Teori Probabilitas - STIE Muhammadiyah Jakarta
Teori Probabilitas5Debrina Puspita Andrianiwww.debrina.lecture.ub.ac.idE-mail : debrina.ub@gmail.com / debrina@ub.ac.id
2OutlineKonsep ProbabilitasRuang SampelKomplemen KejadianProbabilitas BersyaratTeorema Bayeswww.debrina.lecture.ub.ac.id08/10/2014
3Berapa peluangmunculnya angka 4pada dadu merah?Berapa peluangmunculnya King heart?Berapa peluangmunculnya gambar?3www.debrina.lecture.ub.ac.id08/10/2014
08/10/2014Peluang atauProbabilitasadalah perbandingan antara kejadian yangdiharapkan muncul denganbanyaknya kejadian yang mungkin muncul.4www.debrina.lecture.ub.ac.id
5Konsep Probabilitas¡ Bila banyak kejadian yang diharapkan muncul dinotasikandengan n(A), dan banyaknya kejadian yang mungkinmuncul (ruang sampel S) dinotasikan dengan n(S) makaPeluang kejadian A ditulisn(A)P(A) n(S)www.debrina.lecture.ub.ac.id08/10/2014
Contoh 1Peluang muncul mukadadu nomor 5 daripelemparan sebuahdadu satu kaliadalah .6¡ Penyelesaian:n(5) 1 dann(S) 6 yaitu: 1, 2, 3, 4, 5, 6Jadi P(5) www.debrina.lecture.ub.ac.idn( 5 )n( S ) 1608/10/2014
Contoh 2Dalam sebuah kantongterdapat 4 kelereng merahdan 3 kelereng biru.Bila sebuah kelereng diambildari dalam kantong makapeluang terambilnyakelereng merah adalah 7¡ Penyelesaian:¡ Kejadian yang diharapkanmuncul yaitu terambilnyakelereng merah ada 4 n(merah) 4¡ Kejadian yang mungkinmuncul yaitu terambil 4kelereng merah dan 3kelereng biru n(S) 4 3 7¡ Jadi peluang kelereng merahyang terambil adalahn( merah )P(merah) n( S )P(merah) www.debrina.lecture.ub.ac.id4708/10/2014
Contoh 3Dalam sebuah kantongterdapat 7 kelereng merahdan 3 kelereng biru.Bila tiga buah kelerengdiambil sekaligus makapeluang terambilnyakelereng merah adalah -------------------------------------------Banyak kelereng merah 7dan biru 3 jumlahnya 10www.debrina.lecture.ub.ac.id8¡ Penyelesaian:¡ Banyak cara mengambil 3dari 77!7! 7C3 3! ( 7 3 )! 3!.4!5.6.71.2.3 35¡ Banyak cara mengambil 3dari 1010 !10! 10C3 3! ( 10 3 )!3!.7! 8.9.101.2.3 120§ Peluang mengambil 3 kelerengmerah sekaligus7357 C3 2412010 C 308/10/2014
9Ruang Sampel (S)Suatu kelompok universal bagi semua hasil aktual ataupunkonseptual yang mungkin terjadi karena pada setiappercobaan selalu diinginkan terjadinya berbagai peristiwayang berhubungan dengan percobaan itu sendiri.www.debrina.lecture.ub.ac.id08/10/2014
Contoh 110¡ Pada peristiwa melempar dua buah dadu,merah dan hitam, masing- masing bermata1 sampai 6 secara bersama-samasebanyak satu kali.Berapakah nilai peluang kejadiankejadian :a. muncul mata 4 dadu merah atau mataganjil dadu hitamb. muncul mata dadu merah kurang dari 3dan mata dadu hitam lebih dari 4www.debrina.lecture.ub.ac.id08/10/2014
11Penyelesaian:Ruang sampel ada sebanyak36 kemungkinan.a. kejadian muncul mata 4 dadu merah atau mata ganjil dadu hitamada sebanyak 21 kemungkinan pasangan, maka peluangnyaadalah :www.debrina.lecture.ub.ac.id08/10/2014
12Penyelesaian:Ruang sampel ada sebanyak36 kemungkinan.b. kejadian muncul mata dadu merah kurang dari 3 dan mata daduhitam lebih dari 4 ada sebanyak 4 kejadian, yaitu (1,5), (2,5), (1,6)dan (2,6), maka nilai peluangnya adalah :www.debrina.lecture.ub.ac.id08/10/2014
