LES DÉBUTS DES FONCTIONS L DANS LE MONDE
LES DÉBUTS DES FONCTIONS L DANS LE MONDEAUTOMORPHE.MARC REVERSATRésumé. Le but de ces notes est de décrire comment l’étude desgroupes de Galois des corps de nombres est devenue celle de certaines fonctions L. Elles s’inspirent principalement des ouvragesde Milne ([10]), Lang ([6]), Gelbart ([3]), Shimura ([13]) et Bump([1]), ainsi que de Jacquet-Langlands ([5]), Godement ([4]).Table des matières1. Introduction2. Généralités2.1. Les extensions galoisiennes2.2. Le symbole d’Artin.2.3. Le groupe des classes d’idéaux2.4. Les adèles et les idèles3. Théorie du corps de classes abélien3.1. Théorie du corps de classes abélien global3.2. La théorie du corps de classes abélien local3.3. La théorie du corps de classes abélien : interprétationadèlique4. Séries de Dirichlet, caractères de Hecke, fonctions L4.1. Fonctions L de Dirichlet4.2. Fonctions zêta de Dedekind, caractères de Hecke, fonctionsL5. La thèse de Tate : la correspondance de Langlands pourGL(1)5.1. Fonctions L des caractères de Hecke et fonctions ζattachées aux fonctions lisses5.2. Fonctions L de Hecke et d’Artin6. Les formes modulaires6.1. Les pointes d’un groupe arithmétique6.2. Deux exemplesDate: 24 février 2014.115677810101214151618222529303133
2MARC REVERSAT6.3. Le produit scalaire de Petersson6.4. Les opérateurs de Hecke7. Quelques mots sur la correspondance de Langlands pourGL(2)7.1. Sur les formes et représentations automorphes7.2. Des formes modulaires aux formes automorphes7.3. Sur les fonctions L des représentations automorphes7.4. La correspondanceRéférences34353737404246471. IntroductionLe désir de comprendre la répartition des nombres premiers conduisitRiemann à introduire sa fonction zêtaY11ζ(s) 1 s spp premiern 1 nX! 1,encore de nos jours des conjectures très fortes lui sont attachées, enparticulier relatives au lieu de ses zéros ( 1).Dirichlet repris les idées de Riemann en considérant de manière systématique les sériesX ansn 1 noù (an ) est une suite de nombres complexes ; en particulier si χ est uncaractère modulo un entier N , que l’on nomme aujourd’hui un caractère de Dirichlet, et si an χ(n) pour tout n, si de plus ce caractèren’est pas trivial, alors cette série de Dirichlet définit une fonction holomorphe sur tout le plan complexe. Cette étude conduisit Dirichlet à sonthéorème, sur la répartition des nombres premiers dans les progressionsarithmétiques.Dedekind étendit la fonction zêta de Riemann aux nombres idéauxde Kummer, i.e. aux idéaux des corps de nombres (c’est à dire des1. Des dates sont données dans le paragraphe suivant, des définitions et desdétails dans le corps du texte.
