Cours D’Automatique Des Systèmes Actionnés
Ecole polytechnique universitaire de MontpellierDépartement de Mécanique et InteractionAnnée 2013 / 2014M.I.4Cours d’Automatique des systèmes ActionnésPartie 2 : Analyse et commande en espace d’étatAhmed Chemorichemori@lirmm.fr
Programme de la partie 2 du coursPartie 2 : Analyse et commande des systèmes en espace d’étatI.II.Introduction à la commande des systèmes mécatroniquesModélisation et représentation d’état1. Modélisation2. De l’équation différentielle à l’équation d’état3. Illustration sur un exempleIII. Représentation d’état1. La notion d’état d’un système2. La Variable d’état3. Illustration sur un exempleIV. Résolution des équations d’état1. Equation de transition2. Calcul de la matrice de transition3. Illustration sur un exempleV. Analyse de la commandabilité1. Définitions2. Critère de Kalman3. Illustration sur un exempleCours d’Automatique - MI4 - 2013/2014Polytech’Montpellier - A. CHEMORI (chemori@lirmm.fr)2
Programme de la partie 2 du coursPartie 2 : Analyse et commande des systèmes en espace d’état (suite)VI. Analyse de l’observabilité1. Définitions2. Critère de Kalman3. Illustration sur un exempleVII. Analyse de la stabilité1. Définitions2. Valeurs propre et stabilité3. Illustration sur un exempleVIII. Relation entre représentation d’état et fonction de transfertIX. Formes standard de représentation d’état1. Forme canonique commandable2. Forme modale3. Forme cascadeX. Commande par retour d’état1. Principe général2. Calcul du gain du contrôleur3. Illustration sur un exempleXI. Observateur et estimateur d’état1. Principe général2. Calcul du gain de l’observateur3. Illustration sur un exemple4. Couplage contrôleur-observateurCours d’Automatique - MI4 - 2013/2014Polytech’Montpellier - A. CHEMORI (chemori@lirmm.fr)3
Introduction à la commande des systèmesmécatroniquesCours d’Automatique - MI4 - 2013/2014Polytech’Montpellier - A. CHEMORI (chemori@lirmm.fr)4
Introduction à la commande des systèmes mécatroniquesAutomatiqueExemples introductifsExemple 1Régulateur de vitesseRégulateur de distanceCours d’Automatique - MI4 - 2013/2014Polytech’Montpellier - A. CHEMORI (chemori@lirmm.fr)5
Introduction à la commande des systèmes mécatroniquesAutomatiqueExemples introductifsExemple 2Quattro: Robot d’emballage agro-alimentaireCours d’Automatique - MI4 - 2013/2014Polytech’Montpellier - A. CHEMORI (chemori@lirmm.fr)6
Introduction à la commande des systèmes mécatroniquesAutomatiqueExemples introductifsExemple 3Machine de découpe LaserCours d’Automatique - MI4 - 2013/2014Polytech’Montpellier - A. CHEMORI (chemori@lirmm.fr)7
Introduction à la commande des systèmes mécatroniquesAutomatiqueExemples introductifsExemple 4Le SEGWAYCours d’Automatique - MI4 - 2013/2014Polytech’Montpellier - A. CHEMORI (chemori@lirmm.fr)8
Introduction à la commande des systèmes mécatroniquesAutomatiqueExemples introductifsExemple 5Le disque durCours d’Automatique - MI4 - 2013/2014Polytech’Montpellier - A. CHEMORI (chemori@lirmm.fr)9
