Sistemas De Controle - Dca

Exemplo 2: Sistema com 4 pólos e 1 zero reaisConsidere agora o seguinte sistema:R(s) K-C(s)(s 2)(s 4)1 G(s)H(s) 1 (s 1)K (s 1)s 10 s 3 32 s 2 32 s4s(s 4)1. Escrever o polinômio característico domodo que o parâmetro de interesse (K)apareça claramente:1 KP(s) 1 K2. Fatorar o polinômio P(s) em termos dosnP pólos e nZ zeros.P(s) s 1s 10 s 32 s 2 32 s43(s 1)s(s 2)(s 4) 2Im3. Assinalar os pólos e zeros de malhaaberta no plano s com os símboloscorrespondentes:5Pólo commultiplicidade 2ReX Pólos e O Zeros.-5-4-3-2-10O LGR começa nos pólos e termina noszeros.-54. Assinalar os segmentos do eixo real quesão LGR.Trecho entre2 pólosPólo commultiplicidade 2Im5Total de2 pólos e zeros(nº Par)Re-5O LGR se situa à esquerda de um númeroímpar de pólos e zeros.5. Determinar o nº de lugares separados,LS nP, quando np nZ;-4-3-2-1Total de3 pólos e zerosTotal de(nº Impar)1 pólos e zeros(nº Impar)0-5LS nP 46. LGR é simétrico em relação ao eixo real .8Sistemas de Controle

7. (nP - nZ) seguimentos de um LGRprosseguem em direção aos zerosinfinitos ao longo de assíntotascentralizadas em σA e com ângulos φA.σA φA ( pjIm) ( z i )180ºnP nz(2q 1) 180 o , q 0,1,2,., (nnP nzP560º n z 1)Re-5-4( 2) 2( 4) ( 1) 9 34 13(2q 1)180 o φ A 60 o ; q 0φA 4 1 φ A 180 o ; q 1 o(n P n z 1) 2 φ A 300 ; q 2σA -3-2-10300ºσA -58. Determinar o ponto de saída (se existir)sobre o eixo real.1º Fazer K p(s);dp(s)2º Determinar as raízes de 0.dss 1 s 10 s 32 s 2 32 ss 4 10 s 3 32 s 2 32 s p(s) K s 1dp(s)3s 4 24 s 3 62 s 2 64 s 32 ds(s 1)2logo:dp(s) 0 s 2,5994ds1 KP(s) 1 K4Sistemas de ControleIm5dp(s) 0 s -2,5994ds(Pto. de saída sobre Re)3Re-5-4-3-2-10-59

Exemplo 3: Sistema com 2 pólos reais e 2 pólos complexosEx.: Considere agora o seguinte sistema:R(s) -KC(s)2s ( s 8s 32 )1 G(s)H(s) 1 1Ks 12 s 64 s 2 128 s43(s 4)1. Escrever o polinômio característico domodo que o parâmetro de interesse (K)apareça claramente:1 KP(s) 1 K2. Fatorar o polinômio P(s) em termos dosnP pólos e nZ zeros.P(s) 1s 12 s 64 s 2 128 s431s(s 4)(s 4 4i )(s 4 4i )103. Assinalar os pólos e zeros de malhaaberta no plano s com os símboloscorrespondentes:X Pólos e O Zeros.5-10-8-6-40-22-5O LGR começa nos pólos e termina noszeros.-10Im 10Total de2 pólos e zeros(nº Par)4. Assinalar os segmentos do eixo real quesão LGR.5Re-10O LGR se situa à esquerda de um númeroímpar de pólos e zeros.5. Determinar o nº de lugares separados,-8-6-4-2Total de1 pólos e zeros(nº Impar)02-5-10LS nP 46. LGR é simétrico em relação ao eixo real .10Sistemas de Controle

