Eléments D'analyse Et D'algèbre - GBV

Uni Gottingen229 72272011 A 16970Eléments d'analyseet d'algèbre(et de théorie des nombres)Pierre Colmez

TABLE DES MATIÈRESIntroductionNotations standardBibliographie sommaireVocabulaire Mathématique1. Grammaire élémentaire1.1. L'anneau Z des entiers relatifs1.2. Parallélisme entre logique élémentaire et langage ensembliste1.3. Ensembles dênombrables2. Produits, sommes et quotients2.1. Produits et sommes2.1.1. Produits et sommes directes de groupes commutatifs2.1.2. Le cas des espaces vectoriels2.1.3. Produit et somme dans une catégorie2.2. Relations d'équivalence2.2.1. Relations d'équivalence et partitions2.2.2. Passage au quotient par une relation d'équivalence2.3. L'anneau Z/DZ des entiers relatifs modulo D2.4. Quotients d'espaces vectoriels2.5. Anneaux quotients2.6. Groupes quotients2.6.1. Groupe opérant sur un ensemble2.6.2. Classes de conjugaison2.6.3. Quotients de groupes3. Groupesfinis3.1. Généralités sur les groupes3.2. Groupes cycliques3.2.1. Structure des groupes cycliques, ordre d'un élément3.2.2. Sous-groupes des groupes cycliques3.3. Groupes abéliensfinis3.4. Le théorème de Lagrangc et ses variantes3.5. Le groupe symétrique S n3.5.1. Permutations133567991111111213141414'. 15181920202223242425252626272828

TABLE DES MATIÈRES3.5.2. Signature d'une permutation3.5.3. Groupe alterné3.6. Les théorèmes de Sylow4. Algèbre linéaire4.1. Généralités4.1.1. Endomorphismes4.1.2. Le théorème de Cayley-Hamilton4.1.3. Automorphismcs4.1.4. Matrices4.1.5. Espaces propres, espaces caractéristiques4.1.6. Mise sous forme de Jordan4.2. Modules de torsion sur K[T] et réduction des endomorphismes4.2.1. Anneaux et modules4.2.2. Structure des modules de torsion sur K[T]4.2.3. Exemples4.2.4. Application à la réduction des endomorphismes4.3. Modules de torsion sur les anneaux principaux4.3.1. Généralités sur les idéaux4.3.2. Anneaux principaux4.3.3. Structure des modules de torsion sur un anneau principal5. Topologie5.1. Espaces topologiqucs5.1.1. Ouverts, fermés, voisinages5.1.2. Exemples5.1.3. Comparaison de topologics5.2. Espaces métriques5.3. Continuité5.4. Sous-espaces, produits, quotients5.4.1. Topologie induite5.4.2. Topologie produit5.4.3. Topologie quotient5.5. Espaces séparés5.6. Intérieur, adhérence, densité5.7. Suites dans un espace topologique5.7.1. Suites, suites extraites5.7.2. Suites et continuité6. Compacité6.1. Espaces compacts6.2. Compacité et suites6.3. Propriétés de base des compacts6.3.1. Compacts d'un espace topologiquc6.3.2. Compacts d'un espace métrique6.3.3. Compacité locale6.4. La droite réelle achevée6.4.1. Les espaces topologiques ordonnes R et R 6.4.2. Limite supérieure, limite 263

TABLE DES MATIÈRES6.5. L'espace topologique T R / Z7. Conncxité7.1. Ensembles connexes7.2. Connexité par arcs8. Complôtude8.1. Suites de Cauchy8.2. Principales propriétés des espaces complets8.3. Complétion d'un espace métrique9. Convergence de fonctions9.1. Convergence simple9.2. Convergence uniforme10. Espaces vectoriels normes10.1. Normes et applications linéaires continues10.2. La norme d'un operateur10.3. Normes équivalentes10.4. La boule unité d'un espace vectoriel norme10.5. Applications bilinéaircs continues10.6. Espaces préhilbertiens11. Tératologie11.1. Fonctions continues dérivablcs nulle part11.2. L'escalier du diable11.3. L'ensemble triadique de Cantor11.4. La courbe de Peano11.5. Ensembles connexes non connexes par arcs11.5.1. Le graphe de sin 11.5.2. Le tipi de Cantor12. Construction de nombres12.1. Entiers naturels12.2. Entiers relatifs, nombres rationnels12.3. Nombres réels, nombres complexes12.4. Nombres p-adiques12.4.1. Le corps Q p12.4.2. Construction algébrique de Q p12.4.3. Topologie de Q p12.4.4. Une description arboricole des nombres p-adiques12.4.5. L'anneau des nombres complexes p-adiques12.4.6. Fragments d'analyse p-adique13. Corrigé des exercicesIndex du chapitreI. Représentations des groupes finis1.1. Représentations et caractères1. Représentations de groupes, exemples2. Caractère d'une représentation, exemples2.1. Caractères linéaires2.2. Sommes 120120