FONCTIONS L3extensions finies de Q). Soient F un corps de nombres et OF son anneaud’entiers, la fonction zêta de Dedekind du corps F estζF (s) XIY11 1 sN(I)N(p)sp! 1,la somme étant suivant les idéaux non nuls de OF et le produit suivantses idéaux maximaux, avec N(I) ](OF /I). Pour F Q on retrouvela fonction zêta de Riemann. L’étude de ces fonctions produisit desinformations sur la répartition des idéaux maximaux d’un corps denombres.L’idée naturelle fut alors de faire pour les fonction zêta de Dedekindl’analogue de l’apport de Dirichlet à la fonction zêta de Riemann. Heckeproposa la notion de Großencharacter d’un corps de nombres F , c’està dire essentiellement de caractère χ du groupe des idéaux, et définitles fonctions suivantes, appelées aujourd’hui les fonctions L de Hecke,ζF (s, χ) XIχ(I),N(I)smais, y compris pour la définition de χ, il y a des difficultés ; cela s’estsimplifié par la suite, avec l’introduction du bon point de vue, c’est àdire des adèles.Toutes ces fonctions ont pour objet l’études des corps de nombreset du principal d’entre eux, le corps des nombres rationnels, de leursidéaux premiers, que l’on appelle aujourd’hui leurs places finies, et deleurs extensions. Parallèlement, mais aussi parfois sous l’impulsion desmêmes personnes, se développa à partir de 1850 et pendant presque unsiècle la Théorie algébrique des nombres et l’un de ses aboutissementsmajeurs, la Théorie du corps de classes abélien, c’est à dire la description des extensions abéliennes finies de corps de nombres en termesdu corps de base. Il est vrai cependant que la Théorie algébrique desnombres n’a pas abouti à une théorie du corps de classes (i.e. à la description des extensions non abéliennes), cette question est toujours endébat, c’est l’objet du Programme de Langlands, dont on dit quelquesmots dans ces notes.L’introduction des idèles et des adèles (des idèles additifs), due pourbeaucoup à Chevalley, a permis une interprétation nouvelle de la théorie abélienne du corps de classe et des fonction L de Hecke, tout enlaissant entrevoir ce que pourrait être une théorie du corps de classesnon abélien. Les idèles fournissent une vision synthétique du groupedes idéaux d’un corps de nombres, ils permettent aussi de constater,par exemple que les formes modulaires, qui conduisent aussi à des fonctions L (cf l’exemple de la fonction de Ramanujan § 6.2), sont en
4MARC REVERSATfait définies sur un espace adèlique, c’est à dire que le demi-plan dePoincaré a une description adèlique, cf (7.6).Pour le cas non abélien la théorie piétinait, cependant quelques avancées importantes eurent lieu sous l’impulsion d’Artin dans les années40-50. Tout d’abord Artin introduisit ses fonctions L attachées auxreprésentations des groupes de Galois des corps de nombres (représentations irréductibles de tous rangs finis, donc tenant compte de l’aspectnon abélien). Dans la thèse de l’un de ses élèves, Tate, en 1950, ces fonction L pour les représentations galoisiennes de rang 1 sont décrites pardes fonctions L automorphes (construites à l’aide de fonctions définiessur les idèles), ces dernières étant la bonne manière d’écrire les fonctionsL de Hecke. Il s’agit encore du cas abélien, puisque les représentationssont de rang 1, mais la description particulièrement lumineuse donnéedes fonctions L des caractères des groupes de Galois mit en évidencel’importance du “monde automorphe” dans les tentatives de compréhension du groupe de Galois absolu de Q.L’étude des représentations galoisiennes de rangs 1 est en cours,la forme actuelle et les nombreuses conjectures (pour l’essentiel nondémontrées à ce jour) ont été proposées par Langlands principalementpendant la période 1967-70 (cf [7]), d’abord dans une lettre à Weil ([8]).De nombreux résultats intéressants ont été établis (par exemple la correspondance locale pour GL(n), Harris-Taylor et Henniart en 2000),mais, même pour GL(2) la correspondance de Langlands globale entrefonctions L des représentations galoisiennes et des représentations automorphes n’est pas connue à ce jour.Il faut remarquer que ce champ de recherche, bien qu’encore largement à défricher, que l’on peut appeler “le monde automorphe”, adonné quelques résultats spectaculaires, comme la démonstration duThéorème de Fermat (Wiles, 1994), ou la correspondance de Langlandspour GL(n) en arithmétique de caractéristique positive (Laurent lafforgue, 2000).Dans les lignes suivantes nous rappelons les différentes fonctions etthéories dont nous venons de dire quelques mots. C’est sans doute souvent trop bref, mais c’est la rançon d’un texte qui ne s’est pas voulutrop long, tout en espérant être accessible aux non spécialistes.
