Guía Rápida Para El Nuevo Usuario De Mathematica 5

Mathematica5.nb8Funciones usualesVeamos ahora una tabla de las funciones más usuales y su sintaxis en Notación en MathematicaSqrt[x]E x o bien Csc[x]ArcSin[x]Sinh[x]ArcSinh[x]Muchas de estas funciones se encuentran en la paleta BasicCalculations/ Trigonometricand Exponential Functions.

Mathematica5.nb9Comandos algebraicos usualesMediante el comando Expand[] podemos obtener el desarrollo de las expresiones introducidas (por ejemplo, la aplicación de la propiedad distributiva, el desarrollo del cuadrado delbinomio.). Esta orden también se encuentra en la paleta Algebraic Manipulation. Pasemos aexplicar algunas de las operaciones algebraicas que se encuentran en dicha gFactor[x]Veamos algunos ejemplos:Expand@H1 - xL 3D1 3 x 3 x2 x3Factor@%D H 1 xL3SignificadoForma expandida (efectúa sumas, productos, potencias ).Factoriza x (escribe x como producto de factores mínimos).Escribe todos los términos de x con un denominador común.Separa x en términos con denominadores lo más simples posible.Cancela factores comunes que posean numerador y denominador.Simplifica x siguiendo reglas algebraicas estándar.Simplifica x usando reglas algebraicas más potentes.Expande expresiones trigonométricas en suma de términos.Factoriza expresiones trigonométricas en producto de términos.

Mathematica5.nb10Expand@H1 x 3 yL 4DFactor@%DFactor@x 10 - 1DExpand@%D1 4 x 6 x2 4 x3 x4 12 y 36 x y 36 x2 y 12 x3 y 54 y2 108 x y2 54 x2 y2 108 y3 108 x y3 81 y4H1 x 3 yL4H 1 xL H1 xL H1 x x2 x3 x4 L H1 x x2 x3 x4 L 1 x10Resolución de ecuaciones y sistemas de ecuacionesPara determinar los ceros de una función, podemos usar los comandos Solve[ecuación,variables] y Nsolve[ecuación, variables] (Paleta BasicCalculations/Algebra/SolvingEquations) siempre que la función sea polinómica o tenga una forma sencilla de expresión: Solve[ ]da el valor exacto de las raíces de la función y NSolve[ ] da el valor aproximado de las mismas.En el caso de que la función sea más compleja, se pueden calcular aproximaciones de las raícesutilizando la orden FindRoot[ ], que utiliza métodos numéricos para su resolución.Ejemplo.- Calculemos las raíces de f(x) x2 5x:Solve@x 2 5 x 0, xD88x 5 , 8x 0 Mathematica proporciona la respuesta en el formato que hemos visto. Nótese que debeescribirse el doble signo igual entre la función y el valor cero para indicar que es una ecuación.La x que figura después de la coma identifica la variable o incógnita a despejar.Si intentamos hallar, mediante el comando anterior, las raíces de g(x) x3-7x2 6x 4obtendremos una expresión complicada, que es el valor exacto de cada una de ellas (le sugerimos probarlo). Si solo deseamos una aproximación de las mismas, usaremos el comandoNSolve[]:

Mathematica5.nb11NSolve@x 3 - 7 x 2 6 x 4 0, xD88x 0.433665 , 8x 1.57414 , 8x 5.85952 El comando FindRoot[] es útil para aproximar algún cero de la función dada.Podemos utilizarla en una de las dos siguientes versiones: FindRoot[función,{x,x0}]que utiliza el Método de Newton (o método de la tangente) tomando como punto incial x x0 oFindRoot[función,{x,x0,x1}] que utiliza una variante del Método de la secantetomando como puntos iniciales x x0 y x x1.Como este comando usa métodos aproximados iterativos, es posible que si damosvalores muy alejados para los puntos iniciales, Mathematica no pueda encontrar una solución (ola solución que buscamos). Es conveniente hacer primero una gráfica de la función para “ver”dónde se anula la función (más adelante explicaremos algo más sobre las representacionesgráficas). Por ejemplo, hallemos un cero de la función h(x) sen(x 2)-cos(x):Plot@Sin@x 2D - Cos@xD, 8x, -Pi, Pi D21.510.5-3-2-1123-0.5-1GraphicsObservamos que la función presenta un cero (corta al eje de abscisas) en el intervalo(0,1). Por lo tanto hacemos:FindRoot@Sin@x 2D - Cos@xD, 8x, 0, 1 D8x 0.849369

