen der Energietechnik Elektrotechnik II 9 3 Messtechnik 4 Signal- und Signaltheorie Systemtheorie 9 4 .
Grundlagen der Digitalen Medientechnologien ILV 2 2,5 Grundlagen der Datenbanksysteme und Datenmodellierung ILV 22,5 PC Anwendungen UE 1,5 1,5 Lern- und Arbeitstechniken ILV 1 1 SE 2,5 25 30 2. Semester LV-Typ SWS ECTS Mathematik 2 für InformationsmanagerInnen ILV 2 3 Grundlagen der Angewandte
Grundlagen der Gestaltung Grundlagen der Gestaltung V/Ü 4 5 SL SP (HA, Arb) Keine Medientechnik Physikalische Grundlagen V 2 2,5 SL K(1,5) Keine Englisch Englisch I V 2 2,5 SL K(1) oder SP (Vortr, Arb) Keine Alle Module des 1. Studiensemesters 24 30 4 PL, 5 SL . 2. Studiense
The Female Reader: Occupying a Space of her Own Women formed a large and increasing part of the new novel-reading . public. The traditional discrepancy between male and female literacy rates was narrowed, and finally eliminated by the end of the nineteenth ; century. The gap had always been the widest at the lowest end of the social scale. In Lyons at the end of the eighteenth century, day .