TABLE DES MATIÈRES2.3. Représentations de permutation, représentation régulière3. Morphismes de représentations3.1. La représentation Hom(Vi, V2)3.2. Opérateurs d'entrelacement, représentations isomorphes1.2. Décomposition des représentations1. Décomposition en somme directe do représentations irréductibles2. Le lemme de Schur et ses conséquences immédiates3. Orthogonalité des caractères4. Applications du théorème principal4.1. Nombre des représentations irréductibles4.2. La décomposition canonique d'une représentation4.3. Un critère d'irréductibilité4.4. La décomposition de la représentation régulière5. Le cas des groupes commutatifs5.1. La transformée de Fourier5.2. Le groupe dual5.3. Le théorème de structure des groupes finis commutatifs6. Table des caractères d'un groupe fini1.3. Construction de représentations1. Constructions tensorielles de représentations1.1. Produit tensoriel d'espaces vectoriels de dimension1.2. Produit tensoriel de représentations1.3. Carré symétrique et carré extérieur d'une représentation2. Représentations induites2.1. Caractère d'une représentation induite2.2. La formule de réciprocité de Frobenius2.3. Transitivité des inductions2.4. Les théorèmes d'Artin et de Brauer3. ExercicesII. Espaces de Banach11.1. Espaces de Banach1. Convergence normale, séries sommables2. Espaces de suites3. Espaces de fonctions continues4. Complétion d'espaces vectoriels normes5. Applications linéaires continues entre espaces de Banach6. Le dual d'un espace de Banach11.2. Espaces de Hilbert1. Espaces de Hilbert1.1. Bases hilbertiennes1.2. Projection orthogonale sur un sous-espace fermé2. Le dual d'un espace de Hilbert3. Le théorème de projection sur un convexe11.3. Exercices1. Espaces de 9149150151152154156158159159160161162164165165

TABLE DES MATIÈRES2. Espaces de Hilbert3. Séries de FourierII.4. Espaces de Banach p-adiques .1. Définition et exemples2. Bases orthonormales3. Le dual d'un espace de Banach p-adique166167168168169171III. Intégration111.1. Intégrale de Lcbesgue1. Dallages et fonctions en escalier2. Ensembles de mesure nulle3. Fonctions mesurables, ensembles mesurables3.1. Fonctions mesurables3.2. La tribu des ensembles mesurables3.3. Fonctions mesurables et ensembles mesurables4. Définition de l'intégrale de Lebesgue4.1. Intégration des fonctions positives4.2. Mesure de Lebesgue d'un ensemble4.3. Intégration des fonctions sommables5. Les théorèmes de convergence monotone et de convergence dominée6. Premières applications111.2. Quelques espaces fonctionnels1. L'espace LX(X)2. L'espace L2(X)3. Convergence dans L1 et L24. Espaces L"111.3. Intégrales multiples1. Le théorème de Fubini2. La formule du changement de variable3. L'intégrale de la gaussienne4. Exercices111.4. Construction de l'intégrale de Lebesgue1. Le théorème de convergence dominée pour les fonctions en escalier bornées2. Mesure et mesure extérieure des ensembles mesurables3. Le théorème de convergence monotone pour les fonctions bornées à support compact4. Limites simples p.p. de fonctions mesurables5. Le théorème de convergence monotone et ses 205IV. Transformée de FourierIV.1. Intégrales dépendant d'un paramètreIV.2. Transformée de Fourier dans L11. Caractères linéaires de R et R m2. Définition et premières propriétés3. Le théorème de Riemann-Lebesgue4. Transformée de Fourier et dérivationIV.3. Formules d'inversion1. Séries de Fourier207207210210210211212214214