Contoh 213¡ Di dalam sebuah kotak terdapat 6 bolawarna hitam, 8 bola warna merah dan10 bola warna kuning.¡ Diambil sebuah bola secara acak dantidak dikembalikan.¡ Tentukan nilai peluangterambil berturut-turut :a. Bola hitamb. Bola kuningc. Bola merahwww.debrina.lecture.ub.ac.id08/10/2014
014
KomplemenKejadian15www.debrina.lecture.ub.ac.id Nilai suatu peluang antara 0 sampaidengan 1 0 P(A) 1 P(A) 0 kejadian yang tidakmungkin terjadi P(A) 1 kejadian yang pastiterjadi P(A1) 1 – P(A)à A1 adalah komplemen A08/10/2014
16KomplemenSA’AKejadian bukan A darihimpunan S ditulis dengansimbol A’ (atau Ac) disebutkomplemen dari A.Jika A mempunyai a elemen, dan S'P( A ) mempunyai n elemen maka A’mempunyai n-a elemen.Maka P(A’) adalah peluangterjadinya A. tidak P ( A' ) www.debrina.lecture.ub.ac.idn ann a n na1 n1 P( A)08/10/2014
Contoh 117¡ Sepasang suami istri mengikuti keluargaberencana. Mereka berharapmempunyai dua anak.¡ Peluang paling sedikit mempunyaiseorang anak laki-laki adalah www.debrina.lecture.ub.ac.id08/10/2014
18Penyelesaian:Kemungkinan pasangan anak yang akan dimiliki: keduanya laki-laki, keduanya perempuan atau 1 laki-laki dan 1 perempuan n(S) 3 Peluang paling sedikit 1 laki-laki 1 – peluang semua perempuann( p , p ) 1–n( S )www.debrina.lecture.ub.ac.id 1–1 2 3 308/10/2014
Contoh 219¡ Dalam sebuah keranjang terdapat 50buah salak, 10 diantaranya busuk.¡ Diambil 5 buah salak.¡ Peluang paling sedikit mendapat sebuahsalak tidak busuk adalah www.debrina.lecture.ub.ac.id08/10/2014
Penyelesaian:20 banyak salak 50, 10 salak busuk diambil 5 salak r 5 n(S) 50C5 Peluang paling sedikit 1 salak tidak busuk 1 – peluang semua salak busuk 1–C550 C 510www.debrina.lecture.ub.ac.id08/10/2014
21Kejadian SalingLepas(Eksklusif Bersamaan)Jika A dan B adalah dua kejadian yang salinglepas maka peluang kejadian A atau B adalahP(A atau B) P(A) P(B)www.debrina.lecture.ub.ac.id08/10/2014
22DUA KEJADIAN SALING LEPASJika suatu kejadian A dan B tidakdapat terjadi pada saat bersamaan,dalam hal iniSAB( A B) Ø, maka kita katakan duakejadian tersebut adalah salinglepas. Untuk kejadian saling lepas(saling asing)MakaP( A B) P(Ø) 0Jika A dan B kejadian yang saling lepas makaP ( A B) P ( A) P ( B)www.debrina.lecture.ub.ac.id08/10/2014
Contoh23¡ Dari satu set kartu bridge (tanpa joker)akan diambil dua kartu satu persatuberturut-turut, kemudian kartu tersebutdikembalikan.¡ Peluang terambilnya kartu as atau kartuking adalah www.debrina.lecture.ub.ac.id08/10/2014
24Penyelesaian:§ Kartu bridge 52 n(S) 52§ Kartu as 4 n(as) 44§ P(as) 52§ Kartu king 4 n(king) 44§ P(king) 524à P(as atau king) P(as) P(king) 52www.debrina.lecture.ub.ac.id48 525208/10/2014
Exception:25DUA KEJADIAN SALING LEPASS {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}A {kejadian mendapatkan bilangan prima}B {kejadian mendapatkan sedikitnya bilangan 5}SAB.6 .8.2.1.3.5.7.11Maka A {2, 3, 5, 7, 11}B {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}.12.9.10.4Sehingga:10 5P (A B) 12 6Jika kita melihat hubungan antara , P(A) dan P(B), terdapatirisan antara A dan B, yaitu {5, 7, 11} dan juga diperoleh3 dan10 5 8 3 583P ( A B) P ( A B) 121212121212 P ( A B ) P ( A) P ( B ) P ( A B )www.debrina.lecture.ub.ac.id08/10/2014
26Kejadian SalingBebas(Independen)Kejadian A dan B saling bebasJika keduanya tidak saling mempengaruhiwww.debrina.lecture.ub.ac.id08/10/2014
