Chapitre : La Proportionnalité

Chapitre : La proportionnalitéI GénéralitésDéfinitions : Deux grandeurs sont proportionnelles si pour passer de la première à ladeuxième, on multiplie par un même nombre.Ce nombre s’appelle le coefficient de proportionnalité.Exemple à avoir en tête : On achète des pommes à 1,2 le kilogramme.Le prix et la masse des pommes sont des grandeurs proportionnelles.Remarque importante : Pour savoir si deux grandeurs sont proportionnelles, il suffit de seposer la question : "si j’ai 2 fois de plus de l’un, ai-je 2 fois plus de l’autre ?"Tableau de proportionnalité : On rassemble des résultats dans un tableau : 2masse des pommes ( kg )15648prix à payer ( )1,267,24,89,6 1,2: 1,2Règles dans un tableaux de proportionnalité : On obtient une nouvelle colonne en : "additionnant ou soustrayant deux colonnes" "multipliant ou divisant une colonne par un nombre"Remarques : Le coefficient de proportionnalité est 1,2 : il est en dessous du nombre 1.nombre du bas. Le coefficient de proportionnalité vaut aussi :nombre du haut1,2 6ici : 1,2 1 5Cas particulier : Les heures (h), minutes (min) et secondes (s) sont des grandeursproportionnelles deux à deux.Voici le schéma de conversion des unités de temps qu'il est très facile de retrouver sachantque 1 h 60 min et 1 min 60 s : 3600 60h: 60 60min: 60Exemples : 12 min 0,2 hs: 60: 3600 36 s 0,01 h: 3600 donc 3 h 12 min 36 s 3h 0,2 h 0,01 h 3,21 h 5,83 h 5 h 0,83 h 5 h 49,8 min 5 h 49 min 0,8 min 5 h 49 min 48 s 60 60

Règle de trois : Pour trouver le nombre manquant (la 4e proportionnelle) d’un tableau deproportionnalité n’ayant que deux colonnes de nombres, on utilise la formule :multiplication des nombres de la diagonalele 3e nombreExemple : On achète de l’essencevolume (L)577 8 11,2prix ( )85Présentation à utiliser : 5 L 8 7 87 L 11,2 5II Situations de proportionnalitéa ) Mouvement uniformeDéfinition : On dit qu’un objet est en mouvement uniforme s’il va à une vitesse constante.Lors d’un mouvement uniforme, la distance parcourue est proportionnelle au temps mis pourla parcourir.Exemple : Un TGV qui roule à vitesse constante de 320 km/h est en mouvement uniforme.Question 1 : Combien de kilomètres parcoura ce train en 2 h 18 min ?Réponse : 2 h 18 min 2,3 h1 h 320 km2,3 3202,3 h 736 km. Ce TGV fera donc 736 km en 2 h 18 min.1Question 2 : Combien de temps mettra-t-il pour faire 420 km ?Réponse : 320 km 1 h420 1420 km 1,3125h 1h 18,75 min 1h 18 min 45 s320Il mettra donc 1h 18 min 45 sb ) EchelleSur une carte routière par exemple, les distances sur la carte sont proportionnelles auxdistances dans la réalité.Le coefficient de proportionnalité pour passer des longueurs réelles aux longueurs sur lacarte s’appelle l’échelle de la carte.une distance sur la cartePour calculer l’échelle d’une carte, on utilise la formule : échelle cette distance en vraiExemple : On peut lire sur une carte routière "1 : 25 000 1 cm 250 m"1 cm1 cm1L’échelle de cette carte est : 1 : 25 000250 m 25 000 cm 25 000Remarques : Il faut utiliser les mêmes unités de longueur pour calculer une échelle. Si l’échelle est plus petite que 1 il s’agit d’une réduction, sinon, il s’agit d’unagrandissement.