7. (nP - nZ) seguimentos de um LGRprosseguem em direção aos zerosinfinitos ao longo de assíntotascentralizadas em σA e com ângulos φA.σA 10135º5(0) ( 4) ( 4) ( 4) 12 344(2q 1)180 o φ AφA φ A4 φ A(n P n z 1) 3 φ A 45 o ; q 045º225º-10-80-4 -3 -2-6 315ºσA 135 o ; q 12-5 225 ; q 2o 315 o ; q 3-108. Determinar o ponto de saída (se existir)sobre o eixo real.1º Fazer K p(s);dp(s)2º Determinar as raízes de 0.ds11 KP(s) 1 K 4 3s 12 s 64 s 2 128 s p(s) K s 4 12 s 3 64 s 2 128 s dp(s) 4 s 3 36 s 2 128 s - 128dslogo:dp(s) 0 s 1,5767ds9. Utilizando o critério de Routh-Hurwirtz,determinar o ponto no qual o eixo real écruzado (se isso ocorrer).O polinômio característico é:80604020-4-3s4s3s2s1s0s 4 12 s 3 64 s 2 128 s K 0A partir do critério de Routh-Hurwirtz,determinamos o polinômio auxiliar:53,3334 s 2 568,8889 0cujo as raízes determinam os pontos onde oLGR cruza o eixo imaginário.s1,2 3,2660 iSistemas de Controlep(s)(-1,5767; 83,5704)112b1c1Kb1 c1 -20 s-164128KK12(64) 128 53,333312b1 (128) 12(K ) 128 0,2250Kb1Logo, o limite de ganho para estabilidade é:K 128 568,88890,225011

Im 1010. Usando a condição de ângulo, determinaro ângulo de partida para os póloscomplexos e o ângulo de chegada para oszeros complexos. P(s) 180 q360 em s pj ou zi.oθ1 225º5-10-8-6-4-290ºLogo:θ1 180 (90 90 135 ) 225ooooθ3 135ºRe0290ºo-5Por simetriao-10dp(s) 0 s -1,5767ds(Pto. de saída sobre Re)101055 3,2660 i-10-8-6-4-202-10-8-6-4-22-5-5-10-102.30LGR para Funções de Transferência TípicasG(s)LGRIm1.Ks τ1 1- τ1Re112Sistemas de Controle

Im2.K(s τ1 1)(s τ 2 1)- τ1Re- τ112Im3.K(s τ1 1)(s τ 2 1)(s τ 3 1)- τ13- τ12- τ1 Re1Im4.KsReIm5.Ks(s τ1 1)- τ1Re1Sistemas de Controle13

Im6.Ks(s τ1 1)(s τ 2 1)- τ12- τ1Re1Im7.K(s τ a 1)s(s τ 1 1)(s τ 2 1)- τ12- τ1a- τ1Re1Pólo commultiplicidade 28.Ks2RePólo commultiplicidade 29.Ks (s τ1 1)2Im- τ1ImRe114Sistemas de Controle

Im10.K(s τ a 1); τ a τ1s 2 (s τ1 1)- τ1- τ1Rea1Pólo commultiplicidade 311.Ks3RePólo commultiplicidade 312.K(s τ a 1)s3Im- τ1ImReaImPólo commultiplicidade 313.K(s τ a 1)(s τ b 1)s3Sistemas de Controle- τ1 - 1τabRe15

Pólo commultiplicidade 214.K(s τ a 1)s (s τ 1 1)(s τ 2 1)2- τ1- τ1- τ112ImReaIm15.2.4K(s τ a 1)(s τ b 1)s(s τ 1 1)(s τ 2 1)(s τ 3 1)(s τ 4 1)ReLocalizando Raízes no LGRUm ponto qualquer no plano s pertence ao LGR de um sistema, ou seja, é raiz destesistema, se forem satisfeitos os critérios de módulo e ângulo de fase (eqs. ( 2.1 ) e ( 2.2 )).Desta forma, uma vez traçado o LGR, é possível, através de dois passos adicionais, verificarse um ponto qualquer no plano s pertence ao LGR de um dado sistema. P(s) s s 180 q360 i11. Determinar a localização das raízes quesatisfazem o critério do ângulo de fase. θ i φ j 180 q360 n npz s sinP (s p )j12. Determinar o valor do parâmetro K na raiz si.KP(s) s s 1 K i ij 1nZ (s z )kk 116s s iSistemas de Controle

