Deel B Wiskunde Voor Het Hoger Onderwij S
Deel BWiskundevoor het hogeronderwijsUitwerkingenSieb Kemme, Wim Groen, Theo van Pelt,Jacques Timmers, Gooitzen Zwanenburg,Jan Walter9e druk
Noordhoff Uitgevers bvWiskunde voor hethoger onderwijsDeel B UitwerkingenSieb KemmeWim GroenTheo van PeltJacques TimmersGooitzen ZwanenburgJan WalterNegende drukNoordhoff Uitgevers Groningen / Utrecht
Noordhoff Uitgevers bvOntwerp omslag: G K (Groningen-Amsterdam)Omslagillustratie: Unsplash - Alain Pham - Eventuele op- en aanmerkingen over deze of andere uitgaven kunt u richten aan:Noordhoff Uitgevers bv, Afdeling Hoger Onderwijs, Antwoordnummer , VBGroningen of via het contactformulier op www.mijnnoordhoff.nl.De informatie in deze uitgave is uitsluitend bedoeld als algemene informatie. Aandeze informatie kunt u geen rechten of aansprakelijkheid van de auteur(s), redactie ofuitgever ontlenen. / Noordhoff Uitgevers bv, Groningen/Utrecht, Nederland.Deze uitgave is beschermd op grond van het auteursrecht. Wanneer u (her)gebruikwilt maken van de informatie in deze uitgave, dient u vooraf schriftelijke toestemming te verkrijgen van Noordhoff Uitgevers bv. Meer informatie over collectieveregelingen voor het onderwijs is te vinden op www.onderwijsenauteursrecht.nl.This publication is protected by copyright. Prior written permission of NoordhoffUitgevers bv is required to (re)use the information in this publication.ISBN (ebook) - - - - ISBN - - - - NUR
Noordhoff Uitgevers bvVoorwoordDit uitwerkingenboek bevat de uitwerkingen van alle oefeningen enoefentoetsen bij deel B van de serie Wiskunde voor het hoger onderwijs.HoofdboekHet hoofdboek van de serie Wiskunde in het hoger onderwijs, deel B bevatde theorie en de oefeningen. De theorie wordt consequent gevolgd doorbijbehorende oefeningen. Dit maakt een zelfstandige en actieve maniervan studeren mogelijk.Sommige hoofdstukken bevatten een afsluitende paragraaf metToepassingen.Aan het eind van elk hoofdstuk staat een paragraaf Hoofdzaken. Daarinstaan de onderwerpen die aan het eind van het hoofdstuk paraat moetenzijn.Met een Toets over het hele hoofdstuk kan zelfstandig worden nagegaan inhoeverre de stof daadwerkelijk beheerst wordt.Ondersteuning met ICTDe inlogcode voorin het leerboek geeft toegang tot de websitewww.wiskundehodeelB.noordhoff.nl waarop extra oefeningen metantwoorden te vinden zijn. Deze extra stof is bedoeld om nog snel even teoefenen, bijvoorbeeld kort voor een tentamen.De serie Wiskunde voor het hoger onderwijsDe nieuwe serie Wiskunde voor het hoger onderwijs is opgebouwd uit dedelen A en B.Deel A is bestemd voor de overgang van havo/mbo naar het hbo en bevatelementaire wiskundige kennis en vaardigheden die nodig zijn om metsucces aan een studie op het hbo te beginnen.Deel B biedt, naast een uitbreiding van het wiskundige arsenaal, eensteviger wiskundige basis, uitgewerkt in praktische toepassingen.Gebruik van de computerVoorop staat telkens een begripsmatige beheersing van de stof, gecombineerd met een handmatige beheersing van de vaardigheden. Maar bij hetnumerieke werk is de inzet van de computer onontbeerlijk. Hierbij isgekozen voor de inzet van Excel als gebruikelijk rekenmiddel in het toekomstige beroep. Voor het laten tekenen van grafieken, in het vlak en in deruimte, is gekozen voor het programma WINPLOT. Dit is als sharewarevan het web te downloaden.
