MECANIQUE DU SOLIDE - Futurscientifique.e-monsite

MECANIQUE DU SOLIDEI. INTRODUCTIONPour étudier le mouvement des astres, en balistique, etc. il est courant de faire appel à lamécanique du point. Avec la 2nde loi de Newton, on fait alors un lien entre les forces qui s’exercent surle corps étudié et l’accélération de son centre d’inertie. Cela permet d’établir les équations horaires,puis la trajectoire de ce point. Bon nombre de cas de statique, comme un livre posé sur une table,peut aussi être décrit par la mécanique du point, via la 1 ère loi de Newton. En fait, la mécanique dupoint donne une description correcte quand le ou les forces s’exercent en un point unique de l’objet,comme son centre d’inertie, ou quand la position des points d’application des forces n’a pasd’importance. Ainsi, la mécanique du point est applicable pour des objets dont la taille est faible parrapport au déplacement étudié, pour des corps possèdent une symétrie sphérique Par contre, si l’on souhaite étudier l’équilibre d’une planche posée sur des tréteaux, lamécanique du point ne peut pas nous aider, car elle ne peut pas prédire un éventuel basculement dela planche. On fait alors appel à la mécanique du solide. Cette branche de la mécanique estparticulièrement utile dans le milieu de l’ingénierie, pour concevoir, dimensionner des pièces, desvéhicules, des bâtiments ou dans le milieu sportif (bio-mécanique). Dans le cadre de cette fiche,nous proposons de donner une description de la mécanique du solide. Cette thématique étantparticulièrement vaste, cette fiche ne peut être exhaustive quant aux relations et méthodes visiblesdans la littérature. Toutefois, nous donnerons les outils de base (moments, torseurs, matrice d’inertie ) pour pouvoir énoncer le théorème fondamental de la statique, et le théorème fondamental de ladynamique. Nous nous placerons dans un référentiel galiléen, pour décrire des solides supposés

indéformables. Nous serons dans un cadre non quantique et non relativiste. De bonnes connaissancesen mécanique du point sont conseillées pour aborder ce document.II. STATIQUE1. MOMENT D’UNE FORCEConsidérons deux forces de même valeur, de directions parallèles, mais de sens opposés. Enmécanique du point, ces deux forces n’auraient pas d’action sur l’objet, car elles ne feraient que secompenser. En mécanique du solide, elles peuvent engendrer une rotation de l’objet, car ellesexercent chacune un moment sur lui, ce qui forme un couple. Quand une force F s’exerce en un point P d’un objet, le moment engendré par ladite force en un point O est donné par la relation M O F OP F . En conséquence, M O F OP F sin OH F . La valeur F de la force s’exprime en Newton, OPest en mètre et la valeur d’un moment en N.m. La distance OH est nommée bras de levier. D’autre part,si l’on connaît le moment de la force en un point A, on peut le calculer en un point B en utilisant laformuledeVarignon M B F M A F BA F . Remarques : pourlesmoments,ouformuledetransportdesmoments :

Le moment d’une force estimé au niveau de son point d’application est nul. La valeur du moment est d’autant plus forte que F et OP sont importants et que l’angle estproche de 90 . Dans le plan de la feuille (ou de l’écran), quand la force tend à faire tourner l’objet dans le senstrigonométrique, le vecteur moment est normal au plan et dirigé « vers l’observateur ». Dans lecas contraire, il est dirigé dans l’autre sens. Un produit vectoriel est anti-commutatif : u v v u . Cela permet de retrouver la formule M B F M A F F AB aussi visible dans la littérature. 2. PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE – TORSEUR DESFORCES EXTERIEURESEn mécanique du point, la 1ère loi de Newton indique que si les forces extérieures s’exerçant sur un objet se compensent ( F 0 ), alors la vitesse du corps est constante, ce qui inclut le cas v 0 . Enmécanique du solide, pour avoir équilibre (statique), cette propriété est nécessaire, mais elle ne suffitpas : il faut également que la somme des moments, calculées en un même point (par exemple en unpoint A), s’annule également. F 0 Le principe fondamental de la statique se met ainsi sous la forme . M A F 0 Dans la pratique, il est courant de noter une force F et son moment associé M A F dans un torseur, qui est un outil mathématique qui se présente comme : F A FxMx F Fy , M A F M y FzMz A

où Fx , Fy , Fz , M x , M y , M z sont les composantes de la force et de son moment dans la base B ex , e y , ez dans laquelle on travaille. On peut d’ailleurs mentionner B dans l’écriture du torseur, en particulier si l’on utilise plusieurs bases en même temps. En outre, puisque le moment dépend du pointoù l’on l’exprime (ici le point A), ce point doit apparaître de manière explicite dans le torseur. Pourexprimer ledit torseur en un autre point, on utilise la formule de Varignon. Seul le moment est modifié lors de cette opération, pas F .En conclusion, pour étudier la statique d’un solide S en mécanique du solide :1) On recense les forces extérieures s’exerçant sur le corps S étudié. On les écrit sous la forme detorseurs avec les moments associés.2) On exprime tous les torseurs obtenus en un même point, choisi de manière arbitraire, comme parexemple celui pour lequel les calculs sont les plus simples 3) On peut alors sommer les torseurs, pour obtenir le torseur des forces extérieures Fext / S A s’exerçantsur S. Dans la colonne de gauche, on a la résultantemoments F , et dans la colonne de droite la somme des M A F exprimée au niveau du point choisi.4) On invoque le principe fondamental de la statique : Fext / S A F , M A F A 0 , 0 A , soit sous forme condensée, Fext / S A 0 A .5) On obtient alors un système d’équations : Si l’on a autant d’équations que d’inconnus à déterminer, le problème est isostatique et peut êtrerésolu. Si l’on a plus d’inconnus que d’équations, le problème est hyperstatique : il faut faire desmodifications/simplifications dans la modélisation pour pouvoir résoudre.3. EXEMPLE D’APPLICATION : L’ETAGERE

