RELACIÓN ENTRE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN F Y LA DE

RELACIÓN ENTRE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN f y LA DE SU INVERSA f-1Sabemos que la función inversa f 1(o recíproca) de f cumple la siguiente condición:Si f a b , entonces f 1 b affx f x x es decir , f 1 f x x 1Por lo tanto: ffx f 1 x x es decir , f f 1 x x 1Las gráficas de f y de f-1 son simétricas respecto de la recta y x que es labisectriz del primer-tercer cuadrante, ya que:Si f a b , entonces f 1 b aPor tanto un punto (a,b) de la gráfica de fse corresponderá con el punto (b,a) de lagráfica de f-1. Para que una función tenga inversa ha deser inyectiva, es decir, cada valor de y hade corresponder a un único valor de x :Si f x1 f x2 x1 x2Si no es así, ha de descomponerse en tramos en que sea inyectiva, cada uno delos cuales tendrá su función inversa.Por ejemplo, como y x 2 no es inyectiva, para hallar su inversa procedemos así: y f1 x x 2 , x 0 f1 1 x xy f x x 2 1 y f 2 x x , x 0 f 2 x x21

1. FUNCIONES POTENCIALES DE EXPONENTE NATURAL( )f(x) x2 f(x) x4parábola Su dominio es D(f) R al ser polinómicas.Su gráfica es muy parecida a la de una parábola.Presentan simetría par (simétricas respecto del eje deordenadas) f ( x) f (x)f ( x) (-x)n xn f (x) con n parEstán acotadas inferiormente: f(x) K (K 0) Su imagen es Im( f ) 0, Son funciones continuas en su dominio.f(x) x6( )f(x) x3 f(x) x5f(x) x7Su dominio es D(f) R al ser polinómicas. Son funciones continuas.Presentan simetría impar (simétricas respecto del origen) f ( x) - f (x)f ( x) (-x)n - xn - f (x) con n imparNo están acotadas ni superior ni inferiormente.Su imagen es Im(f ) R 2

2. FUNCIONES POTENCIALES DE EXPONENTE ENTERO NEGATIVO( )( ) ( )Su dominio es D(f) R 0 Son funciones continuas en su dominio de definición. Presentan simetría impar f ( x) f (x) (simétricas respecto del origen decoordenadas) f ( x) ( f (x) n impar) ()()} No están acotadas ni superior ni inferiormente. Su imagen es Im(f) R 0 El caso particular( )es una hipérbola equilátera.3

( )( )( ) Su dominio es D(f) R 0 Son funciones continuas en D(f) Presentan simetría par (simétricas respecto del eje de ordenadas) f ( x) f (x) f ( x) (f (x) n par) () Están acotadas inferiormente: f(x) K (K 0) Su imagen es Im(f) 0, 3. FUNCIONES POTENCIALES DE EXPONENTE RACIONAL POSITIVO( )( ) D(f) R Acotada inferiormente:f(x) 0( ) D(f) RNo acotada.Im(f) 0, Im(f) R( ) D(f) R Acotada inferiormente:f(x) 0Im(f) 0, 4

Las gráficas de f y de f-1 son simétricas respecto de la recta y x5

4. FUNCIÓN HOMOGRÁFICA (LA HIPÉRBOLA)( ) Su dominio es ( ){}. Son continuas en su dominio ( ) No están acotadas ni superior ni inferiormente. Su imagen es Im(f) { }Deduce la expresión de f y fe f-1, y Dibuja la gráfica de su inversa:6

5. FUNCIÓN EXPONENCIAL( )() Su dominio es D(f) R.Son funciones continuas en su dominio. Su imagen es Im(f) 0, ya que ax 0) Todas pasan por el punto (0,1) ya que f(0) a0 1La función exponencial es siempre estrictamente creciente o decreciente segúnel valor de a: Si 0 a 1 se tiene que:} Si a 1 se tiene que:} La función exponencial está acotada inferiormente por 0, pues f(x) 0, pero noestá acotada superiormente. Las gráficas son:( )()( )()7