TABLE DES MATIÈRES2. Séries de Fourier multidimensionnelles2.1. Le cas du réseau Z m2.2. Le cas d'un réseau quelconque3. La formule de Poisson4. La formule d'inversion de Fourier dans .915. Formules d'inversion dans L16. ExercicesIV.4. Transformée de Fourier dans L21. Transformée de Fourier des fonctions en escalier2. Définition de la transformée de Fourier dans L23. Comparaison des transformées de Fourier dans L1 et L24. Dérivation:217217219221222223224225225227228229V. Fonctions holomorphesV.l. Fonctions holomorphes et fonctions analytiques complexes1. Séries entières2. Rayon de convergence d'une série entière3. Premières propriétés des fonctions holomorphes3.1. Définition3.2. Théorème des zéros isolés et unicité du prolongement analytique3.3. Principe du maximumV.2. La formule intégrale de Cauchy et ses conséquences1. Généralités sur les chemins2. Intégration le long d'un chemin3. Holomorphic des fonctions dérivables au sens complexe4. Construction de fonctions holomorphes4.1. Séries de fonctions holomorphes4.2. Produits infinis de fonctions holomorphes4.3. Fonctions holomorphes définies par une intégraleV.3. Structure locale des fonctions holomorphes1. Le théorème d'inversion locale holomorphc2. Logarithme et fonctions 44245247248248250VI. La formule de Cauchy et celle des résidus (de Cauchy)VI. 1. Homotopie de lacets et formule de Cauchy1. Vocabulaire de topologie algébrique2. Un cas particulier de la formule de Stokes3. Démonstration de la formule de CauchyVI.2. Indice d'un lacet par rapport à un point1. Primitives2. Nombre de tours d'un lacet autour d'un point2.1. Définition2.2. Détermination visuelle de l'indice d'un lacet par rapport à un pointVI.3. La formule des résidus de Cauchy1. Fonctions holomorphes sur une couronne2. Fonctions holomorphes sur un disque ôpointe ; résidus3. La formule des résidus253253253254257259259260260261264264266269

TABLE DES MATIÈRES4. Exercices269VII. Séries de DirichletVII. 1. Séries de Dirichlet1. Abscisse de convergence absolue2. Demi-plan de convergence d'une série de DirichletVII.2. Séries de Dirichlet et transformée de Mellin1. La fonction F dans le plan complexe2. Une formule intégrale pour les séries de Dirichlet3. Prolongement analytique de séries de DirichletVII.3. La fonction zêta de Ricmann1. Séries de Dirichlet attachées à des fonctions multiplicatives2. Prolongement analytique de la fonction (3. Équation fonctionnelle de la fonction zêta4. Les zéros de la fonction ÇVII.4. Fonctions L de Dirichlet1. Caractères de Dirichlet et Fonctions L de Dirichlet2. Conducteur et sommes de Gauss3. Le théorème de la progression arithmétique4. Equation fonctionnelle des fonctions L de DirichletVII.5. Autres exemples1. La fonction de Moebius2. La fonction r de RamanujanVII.6. 9289290291293296296297297A. Le théorème des nombres premiersA.l. IntroductionA.2. Les fonctions ijj et ipi1. Théorème des nombres premiers et comportement de Vi c r i 2. Une formule intégrale pour ipiA.3. Formules explicites1. Énoncé du résultat2. Les fonctions L et en dehors de la bande critique3. La fonction L dans la bande critique4. La fonction JJ dans la bande critique5. ConclusionA.4. Démonstration du théorème des nombres premiers1. Non annulation sur la droite Re(s) 12. ConclusionA.5. Compléments1. L'hypothèse de Riemann et ses conséquences2. L'hypothèse de Ricmann et la fonction M de Mertens3. L'hypothèse de 8319319319320B. Volume de SL n (R)/SL n (Z)B.l. Volume d'objets arithmétiques1. Résultats321321321