FONCTIONS L5Quelques dates.- Emil Artin, 1898-1962, parmi ses élèves il y a Dwork, Lang, Tate,Zassenhaus, Zorn.- Claude Chevalley, 1090-1984, a suivi les cours d"Émile Picard, a travaillé sous la direction d’Emil Artin et Helmut Hasse, a eu comme élèveJacques Roubaud.- Richard Dedekind, 1831 - 1916, disciple de Kummer, a travaillé avecGauß.- Johann Peter Gustav Dirichlet,1805 - 1859, auteur du “Principe destiroirs”.- Gotthold Eisenstein, 1823 - 1852.- Philipp Furtwängler, 1869 - 1940, élève de Klein.- Johan Carl Friedrich Gauß, 1777 - 1855, a conseillé et encouragé Eisenstein, Riemann.- Erich Hecke, 1887 - 1947.- David Hilbert, 1862 - 1943, il a formé ou conseillé Emmy Noether,Hermann Weyl, Zermelo,von Neumann.- Hervé Jacquet, 1939- , élève de Godement.- Ernst Kummer, 1810 - 1893, a eu pour élèves Cantor, HermannSchwarz.- Robert Langlands, 1936 - .- Louis Mordell, 1888 - 1972.- Hans Petersson, 1902 - 1984.- Srinivasa Ramanujan, 1887 - 1920.- Bernhard Riemann, 1826 -1866.- Teiji Takagi, 1875 - 1960, fondateur de l’école mathématique modernedu Japon.- John Tate, 1925 - , élève d’Artin.- Edmund Taylor Whittaker, 1873 - 1956.
6MARC REVERSAT2. GénéralitésDans ce paragraphe la lettre F désigne un corps de nombres, c’està dire une extension finie de Q, OF est son anneau d’entiers, c’est unanneau noethérien de dimension de Krull 1, ses localisés par rapportà ses idéaux premiers non nuls (i.e. ses idéaux maximaux) sont desanneaux de valuation discrète. OF est un anneau de Dedekind. Si p estl’un de ses idéaux maximaux on désigne par Fp le corps résiduel de Fen p, c’est à dire Fp OF /p, c’est aussi le corps des restes du complétéde F à la place p.Les places à l’ de F, c’est à dire celles qui restreintes à Q donnentsa place usuelle (sa valeur absolue usuelle, à équivalence près) sont les · σ : F R 0 , x 7 σ(x) où σ décrit HomQ (F, C) et · est la norme complexe ; si σ est à valeursréelles la place · σ n’est équivalente à aucune autre, si σ n’est pas àvaleurs réelles alors · σ est équivalente à · σ , où σ est déduit de σpar composition avec la conjugaison complexe ; il vient(1)[F : Q] r1 2r2où r1 est le nombre de places réelles de F et r2 le nombre de ses placescomplexes.Les valuations de F qui ne sont pas à l’ , que l’on dit finies, sontles p-adiques, où p est un idéale maximal de OF .Soient E/F une extension finie et p un idéal maximal de OF . Lenombre d’idéaux premiers P de OE au dessus de p (i.e. tels que P pOE , ce qui est équivalent à P OE p) est fini, notons les P1 , · · · , Pr ,on a(2)pOE Pe11 · · · Perr ,e1 , · · · , er sont les indices de ramification de E en p ; on dit que E estnon ramifié en p si les ei sont tous égaux à 1.Soient Fp et EPi les compétés de F et E pour respectivement lesplaces p et Pi , on a un isomorphisme provenant des plongements Fp , EPi ,(3)E F Fp 'YEPi ,1 i ron désigne par OF/p le complété de OF en la place p, c’est l’anneaude valuation de Fp , on introduit de même la notation OE/Pi , alors lesidéaux maximaux de OF/p et OE/Pi sont respectivement engendrés par
