9 Funciones

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9FuncionesACTIVIDADES INICIALES9.I.Busca en internet cuáles son los precios que reciben los agricultores y ganaderos porcinco alimentos básicos, por ejemplo, leche, arroz, huevos, patatas y plátanos. Despuéscompáralos con los que tú pagas en tu tienda habitual. ¿Cuáles son las diferenciasabsolutas y relativas? ¿Qué concluyes?Respuesta personal9.II.Los productos del comercio justo suelen ser un poco más caros que los habituales. ¿Porqué crees que ocurre esto?Respuesta personal9.III. Pon en común con tus compañeros tus respuestas a las preguntas anteriores y debatidlos resultados en clase.Respuesta personalACTIVIDADES PROPUESTAS9.1.Señala cuáles son los conjuntos inicial y final en las siguientes correspondencias,indicando además con cuántos elementos del conjunto final se relaciona cada elementodel inicial y viceversa.a) A cada automóvil, su número de matrícula.b) A cada alumno de 3.º,sus compañeros de clase.c) A cada número racional, su fracción irreducible.d) A cada hora del día, su temperatura.e) A cada persona, su nombre.a) Conjunto inicial: automóviles; conjunto final: números de matrícula.Cada elemento del conjunto inicial se relaciona con un solo elemento del conjunto final.b) Conjunto inicial y conjunto final: alumnos de 3.º Cada elemento del conjunto inicial serelaciona con todos los elementos del conjunto final excepto él mismo.c) Conjunto inicial: números racionales; conjunto final: fracciones.Cada elemento del conjunto inicial se relaciona con un elemento del conjunto final. Distintosnúmeros racionales pueden tener la misma fracción irreducible.d) Conjunto inicial: horas del día; conjunto final: temperatura.Cada hora del día se relaciona con su temperatura. En varios momentos del día se puedehaber alcanzado la misma temperatura.e) Conjunto inicial: personas; conjunto final: nombres.Cada persona se relaciona con su nombre. Puede haber varias personas que se llamen igual.18Unidad 9 Funciones

9.2.Un kilogramo de azúcar cuesta 1,10 euros. Completa la siguiente tabla que relaciona lasmagnitudes número de kilogramos y precio.N.º de kilogramosPrecio 9.3.22,20101155,502022Expresa el volumen de un cubo en función de su arista.V a39.4.Actividad resuelta.9.5.Actividad resuelta.9.6.Indica si estas gráficas son funciones y, en caso afirmativo, halla su dominio y recorrido.YY11OX1OX1a) Sí es función. Dominio: [–2, 4]. Recorrido: [–2, 2].b) No es función porque en (3, 4) toma más de un valor.9.7.En algunos países se utilizan las pulgadas para expresar longitudes. Para pasar decentímetros a pulgadas se multiplica por 2 y se divide por 5.a) ¿Es una función la relación entre los centímetros y las pulgadas?b) Forma una tabla, representa la gráfica y expresa la fórmula.a) Sí, porque para un valor en pulgadas existe un único valor en centímetros.b)x (cm)f(x)(pulgadas)0012254552Y10La fórmula que expresa la función es: f ( x ) 9.8.9.9.1X2x5Actividad interactivaActividad resuelta9.10. Estudia si son continuas estas funciones y, en caso negativo, indica sus puntos dediscontinuidad.a)Yb)1Oa) SíY11XO1Xb) No. Punto de discontinuidad x 1Unidad 9 Funciones19