Ejercicios:8

6. FUNCIÓN LOGARÍTMICADefinición de logaritmo de un número b 0:Cuando la base del logaritmo es el “número e ” se denomina logaritmo neperiano y seescribe: ( ( ))( )( )( )( ) Ejercicios:9

( )La función logaritmo:( Su dominio D(f) R .Son funciones continuas en su dominio.Todas pasan por el punto (1,0), ya que f(1) Su imagen es Im(f) R Si 0 a 1 se tiene que:) 0La función logaritmo es estrictamente decreciente} Si a 1 se tiene que:La función logaritmo es estrictamente creciente} La función logaritmo no está acotada ni superior ni inferiormente.La función logaritmo es continua en su dominio.Las gráficas son:( )()( )()10

Las gráficas de f y de f-1 son simétricas respecto de la recta y x11

7. FUNCIONES CIRCULARES( ) La función asocia a cada nº real “x” el seno del ángulo cuya medida en radianeses “x”. El dominio D(f) R. Son funciones continuas en su dominio de definición. El conjunto imagen Im(f) [-1, 1]. Tiene simetría impar f( - x) - f(x) f( - x) sen(-x) - sen(x) - f(x) Es periódica de periodo 2 sen(x 2 sen(x) luego para estudiar el comportamiento de la funciónbasta hacerlo en el intervalo [0, 2 en donde se comporta así:o Es positiva en (0, y negativa en 2 o Es estrictamente creciente en ⌊o Es estrictamente decreciente en ⌊ ⌋⌊⌋⌋Se anula en los puntos x k con ksen(x) 0 cuando x k con k Presenta máximos en x y mínimos en x 12

( ) La función asocia a cada nº real “x” el coseno del ángulo cuya medida enradianes es “x”. El dominio D(f) R. Son funciones continuas en su dominio de definición. El conjunto imagen Im(f) [-1, 1]. Tiene simetría par f( - x) f(x) f( - x) cos(-x) cos(x) f(x) Es periódica de periodo 2 cos(x 2 cos(x) luego para estudiar el comportamiento de la funciónbasta hacerlo en el intervalo [0, 2 en donde se comporta así:o Es positiva en (0, () y negativa en o Es estrictamente creciente en ⌊o Es estrictamente decreciente en ⌊ ⌋⌋Se anula en los puntos x k con kcos(x) 0 cuando x k con k Presenta máximos en x y mínimos en x 13

( ) La función asocia a cada nº real “x” la tangente del ángulo cuya medida enradianes es “x”. Como la función tangente viene dada por el cociente( )( )( )eldominio de la función será el formado por todos los números reales exceptoaquellos en los que se anula el denominador. Son funciones continuas en su dominio de definición.El conjunto imagen Im(f) R.Tiene simetría impar f( - x) - f(x) f( - x) tan(-x) - tan(x) - f(x) Es periódica de periodo ()( )()( ) luego para estudiar el()( )comportamiento de la función bastaría hacerlo en el intervalo [0, perovamos a describirla también en [0, 2 donde se comporta así:o Es positiva en (0, () y negativa en () o Es estrictamente creciente en su dominio.o Es continua en su dominio y presenta discontinuidades de salto infinitoen los puntos de la forma( ) ( )Se anula en los puntos x k con kLa función tangente no presenta ni máximos ni mínimos.14