III Application aux statistiquesVoici une cible après une partie de fléchettes :jaunerougebleucouleureffectifjaune rouge bleu gris blanc total3812 12540fréquence (%)7,5203030angle ( )2772108 10812,510045360 2,5 9Effectif : nombre d’éléments dans chaque catégorie. (ici, c’est le nombre de fléchettes)Effectif total : nombre d’éléments au total. (ici, c'est le nombre de fléchettes : 40)Fréquence : c’est l’effectif exprimé en pourcentage (ou en proportion).Exemple : 40 fléchettes 100%3 1003 fléchettes 7,5%40La fréquence du jaune est donc 7,5%Remarque : les effectifs, les fréquences et les angles sont des grandeurs proportionnelles.Représentations graphiquesdiagramme circulairediagramme à barre ou diagramme en bâtonseffectifsyrouge1072 bleujauneblancgris2jaunerougebleugrisblancx

Feuille d’exercices sur la proportionnalitéExercice 1 : Complète ces tableaux :temps en heures10,25 3140,5 121,53,250temps en minutestemps en minutes 12045901257101temps en heuresExercice 2 : Complète18 min h5 h 18 min h7 h 54 min h2 h 27 min h54 s h45 s h3 h 42 min 36 s h min h0,3 h min2,3 h h min7,4 h h min6,7 h h min36 s min3 h 42 min 12 s minEn plus : 3 216 s h min et 35 621 s h min sExercice 3 : Quels calculs faut-il faire avec les nombres 3 ; 4et 6 pour trouver le nombre manquant à chacun de ces tableauxde proportionnalité ?43636Exercice 4 : Répondre aux questions suivantes en utilisant la règle de trois.a ) 5 kg d’abricot coûtent 12 . Combien coûtent 3 kg d’abricot ?b ) 7,5 L d’essence coûtent 10,5 . Combien coûtent 4 L d’essence ?c ) 2,4 m de tissu coûtent 62,4 . Combien de mètre de tissu peut-on acheter avec 52 ?d ) Dans une recette pour 6 personnes, il faut mettre 210 g de sucre.Combien faudrait-il mettre de sucre pour 10 personnes ?e ) 5 6 . Combien de dollars a-t-on avec 24,3 ?Exercice 5 : Un TGV roule à une vitesse constante de 300 km/h.Quelle distance aura-t-il parcourue en : 1 h ; 1 h 30 min ; 15 min ; 2 h 45 min ?Combien de temps mettra-t-il pour parcourir : 600 km ; 30 km ; 420 km ?Exercice 6 : Le plateau d’une table est un rectangle de longueur 1,5 m et de largeur 90 cm.Faire un plan de ce1plateau à l’échelle .30Exercice 7 : Voici unbout d’une carte routière.a ) Quelle est sonéchelle ?b ) Quelle est la distanceentre Le Havre etHonfleur ?4

Exercices pour préparer le contrôle sur la proportionnalité(avoir sa calculatrice et son rapporteur)Exercice 1 : Voici trois tableaux :23581 ) 4 52 ) 492720 3 )12,5 2587,56 13,5 40,5 30a ) Le tableau 1 est un tableau de proportionnalité : complète-le.b ) Les tableaux 2 et 3 sont-ils des tableaux de proportionnalité ?(justifie et si oui, précise le coefficient de proportionnalité)816102620,8 41,6 26 63,5Exercice 2 : Les cargos (gros bateau transportant des marchandises) vont à environ 36 km/h.a ) Convertis les temps suivants en heure : 15 min ; 18 min ; 5 h 33 min.b ) A l’aide d’un tableau, calcule la distance qu’un cargo fait en : 15 min ; 18 min ; 5 h 33min.Exercice 3 : Sur une carte routière est écrit "1 cm pour 250 m".a ) Quelle est l’échelle de cette carte ?b ) Quelle est la distance réelle en kilomètre correspond à 20 cm sur la carte ?c ) Quelle est la distance sur la carte correspond une distance réelle de 7,5 km ?Exercice 4 : Voici la répartition de la taille, en centimètre, des élèves de 5e d’un collège :taille comprise entre 0 et 129 130 et 139 140 et 149 150 et 159 160 et 200 totaleffectifs832564816fréquences (%)angles en degré360a ) Quel est l’effectif total et à quoi correspond-il ?b ) Complète le tableau ci-dessus.c ) Fais un diagramme circulaire de 5 cm de rayon correspondant à cette répartition.– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –jaunerougebleugris