Noordhoff Uitgevers bvInhoud1Werken met vectoren . . . . . . . . . . Vectoren in R en R Bewerkingen met vectoren De vectorvoorstelling van een lijn De vectorvoorstelling van een vlak Lengte en inwendig product De hoek tussen twee vectoren Uitwendig product Toepassen: Uitwendig product Vectorfuncties Toepassen: Vectorfuncties Toets 2Matrices . . . . . . . Wat zijn matrices? Optellen en scalair vermenigvuldigen Matrices en vectoren Matrixvermenigvuldiging De inverse van een vierkante matrix Stelsels lineaire vergelijkingen oplossen Toepassen: Transformaties en matrices Toets 3Uitbreiding Functies . . . . . . . . . Samengestelde functies Inverse functies Formule van de inverse bepalen De inverse van de sinusfunctie De inverse van de cosinusfunctie De inverse van de tangensfunctie De e-macht en de natuurlijke logaritme De absolute waarde Toepassen Toets
Noordhoff Uitgevers bv4Functies van meer variabelen . . . . . . . . . z f(x,y) Partiële afgeleiden Hogere partiële afgeleiden Differentialen De totale differentiaal Raakvlak en stationair punt Extreme waarden Impliciete functies Toepassen: Niveaukrommen Toets 5Complexe getallen . . . . . . . . Het getal i Rekenen met complexe getallen Modulus, argument en poolvorm De exponentiële vorm Rekenen met de exponentiële vorm Machten en wortels Vergelijkingen Toepassen: trillingen als complexe functies Toets 6Limieten . . . . . . . . . . . Het begrip limiet Standaardlimieten gebruiken De insluitstelling en standaardlimieten Limieten voor x naar oneindig Oneindige limieten Dominante functies Limieten van rijen Meetkundige rijen Partiële sommen De som van een meetkundige rij Toepassen: financieel rekenen Toets 7Differentiëren . . . . . Rekenregels en standaardafgeleiden Tweede en hogere afgeleiden De stellingen van L’Hôpital De reeksen van Maclaurin en Taylor Toepassen: Kromming en kromtestraal Toets
Noordhoff Uitgevers bv8Kansverdelingen . . . . . . . . . Wat is kans? Eigenschappen van kansfuncties Rekenen met kansen Systematisch tellen Kansverdelingen Combinaties De binomiale verdeling De normale verdeling en de binomiale verdeling De Poissonverdeling Toets 9Statistisch toetsen . . . Rekenen met kansverdelingen De verdeling van de steekproefgemiddelden: de !n-wet Betrouwbaarheidsinterval voor het populatiegemiddeldegegeven de variantie Betrouwbaarheidsinterval voor het populatiegemiddelde bijonbekende verwachting en variantie Betrouwbaarheidsinterval voor de populatieproportie Het toetsen van een hypothese Toetsen van het gemiddelde Toets . . . . 10Primitiveren . . . . . . Rekenregels en standaardintegralen De substitutiemethode Partiële integratie Integreren van gebroken functies Integreren van gebroken functies Integralen van goniometrische functies Toets 11Differentiaalvergelijkingen . . . . . . . . Wat is een differentiaalvergelijking? Lijnelementen en richtingsvelden Scheiden van variabelen Lineaire differentiaalvergelijkingen Lineaire eigenschappen Variatie van constanten Integrerende factor Toepassen Toets