DUA KEJADIAN SALING BEBAS27Sekeping uang logam dan sebuah dadu dilempar sekali.Kejadian munculnya sisi angka pada uang logam dan kejadianmunculnya mata 3 pada dadu adalah dua kejadian yang tidaksaling mempengaruhi.Jika A dan B kejadian yang saling bebas makaP(A dan B) P(A) x P(B)www.debrina.lecture.ub.ac.id08/10/2014
Contoh 128¡ Anggota paduan suara suatu sekolahterdiri dari 12 putra dan 18 putri. Biladiambil dua anggota dari kelompoktersebut untuk mengikuti lombaperorangan¡ maka peluang terpilihnya putra dan putriadalah www.debrina.lecture.ub.ac.id08/10/2014
Penyelesaian:29banyak anggota putra 12 dan banyak anggota putri 18 n(S) 12 18 30P(putra dan putri) P(putra) x P(putri) 1218x3030 625www.debrina.lecture.ub.ac.id08/10/2014
Contoh 230¡ Peluang Amir lulus pada Ujian Nasionaladalah 0,90. Sedangkan peluang Badululus pada Ujian Nasional 0,85.¡ Peluang Amir lulus tetapi Badu tidak luluspada ujian itu adalah www.debrina.lecture.ub.ac.id08/10/2014
Penyelesaian:31 Amir lulus P(AL) 0,90 Badu lulus P(BL) 0,85 Badu tidak lulus P(BTL) 1 – 0,85 0,15 P(AL tetapi BTL) P(AL) x P(BTL) 0,90 x 0,15 0,135www.debrina.lecture.ub.ac.id08/10/2014
Contoh 332¡ Dari sebuah kotak yang berisi 5 bolamerah dan 3 bola putih diambil 2 bolasekaligus secara acak.¡ Peluang terambilnya keduanya merahadalah www.debrina.lecture.ub.ac.id08/10/2014
Penyelesaian:¡ banyak bola merah 5dan putih 3 jumlahnya 8¡ banyak cara mengambil 2dari 55!5! 5C2 2! ( 5 2 )! 2!.3!4 .5 1 .2 10www.debrina.lecture.ub.ac.id33¡ banyak cara mengambil 2dari 8 8C2 8!8! 2! ( 8 2 )! 2!.6!7 .81 .2 28v Peluang mengambil 2 bola merahsekaligus 102808/10/2014
34Probabilitas BersyaratPeluang terjadinya kejadian Bjika diketahui kejadian A telah terjadiwww.debrina.lecture.ub.ac.id08/10/2014
Peluang Bersyarat35Peluang terjadinya kejadian B jika diketahui suatukejadian lain A telah terjadiwww.debrina.lecture.ub.ac.id08/10/2014
Contoh:36Sebuah penerbangan reguler berangkat tepat pada waktunya adalah P(B) 0,83. Peluang penerbangan itu mendarat tepat pada waktunya adalah P(A) 0,92 dan peluang penerbangan itu berangkat dan mendarat tepatpada waktunya adalah P(A B) 0,78.Hitung peluang suatu pesawat pada penerbangan tersebut :1. Mendarat pada waktunya jika diketahui bahwa pesawat ituberangkat tepat pada waktunya2. Berangkat pada waktunya jika diketahui bahwa pesawat tersebutmendarat tepat waktu.www.debrina.lecture.ub.ac.id08/10/2014
37Solusi1. Peluang pesawat mendarattepat waktu bila diketahuipesawat tersebut berangkattepat waktu adalah :2. Peluang pesawat berangkattepat waktu bila diketahuipesawat tersebut mendarattepat waktu adalah :P (A B)P (A B)P(B/A) P(A/B) P (A)(B)P (A)0.78P(B/A) 0.83 0.94www.debrina.lecture.ub.ac.id0.78P(B/A) 0.92 0,8508/10/2014
Probabilitas Bersyarat38¡ Apabila terdapat suatu kondisi dimana probabilitas P(A/B) menjadibernilai sama dengan P(A), maka dalam hal ini peristiwa B tidakmempunyai pengaruh terhadap terjadinya peristiwa A, sehingga :AtauP(A/B) P(A)P(B/A) P(B)à dinamakan sebagai peristiwa yang saling bebas (independent)§ Antara A dan B, sesuai dengan aturan perkalian maka kondisisaling bebas tersebut :p( A B) P( A) P( B)§ Dengan demikian, bila terdapat peristiwa A1, A2,.,Ak yangsaling bebas maka:P( A1 A2 A3. Ak ) P( A1 ).P( A2 ).P( Ak )www.debrina.lecture.ub.ac.id08/10/2014