FONCTIONS L7p et Pi , on apOE/Pi Pei i OE/Pi(4)et l’on voit facilement que(5)[EPi : Fp ] ei fi ,où fi [FPi : Fp ] ; les formules (3) et (5) montrent que(6)[E : F ] Xei fi .1 i rOn dit que E est inerte en p si tous les fi valent 1. On dit que l’idéal pest totalement décomposé dans E si les ei et les fi sont tous égaux à 1.Il faut noter que le vocabulaire ramifié, inerte, etc., est utilisé aussipour les corps obtenus par complétions des corps de nombres aux placesfinies, alors on a toujours r 1 (cf (4)) et les extensions inertes sontaussi dites totalement ramifiées. Lorsque l’extension E/F est galoisienne et est inserte on dit aussi qu’elle est totalement ramifiée, celaest expliqué dans le paragraphe suivant.Par analogie les places à l’ réelles sont dites non ramifiées, lesplaces complexes sont dites ramifiées d’indice de ramification 2.2.1. Les extensions galoisiennes. Dans ce paragraphe on supposeque E/F est une extension galoisienne finie de corps de nombres et soitencore p un idéal maximal de OF et P1 , · · · , Pr les idéaux maximaux deOE au dessus de p. Alors Gal(E/F ) opère transitivement sur l’ensembledes Pi , donc les ei et les fi ne dépendent plus de i, on a(7)pOE (P1 · · · Pr )e , [E : F ] ref ,et, pour tout i, [FPi : Fp ] f .Désignons par P l’un des Pi et soitD(P) {σ Gal(E/F ) / σ(P) P} ,c’est un sous groupe de Gal(E/F ) appelé le groupe de décompositionde P. On a des morphismes naturels(8) D(P) Gal(EP /Fp ) Gal(E(P)/F (p) ,le premier étant un isomorphisme, le second étant surjectif. Le noyau,dans D(P), du morphisme composé se note I(P) et s’appelle le grouped’inertie de P ; les considérations précédentes permettent d’affirmerque(9) (D(P) (Gal(EP /Fp )) ef , (I(P)) eet rappelons que (Gal(FP : Fp ) f .
8MARC REVERSAT2.2. Le symbole d’Artin. On suppose toujours que E/F est uneextension galoisienne finie de corps de nombres, soit p un idéal maximalde OF et P un idéal maximal de E au dessus de p. Le groupe de GaloisGal(FP : Fp ) est engendré par le morphisme de Frobenius de Fp , c’està dire, si qp ](Fp ), par le morphisme x 7 xqp . Soit σ D(P) quirelève ce morphisme de Frobenius. On écritσ (P, E/F ) ,il faut remarquer que ceci n’est défini qu’à la conjugaison près par unélément de I(P), donc est bien défini si P n’est pas ramifié sur p. SoitP0 un autre idéal de E au dessus de p, alors il existe τ Gal(E/F ) telque τ (P) P0 , doncD(P0 ) τ D(P)τ 1 , (P0 , E/F ) τ (P, E/F )τ 1 .Ainsi à tout premier p de F on associe une classe de conjugaison deGal(E/F ), notée (p, E/F ) et appelée le symbole d’Artin de p dans E,on a(p, E/F ) {(P, E/F ) / P F p} ,si p est non ramifié dans E chaque élément (P, E/F ) de (p, E/F ) estd’ordre f (P/p) [FP : Fp ], le degré résiduel de l’extension E/F en P.Si l’extension E/F est abélienne, la classe (P, E/F ) est réduite à unseul élément et ne dépend que de p, de même D(P) ne dépend que dep et on le note D(p), le symbole d’Artin se note aussi (p, E/F ), c’estun élément de D(p).Les symboles d’Artin jouent un rôle important, comme le montrele résultat suivant : soit E/F une extension galoisienne de corps denombres, alors le nombre de places ramifiées de F dans E est fini. Parexemple, si E F [T ]/P (T ), où P (T ) est un élément irréductible deF [T ], avec des hypothèses suffisamment génériques, les places finies deF ramifiées dans E sont celles qui divisent le discriminant de P (T ), cf[6], I, § 8, p. 25.2.3. Le groupe des classes d’idéaux. On appelle idéal fractionnairede F tout sous-OF -module I de F tel qu’il existe λ F avec λI OF .Les idéaux fractionnaires non nuls forment un groupe multiplicatif, soitCF {groupe des idéaux fractionnaires non nuls de F}/F ,(F est ici une manière rapide d’écrire l’ensemble des idéaux fractionnaires principaux) c’est le groupe des classes d’idéaux de F , il est fini,son ordre s’appelle le nombre de classes de F .Par exemple le nombre de classes de Q est 1, de même pour celuide Q(i), mais celui de Q( 5) est 2 (ce n’est pas évident à montrer !).