9.11. Señala los puntos de discontinuidad.Yb)Y11OX1Oa) x –3, x 1X1b) x 09.12. Actividad interactiva9.13. Actividad resuelta9.14. Halla la tasa de variación de estas funciones en el intervalo [–2, 3].a)b)YY11OOX1a) TV [–2, 3] f(3) – f(–2) 4 – (–1) 5X1b) TV [–2, 3] f(3) – f(–2) –2 – (–1) –19.15. (TIC) Para las funciones siguientes, halla la tasa de variación en los intervalos[0, 1] y [3, 4].a) f(x) 5b) f(x) 2x 3c) f(x) x³a) TV [0, 1] f(1) – f(0) 5 – 5 0, TV [3, 4] f(4) – f(3) 5 – 5 0b) TV [0, 1] f(1) – f(0) 5 – 3 2, TV [3, 4] f(4) – f(3) 11 – 9 2c) TV [0, 1] f(1) – f(0) 1 – 0 1, TV [3, 4] f(4) – f(3) 64 – 27 379.16. Pon un ejemplo de una función:a) Con tasa de variación nula en cualquier intervalo.b) Con tasa de variación constante y negativa.c) Con tasa de variación constante y positiva.a)b)Yc)Y101020Unidad 9 Funciones1XY11X01X

9.17. Di si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, y justifica tus respuestas conejemplos.a) Una función no puede tener una tasa de variación no constante y siempre negativa.b) Una función puede tener tasa de variación nula en un intervalo y no ser constante.a) Falsa. Por ejemplo, x 3 tiene una tasa de variación no constante y siempre negativa.b) Verdadera. Por ejemplo, la siguiente función en el intervalo [1, 3].Y1O3X19.18. Actividad interactiva9.19. Actividad resuelta9.20. Analiza el crecimiento o decrecimiento de esta función en el intervalo [–3, –1] y [0, 1]YEn el intervalo [–3, –1] es crecientey en [0, 1] es decreciente.1O1X9.21. Indica dónde crece o decrece la siguiente función y la posición de sus máximos ymínimos.YCrece: ( 5, 2 ) ( 6, ) .Decrece: ( , 5 ) ( 2,6 ) .Máximo: ( 2,4 )1O1XMínimos: ( 6,1) , ( 5, 3 )9.22. Halla los máximos y mínimos de la función.Y10O1XMáximos relativos: (–1, 40), (3, 30), (6, 50). Máximo absoluto: (6, 50)Mínimos relativos: (1, 10), (4, 20), (8, 0). Mínimo absoluto: (8, 0)Unidad 9 Funciones21

9.23. Dibuja una función continua con un máximo en el punto (2, 1) y un mínimo en (5, 6).Y(5, 6)(2, 1)1OX19.24. Representa una función continua que tenga:- Un máximo en el punto (–2, 1).- Un mínimo en el punto de abscisa x 0.- Un máximo absoluto en el punto x 2.- Sin mínimo absoluto.Y(2, 2)(–2,1)1O 1(0,–1)X9.25. Actividad interactiva9.26. Indica si estas funciones son simétricas. Razona tu respuesta.a) Sí, es simétrica respecto al origen.b) Sí, es simétrica respecto al eje de ordenadas.YYOXOX9.27. Estudia si esta función es periódica y, en su caso, halla su período.YEs periódica, con período 5.1O22Unidad 9 Funciones1X

EJERCICIOSCorrespondencias9.28. En las siguientes correspondencias, señala los conjuntos inicial y final e indica concuántos elementos del conjunto inicial se relaciona cada elemento del conjunto final yviceversa.a) A cada montaña, su altitud.c) A cada número positivo, su doble más tres.b) A cada nombre, su primer apellido.d) A cada número real, su número inverso.a) Conjunto inicial: montañas; conjunto final: altitudes. Cada elemento del conjunto inicial serelaciona con uno solo del conjunto final. Distintas montañas pueden tener la misma altitud.b) Conjunto inicial: nombres; conjunto final: apellidos. Cada elemento del conjunto inicial puederelacionarse con varios elementos del conjunto final y viceversa. Al mismo nombre le puedencorresponder distinto primer apellido.c) Conjunto inicial: números positivos; conjunto final: números positivos. Cada elemento delconjunto inicial se relaciona con uno solo del conjunto final.d) Conjunto inicial: números reales; conjunto final: números reales. Cada elemento del conjuntoinicial se relaciona con uno solo del conjunto final.9.29. ¿Qué dos magnitudes están relacionadas en cada una de estas fórmulas?a) L 2π · rb) A π · r2c) A l2a) La longitud de la circunferencia y su radio.b) El área del círculo y su radio.c) El área del cuadrado y su lado.Altura (m)9.30. La gráfica muestra el perfil de una etapa de una vuelta ciclista.50Distancia (km)10Razona cómo sería la gráfica de la velocidad en función del espacio.Velocidad (km/h)Y1005010O1050100150Distancia (km)200X9.31. Escribe la fórmula que convierte hectómetros en decámetros y a la inversa. Indica encada caso cuáles son las variables dependiente e independiente.Paso de hm a dam: 1 hm 10 damVariable independiente: hm; variable dependiente: damPaso de dam a hm: 1 dam 1hm10Variable independiente: dam; variable dependiente: hmUnidad 9 Funciones23