Noordhoff Uitgevers bv12Tweede orde homogene differentiaalvergelijkingen . . . . Tweede orde lineaire homogene differentiaalvergelijkingen Niet-homogene tweede orde lineaire differentiaalvergelijkingen Toepassen: de vrije harmonische trilling Toepassen: resonantie Toets 13De Laplace-transformatie . . . . . . . . Wat is de Laplace-transformatie? De inverse van de L-transformatie De L-transformatie en eerste orde differentiaalvergelijkingen De L-transformatie en tweede orde differentiaalvergelijkingen Heaviside-functies De deltafunctie De overdrachtsfunctie Harmonische trillingen met discontinue uitwendige kracht Toets 14Toepassingen integreren . . . . . . . . . . De bepaalde integraal Oneigenlijke integralen Het volume van een omwentelingslichaam De booglengte van een kromme Het zwaartepunt van een niet-homogene staaf Het zwaartepunt van een vlakke homogene plaat Arbeid bij een niet-constante kracht Som van de arbeid op meerdere delen van een systeem Hydrostatische kracht Vloeistofstroom en elektrische stroom Toets 15Numerieke methoden . . . . . . . . . . . . Nulpunt bepalen met de halveringsmethode Excel en de halveringsmethode Nulpunt bepalen met de Newton-Raphsonmethode Excel en Newton-Raphson Nulpunt bepalen met herhaalde substitutie Excel: herhaalde substitutie en de Oplosser Convergentie en foutenanalyse bij nulpunstbepaling Integreren met de trapeziumregel Integreren met de regel van Simpson Integreren van een tijdreeks De methode van Euler De methode van Heun Toets
10 Noordhoff Uitgevers bv
Noordhoff Uitgevers bv1111Werken met vectorenVectoren in R en R Bewerkingen met vectorenDe vectorvoorstelling van een lijnDe vectorvoorstelling van een vlakLengte en inwendig productDe hoek tussen twee vectorenUitwendig productToepassen: Uitwendig productVectorfunctiesToepassen: VectorfunctiesToets . . . . . . . . . . § 1.1Vectoren in R2 en R3 . ay3 a 3 2(( 11 12(( 2b 11012 1 12 1 2ub 2 a 2 a b ab a b12 123x
Noordhoff Uitgevers bv12cy3 a 2((–1111 4 3 2 10zelfde lengtetegengestelde richting1 1x2 b ((1–1 2 1 11ub a bd c 1 a 1 1 1 . 22 24ua 2 a 2 3 2 3 6 42 48 1 1 11uub c b 1 2 1 2 2 3 1 3 3 . a OB ligt in vierkant OABC,mat OC BC 5z DEOB OC CB 222OB "52 52 !50 5!2GFOCAx y Bb OF2 OB2 BF2 DFOF " ( 5!2 ) 5 !75 5!32255 3ÐBOF ?OB5 2c OBF ligt in rechthoek OBFD.51BF 1 !3sin ( FOB) FO 5!3 !3 3 FOB sin 1 ( 13 !3 ) 35,3 . xa Schrijf de vectoren in de vorm y ,z20 oftewel: OA 1 , OB 5 ,00 202 OC 4 , OD 0 , OE 1 ,0330 2 OF 5 , OG 4 33z D (0, 0, 3)GEFOx x A (2, 1, 0)Cy B(0, 5, 0)