Introduction à la commande des systèmes mécatroniquesAutomatiqueDéfinition de la MécatroniqueLa mécatronique est la combinaison synergique de :- La mécanique,- L'électronique,- L'informatique temps réel (logiciel), et- L’automatique (contrôle)L'intérêt de ce domaine d'ingénierie pluridisciplinaire réside dans : La conception desystèmes automatiques puissants et la synthèse de contrôle de systèmes complexesLe terme ‘mechatronics‘ (en anglais) a été introduit par un ingénieur de la compagnieJaponaise ’Yaskawa’ en 1969Le terme ‘mécatronique’ est apparu officiellement en France en 2005 (Larousse 2005)La norme NF E 01-010 (2008) définit la mécatronique comme une «démarche visantl’intégration en synergie de la mécanique, l’électronique, l’automatique et l’informatiquedans la conception et la fabrication d’un produit en vue d’augmenter et/ou d’optimiser safonctionnalité»Cours d’Automatique - MI4 - 2013/2014Polytech’Montpellier - A. CHEMORI (chemori@lirmm.fr)10
Introduction à la commande des systèmes mécatroniquesAutomatiqueMécatronique et pluridisciplinaritéCours d’Automatique - MI4 - 2013/2014Polytech’Montpellier - A. CHEMORI (chemori@lirmm.fr)11
Introduction à la commande des systèmes mécatroniquesAutomatiqueLa mécatronique au quotidienCours d’Automatique - MI4 - 2013/2014Polytech’Montpellier - A. CHEMORI (chemori@lirmm.fr)12
Introduction à la commande des systèmes mécatroniquesAutomatiqueEléments de base d’un système mécatroniqueLCD, LED, CRT, Digitaldisplays, DAC, PWM,Amplifiers, Graphical displaysInput signalconditioningand interfacingDC motors, Servo motors,Electro valves, ActuatorsDigital encoders,Position sensors, MEMs, SensorsADC, Filters, Discretecircuits, Amplifiers, output signalconditioningand interfacingMechanical systemDigital control architecturesLogic circuits, Microcontrollers, Computer, Control algorithm, Cours d’Automatique - MI4 - 2013/2014Polytech’Montpellier - A. CHEMORI (chemori@lirmm.fr)13
Modélisation et représentation d’étatCours d’Automatique - MI4 - 2013/2014Polytech’Montpellier - A. CHEMORI (chemori@lirmm.fr)14
Modélisation et représentation d’étatAutomatiqueModélisationOn considère le système électrique ci-dessous :Peut être modélisé avec deux équations différentiellesL’idée de base des représentations d’état est que le futur d’un système dépend de sonpassé, de son présent et de ses entréesle futur peut alors être décrit à partir d’un ensemble de variables bien choisiesCours d’Automatique - MI4 - 2013/2014Polytech’Montpellier - A. CHEMORI (chemori@lirmm.fr)15
Modélisation et représentation d’étatAutomatiqueDe l’équation différentielle à l’équation d’étatOn rappelle les équation différentielles du modèle :8 C dVc(t) i(t) ¡ i (t)Ldt:L diL(t) ¡Ri (t) V (t)cLdtOn considère les variables x1(t) ; x2(t) ; et u(t) définies par :x1(t) Vc(t) ; x2(t) iL(t) ; u(t) i(t)Les équations différentiellesprécédentes peuvent être réécrites comme suit :81 x (t) 1 u(t) dx1(t) x1(t) ¡ C2dtCdx(t)1 x (t) ¡ R x (t): 22(t) L1dt xL 2x(t) Ax(t) Bu(t)Sous forme matricielle donnent :avec :A ·01L¡ C1¡RLCours d’Automatique - MI4 - 2013/2014 B ·1C0équation d’état Polytech’Montpellier - A. CHEMORI (chemori@lirmm.fr)16
Modélisation et représentation d’étatAutomatiqueDe l’équation différentielle à l’équation d’étatSi on considère que la sortie du système est la tension aux bornes de la résistance :VR(t) y(t) RiL(t) Rx2(t)Donc , la sortie s’écrit : y(t) Cx(t) Du(t)avec :C 0 R équation de la sortieD Pour récapituler, les équations d’état s’écrivent :Remarques : 0 (x(t) Ax(t) Bu(t)y(t) Cx(t) Du(t)La représentation d’état n’est pas unique pour un même système physiqueLe système (A; B; C; D) est dit linéaire à temps invariant (LTI)Cours d’Automatique - MI4 - 2013/2014Polytech’Montpellier - A. CHEMORI (chemori@lirmm.fr)17