Mathematica5.nb12Repitiendo el procedimiento, podremos hallar cualquier otra raíz que nos propongamos.Para sistemas de ecuaciones algebraicas bastará escribir las ecuaciones entre llaves eindicar las variables del sistema.Solve@82 x 3 y 4, x y 3 , 8x, y D88x 5, y 2 Vectores y matricesPara definir un vector de tres coordenadas basta con escribir los elementos entre llaves y separados por comas. Igualmente, para definir una matriz bastará escribirla como un vector de vectores que corresponderán a las filas de la matriz. También se puede usar la paleta BasicCalculations/ Lists and Matrices, como se verá luego. Definamos dos vectores:v1 81, 2, 3 v2 82, 6, -3 81, 2, 3 82, 6, 3 Nótese que se ha asignado a dos variables el valor de vectores con el signo " ".Podemos hacer el producto escalar entre ellos:v1.v25o tambiénDot@v1, v2D5

Mathematica5.nb13También el producto vectorial:Cross@v1, v2D8 24, 9, 2 Y ojo con el resultado de esta multiplicación (elemento a elemento):v1 * v282, 12, 9 Finalmente, para obtener el elemento i-ésimo de un vector haremos Part[v,i]. Porejemplo, el segundo elemento de v1 esPart@v1, 2D2Una vez que hemos visto cómo se introducen vectores manualmente, veamos que también es posible generarlos con la orden Table[], cuya definición ,{i,imin,imax}]genera un vector con imax copias de expr.genera un vector variando expr desde i 1 hasta i imax.genera un vector variando expr desde i imin hastai imax.Table[expr,{i,imin,imax,di}] genera un vector variando desde imin hasta imax con saltos di.Veamos algunos ejemplos:Table@n 2, 8n, 4 D81, 4, 9, 16 Table@Sin@xD ê x, 8x, 1, 3, 0.2 D8Sin@1D, 0.776699, 0.703893, 0.624734, 0.541026,0.454649, 0.367498, 0.281443, 0.19827, 0.119639, 0.04704

Mathematica5.nb14Table@2 a, 8a, 2, 6 D84, 6, 8, 10, 12 Pasemos ahora a aspectos básicos del Cálculo Matricial. Definamos un par de matrices:a 881, 2, 5 , 8-2, 5, 7 , 81, 0, 3 b 881, 1, 1 , 86, 3, 2 , 81, -3, 0 881, 2, 5 , 8 2, 5, 7 , 81, 0, 3 881, 1, 1 , 86, 3, 2 , 81, 3, 0 Podemos expresarlas en el formato tradicional utilizando la orden MatrixForm[]:MatrixForm@aDMatrixForm@bD1 2 5yijzjjz 25 7zjzjzjzk 1 0 3{1 1 1yijzjjz6 3 2zjzjzjzk 1 3 0 {La multiplicación no es más que a.b, pero si queremos que el resultado tenga la forma tradicional haremos:MatrixForm@a.bD18 8 5 yijzjjz35 8 8 zjzjzjz4 81k{Además, como es de esperar, podemos multiplicar matrices con vectores y matrices conescalares:

Mathematica5.nb15MatrixForm@a.v1D20 yijzjjz29 zjzjzjzk 10 {MatrixForm@2 aD2 4 10 yijzjjz 4 10 14 zjzjzjzk 2 0 6 {También es posible introducir matrices mediante el uso de las paletas. En varias de laspaletas (BasicInput, BasicCalculations y otras) aparece la opción correspondiente a una matriz2x2. Una vez seleccionada esta opción, podemos añadirle filas y columnas pulsando Ctrl Entery Ctrl "," respectivamente.En la siguiente tabla se resumen algunas de las operaciones matriciales más usuales,como el cálculo del determinante, los autovalores o valores propios, los autovectores o vectorespropios, la inversa, etc.OperaciónInversaDeterminanteValores propiosVectores propiosPolinomio característicoRangoTraspuestaTrazaReducida por filasMatriz DiagonalMatriz Identidad nxnEspacio nulo de aNotación en ,.}]IdentityMatrix[n]NullSpace[a]