Exemplo: Teste de localização de raízes para um sistema de segunda ordemConsidere o seguinte sistema de segunda ordem:R(s) KC(s)s(s 4)-1 GH(s) 1 K s 2 4s Ks(s 4 )Dado um ponto s1 no plano s, é possível verificar se ele pertence ao LGR do sistema emquestão através do critério do ângulo de fase:11. Determinar a localização das raízes quesatisfazem o critério do ângulo de fase. P(s) s s 180 o q360 oi K - s i - (s i 4 ) s(s 4) s si[() ] 180 o θ θ 180 onP12. Determinar o valor do parâmetro K na raiz si.nP (s p )jKi nZ (s z )kj 1nZ (s z )kk 1 K i s i (s i 4)j 1k 1jKi (s p )s s is s ionde: si é a magnitude do vetor que vaida origem até si. (si 4) é a magnitude do vetorque vai de -4 até si.ImReSistemas de Controle17

2.5Exercícios1. Traçar o LGR para os seguintes sistemas (com K 0), e, testar se o ponto dadopertence ao LGR do sistema:a) G(s)H(s) b) G(s) K; s i -1,0066 3,9950i .s(s 6s 25)2K;s(s 1)(s 2)c) G(s)H(s) H(s) 1 ; s i -0,3337 0,5780i .K(s 2); s i -0,7660 0,2995i .s 2 2s 3d) G(s) 11; H(s) ; s i -0,4968 1,3290i .ss 4s 5e) G(s) 11; H(s) ; s i 2,5509 - 4,1649i .s 1s s 4s 13f) G(s) 1s 1; H(s) 2 ; s i -0,2968 4,3290i .s 3,6s2(2)2. Dadas as seguintes funções de transferência de malha fechada. Considerando queestes sistemas têm realimentação unitária, traçar o LGR, e, testar se o ponto dado pertence aoLGR:18a)C(s)s2 1 2; s i -0,5000 0,5000i .R(s) 2s 2s 1)b)C(s)1 4; s i -1,0000 - 1,5811i .3R(s) s 4s 11s 2 14s 11Sistemas de Controle

33.1AÇÕES DE CONTROLE BÁSICASIntroduçãoA introdução de um controlador em um determinado sistema visa a modificação de suadinâmica, manipulando a relação entrada/saída através da atuação sobre um ou mais dos seusparâmetros, com o objetivo de satisfazer certas especificações com relação a sua resposta(Ogata, 1993). Os parâmetros do sistema que sofrem uma ação direta do controlador, sãodenominadas de variáveis manipuladas, enquanto que os parâmetros no qual se deseja obteras mudanças que satisfaçam as dadas especificações, denominam-se variáveis controladas.O controlador é um dispositivo físico, podendo ser: eletrônico, elétrico, mecânico,pneumático, hidráulico ou combinações destes. No projeto real de um sistema de controle, oprojetista deverá decidir pela utilização de um ou mais controladores. Esta escolha dependede vários fatores. O tipo de controlador mais comumente usado, mesmo em plantas das maisdiversas naturezas, é o controlador eletrônico. De fato, os sinais não elétricos são,normalmente, transformados em sinais elétricos, através de transdutores, e, devido asimplicidade de transmissão, aumento da performance, aumento da confiabilidade eprincipalmente, facilidade de compensação. Geralmente controladores eletrônicos sãocircuitos simples, formados basicamente por amplificadores operacionais, sendo assim defácil implementação prática e baixos custos (Ogata, 1993).Uma vez determinada a necessidade de se projetar um controlador, existem algumasconfigurações possíveis, com respeito ao posicionamento do mesmo no sistema a sercontrolado. Algumas das configurações mais usadas em sistemas de controle, são: Controladores SérieEm geral, o projeto de controladores série é mais simples que o de controladores porrealimentação. Entretanto, normalmente exige amplificadores adicionais para aumentar oganho do sistema. Consiste em colocar o controlador no ramo direto de alimentação, ou seja,em série com a planta Controladores por RealimentaçãoEm geral, o número de componentes necessários na compensação por realimentação serámenor que o número de componentes na compensação série. Esta configuração recebe estenome pois, neste caso, o compensador é inserido num ramo de realimentação.R(s) -E(s)Comp.Sistemas de ControleU(s)PlantaC(s)R(s) -U(s)PlantaC(s)Comp.19