Modélisation et représentation d’étatAutomatiqueDéfinitionLa représentation d’état d’un système dynamique linéaire continu est donnée par :(x(t) Ax(t) Bu(t)équation d’étatéquation de sortie (appelée aussi équation de mesure)y(t) Cx(t) Du(t)ABCD::::la matrice d’étatla matrice de commande (d’entrée)la matrice de sortiela matrice de transfert directex(t) : est le vecteur d’étatu(t) : est le vecteur de commande (vecteur d’entrée)y(t) : est le vecteur de sortieCours d’Automatique - MI4 - 2013/2014Polytech’Montpellier - A. CHEMORI (chemori@lirmm.fr)18
Modélisation et représentation d’étatAutomatiqueIllustration sur un exempleOn considère le système mécanique suivant (masse-ressort-amortisseur) :: La masse: la position de la masse: Coefficient de raideur du ressort: Coefficient d’amortissement: Force appliquée sur la massePar application de la loi de Newton, sa dynamique s’écrit :mÄy cv y ky FSoit le vecteur d’état :x ·x1 (t)x2 (t) ·yy L’entrée de commande : u(t) FCours d’Automatique - MI4 - 2013/2014Polytech’Montpellier - A. CHEMORI (chemori@lirmm.fr)19
Modélisation et représentation d’étatAutomatiqueIllustration sur un exempleOn a :(x 1 y(t) x2 (t)x 2 yÄ(t) ?k y(t) ¡ cv y(t)1FÄ(t) ¡ m D’après la dynamique du système : ymm(x 1 (t) x2 (t)Donc :kx 2 (t) ¡ mx1 (t) ¡cv1x(t) 2mm u(t)Sous forme matricielle : x(t) Ax(t) Bu(t)A ·0k¡m1¡ cmv B ·01m La sortie du système est la position de la masse mobile : y(t) x1 (t)Qui s’écrit sous forme matricielle : y(t) Cx(t) Du(t)C 1 0Cours d’Automatique - MI4 - 2013/2014 D 0 Polytech’Montpellier - A. CHEMORI (chemori@lirmm.fr)20
Représentation d’étatCours d’Automatique - MI4 - 2013/2014Polytech’Montpellier - A. CHEMORI (chemori@lirmm.fr)21
Représentation d’étatAutomatiqueLa notion d’état d’un système et la variable d’étatOn définit l’état d’un système à l’instant t0 comme l’information sur le passénécessaire et suffisante pour déterminer l’évolution ultérieure du systèmequand on connaît, pour t t0 , les signaux d’entrée et les équations dusystèmeDans l’exemple du circuit électrique, l’information nécessaire et suffisantepour résoudre le système d’équations est liée aux conditions initialesVc(t0) ; iL(t0)Par conséquent, un ensemble possible de variable d’état est : [Vc(t) ; iL(t)]Dimension des variables et des matrices dans un modèle d’état :Cas mono variable (1 entrée, 1 sortie)x 2 Rny2Ru2RA 2 Rn nB 2 Rn 1C 2 R1 nD 2 R1 1Cours d’Automatique - MI4 - 2013/2014Cas multi-variable (m entré p sorties)x 2 Rny 2 Rpu 2 RmA 2 Rn nB 2 Rn mC 2 Rp nD 2 Rp mPolytech’Montpellier - A. CHEMORI (chemori@lirmm.fr)22
Représentation d’étatAutomatiqueLa notion d’état d’un système et la variable d’étatOn considère le système représenté par la figure suivante :Ke(t)Signal d’entrée R x1 Rx2Rs(t)x3Ce système est composé d’une cascade d’élément différent (même si on autilisé pour cet exemple que des intégrateurs et des gains)La commande automatique d’un tel système peut aller beaucoup plus loinqu’une simple régulationUn certain nombre de signaux que l’on peut qualifier d’internes au systèmeapparaissent nettement sur le schémaNous les avons baptisé : x1 ; x2 ; x3Cours d’Automatique - MI4 - 2013/2014Polytech’Montpellier - A. CHEMORI (chemori@lirmm.fr)23