Correction des exercices pour préparer le contrôle sur la proportionnalitéExercice 1 :5 10 231 ) 435 5810 12,5 25 57,5 87,5 1453621 12 3 ) 30 3 12 4222,5 45 157,5 908 0,7 2,9 1122,5b ) Le tableau 2 est un tableau de proportionnalité de coefficient de proportionnalité 7,5 3Le tableau 3 n’est pas un tableau de proportionnalité car par exemple :30 3 10 mais 8 3 0,7 ou bien 30 12 42 mais 8 2,9 11 2,52 )Exercice 2 : a ) 15 min 0,25 h ; 18 min 0,3 h et 5 h 33 min 5,55 h .b)temps en heure10,250,35,55distance en km36910,8199,81 cm1 cm1Exercice 3 : a ) l’échelle vaut 250 m 25 000 cm 25 000b ) 1 cm 250 m20 25020 cm 5 000 m 5 km1Donc 20 cm sur la carte correspondent à 5 km dans la réalité.c ) On a : 7,5 km 7 500 m250 m 1 cm1 7 5007 500 m 30 cm250Donc 7,5 km en réalité correspondent à une distance de 30 cm sur la carte. 36Exercice 4 :taille comprise entre 0 et 129 130 et 139 140 et 149 150 et 159 160 et 200 totaleffectifs832564816160 0,625fréquences (%)520353010100 3,6angles en degré360187212610836ea ) L’effectif total est 8 32 56 48 16 160 : c’est le nombre d’élèves de 5 dans cecollège.0 et160 et 200 129diagramme circulaire :36 18 130 et 13972 150 et 159108 126 140 et 149

Devoir Maison : questions de proportionnalitéOn veut savoir si dans chacun des cas suivants les grandeurs sont proportionnelles.Pour la savoir on présentera les réponses de la manière suivantes : question : écrire la question qu'il faut se poser pour savoir si les grandeurs sontproportionnelles réponse : répondre à cette question (OUI sans explication ou NON avec explication) conclusion : les grandeurs sont ou ne sont pas proportionnelles.a ) La durée d'une douche et la quantité d'eau utilisée. (en s'imaginant qu'on n'a pas touché aurobinet et que le débit d'eau reste le même pendant toute la douche)b ) La durée d'un repas et la quantité d'aliments avalés pendant ce repas.c ) Le temps passé au téléphone et le nombre de personnes contactées.d ) Le coût d'un trajet en voiture et la distance parcourue lors de ce trajet.e ) La hauteur de la chute d'un objet et la vitesse de cet objet lorsqu'il arrive au sol.Devoir Maison : cercle et proportionnalité90 5 cm360 5 cm128 36 5 cm5 cma ) Calcule la longueur d'un arc de cercle de rayon 5 cm et d'angle 360 (cet arc de cercle n'estautre que le cercle entier et il faut donc calculer son périmètre. Voir si besoin tout à la fin dumanuel pour retrouver la formule)b ) Calcule la longueur d'un arc de cercle de 5 cm de rayon et d'angle 90 .c ) Calcule la longueur d'un arc de cercle de 5 cm de rayon et d'angle 36 .d ) Pour un même rayon de 5 cm : quelle question faut-il se poser pour savoir si la longueurd'un arc de cercle est proportionnelle à sa mesure d'angle ? (poser la question et y répondre)e ) En utilisant la règle de trois, calcule la longueur d'un arc de cercle de 5 cm de rayon etd'angle 128 .Devoir Maison sur la proportionnalité : question de tempsPour aller voir son ami Bernard, Henri doit prendre un train à 12h45.Henri habite à 800 m de la gare, le trajet en train prend 1h 28 min et Bernard habite à 600 m dela gare.Si tout se passe bien, à quelle heure Henri sera-t-il chez Bernard sachant qu'il marche à environ5 km/h ?

Devoir Maison sur la proportionnalité : l'île au trésorUn trésor est caché sur l'île de Maiao (Océanie, Polynésie française) dont la carte est ci-dessous :Cette île comporte deux lacs.Tu es débarqué au point A avec une boussole.Le trésor se trouve en T.Quel itinéraire faut-il suivre pour aller jusqu'au trésor ?Bonne chance !