3.2 Ações Proporcional, Integral e Derivativa (P-I-D)Controle Proporcional (P)A razão entre a saída e a entrada do compensador é chamada de ganho proporcional ‘K’,quanto maior for o ganho do compensador, menor será o erro de estado estacionário ‘ess’,contudo, o tempo de acomodação aumenta, tendendo, em certos casos, a desestabilizar osistema. O inverso acontece quando se reduz (atenua) o ganho. Um compensador deste tipo,como não acrescenta pólos nem zeros ao sistema principal, representa apenas um ajuste noseu ganho original.u ( t ) Ke( t )U(s) KE(s);onde: e(t) r(t) - y(t)Resumo É um amplificador com ganho ajustável (K). O aumento de K diminui o erro de regime. Em geral, o aumento de K torna o sistema mais oscilatório, podendo instabilizá-lo. Melhora o regime e piora o transitório, sendo bastante limitado.Ex:R(s) 1K(τ s 1 )-Para entrada degrau unitário C(s)e ss 11 KO erro será nulo somente para K , o que nem sempre é possível.20Sistemas de Controle

Controlador Proporcional Integral (PI)A ação integral corresponde a ter-se uma taxa de variação do sinal de saída com relação atentrada ( u& k i e u k i e dt ). Desta forma, com uma ação integral, atua-se beneficamente0na resposta em regime permanente, tendendo a eliminar o erro de estado estacionário,contudo, prejudica-se o regime transitório, pois acrescenta-se pólos ao sistema tendendo adesestabilizá-lo, e com isso aumentar o tempo de acomodação.A atuação de um controlador PI corresponde à soma de uma ação proporcional com umaação integral. Desta forma pode-se melhorar a resposta transitória com a contribuição da açãoproporcional, enquanto a ação integral corrige o erro de estado estacionário. 1 tu (t ) K p e(t ) e(τ )dτ τi 0 onde: K i KpτiU (s) ;(Kps Ki )sE ( s), sendo τi o tempo integrativo ou reset time.Resumo Tende a zerar o erro de regime, pois aumenta o tipo do sistema. Adiciona um pólo em p 0 e um zero em z - Ki/Kp. É utilizado quando a resposta transitória é aceitável e resposta em regimeinsatisfatória. Como aumenta a ordem do sistema, acrescenta possibilidades de instabilidadediferentes daquelas apresentadas pelo sistema original.Ex:R(s) Kp -Para entrada degrau unitário e ss Sistemas de ControleΚis1C(s)(τ s 1 )1 01 21

Controlador Proporcional Derivativo (PD)Embora um controlador puramente derivativo não seja implementável na prática, a açãoderivativa, associada à ação proporcional, corresponde ao acréscimo de um zero ao sistema,atuando beneficamente no regime transitório, tendendo a aumentar a estabilidade relativa dosistema e reduzindo o tempo de acomodação, contudo, contrapondo-se a estas vantagens, eleaumenta o tempo de subida e, por não atuar no regime permanente, não corrige o erro deestado estacionário.Obs.: Este compensador, por introduzir um avanço de fase, é considerado na bibliografiacomo um caso particular de um compensador em avanço. (Ogata, 1993 e Kuo, 1995)d u (t ) K p e(t ) τ d e(t )dt U(s) (K p K d s )E(s);onde: Kd Kpτ d, sendo τ d a constante derivativa.Resumo Leva em conta a taxa de variação do erro Adiciona um zero em z - Kp/Kd É utilizado quando a resposta em regime é aceitável e resposta transitóriainsatisfatória. Introduz um efeito de antecipação no sistema, fazendo com que o mesmo reaja nãosomente à magnitude do sinal de erro, como também à sua tendência para o instantefuturo, iniciando, assim, uma ação corretiva mais cedo. A ação derivativa tem a desvantagem de amplificar os sinais de ruído, o que podecausar um efeito de saturação nos atuadores do sistema.Ex:R(s) -Kp Kd s1C(s)2Js(K p K d s)C(s) 2R (s) Js K d s K p22Sistemas de Controle