Représentation d’étatAutomatiqueLa notion d’état d’un système et la variable d’étatIl serait intéressant dans ce cas de commander ces signaux internes parl’intermédiaire du seul signal d’entrée e(t)Le problème de la commande du système ne se réduit donc plus au simpleasservissement du signal de sortieIl peut donc être considéré comme la maîtrise simultanée de l’évolution des23trois signaux x1 ; x2 ; x3x1On dit que l’ensemble de ces trois signaux forment l’état du système : x 4 x2 5x3La modélisation que nous allons associer à cette représentation va nouspermettre d’envisager la commande de cet état grâce au signal d’entréeNous formulons l’objectif (si cela est possible bien entendu) d’amener lesystème à un état donné ( x1 ; x2 ; x3 devant converger vers des valeurspréétablies) grâce au signal d’entrée du systèmeLes variables internes choisis sont appelées variables d’état du systèmeCours d’Automatique - MI4 - 2013/2014Polytech’Montpellier - A. CHEMORI (chemori@lirmm.fr)24
Représentation d’étatAutomatiqueIllustration sur un exempleExercice : On considère un système représenté par une modélisation sousforme d’équation d’état s’écrivant :(x(t) Ax(t) Bu(t)y(t) Cx(t) Du(t)Représenter ce système par un schéma-blocMontrer sur ce schéma-bloc les différents signauxOn considère cette fois-ci le cas particulier d’un système représenté par deséquations d’état ci-dessus, avec :230 1 0A 4 0 0 1 51 ¡2 4230B 4 0 51C 1 0 0 D 0 Représenter ce système par un schéma-blocCours d’Automatique - MI4 - 2013/2014Polytech’Montpellier - A. CHEMORI (chemori@lirmm.fr)25
Représentation d’étatAutomatiqueIllustration sur un exempleRemarques :Par souci d’allègement d’expressions, les variables d’état, de commande, et de sortiepeuvent être notées sans la variable de temps, c.à.d :((x(t) Ax(t) Bu(t)x Ax Buy(t) Cx(t) Du(t)y Cx DuLa représentation d’état d’un système n’est pas unique, elle dépend du choix desvariables d’état que nous opéronsExercice : On considère le système représenté par le schéma-bloc ci-dessous. Calculerles matrices de cette représentation d’état.2u RCours d’Automatique - MI4 - 2013/2014 x1 R¡1x2Ryx3Polytech’Montpellier - A. CHEMORI (chemori@lirmm.fr)26
Résolution des équations d’étatCours d’Automatique - MI4 - 2013/2014Polytech’Montpellier - A. CHEMORI (chemori@lirmm.fr)27
Résolution des équations d’étatAutomatiqueL’équation de transitionRésoudre les équations d’état consiste à déterminer l’expression du vecteur d’état x(t)en fonction du tempsAutrement dit à déterminer les expressions temporelle des n variables d’étatconnaissant le système (c.à.d A, B, C et D) et connaissant l’entrée u(t) qui lui estappliquéeL’équation de la solution est appelée équation de transitionOn considère l’exemple d’un système décrit par une simple (une seule) équationdifférentielle (cas scalaire) : x ax buLa solution d’une telle équation différentielle est connue, et a pour expression :R t a(t¡¿)atx(t) e x(0) 0 ebu(¿)d¿libreforcéeLa première partie de cette équation représente la solution libre (régime autonome)La seconde partie représente la solution forcée (régime forcé ou commandé)Cours d’Automatique - MI4 - 2013/2014Polytech’Montpellier - A. CHEMORI (chemori@lirmm.fr)28