FONCTIONS L9La détermination du nombre de classes d’un corps denombre est engénéral difficile.Pour tout nombre premier impair soit ζp C une racine primitivep-ème de l’unité, on sait depuis la fin du 19ème siècle démontrer leThéorème de Fermat pour l’exposant p lorsque le corps Q(ζp ) est denombre de classes 1, mais ceci n’est vrai que pour un nombre fini dep (Kummer). On pense d’ailleurs que se trouve là l’erreur de Fermatquand il affirma avoir prouvé son Théorème, d’avoir supposé, sans biensûr le formuler dans les termes qui vont suivre, tous les Q(ζp ) de nombrede classes 1, c’est à dire que leurs anneaux d’entiers Z(ζp ) soient factoriels (cf [12], commentaire en haut de la page 20, où cette opinion estrenvoyée à C. L. Siegel). Lorsque le nombre de classes de Q(ζp ) n’estpas divisible par p, on dit alors que le nombre premier p est régulier,Kummer a aussi démontré le Théorème de Fermat pour l’exposant prégulier, mais l’on ne sait pas grand chose de ces nombres premiers, onsait qu’il en existe mais on ne sait pas s’il sont en nombre infini( 2).2.4. Les adèles et les idèles. Un bonne manière de regarder lesidéaux d’un corps de nombre et les groupes des classes est d’introduireles adèles et les idèles.La lettre F désigne toujours un corps de nombres, soit VF ou Vl’ensemble de ses places, pour toute place v on note Fv le complété deF , OFv ou Ov , pFv ou pv l’anneau et l’idéal de valuation de ce dernierlorque v est une place finie. SoitAF {(xv )v V YFv / xv Ov pp }v V(pp signifie “presque partout”, c’est à dire “pour tous sauf un nombrefini”)GL(n, AF ) {(xv )v V YGL(n, Fv ) / xv GL(n, Ov ) pp }v VUneQbase de voisinages ouverts de 0 AF est donnée par la familledes v V Uv , où Uv est un voisinage ouvert de 0 Fv et Uv Ov pp.Ceci fait de AF un anneau topologique. De même une base d’ouvertsQde 1 GL(n, AF ) est donnée par les v V Uv , où cette fois Uv est unvoisinage ouvert de 1 GL(n, Fv ) et Uv GL(n, Ov ) pp. Ceci fait deGL(n, AF ) un groupe topologique.2. Mais le Théorème de Fermat est démontré, par A. Wiles, 1995, par des méthodes qui relèvent du monde automorphe.