16jjjj13jj16jjjj 5 k 1638 1818 1116 1716916 yzzzzzzzzzz{Eigenvalues@aD911è!!!!!!è!!!!!!I7 17 M, 2,I7 17 M 22Eigenvectors@aD13è!!!!!!è!!!!!!I7 17 M, 5 I7 17 M, 1 ,2413è!!!!!!è!!!!!!8 1, 3, 1 , 9 3 I7 17 M, 5 I7 17 M, 1 2499 3 MatrixRank@aD3MatrixForm@Transpose@aDDi 1 2 1 zyjjjz2 5 0zjzjzjzk5 7 3 {RowReduce@aD881, 0, 0 , 80, 1, 0 , 80, 0, 1

Mathematica5.nb17MatrixForm@%D1 0 0yijzjjz0 1 0zjzjzjzk0 0 1 {Merece especial atención la orden Eigensystem[], ya que ésta proporciona directamente los autovalores y autovectores de la matriz en la misma salida. Concretamente,Eigensystem[] proporciona un primer vector con los autovalores de la matriz y un segundovector cuyos elementos son autovectores asociados a los autovalores anteriormente ordenados yque, si es posible, forman una base del espacio. En el caso de que no se pueda obtener una baseformada por autovectores, Mathematica añadirá vectores nulos hasta completar la base (luegono sería una base). Así, tanto Eigenvectors[] como Eigensystem[] proporcionanautovectores linealmente independientes en número máximo.Para la matriz "a" que estamos usando como ejemplo, la orden Eigensystem[a]proporciona la misma información que la aplicación sucesiva de Eigenvalues[a] 7 17 M, 2,I7 17 M ,2213è!!!!!!è!!!!!!99 3 I7 17 M, 5 I7 17 M, 1 ,2413è!!!!!!è!!!!!!8 1, 3, 1 , 9 3 I7 17 M, 5 I7 17 M, 1 2499Para una matriz no diagonalizable, no nos puede proporcionar una base formada porautovectores:c 881, 1, 3 , 80, 1, 2 , 80, 0, 2 MatrixForm@cD881, 1, 3 , 80, 1, 2 , 80, 0, 2 1 1 3yijzjjz0 1 2zjzjzjzk0 0 2 {

Mathematica5.nb18Eigensystem@cD882, 1, 1 , 885, 2, 1 , 81, 0, 0 , 80, 0, 0 Nota: En Mathematica todo lo que esté escrito entre llaves y debidamente separado porcomas es una lista, como un vector o una matriz, y responderá a las propiedades de éstos.Definición de variables y funcionesComo hemos visto con los vectores, podemos asignarle valores a las variables para así facilitarnos el trabajo. Si queremos que a partir de este momento la variable x valga 7 haremos:x 77A partir de este momento cualquier cálculo que realicemos en donde intervenga la x,ésta equivaldrá al valor dado:x 411x 2 x - 353Es importante destacar que los valores asignados a las variables son permanentes. Unavez que se haya asignado un valor a una variable concreta, el valor permanecerá hasta que no“liberemos” o "limpiemos" a esta variable. Por supuesto, el valor desaparecerá cuando reiniciemos el núcleo o empecemos una nueva sesión de Mathematica. Para liberar a las variablesbastará conClear@xDO bien