9.32. Halla la fórmula que permite obtener el área de un triángulo isósceles de lados 3, 3 y x,en función del lado desigual.Base Altura x h 22Aplicamos el teorema de Pitágoras a cualquiera delos dos triángulos rectángulos que se obtienen altrazar la altura desde el vértice que une los ladosiguales:Atriángulo 2x2 x 3 2 h 2 9 h 2 h 4 2 336 x 22Con lo que el área buscada es: Atriángulo x 3hx36 x 2x 36 x 22 .24Funciones. Dominio y recorrido9.33. ¿Cuáles de estas relaciones correspondencias son funciones?a) A cada número sus divisores.b) A cada persona, el día de su nacimiento.c) A cada persona, el nombre de sus hijos.d) A cada hijo, el nombre de su padre.e) A cada número, su raíz cúbica.Son funciones b, d y e.9.34. Analiza si estas tablas corresponden a funciones. Justifica tu respuesta.a)xy1323 b)xy–1146–234328512023 5a) Sí es una función porque a cada valor de x le corresponde un único valor de y.b) Sí es una función porque a cada valor de x le corresponde un único valor de y(al valor 24Unidad 9 Funciones21 le corresponde el valor 5).84

9.35. Di si las siguientes gráficas son funciones y, en su caso, indica su dominio y surecorrido.a)Y1Ob)X1c)YOXYOX 5 5 a) Sí es una función. Dominio 0, [ 4,7 ) ; recorrido 1, {3} . 2 2 b) Sí es una función. Dominio ( , ) ; recorrido ( , 4] .c) No es una función porque, por ejemplo, al valor x 0 le corresponden dos valores de y: 2 y –2.Continuidad y variación de una función9.36. Estudia la continuidad de la siguiente función.Continua en ( , 2 ) ( 2, 4 ) ( 4, ) ;Ydiscontinua en {2, 4}1OX19.37. Calcula la tasa de variación de la función en estos intervalos.a) [–3, –2]b) [–2, 0]c) [3, 4]Y1O1Xa) TV [–3, –2] f(–2) – f(–3) 4 – 2 2b) TV [–2, 0] f(0) – f(–2) 4 – 4 0c) TV [3, 4] f(4) – f(3) 0 – 3 –3Unidad 9 Funciones25

9.38. Observa esta función y contesta.Y1OX1a) Dominio y recorrido.b) Calcula f(–4), f(4) y f(8).c) Intervalos de continuidad y discontinuidad.d) Tasa de variación en [–4, –2], [0, 3] y [6, 8].a) Dominio: (–7, 10]; recorrido: [–3, 6]b) f(–4) 2; f(4) 4, y f(8) 1c) Intervalos de continuidad: (–7, 3) (3, 8) (8, 10). Las discontinuidades están en x 3 yx 8.d) TV [ 4, 2] 0 2 2 ; TV [0, 3] 2 ( 3) 5 ; TV [ 6, 8 ] 1 6 59.39. ¿Cuál de las siguientes funciones tiene la tasa de variación mayor en el intervalo [0,a) y x2f(0)1f( )4TasaEn decimalesb) y 2xy x201161160,0625c) y 2x1]?4y 2x1y 2x012120,5420,1890,189La mayor tasa la tiene la función y 2x.9.40. Une cada función con su tasa de variación en el intervalo [–1, 3].Funcióny x2 3TV2y x 1y 2 x 48–89.41. Si se establece la relación “A cada número le corresponden sus factores primos”, ¿cuálha de ser su dominio para que sea una función?El dominio de la función tendría que ser el conjunto de los números primos.26Unidad 9 Funciones