10MARC REVERSATOn dit que AF est l’anneau des adèles de F , que ses éléments sont lesadèles de F . De même GL(n, AF ) est le groupe des adèles de GL(n, F ),ses éléments sont les adèles de GL(n, F ).On ne considèrera GL(n, AF ) que pour n 1 ou 2. Pour n 1,GL(1, AF ) s’appelle le groupe des idèles de F et se note aussi A F , maiscette notation est trompeuse car sa topologie n’est pas induite par cellede AF ( 3)Les adèles ou idèles finis se définissent comme au dessus, mais en neconsidérant que les places finies de F , ils se notent AF,f ou Af , A F,f ou Af , GL(n, AF,f ) ou GL(n, Af ). On poseOf Yv finieOv , Kf,n YGL(n, Ov ) ,v finieon écrira Kf,1 Kf ; ce sont des sous-anneau ou sous-groupes ouvertscompacts des adèles finis.Tout ce qui a été fait pour GL(n) peut l’être aussi pour SL(n).Étant donné un idèle x (xv ) on peut définir sa norme : x Qv V xv v , où · v est la valeur absolue v-adique de F ainsi normalisée,c’est la valeur absolue usuelle si v est une place infinie, aux places finies,si πv est une uniformisante de Fv , on a πv v 1/qv où qv est le cardinaldu corps des restes de Fv . Le groupe des idèles de norme 1 est noté A F,1ou A 1.Proposition 2.1.(1) Les morphismes canoniques F Fv font deF un sous-anneau discret de AF , le quotient F \AF est compact.(2) Les morphismes canoniques F Fv font de F un sous groupe discret de A 1 et le quotient F \A1 est compact.(3) SL(n, F ) est discret dans SL(n, AF )SL(n, F )\SL(n, AF ) est compact.etlequotientLes deux premières assertions sont montrées dans [2], la troisièmedans [?].Soit I un idéal fractionnaire de F , soit v une place finie de F . L’idéalfractionnaire IOv de Fv est principal, on voit qu’à I on peut associerun élément de A f /Kf . On voit que l’on a un isomorphisme de groupes(10)CF ' F \A f /Kf ,de plus, pour une place finie v de F , les sous-Ov -modules projectifsde Fvn étant à isomorphismes près de la forme Ovn 1 Iv , où Iv est un(p)3. Soit F Q, pour tout nombre premier p soit up (xv )v V défini par(p)(p)xv 1 si v 6 p et xp p, alors la suite (up ) converge vers 1 dans AF mais pas dans AF .
FONCTIONS L11idéal fractionnaire de Fv , on a de même une bijection(11)CF GL(n, F )\GL(n, Af )/Kf,n .3. Théorie du corps de classes abélien3.1. Théorie du corps de classes abélien global. Elle fut développée entre 1850 et 1927, par Kronecker, Weber, Hilbert, Takagi, Artin.3.1.1. Les extensions abéliennes non ramifiées. La lettre F désigne uncorps de nombres. Soient CF son groupe des classes d’idéaux et H l’unde ses sous-groupes. On dit qu’une extension E de F est un corps declasses pour H si(1) l’extension E/F est abélienne et finie,(2) l’extension E/F est non ramifiée, y compris à l’ ,(3) les idéaux de F qui se décomposent dans L sont mod. F dansH.Théorème 3.1. Un corps de classes E existe pour tout sous groupeH de CF , il est unique (une fois fixée une clôture algébrique F alg ) etCF /H ' Gal(E/F ).Toute extension vérifiant (1) et (2) est le corps de classes pour uncertain sous-groupe de CF .L’isomorphisme CF /H ' Gal(E/F ) consiste à associer son symboled’Artin à tout idéal premier de F qui n’est pas dans H.Si H {1}, le corps de classes L pour H s’appelle le corps declasses de Hilbert, son existence a été conjecturée par Hilbert (1897) etprouvée par Furtwängler (1907). C’est la plus grande extension de Fnon ramifiée partout, y compris à l’ , les idéaux premiers de F
4.2. ons L 18 5. La thèse de Tate : la correspondance de Langlands pour GL(1) 22 5.1. Fonctions Ldes caractères de Hecke et fonctions ζ attachéesauxfonctionslisses 25 5.2. FonctionsLdeHeckeetd’Artin 29 6. Lesformesmodulaires 30 6.1.
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