WERKEN MET VECTOREN Noordhoff Uitgevers bv13 2 b EF: Coördinaten beginpunt is (2,1,3) met de kentallen 4 ;00 EA: Coördinaten beginpunt is (2,1,3) met de kentallen 0 ; 31 2 ED: Coördinaten beginpunt is (2,1,3) met de kentallen 1 ;00 DF: Coördinaten beginpunt is (0,0,3) met de kentallen 5 ;00 DB: Coördinaten beginpunt is (0,0,3) met de kentallen 5 30 Dc OS 12 OF 2 12 112F3S1 122 125O . a Zie figuur.Pijlen naar rechtsonder:het magnetische veld.Pijl naar linksboven:de stroomintensiteit.By((6 215(0, 5)resultaat4((31 321 3 2 10 1 2§ 1.2Bewerkingen met vectoren . 3 710 5 2 7 a a b1 34uu12345x
Noordhoff Uitgevers bv147 ( 2)9uub b c 2 4 2 3 ( 1)432 36uc 2a 2 5 2 5 10 12 1212 73 214 68 2 4 4 12 2316 d 2b 3c2 33 16 33u . 11 12 24 101uu1a a 12b 4c 4 1 2 0 4 1 0 01 12 14 6 25 12ub . u142 92 70 212612183 ( a 2b ) 2c 3 4 0 2 12 2 14 uuu211uuuuuua x y a y a x 1 0 1 10 1zb Zie figuur.321 3 2 11000y xx13 1 y . 3100ua 5 3 0 5 1 7 0 70011100ub 1 0 1 1 0 1001110010uc 0 0 0 1 1 0 0 1 0 100101 a
WERKEN MET VECTOREN Noordhoff Uitgevers bv15u . De resulterende kracht moet 0 zijn. Oftewel, F1 F2 F3 0 5 F3 F1 F2 5 . 1 . tanα ¾, dan cosα / en sinα / Fz kg kg x , m/s , kg m/s , NFN Fz1 147,15 cosα 147,15N 45 117,72NFz , sinsα , x / , .F W μ x F N / x , , .Fnetto N – , N – , N , N , kg m/s Fnetto m x a. Dan , kgm/s kg x a.Dus a , m/s .§ 1.31FN01913μ —Ng5kmFz2g 9,81 13Fw αFz1αFz4De vectorvoorstelling van een lijn . Ligt A(1,0) op l ?111Dan a b a b λ a b en dus 2011 1 λ en 0 2 λ; geen oplossing voor λ.110Als C(0, 3) op l dan a b a b λ a b 21 3en dus 0 1 λ en 3 2 λ; λ 1.y6E(( ((11 u 2 142BA 8 4 6 22046810x 2C(0, 3) ligt op l.C 4Alleen punt C ligt op l.D 67x 2 . a a b a b λ a b 33yx 37b a b a b λ a b 2y24( 2, 3)y3( 3, 2)21 3 20 1123 1 . a Zie figuur. u8b Richtingsvector AB r a b . 4c De vectorvoorstelling van l isx 28 22a b a b t a b a b t a b.y6 46 10 22d Er geldt: a b a b t a b .56 1Dus 0 2 2t en 5 6 t t 17A(5, 0)x564(4, 0)y65l43B21 3 2 1 01234567x
Noordhoff Uitgevers bv16 16 . lP a b tP a b en 22y14Q0 26l Q a b tQ a 1 b .472Dan geldt:321 2 6 tP 1 6tQ e4 7 12 tP 2 2tQ 2 10 1tP 23, tQ 12P0Snijpunt S(2, 1).1234P65S 2 3Q6 451 25 1 2λ . a a b a b λ a b e414 1 3λ3Geen oplossing voor λ.x5 2b m : a b a b μ a b.y43c Snijpunt n met l:u1 2λ 1 μλ 15 u. Snijpunt is ( 1 25, 25 ) .1 3λ μμ 25Snijpunt n met m is (5,4).§ 1.4De vectorvoorstelling van een vlak004 . a Kies als steunvector 0 en als richtingsvectoren 3 en 0 .021Dan vectorvoorstelling van het vlak00404 0 λ 3 μ 0 λ 3 μ 0 .02121z 4vlak V(0, 3, 2)3241—3—2—4002y 31—1 —1(0, 0, 0)0—21—3—1(4, 0, 1)2x 34x