Crecimiento. Máximos y mínimos9.42. Indica los intervalos donde la función es creciente, constante y decreciente.YCreciente: [–3, 0) (8, 13)Constante: (0, 5)Decreciente: (5, 8)1OX19.43. Una función viene dada por esta gráfica.Y1OX1a) Indica los intervalos donde la función es creciente, constante o decreciente.b) ¿Qué signo tiene la tasa de variación en los intervalos [2, 3], [6, 10] y [–4, –1]?a) Crece en ( 6, ) ; decrece en ( ,1) ; es constante en (1, 6).b) La tasa en [ 2,3] es igual a 0; en [ 6,10] es positiva, y en [ 4, 1] es negativa.9.44. Observa esta función e indica cuáles son sus máximos y mínimos en el intervalo [–2, 2].¿Son absolutos o relativos?Y1O1XMáximo en (1, 1) y mínimo en (–1, –1). Son absolutos y relativos.9.45. Representa la gráfica de una función continua con un máximo absoluto en (–3, 4), unmáximo relativo en (0, 3), un mínimo absoluto en (2, –3) y un mínimo relativo en (2, –3).Y1O1XUnidad 9 Funciones27

9.46. ¿Dónde alcanzará los máximos y los mínimos una función continua que crece en losintervalos (– ,–5) y (–2, 4), y decrece en los intervalos (–5, –2) y (4, )?Alcanza un máximo en x –5 y otro en x 4.Alcanza un mínimo en x –2.9.47. ¿Puede existir un mínimo con ordenada mayor que la ordenada en un máximo? ¿Y unmáximo con ordenada menor que la ordenada en un mínimo? Dibuja las situacionesanteriores con gráficas de funciones.Sí, ambas situaciones son posibles, como se ve en la gráfica de esta función.YOXSimetría y periodicidad9.48. (TIC) Copia y completa la gráfica de la siguiente función para que tenga simetría:a) Parb) ImparYOXa)OYb)YXO9.49. Indica la simetría de estas funciones.a)YOb)Xa) Simétrica respecto al eje Y.28Unidad 9 FuncionesYOXb) Simétrica respecto al origenX

9.50. (TIC) Indica si estas funciones son pares o impares.1xx2b) g ( x ) 2c) h ( x ) 4a) f ( x ) xx 1x 11a) Impar. f ( x ) f ( x ) x xxb) Impar. g ( x ) 2 g ( x )2( x ) 1 x 1( x )h( x ) 4( x ) 12c) Par.x2 h( x )x4 19.51. *Completa la tabla de esta función, sabiendo que tiene simetría impar.x–3y122–500–235 2551–2–779.52. Analiza la siguiente gráfica de una función y señala si es periódica o no. En casoafirmativo, halla su período.Y1O1XEs periódica, con período 6.9.53. Halla el valor de la siguiente función periódica en estos puntos.a) 17b) –6c) –34d) 121Y1Oa) f (17 ) 2X1b) f ( 6 ) 1c) f ( 34 ) 1d) f (121) 2Unidad 9 Funciones29

9.54. Observa la gráfica y estudia las siguientes propiedades.Y1O1Xa) Dominio y recorrido.b) Intervalos de continuidad y discontinuidades.c) Tasa de variación en [–5, –3], [–2, 0] y [4, 5].d) Crecimiento y decrecimiento.e) Máximos y mínimos absolutos y relativos.f) Simetría.a) Dom [–8, 8]. Rec [–2, 5]b) Es continua en [ 8, 2 ) ( 2, 2 ) ( 2, 8] y discontinua en { 2, 2} .c) TV [ 5, 3 ] 2 5 7 , TV [ 2,0] 1 1 0 , TV [ 4,5] 5 0 5d) Crece en ( 7, 5 ) ( 3, 2 ) ( 3, 5 ) ( 7,8 ) .Decrece en ( 8, 7 ) ( 5, 3 ) ( 2,3 ) ( 5, 7 ) .Es constante en ( 2, 2 ) .e) Máximos absolutos y relativos: ( 5, 5 ) y ( 5, 5 )Mínimos absolutos y relativos: ( 3, 2 ) y ( 3, 2 )f) Simetría par9.55. Dibuja la gráfica de una función que se ajusta a las siguientes características.Dominio: (–3, 3)Recorrido: [–4, 5]Mínimos: en (–2, –4) y (2, –4)Máximo: en (0, 5)Simetría: parYO30Unidad 9 FuncionesX