Mathematica5.nb19x .Cuando definimos una función en Mathematica, debemos especificar el nombre de lamisma y su variable independiente. Por ejemplo:f @x D : x 2 5 xObsérvese que esta entrada no produce una salida. Esto se debe a los dos puntos delantedel signo de igualdad. Lo que hacemos al añadir los dos puntos equivale a un pequeño programa que se ejecutará cada vez que lo llamemos. En cambio, si no añadimos los dos puntos,Mathematica ejecutará la función inmediatamente.Notemos también que la variable x lleva un guión bajo " " delante del signo igual. Estoes para que el programa entienda que se trata de una variable muda, es decir, x puede llevarcualquier nombre o valor. Es importante recordar esto para evitar posibles errores, ya que si sehubiese escrito f[x]: x 2 se habría asignado el valor x 2 al objeto f[x] en vez de a lafunción f y no entenderá, por ejemplo, f[3] ó f[y].Podemos calcular el valor numérico de la función f que hemos definido, para distintosvalores de x:f @3D24f @-3 ê 2D 214También podemos trabajar con argumentos matriciales o simbólicamente, comovemos en los ejemplos siguientes:Clear@aDf @aD5 a a2

Mathematica5.nb20f @a hD5 Ha hL Ha hL2Expand@%D5 a a2 5 h 2 a h h2Funciones definidas a trozosLas funciones definidas a trozos pueden introducirse de diferentes formas. Veámoslas con lafunción f(x) 2x, si x -1, f(x) -x, si -1 x 3, f(x) x 2-4, si x -1. Como usaremos el nombre f para una nueva función, es conveniente “limpiarla” antes de volver autilizarla:Clear@f DPrimera forma:f @x D : 2 x ê; x -1;f @x D : -x ê; -1 x 3;f @x D : x 2 - 4 ê; x 3;Los signos de menor o igual y de mayor o igual se escriben como y respectivamente. Esto define cada uno de los trozos de f, pero se puede definir toda la función de unavez. El ";" al final de cada línea sirve para que, aunque se ejecuten, no produzcan salidas.Segunda forma:Usando el comando Which[]:f @x D : Which@x 1, 2 x, -1 x 3, -x, x 3, x 2 4DLa gráfica de esta función (véase la sección Representación Gráfica) es:

Mathematica5.nb21Plot@f @xD, 8x, -5, 5 , PlotRange - 8-10, 10 D107.552.5-4-224-2.5-5-7.5-10GraphicsHemos agregado PlotRange- {-10,10} al comando Plot[]. Con esto hacemosque represente los valores de la función que están comprendidos entre los valores pedidos, esdecir, los valores del recorrido comprendidos entre -10 y 10. Ésta y otras opciones gráficas severán con más detalle en capítulos posteriores.Nota: las líneas verticales que aparecen no forman parte de la gráfica de la función.Para obtener una gráfica donde estas verticales no aparezcan, podemos utilizar el comandoShow[], pero no vamos a entrar ahora en más detalles de los necesarios.Cálculo de límitesUna vez que hemos aprendido a definir funciones, ya podemos manipularlas cómodamente y loprimero que vamos a aprender es a calcular límites. Podemos calcular el valor de la funcióncos(x 2) en el punto x 0 simplemente reemplazando el valor x por 0 (no es necesario ni conveniente hacer esto para calcular límites, pero así aprendemos a realizar sustituciones).Cos@x 2D ê. x - 01Pero si hacemos esto mismo para algunas funciones especiales, como por ejemplosen(x)/x, obtenemos una indeterminación:

Mathematica5.nb22Sin@xD ê x ê. x - 0——1encountered. More 0 ::indet : Indeterminate expression 0 ComplexInfinity encountered.Power::infy : Infinite expressionMore IndeterminatePara encontrar el valor correcto al que tiende esta función en el punto, necesitamostomar límite. La orden es (también en la Paleta 3, BasicCalculations/Calculus)Limit[expr,x x0]Límite de expr cuando x tiende a x0.Limit[expr,x x0,Direction 1]Límite lateral por la izquierda.Limit[expr,x x0,Direction -1] Límite lateral por la derecha.Así, haremosLimit@Sin@xD ê x, x - 0D1Si un límite no existe o vale infinito, obtendremos una salida que así lo indique:Limit@Sin@xD ê x 2, x - 0D Los límites laterales de la función 1/x en el punto x 0 seránLimit@1 ê x, x - 0, Direction - 1D Limit@1 ê x, x Ø 0, Direction Ø -1D Curiosidad: Obsérvese qué ocurre cuando calculamos el límite de la funciónsen(1/x) cuando x tiende a cero.