WERKEN MET VECTOREN Noordhoff Uitgevers bv170011 1 1b 0 λ 1 μ 0 of 0 λ 1 μ 0 of011 1 10010 1 λ 1 μ 1 .100 . a Als P (2, 1, 56 ) in V ligt dan is er een μ en ρ zodanig dat er geldt:0302 3μμ 232 b ρ 12. 1 0 μ 0 ρ 2 b 1 2ρ55522 1 266 2 μ 2ρ6 2 3 1Dus P ligt niet in V .x004b Vectorvoorstelling V: y 0 λ 3 μ 0 . Als P ( 2, 1, 56 )z5 5 5in V ligt, dan vind je voor λ 13 en μ 12 . Er moetgelden 56 5 5 13 5 12 en dat klopt. Dus P ligt in V.λ 1 ρ . a Er geldt u λ μ ρ 31 λ μλ 23u μ 113 . Dan geldtρ 3213 1 23 en dus het snijpunt is ( 23, 23, 13 ) .1 13x03b Vectorvoorstelling l: y 2 λ 1 . Vectorvoorstellingz2 2x4 4 4378V: y 0 μ 3 ρ 0 . Snijpunt ( 1241 , 1 41 , 2 41 )z005x0 y 0 23z1x12x3 2 . a Vectorvoorstelling l: y 2 λ 0 of y 2 λ 0 .z3 2z12221Als P op l dan is er precies één λ met 2 2 λ 0 .Klopt, dan λ 12 . 223x013b Vectorvoorstelling V: y 2 μ 0 ρ 0 .z1201
Noordhoff Uitgevers bv18c Als Q niet op V ligt dan is er geen μ en geen ρ met 1130 1 2 μ 0 ρ 0 ofwel5120b1 1 μ 3ρ1 2 kan niet!5 1 2μx 113d Vectorvoorstelling is y 1 μ 0 ρ 0 .5z20§ 1.5Lengte en inwendig product1 1 . a 4 1 1 ( 1) 4 1 2 1 52110b 4 1 1 0 4 1 2 0 42010c 0 1 1 0 0 1 0 0 000 12d 3 3 1 2 3 ( 3) ( 2) 2520e 3 0 2 0 ( 3)51 5 21 0 5 1 500f 2 0 0 0 2 0 0 ( 3) 00 3 . abcd1 3 1 0 1 ( 3) 1 0 1 4 114161 9 1 0 40 10 16 1 40 ( 11) ( 8) 288112 8 2 3 1 9 2 ( 3) 1 ( 9) 5 3 1253 1 38 1 0 20 1 5 1 20 1 0 25 14 4
WERKEN MET VECTOREN Noordhoff Uitgevers bv1942240u 2 ; 1 2 0 . Bijvoorbeeld a 1 en b 233 20u . 0 a 0 "12 42 22 !211u0 b 0 "( 1) 2 12 12 !3u3uu 2 0 a b 0 "32 22 22 !17 . a b24 31uuuu2a 3b 2 9 11 0 2a 3b 0 "12 ( 11)2 92 !2036 39uu4 . ab 5 "42 (x 2)2 5 beide leden kwadraterenx 242 (x 2) 2 52 x2 4x 5 0 ontbinden in factoren(x 5)(x 1) 0, x1 5 of x2 1uu . a Neem aan dat a en b tweedimensionale vectoren zijn. Dan geldt:a b a1 b1 a2 b2 en b a b1 a1 b2 a2 a1 b1 a2 b2 a buuuuuub a (b c ) a1 (b1 c1 ) a2 (b2 c2 ) a1 b1 a1 c1 a2 b2 a2 c2uuuua b a c a1 b1 a2 b2 a1 c1 a2 c2.uuuOftewel a (b c ) a b a cuuc a ( b ) a1u§ 1.6uuuuuu ( b1 ) a2 ( b2 ) (a1 b1 a2 b2 ) a buuDe hoek tussen twee vectoren . Er geldt:cos (α) a b0a0 1 3 1 3 1 ( 1)uu0b0 cos (α) "( 1) 1 1 "3 3 ( 1)uDus de vectoren a en b staan niet loodrecht op elkaar.u u2222ua b0a0ua a 5 a 6 1uu . Er geldt: cos (α) 2 0b0u 0 "a 52 622 "a2 a2 12a2 5a 6"a2 61 "2a2 1Dus de teller is gelijk aan : a2 5a 6 0 (a 3)(a 2) 0 a 3 of a 22 1!57 0
Noordhoff Uitgevers bv20a . Stel de vector is b , dan moet a b c en a c .c1 a –c , a 12c en –c b c b c en dus b c.a 12cDe vector b die voldoet is gelijk aan c . Kies bijvoorbeeld c 2,cc 1dan voldoet 2 aan de voorwaarden.2uu . Neem aan dat a en b tweedimensionale vectoren zijn.u uuuu (a,b) is de hoek tussen a en buauuu b a1b1 a2b2u0 (a,b) 90 uucos(00) 1 a (a,b) 0 u b ?uu (a,b) 180 a b (a1b1 a2b2)u . Er geldt:a bucos(α) α 0a0u1 ( 2) 2 1 ( 1)u 0b0u cos(α) "1 2 ( 1)222 "( 2)2 ( 1) 1 ( 1)22 16( ) 1,40 rad.cos 1 161 u2 u 1u . a s 1 a b, s 2 a b , s 1 a b 11 2i F s 1 F s 2 F s 3 4 Nm.2b De vector langs de kortste weg van O naar A is a b 212a b a b 2 2 4 Nm. Dus de arbeid van een kracht langs de 1 2som van wegen om van O naar A te komen is gelijk aan de arbeidvan die kracht langs de kortste weg OA. 11 u4 . Met bijvoorbeeld F a 2b , s a b en scherpe hoek , o:1 1W is positief, zie figuur. 21uMet bijvoorbeeld F a b en s a b en rechte hoek o: W is nul.2 1