PROBLEMASDistancia de la estaciónde partida (km)9.56. Un autobús universitario realiza cada día dos paradas, además de la inicial, para recogerestudiantes. La gráfica da su recorrido diario.1OTiempo10a) ¿Es periódica la función? Halla su período.b) ¿A cuántos kilómetros está la universidad?c) ¿Cuánto tarda en llegar a la universidad?d) ¿Cuánto tiempo está parado en total?e) Interpreta el decrecimiento de la gráfica.a) Sí. El período es de 80 minutos.b) A 6c) 30 minutosd) 40 minutose) Significa que vuelve a la estación.9.57. (TIC) Un anuncio por palabras en un diario cuesta 2,80 euros por palabra y se estableceun mínimo de tres palabras para poder ser admitido.a) Elabora una tabla y una gráfica de la función que relaciona el número de palabras conel precio del anuncio.b) ¿Es continua la función?c) ¿Dónde se producen discontinuidades?d) ¿Es continua la función en algún intervalo?a)Precio (euros)N.º de palabrasPrecio ( )38,4411,2514 10,48,401N.o de palabrasb) Noc) En todos los puntosd) NoUnidad 9 Funciones31

9.58. Un parking público tiene las siguientes tarifas.a) Haz una tabla y una gráfica de la situación.b) ¿Es continua la función? ¿Dónde no lo es?2,50 1.ª hora ofracción12hora o fracción1,25 cadaa)Precio ( )02,5Precio (euros)N.º de horas01211,522,53 19202,53,7556,257,5 47,5502,5001Tiempo (horas)b) No es continua. Las discontinuidades se producen en {1; 1,5; 2; 2,5;, 3; }9.59. Actividad interactiva9.60. (TIC) Con un solo litro de gasolina se contaminan 750 000 litros de agua. Considera unainmensa piscina de 0,5 kilómetros de ancho, 2 kilómetros de largo y 10 metros deprofundidad.a) ¿Cuántos litros de gasolina contaminan toda el agua de la piscina?b) Un petrolero contiene unos 80 millones de litros de gasolina. ¿Cuántas piscinascontaminaría si sus tanques se rompiesen?c) Representa la función que relaciona los litros de gasolina y los de agua contaminada.Agua (Litros)a) Capacidad de la piscina 2000 · 500 · 10 m 107 m3 1010 L 10000000000N.º de litros 13333, 33 13333 litros hacen falta para contaminar toda la750000piscina.80000000 6000 piscinasb) Con 80 millones de litros de gasolina N.º de piscinas 13333c)xy1750 00021 500 00032 250 000500 000 O1Gasolina (Litros)32Unidad 9 Funciones