Controlador Proporcional Integral Derivativo (PID)O PID une as ações proporcional, integral e derivativa num só controlador, atuando tantono regime transitório quanto no regime permanente.K U(s) K p i K d s E(s)s 2U(s) K d s K p s K i E(s)sResumo É utilizado quando temos resposta transitória e em regime insatisfatórias. Adiciona um pólo em p 0 e 2 zeros, que dependem dos parâmetros do controlador. Geralmente os dois zeros são reais e iguais.3.3 Ações de Controle Avanço-AtrasoControlador Avanço de Fase (Lead)Sua principal finalidade é suprir um atraso de fase estabelecido naturalmente pelaspróprias características de alguns componentes do sistema original. Este tipo de compensaçãopermite remodelar o lugar das raízes de maneira a obterem-se pólos dominantes desejados emmalha fechada. Em geral seus efeitos correspondem a um aumento no amortecimento, commenores tempo de subida e de acomodação, o que corresponde, no domínio da freqüência, aum aumento na largura de faixa. Além disso, as margens de ganho e de fase são melhoradas,contudo o erro de estado estacionário não é afetado.G c (s) G c (s) K cU(s) K(s z) Kz (s / z 1) E(s)(s p)p (s / p 1)p zτs 111, em que: z ; p ; K c Kα ; 0 α 1ατ s 1τατResumo Introduz um zero e um pólo Melhora o transitório, a exemplo do controlador PD Sempre adianta a faseSistemas de Controle23

Controlador Atraso de Fase(Lag)Uma compensação em atraso melhora o erro em regime permanente, no entanto, diminuia largura de faixa, o que implica, em termos de domínio do tempo, numa resposta mais lenta,com maiores tempos de subida e acomodação. Em alguns casos é preciso reduzir a largura defaixa de um dado sistema com o intuito de torná-lo menos susceptível a sinais de ruídoG c (s) G c (s) K cU(s) K(s z) Kz (s / z 1) E(s)(s p)p (s / p 1)z pτs 111, em que: z ; p ; K c Kβ ; β 1βτ s 1τβτResumo Introduz um zero e um pólo Melhora o regime, a exemplo do controlador PI Sempre atrasa a fase Não zera o erro, mas o reduz bastante Controlador Avanço-Atraso de Fase(Lead-Lag)Em casos onde se deseja uma resposta rápida, característica de sistema comcompensação em avanço, porém com diminuição do erro em regime estacionário, que égarantida por uma compensação em atraso, é possível usar um controlador que una ambas ascaracterísticas, que é o caso do controlador em avanço–atraso.G c (s) G c (s) K cU(s) K (s z 1 )(s z 2 ) (s p1 )(s p 2 )E(s)τ 1s 1 τ 2s 11 1; em que: ; K c 0 ; β 1 ; 0 α 1ατ1s 1 βτ 2s 1τ 2 τ1Características Introduz dois zeros e dois pólos É usado para melhorar o desempenho em regime e o transitório É análogo ao controlador PID24Sistemas de Controle

3.4Modificações das Ações de Controle PID PID Original Parte Derivativa -FiltroTd s, com: γ 0.11 γTd s PI-DObjetivo: Não derivar variações bruscas no sinal de referência I-PDObjetivo: Não derivar, nem amplificar variações bruscas no sinal de referência.Sistemas de Controle25

3.5Exercícios1. Dados os seguintes sistemas e seus respectivos controladores, traçar o LGR dosistema sem o controlador, e, testar se o ponto dado pertence ao LGR do sistema. Em seguidatraçar o LGR com sistema em série com o controlador e testar se agora o ponto pertence aoLGR:a) G(s) 11; H(s) 2 ; s i -0,2968 4,3290i ,s 3,6sControlador PD com Kp 0,4 e Kd 1.26Sistemas de Controle

44.1PROJETO DE CONTROLADORES PELO MÉTODO DO LGREspecificações de DesempenhoNormalmente, as especificações de desempenho transitório são dadas em termos desistemas de 2a ordem, ou se

Consiste na representação de certas características do sistema físico que são relevantes para seu estudo. Controle É a ação de fazer com que um sistema físico atenda as especificações de desempenho determinadas a priori. Controlador Dispositivo utilizado para a obtenção do controle de um sistema físico. Sistema de Controle