WERKEN MET VECTOREN Noordhoff Uitgevers bv 1 13uMet bijvoorbeeld F a 1 2 b en s a b en1 2 !30stompe hoek o: W is negatief.y5( (1 F 1214321 47,73 A1 s 1§ 1.710234Uitwendig product4 2uu . a a b 6 21 1 6 121 2 14 4 2 9 105 9uuub (a b ) (3c ) 5 6 8 0 89 1 6 1 20 2uuuc ( a 2c ) ( b ) 0 1 12 212 2 1 1 8 693 1 9 9 65 0 u12 1 12 1 2 26 0 2 1 2 28 13uuud (2a ) ( b 5c ) 8 11 12 2 122 1113100 0uu . a e 1 e 2 0 1 0 0001 1 12 112362 13 2 8 2380 10u1 0 0 e 3,0 01ude vector die loodrecht staat op e 1 en e 2.001 1uub e 2 e 3 1 0 0 0010 0010 0uuc e 3 e 1 0 0 1 1100 0 101 1uuud (e 1 e 2) e 3 1 0 0 0011 00 01u0 1 0 e 11 001 00u0 0 1 e 20 10 a1p a1p a2 a3uu . a a a a2 p a2 p a3 a1a3p a3p a1 a20 011 1 1 1 00 21p a3 a20up a1 a3 0 0p a2 a10( (4–15B67x
Noordhoff Uitgevers bv22a2b3 a3b2 b2a3uuuub a b a3b1 a1b3 en b a b3a1a1b2 a2b1 b1a2 b3a2 b1a3 b2a1a2b3 a3b2 a3b1 a1b3 a1b2 a2b11uuuuDus a b b ab1 a1c1 a1u u . a ABin R2 b a; in R3 b2 a2 en AC c2 a2 .00b1 a1c1 a1b b2 a2 c2 a2 00 (b2 a2 ) 00 (c1 a1 )(b1 a1 ) (c2 a2 ) 0 (c2 a2 )(b1 a1 ) 0 (b2 a2 ) (c1 a1 )00(c2 a2 ) (b2 a2 )(c1 a1 ) AB en AC in elkaars verlengde, dus C ligt op de lijn door A en B,zie oefening a.d Als (b1 a1 ) (c2 a2 ) (b2 a2 ) (c1 a1 ) 0 dan draait dekurkentrekker linksom. AB AC wijst in depositieve z-richting,zie figuur. C ligt danrechts van de lijn doorA en B.z plaatsvector AB ACe Als (b1 a1 ) (c2 a2 ) (b2 a2 ) (c1 a1 ) 0 wijst AB AC in denegatieve z-richtingen moet C links van delijn door A en B liggen.§ 1.8 Als (b1 a1 ) (c2 a2 ) (b2 a2 ) (c1 a1 ) 0, dan liggen(b1 a1 )c y A (a1, a2) B (b , b )1 2C (c1, c2)x Toepassen: Uitwendig product 1 115 1iiuu . r 5 . M r F 5 2 3 133 1 1 2 3 21 1 1 2 5 1 3
WERKEN MET VECTOREN Noordhoff Uitgevers bv23 . a OS "42 32 !25 542000125!35 400 320iiiiF1 0 , F2 300 , F3 35 400 240 , F4 125 .00004420000iiiuur 3 , M1 r F1 3 0 0 , M2 0 ,000 600120000y iiM3 0 en M4 0 .0 500 375!3F2 300 N100F3N 4SF1 200 N3mF4O44200000iiib r 0 , M1 0 0 0 , M2 0 , M3 0 ,000012009600iM4 0 500 FNZdraai-asb 0 F 0 h 0 I 0 0 b 0 sin(α)c De Lorentzkrachten staan verticaal en zijn tegengesteld gericht.De Lorentzkracht op de bovenkant van het spoeltje wijs
De serie Wiskunde voor het hoger onderwijs De nieuwe serie Wiskunde voor het hoger onderwijs is opgebouwd uit de delen A en B. Deel A is bestemd voor de overgang van havo/mbo naar het hbo en bevat elementaire wiskundige kennis en vaardigheden die nodig zijn om met succes aan een studie op het hbo te beginnen. Deel B biedt, naast een uitbreiding .