Résolution des équations d’étatAutomatiqueL’équation de transitionGénéralisation au cas d’un système quelconque :On considère maintenant le système représenté par l’équation d’état :x(t) Ax(t) Bu(t)La solution de cette équation s’obtient par généralisation du résultat précédent :R t A(t¡¿)Atx(t) e x(0) 0 eBu(¿)d¿Solution libre Solution forcéeDans cette écriture, le terme eAt représente une matrice exponentielle que l’on noteen générale (t) et que l’on appelle matrice de transition du systèmeSi on connait l’état du système à un instant t1 6 0 , on peut calculer son état à uninstant t quelconque :x(t) eA(t¡t1 ) x(t1 ) Cours d’Automatique - MI4 - 2013/2014Rtt1eA(t¡¿) Bu(¿)d¿Polytech’Montpellier - A. CHEMORI (chemori@lirmm.fr)29
Résolution des équations d’étatAutomatiqueCalcul de la matrice de transitionL’opération la plus délicate dans la résolution des équation d’état, consiste à calculer lamatrice de transitionPour cela de nombreuses méthodes existentLes plus classiques sont les suivantes : Méthode 1 : La méthode de la transformée de Laplace Méthode 2 :La méthode de diagonalisation Méthode 3 : La méthode de Cayley-Hamilton Méthode 4 : La méthode de calcul direct (développement de Tylor)Ces méthodes seront détaillées par la suiteCours d’Automatique - MI4 - 2013/2014Polytech’Montpellier - A. CHEMORI (chemori@lirmm.fr)30
Résolution des équations d’étatAutomatiqueCalcul de la matrice de transitionMéthode 1 : La méthode de la transformée de Laplace :x(t) Ax(t) Bu(t)pX(p) ¡ x(0) AX(p) BU(p)[pI ¡ A]X(p) x(0) BU(p)I : Matrice d’identité (nxn)X(p) [pI ¡ A]¡1x(0) [pI ¡ A]¡1BU(p)Il apparaît clairement, en confrontant cette expression à la solution générale déterminéeprécédemment, soit :R t A(t¡¿)Atx(t) e x(0) 0 eBu(¿)d¿que la matrice de transition eAt possède pour transformée de Laplace la matrice [pI ¡ A]¡1eAt L¡1[(pI ¡ A)¡1]Il suffit alors d’inverser la matrice [pI ¡ A] , ce qui conduit à une matrice rationnelle en pdont on calcule la transformée de Laplace élément par élémentCours d’Automatique - MI4 - 2013/2014Polytech’Montpellier - A. CHEMORI (chemori@lirmm.fr)31
Résolution des équations d’étatAutomatiqueIllustration sur un exemple230 1 0A 4 0 0 1 51 ¡3 3(pI ¡ A)¡1214 3(p ¡ 1)23p ¡ 3p 3 p ¡ 311p2 ¡ 3p p 5p1 ¡ 3p p2eAt L¡1[(pI ¡ A)¡1]Cours d’Automatique - MI4 - 2013/2014Polytech’Montpellier - A. CHEMORI (chemori@lirmm.fr)32
Résolution des équations d’étatAutomatiqueCalcul de la matrice de transitionMéthode 2 : La méthode de diagonalisation :Il est facile de remarquer que le calcul de la matrice de transition est très simple aeffectuer si celle-ci est diagonale, en effet :232 1 t3 1 0 : : : 0e0::: 066. 7. 7 2 t6 0 2 076. 70e0. 7At667A 6 .7 ) e 6 .7.4 .54. 0.0.00 50 : : : 0 n0:::0 e nCette constatation nous conduit naturellement à imaginer une méthode relativementfacile pour calculer eAt : il suffit de diagonaliser la matrice AOn considère une matrice d’état quelconque ALes vecteurs propres et valeurs propres de cette matrice sont définies par :AVi iViVi sont les vecteurs propres et i sont les valeurs propresCours d’Automatique - MI4 - 2013/2014Polytech’Montpellier - A. CHEMORI (chemori@lirmm.fr)33