Kaidah Penggandaan39Bila suatu percobaan kejadian A dan B keduanya dapat terjadisekaligus, makaP(A B) P(A)P(B A)Karena kejadian A B dan B A setara, dapat ditulis juga:P(A B) P(B A) P(B)P(A B)Contoh:Dalam sebuah kotak terdapat 10 gulungan film, dan diketahui bahwa 3diantaranya rusak.Hitung peluang bila 2 buah gulungan film rusak diambil acak satu persatusecara berurutan.Penyelesaian:Misal A: peristiwa terambil gulungan pertama rusakB: peristiwa terambil gulungan kedua rusakMaka peluang kedua gulungan rusak adalah :www.debrina.lecture.ub.ac.id 1/1508/10/2014
40Teorema Bayeswww.debrina.lecture.ub.ac.id08/10/2014
41TeoremaBayesBAA (BA)(B’ A)SB’P(A) P(BA) P(B’A) P(B).P(A B) P(B’).P(A B’)www.debrina.lecture.ub.ac.id08/10/2014
42Aturan BayesPandang diagram venn berikut:AE AEEcEc ADiagram Venn untuk kejadian A,E danDiperoleh rumus(E A)dan(Ec A)saling terpisah, jadiEcA (E A) (Ec A)P(A) P (E A) (Ec A) P(E A) P(Ec A) P(E)P(A E) P(Ec )P(A Ec )www.debrina.lecture.ub.ac.id08/10/2014
Contoh (1)43Ruang sampel menyatakan populasi orang dewasa yang telahtamat SMU di suatu kota tertentu dikelompokan menurut jeniskelamin dan status bekerja seperti pada tabel sbb:Laki-lakiWanitaJumlahBekerja460140600Tdk bekerja40260300Jumlah500400900Daerah ini akan dijadikan daerah pariwisata dan seseorang akandipilih secara acak dalam usaha penggalakan kota tersebut sebagaiobyek wisata keseluruh negeri. Dan diketahui bahwa ada 36 orangyang berstatus bekerja dan 12 orang berstatus menganggur adalahanggota koperasi.Berapa peluang orang yang terpilih ternyata anggota koperasi?www.debrina.lecture.ub.ac.id08/10/2014
PenyelesaianMisal:44E orang yang terpilih berstatus bekejaA orang yang terpilih anggota koperasiDari tabel diperoleh:P(E) 600 29003P(Ec ) 1 P(E) 13P(A E) 36 360050P(A Ec ) 12 130025Jadi peluang orang yang terpilih anggota koperasi adalahccP(A) P(E)P(A E) P(E )P(A E ) ( 2) ( 3 ) ( 1 ) ( 1 ) 3 50475www.debrina.lecture.ub.ac.id32508/10/2014
P(E) 231𝑃 (𝐸 3𝐶)P(A / E) 3EEc50AP(A / Ec ) 1AP(E)P(A / E) ( 2 )( 3 ) 453 50P(Ec )P(A /Ec ) ( 2 )( 1 )3 2525Diagram pohon untuk dataJika dalam ruang sampel (S) terdapat kejadian-kejadian saling lepasB1,B2 ,.,Bkdengan probabilitas 0, dan bila ada kejadian A yang mungkin dapat terjadi padakejadianB1,B2 ,.,B, kkP(A) P(Bi A)i 1maka probabilitas kejadian A adalah:k P(Bi )P(A Bi )i 1 P(B1 )P(A B1 ) P(B2 )P(A B2 ) . P(Bk )P(A Bk )dengan:danA (B1 A) (B2 A) . (Bk A)B1 A , B2 A, . ,Bk Awww.debrina.lecture.ub.ac.idsaling terpisah08/10/2014
Diagram Venn:B2B1B346B4B5AB6BkB7Penyekatan ruang sampel SJika kejadian-kejadian B1,B2 ,.,Bk merupakan sekatan dari ruangsampel S dengan P(B i ) 0 ; i 1,2,., k ,maka utk sembarang P(A) 0kejadian A , berlaku:P(Br A) P(Br A)k P(Bi A)untuk r 1,2, . , kwww.debrina.lecture.ub.ac.idi 1 P(Br )P(A Br )k P(Bi )P(A Bi )i 108/10/2014
Contoh (2)47Tiga anggota dari sebuah organisasi dicalonkan sebagai ketua.Telah diketahui peluang bpk Ali (A) terpilih 0,3 ; peluang bpk Basuki(B) terpilih 0,5 dan peluang bpk Catur (C) terpilih 0,2. Juga telahdiketahui peluang kenaikan iuran anggota jika A terpilih 0,8 ; jika Bterpilih 0,1 dan jika C terpilih 0,4.a. Berapa peluang iuran anggota akan naik ?b. Berapa peluang bpk C terpilih sbg ketua jika terjadi kenaikaniuran?www.debrina.lecture.ub.ac.idIuran naik!!!Hikkkssss!!!08/10/2014