N.º de personas9.61. La afluencia a una piscina pública, a lo largo de un día veraniego está dada en la gráfica.Obsérvala y contesta a las preguntas siguientes.300200100O 10121416182022Hora del díaa) El horario de la piscina.b) El máximo número de personas en la piscina y la hora en que se produce.c) Los períodos de decrecimiento de afluencia de personas.a) De 10.00 a 20.00b) 300 personas a las 19.00c) De 14.00 a 16.00, porque la gente está comiendo, y de 19.00 a 20.00, porque se vanmarchando.9.62. (TIC) La tabla relaciona el volumen, V, de los cilindros de 10 metros de altura con el radiode su base.x (radio base)y (volumen cilindro)13510π 90π 250π101000πa) Halla la ecuación de la relación.b) Haz la gráfica de la función que relaciona el volumen de los cilindros con su radio.Volumen delcilindro(cm3)a) y π x 2 10 10πx 2b)50001Radio de la base (cm)9.63. Los depósitos de la figura contienen la misma cantidad de agua y se vacían por su basea un ritmo constante de 5 litros por minuto.Las siguientes gráficas representan la altura del nivel del agua en los envases en funcióndel tiempo transcurrido desde que comienzan a vaciarse. Identifica cada gráfica con sudepósito.a)c)La gráfica a corresponde al recipiente 2.La gráfica b corresponde al recipiente 1.La gráfica c corresponde al recipiente 3.NivelNivelNivelb)intrusa.TiempoTiempoTiempo9.64. Actividad interactivaUnidad 9 Funciones33

AMPLIACIÓN9.65. Sea n el número de puntos (x, y) del plano que satisfacen las relaciones 5y – 3x 15 yx2 y2 16. El valor de n es:a) 0b) 1c) 2d) InfinitoRepresentamos dichos puntos sobre unos ejes.La primera relación, 5y – 3x 15, corresponde a una recta, y la segunda, x2 y2 16, a uncírculo. La intersección de ambos, una cuerda del círculo, está formada por infinitos puntos.Y5y – 3x 151O1Xx 2 y 2 169.66. En un rombo ABCD trazamos segmentos paralelos a la diagonal BD y cuyos extremosestán en lados del rombo. Entonces, la gráfica que da la longitud de estos segmentos enfunción de su distancia al vértice A es:Aa) Una recta que pasa por el origen.b) Dos segmentos formando una V.c) Dos segmentos formando una V invertida (Λ).Si la distancia a A es cero, la longitud del segmento es también cero;por tanto, la gráfica comienza en el origen de coordenadas. A medidaque nos separamos de A, la longitud crece hasta llegar a la diagonalBD, donde alcanza el máximo. Después, el segmento va acortándosehasta llegar al vértice C, donde de nuevo la longitud es cero.Por tanto, la gráfica es una Λ que comienza en el origen (0, 0).BDC9.67. La tabla adjunta da la distancia s recorrida por una bola en un plano inclinado en untiempo t.t (segundos) 012345s (metros)0 10 40 90 160 250La distancia recorrida para t 2,5 segundos es:a) 45b) 62,5c) 70d) 75La función que relaciona la distancia y el tiempo es s(t) 10 · t2, por lo que s(2, 5) 10 · 2,52 62,5 metros.9.68. El mayor valor del producto de las coordenadas x e y de los puntos que cumplen larelación x y 1 es:a) 1b) 0,5c) 0d) 0,25( x y )2 ( x y )2 1 ( x y )2 , que es máximo cuando x y, es decir,44x y 0,5, cuyo producto es 0,25.El producto es xy 34Unidad 9 Funciones

k 9.69. Los puntos A(2, –3), B(4, 3) y C 5, están alineados. El valor (o valores) de k es: 2 a) 12c) 12b) –12d) 12 y 6La recta que pasa por los puntos A y B es y 3x – 9. La primera coordenada del punto C es 5;kentonces, su segunda coordenada será 3·5 9 , de donde concluimos que k 12.2AUTOEVALUACIÓN9.1.Halla el dominio, el recorrido, los máximos y mínimos, las discontinuidades, elcrecimiento y decrecimiento, y la simetría de la función.Y1OX1Dominio: [–6, 6]Recorrido: [1, 5]Mínimos: (–4, 1), (4, 1), (–3, 1) y (3, 1),Máximo: (0, 3), (–6, 5) y (6, 5),Discontinuidades: {–3, 3}Creciente: (–4, –3) (–3, 0) (4, 6)Decreciente: (–6, –4)

Son funciones b, d y e. 9.34. Analiza si estas tablas corresponden a funciones. Justifica tu respuesta. a) Sí es una función porque a cada valor de x le corresponde un único valor de y. b) Sí es una función porque a cada valor de x le corresp

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