Deel 4 Lettere en Sosiale Wetenskappe Deel 5 Natuurwetenskappe Deel 6 Opvoedkunde Deel 7 AgriWetenskappe Deel 8 Regsgeleerdheid Deel 9 Teologie Deel 10 Ekonomiese en Bestuurswetenskappe Deel 11 Ingenieurswese Deel 12 Geneeskunde en Gesondheidswetenskappe Deel 13 Krygskunde (Slegs in Engels beskikbaar)
Voor je ligt het Examenreglement voor het schooljaar 2018-2019 voor het vmbo. Het eindexamen voor het vmbo begint in het derde leerjaar. Het eindexamen bestaat uit een schoolexamen (SE), een rekentoets en een centraal examen (CE). In dit document vind je het examenreglement dat onze Scholengroep hanteert bij het afnemen van het eindexamen.
voor taal (Inspectie van het Onderwijs, 2007b) en één voor rekenen-wiskunde. Het voorliggende rapport betreft het onderzoek naar rekenen-wiskunde. De drie centrale vragen van het onderzoeksprogramma voor 2007 zijn als volgt geformuleerd: 1. Hoe presteren Nederlandse scholen voor basisonderwijs, voortgezet onderwijs
Dit eerste deel van Wiskunde voor het Hoger Technisch Onderwijs biedt deze benodigde hulp door bepaalde gebieden van de elementaire wiskunde te behandelen, en slaat op die manier een brug tussen het voortgezet en het hoger onderwijs. Deze opzet heeft zich in de voorgaande jaren bewezen.
De omvang van het vak wiskunde A is voor de havo 320 SLU. Hiervan beslaat het in deze syllabus gespecificeerde CE-deel ongeveer 60%. 1.2 Het centraal examen wiskunde A In bijlage 2 is een lijst opgenomen van de specifieke betekenissen van de in het centraal examen gebruikte examenwerkwoorden voor alle wiskundevakken havo/vwo met een centraal .
Peiling wiskunde 2018 s.o. 1A 2 wiskundige docent wiskunde in het hoger onderwijs serviceonderwijs wiskunde in economische en biomedische bacheloropleidingen vakdidactiek wiskunde in lerarenopleiding voor masters betrokken bij de peiling feedback bij het opstellen van de toetsen deelgenomen aan het resonantiegesprek met leerlingen,
Wiskunde voor bedrijfseconomen is bestemd voor gebruik bij het vak wiskunde in het universitair economisch onderwijs. Dit boek brengt de economiestudent niet alleen wiskunde bij als basiskennis, maar laat ook toepassingen zien. Onderwerpen als consumentengedrag, voorraadmanagement, optimalisatie portfolioselectie worden vanuit een
An Introduction to Description Logics Daniele Nardi Ronald J. Brachman Abstract This introduction presents the main motivations for the development of Description Logics (DL) as a formalism for representing knowledge, as well as some important basic notions underlying all systems that have been created in the DL tradition. In addition, we provide the reader with an overview of the entire book .