PenyelesaianMisal:I : iuran anggota dinaikanA : pak Ali terpilihà P (A) 0.3B : pak Basuki terpilihà P (B) 0.5C : pak Catur terpilihà P (C) 0.248P(I A) 0.8P(I B) 0.1P(I C) 0.4a). Peluang iuran anggota akan naik adalahP(I) P(A)P(I A) P(B)P(I B) P(C)P(I C) (0.3)(0.8) ( 0.5)( 0.1) ( 0.2)( 0.4) 0.24 0.05 0.08 0.37b). Peluang bapak C terpilih sebagai ketua jika terjadi kenaikan iuran adalahP(C I) P(C)P(I C)P(A)P(I A) P(B)P(I B) P(C)P(I C) (0.2)(0.4)(0.3)(0.8) (0.5)(0.1) (0.2)(0.8) 0.088 0.37 37www.debrina.lecture.ub.ac.id08/10/2014
Outline Konsep Probabilitas Ruang Sampel Komplemen Kejadian Probabilitas Bersyara
menyusun buku manual yang akan berguna dalam pelaksanaan jaminan mutu di STIE Muhammadiyah Jakarta. SPMI-STIE-MJ dengan delapan standar mutu yang ditetapkan dinas pendidikan antara lain: “Satndar Isi/Kurikulum, Standar Proses, Standar Kompetensi Kelulusan, Standar Pendidik dan Kependidikan, Standar Sarana dan Prasarana,
tentang teori-teori hukum yang berkembang dalam sejarah perkembangan hukum misalnya : Teori Hukum Positif, Teori Hukum Alam, Teori Mazhab Sejarah, Teori Sosiologi Hukum, Teori Hukum Progresif, Teori Hukum Bebas dan teori-teori yang berekembang pada abad modern. Dengan diterbitkannya modul ini diharapkan dapat dijadikan pedoman oleh para
b. Pendekatan Probabilitas c. Konsep Dasar dan Hukum Probabilitas d. Diagram Pohon Probabilitas e. Teorema Bayes f. Beberapa Prinsip Menghitung 8 UJIAN TENGAH SEMESTER 9 IX PROBABILITAS a. Pengertian Distribusi Probabilitas b. Rata-rata Hitung Varians, dan Standar Deviasi dari Distribusi Frekuens
Aturan Bayes 4 Aturan Bayes. 11/10/2011 3 . menyederhanakan perhitungan probabilitas. Teorema (2.1): Bila A dan B suatu kejadian sembarang, maka . Probabilitas seseorang mahasiswa lulus matakuliah Statistika 2/3 dan probabilitas lulus matakuliah
A. Teori-teori sosial moden timbul sebagai tin& bdas kepada teori-teori sosial klasik yang melihat am perubahan rnasyarakat manusia dengan pendekatan yang pesimistik. Teori sosial moden telah berjaya menerangkan semua gejala sosial kesan perindustrian dan perbandaran. Teori sosial moden adalah lanjutan teori klasik dalam kaedah dan faIsafah. B. C.
PROBABILITAS DAN TEOREMA BAYES . RUANG SAMPEL DAN KEJADIAN Dalam Teori Probabilitas, percobaan (experiment) tidak selalu merupakan percobaan yang rumit tetapi seringkali percobaan sederhana dengan menggunakan alat-alat yang sederhana ser
3.3 Analisis Pemahaman dan Penguasaan Siswa Kelas VI SD DKI Jakarta terhadap Wacana Bahasa Indonesia menurut Wilayah Pemerintahan, Status Sekolah, Lingkungan Sekolah, dan Gender 59 3.3.1 Jakarta Pusat 62 3.3.2 Jakarta Barat 72 3.3.3 Jakarta Timur 82 3.3.4 Jakarta Utara 91 3.3.5 Jakarta Selatan 101 Bab rv Simpulan 112 Daftar Pustaka 118 Vlll
Mata kulian Anatomi dan Fisiologi Ternak di fakultas Peternakan merupakan mata kuliah wajib bagi para mahasiswa peternakan dan m.k. ini diberikan pada semester 3 dengan jumlah sks 4 (2 kuliah dan 2 praktikum.Ilmu Anatomi dan Fisiologi ternak ini merupakan m.k. dasar yang harus dipahami oleh semua mahasiswa peternakan. Ilmu Anatomi dan Fisiologi Ternak ini yang mendasari ilmu-ilmu yang akan .