Résolution des équations d’étatAutomatiqueCalcul de la matrice de transitionMéthode 2 : La méthode de diagonalisation :Ces grandeurs sont très faciles à déterminer, étant donné que les valeurs propres sont lesracines de l’équation :det[ I ¡ A] 0Soit la matrice modale, formée des vecteurs propres :T [V1 V2 : : : Vn]La matrice diagonale2 166 0D 66 .4 .0D formée des valeurs propres de A est obtenue :0::: 20.0:::030. 7. 77 T ¡1 AT70 5 nLa matrice de transition est alors calculée par :2 1 te066 0e 2 tAtDt ¡16e Te T T 6 .4 .00:::Cours d’Automatique - MI4 - 2013/2014A T DT ¡1):::0.00.0e n t377 ¡17T75Polytech’Montpellier - A. CHEMORI (chemori@lirmm.fr)34
Résolution des équations d’étatAutomatiqueIllustration sur un exempleA ·¡2 ¡2¡1 ¡3·¡2 11 1T D · det[ I ¡ A] 0 ¡1 00 ¡4 1 ¡1 ; 2 ¡4· · ¡2¡1V1 ; V2 11T ¡1 ¡ 13··¡2 11 1 ··¡te0e¡t02 ¡t 13 e¡4t3e¡ 13 e¡t 13 e¡4tCours d’Automatique - MI4 - 2013/2014 132313eDt eAt T eDt T ¡1 eAt ·0e¡4t0e¡4t ·¡ 13132313¡ 23 e¡t 23 e¡4t1 ¡t2 ¡4te 33e Polytech’Montpellier - A. CHEMORI (chemori@lirmm.fr)35
Résolution des équations d’étatAutomatiqueCalcul de la matrice de transitionMéthode 3 : La méthode de Cayley-Hamilton :Cette méthode repose sur une des propriétés d’une matrice, à savoir :Chaque matrice est toujours solution de son équation caractéristiqueElle présente l’avantage d’être relativement rapide pour des matrices d’ordres peu élevésOn considère une matrice A , son équation caractéristique s’écrit :det[ I ¡ A] 0 ) n an¡1 n¡1 : : : a1 a0 0An an¡1An¡1 : : : a1A a0I 0Cette équation permet d’affirmer que pour toute matrice carrée d’ordre n possédant nvaleurs propres distinctesToute puissance de A supérieure ou égale à n peut s’exprimer en fonction d’unecombinaison des puissances de A strictement inferieur à nCours d’Automatique - MI4 - 2013/2014Polytech’Montpellier - A. CHEMORI (chemori@lirmm.fr)36
Résolution des équations d’étatAutomatiqueCalcul de la matrice de transitionMéthode 3 : La méthode de Cayley-Hamilton :On peut donc écrire :eAt fn¡1(t)An¡1 fn¡2(t)An¡2 : : : f1(t)A f0(t)I 0La recherche des fonctions fi (t) ne pose aucune difficulté : les valeurs propres de lamatrice A vérifiant obligatoirement cette équation, on construit un système de n équations àn inconnues (les fonctions fi (t) )La résolution de ce système permet de déterminer eAt :8n¡1 1 te f(t) : : : f1 (t) 1 f0 (t) n¡11 e 2 t fn¡1 (t) n¡1 : : : f1 (t) 2 f0 (t)2. . : n te fn¡1 (t) n¡1 : : : f1 (t) n f0 (t)nCours d’Automatique - MI4 - 2013/2014Polytech’Montpellier - A. CHEMORI (chemori@lirmm.fr)37
Résolution des équations d’étatAutomatiqueIllustration sur un exempleA ·¡2 ¡2¡1 ¡3 1 ¡1 ; 2 ¡4det[ I ¡ A] 0eAt f1 (t)A f0 (t)I f1 (t)Cours d’Automatique - MI4 - 2013/2014¡2 ¡2¡1 ¡3 f0 (t)(f0 (t) f1 (t) (e 1 t e¡t ¡f1 (t) f0 (t)e 2 t e¡4t ¡4f1 (t) f0 (t)eAt f1 (t)A f0 (t)I ··2 ¡t1 ¡4te e33¡ 13 e¡t 13 e¡4t·1 00 1 4e¡te¡4t¡33e¡te¡4t3 ¡ 3¡ 23 e¡t 23 e¡4t1 ¡te 23 e¡4t3 Polytech’Montpellier - A. CHEMORI (chemori@lirmm.fr)38
Résolution des équations d’étatAutomatiqueCalcul de la matrice de transitionMéthode 4 : La méthode de calcul direct (développement de Taylor) :Cette méthode est basée sur l’expression du développement de Taylor à condition que lamatrice d’état so
Cours d’Automatique - MI4 - 2013/2014 Polytech’Montpellier - A. CHEMORI (chemori@lirmm.fr) 10 La mécatronique est la combinaison synergique de : - La mécanique, - L'électronique, - L'informatique temps réel (logiciel), et - L’automatique (contrôle) L'intérêt de ce domaine d'ing
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