( ) La función asocia a cada nº real “x” la cotangente del ángulo cuya medida enradianes es “x”.( )( )Como la función cotangente viene dada por el cocienteel( )dominio de la función será el formado por todos los números reales exceptoaquellos en los que se anula el denominador. Son funciones continuas en su dominio de definición.El conjunto imagen Im(f) R.Tiene simetría impar f( - x) - f(x) f( - x) cotan(-x) - cotan(x) - f(x) Es periódica de periodo ()( )()( ) luego para estudiar el()( )comportamiento de la función bastaría hacerlo en el intervalo [0, perovamos a describirla también en [0, 2 donde se comporta así:o Es positiva en (0, () y negativa en () o Es estrictamente decreciente en su dominio.o Es continua en su dominio y presenta discontinuidades de salto infinitoen los puntos de la forma( ) ( )Se anula en los puntos x con kLa función cotangente no presenta ni máximos ni mínimos.15

( ) La función asocia a cada nº real “x” la cosecante del ángulo cuya medida enradianes es “x”.( )Como la función cosecante viene dada por el cocienteel( )dominio de la función será el formado por todos los números reales exceptoaquellos en los que se anula el denominador. Son funciones continuas en su dominio de definición.]El conjunto imagen Im(f) ()Tiene simetría impar f( - x) - f(x) f( - x) cosec(-x) - cosec(x) - f(x) Es periódica de periodo 2 ()( ) luego para estudiar el()( )comportamiento de la función bastaría hacerlo en el intervalo [0, 2 :o La función cosecante tiene el mismo signo que la función seno.o Es continua en su dominio y presenta discontinuidades de salto infinitoen los puntos de la forma( ) La función cosecante no se anula en ningún punto.La función cosecante presenta un máximo en.( )mínimo en16

( ) La función asocia a cada nº real “x” la secante del ángulo cuya medida enradianes es “x”.( )Como la función secante viene dada por el cocienteel dominio( )de la función será el formado por todos los números reales excepto aquellos enlos que se anula el denominador. Son funciones continuas en su dominio de definición.]El conjunto imagen Im(f) ()Tiene simetría par f( - x) f(x) f( - x) sec(-x) sec(x) f(x) Es periódica de periodo 2 ()( ) luego para estudiar el()( )comportamiento de la función bastaría hacerlo en el intervalo [0, 2 :o La función secante tiene el mismo signo que la función coseno.o Es continua en su dominio y presenta discontinuidades de salto infinitoen los puntos de la forma( ) La función secante no se anula en ningún punto.La función secante presenta un máximo enen( )mínimo eny17

8. FUNCIONES INVERSAS DE LAS CIRCULARESFUNCIÓN ARCOSENO( )18

FUNCIÓN ARCOCOSENO( )19

FUNCIÓN ARCOTANGENTE( )( )( )20

9. FUNCIÓN PARTE ENTERA ( )Es la función f (x) E(x) mayor de todos los enteros menores o iguales a x.Su dominio es D(f) R.Así, unos ejemplos de valores:o E(2’3) 2 E(0’45) 0o E(7) 7 E(-8) -8o E(-1’3) -2E(-5,2) -6Su representación gráfica es parecida a una escalera:Su conjunto imagen Im(E(x)) Z10. FUNCIÓN PARTE DECIMAL ( )( )( )Se define como Dec(x) x - E(x).Su dominio es todo RAlgunos ejemplos de valores:o Dec(2’1) x - E(x) 2’1 - E(2’1) 2’1 – 2 0’1o Dec (8’4) x - E(x) 8’4 - E(8’4) 8’4 – 8 0,4o Dec (5) x - E(x) 5 – 5 0o Dec (-2) x - E(x) -2 – (-2) 0o Dec (-7,8) x - E(x) -7,8 - E(-7,8) -7,8 – (-8) 0,2o Dec (-12,3) x - E(x) -12,3 - E(-12,3) -12,3 – (-13) 0,7Su dominio es D(f) REl conjunto imagen Im(f) [0, 1)21

Las gráficas de f y de f-1 son simétricas respecto de la recta y x que es la bisectriz del primer-tercer cuadrante, ya que: Si , entonces Por tanto un punto (a,b) de la gráfica de f se corresponderá con el punto (b,a) de la gráfica de f-1. Para que una función tenga inversa ha de se