Mathematica5.nb23DerivaciónPara calcular la derivada de una función podemos utilizar los símbolos de derivadas parcialesque aparecen en la paleta BasicInput o directamente alguna de las siguientes órdenesD[f[x],x]Derivada (o derivada parcial) de f con respecto a x.D[f[x],{x,n}]Derivada parcial n-ésima de f con respecto a x.D[f[x1,x2,.],x1,x2, ] Derivada parcial de f con respecto a x1, x2, La última de las tres funciones es válida para funciones de varias variables. Dedicamosuna sección posterior al estudio de la derivación, integración, etc. de este tipo de funciones.Definamos una nueva función f y derivémosla:Clear@fDf@x D : x 2 3 x 4D@f@xD, xD 3 2 xTambién es posible calcular la derivada de una función con f'[x]. Es más, tambiénla función Derivative[] sirve para el cálculo de derivadas aunque la estructura es algodistinta (véase la Ayuda). Adelantamos únicamente que Derivative[1][f] equivale af'[x].f '@xDDerivative@1D@fD 3 2 x 3 2 #1 &Obsérvese que la segunda salida es distinta a la segunda. En realidad se ha obtenido elmismo resultado ya que Mathematica nos está indicando con los símbolos #1& que la constante2 va multiplicada por la primera de las variables de la función f. Esto se debe a que Mathematica ha transformado la orden Derivative[1][f] en D[f[#]&,{#,1}] para resolverla.Así, podemos calcular la derivada primera de la función seno sin especificar la variableejecutando

Mathematica5.nb24Derivative@1D@SinDCos@#1D &Podemos derivar funciones más complicadas, incluso dependientes de variosparámetros. Definamos, por ejemplo, una función dependiente de dos parámetros, a y b (en casode que a ó b ya hubiesen sido utilizadas antes y se les hubiese asignado valores se deberían deliberar para lo que usaríamos la orden Clear[a], Clear[b] o, directamente,Clear[a,b]). La función y su derivada sonClear@a, bDg@x D a Log@x Cos@xDD b Sin@a b ê xDD@g@xD, xDa Log@x Cos@xDD b SinA abExa b2 Cos@ axb Da Sec@xD HCos@xD x Sin@xDL x2xPodemos simplificar haciendo:Simplify@%Da Hx b2 Cos@ axb D x2 Tan@xDLx2O de esta otra manera (ver detalles de estas funciones en la Ayuda)FullSimplify@%Da Hx b2 Cos@ axb DL a Tan@xDx2Otras de las funciones más frecuentes que nos encontraremos en problemas de variasvariables es el cálculo del vector gradiente, Grad[función,Cartesian[x,y,z]]. Estaorden se encuentran en el paquete Calculus VectorAnalysis (que tenemos que cargarpreviamente):Veamos un ejemplo:

Mathematica5.nb25f@x , y , z D : x 2 y 3 z Calculus VectorAnalysis Grad@f@x, y, zD, Cartesian@x, y, zDD82 x y3 , 3 x2 y2 , 1 IntegraciónPara resolver un problema de integración, como viene siendo habitual, tenemos dos maneras deabordarlo: o bien usamos la orden Integrate[], o bien los símbolos de la paleta BasicInput.La orden Integrate[] tiene tres usos distintos:Integrate[f,x] para una primitiva de f con respecto a la variable x.Integrate[f,{x,xmin,xmax}] para la integral definida de f con respecto a x enel intervalo xmin y xmax.Integrate[f,{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax}] para la integral múltiple(doble) de f con respecto a x e y (se verá más indadeg(x) alog(xcos(x)) bsen(ab/x) (definida en la sección anterior) con la paletaindicada y con la orden anterior:‡ g@xD „ x a x 12a x2 a b2 CosIntegralAa x Log@x Cos@xDD 12abE a x Log@1 xa PolyLog@2, 2x2x2xD b x SinAD abExIntegrate@g@xD, xD a x 12a x2 a b2 C

Guía rápida para el nuevo usuario de Mathematica 5.0 Mathematica y MathReader son marcas registradas de Wolfram Research. Por Eugenio Manuel Fedriani Martel (efedmar@dee.upo.es) y Alfredo García Hernández-Díaz (agarher@dee.upo.es)