Une charge de masse m est accrochée en un point C d’une étagère E décrite par le schéma : L’étagère est soumise à trois forces : le poids P de la charge, la réaction R A du mur en A, la réaction R B en B, toutes deux pouvant être décomposées en leurs composantes normales et tangentielles T A , N A ,T B , N B . On a : P C 0 0 NA P 0 , RA A TA 0 0 C 00 NB 0 et RB B TB 00 A P O0 0 NA P0 , RA O TA 0 0 LP O0 0 , que l’on exprime ensuite en O :0 B NB0 0 et RB O TB 0 LTA OLe torseur total est Fext / E O P O RA O RB O0 0 . L TB N B O0 N A NB TA TB P0 . 0 L P TA TB N B OPrincipe fondamental de la statique : Fext / E O N A NB 0 0 O , soit TA TB P 0. L P T T N 0ABB Problème hyperstatique, qui devient isostatique si l’on pose N B TB (appui ponctuel en B) : N A TB 0 TA TB P 0 , ce qui donne TA P , TB 2 P , N B 2 P et N A 2 P L P T 0A Les signes – traduisent le fait que le sens des forces T A , N A est en fait inversé par rapport à celuivisible sur le schéma (que nous avions choisi de manière arbitraire).

4. MODELE DU FROTTEMENT SEC : LOI DE COULOMB De manière générale, la force de réaction R , exercée par un corps (sol, bâti, support ) sur un autre, se décompose en une composante RN normale au plan de contact entre les deux objets, et une composante RT tangentielle à ce plan. La valeur de RN est telle qu’elle empêche un objet de passer « à travers » un autre, comme celle qu’exerce une table sur un livre posé dessus. RT est un frottement decontact entre les deux objets, qui empêche un mouvement (ex : frein à main d’une voiture stationnée enpente) ou qui s’oppose à lui. Sa valeur dépend principalement de deux facteurs :1) Les surfaces en contact entre les deux objets (rugosité, matériaux en contact, etc.), ce qui estmodélisé par le coefficient de frottements f (sans dimension) dans le modèle du frottement sec deCoulomb. Exemple : f 0,3 pour un contact acier/acier 2) La valeur de RN . Par exemple avec une gomme, plus on appuie avec celle-ci sur une feuille de papier (f fixé), plus RN est fort, et plus RT peut être forte elle aussi.Le modèle du frottement sec de Coulomb indique que : Il n’y a pas glissement (statique) si RT f RN . Il y a glissement si RT f RN . Lors du glissement, f a souvent tendance à diminuer. Graphiquement, on définit l’angle fait par R RN RT tan RTpar rapport à la normale, et donc RN . On introduit de même l’angle max tel que tan max f . Cet angle max décritun « cône de frottement » par rapport à la normale. Il n’y a donc pas glissement si max , c'est-à-dire si R est à l’intérieur du cône de frottement.

III. VITESSES1. EQUIPROJECTIVITEPuisque l’on considère des solides rigides, la distance entre deux points d’un solide est constante aucours du temps, donc la vitesse relative entre ces deux points est nulle. Ce raisonnement expliquel’équiprojectivité du champ de vitesse d’un solide. Dans l’exemple ci-après, on vérifie ainsi que les projections des vitesses VA et VB sur l’axe AB sont égales :2. TORSEUR CINEMATIQUE

Soit un repère 0 0, ex , e y , ez fixe et un solide S1 associé à un repère 1 A, e x , e y , e z . S1 se déplacepar rapport à 0 et est animé d’un mouvement de rotation. Cet objet étant indéformable, sa vitesse angulaire S1 / 0 (valeur en rad/s) est identique en tous ses points. On considère par exemple une rotation autour de A telle que S1 / 0 d ez ez . Par contre, la vitesse V par rapport à 0 dépend dudtpoint de S1 choisi.Par exemple pour le point A, on définit alors un torseur cinématique CS1 / 0 , qui regroupe la vitesseA angulaire S1 / 0 et la vitesse V A S1 / 0 en ce point : CS / S1 / 0 , V A S1 / 0 . 1 0 A ASi l’on veut exprimer ce torseur en un autre point de S1 , comme le point B, alors on utilise la relation V B S1 / 0 V A S1 / 0 BA S1 / 0 , qui est la formule de Varignon pour les vitesses. Cas particulier : si V A S1 / 0 0 , AB R et S1 / 0 ez , alors on obtient la relation bien connueVB S1 / 0 R avec .3. FORMULE DE BOUR Puisque S1 est immobile dans 1 , S1 / 0 1 / 0 . Avec la formule de Varignon, on a V B S1 / 0 V A S1 / 0 BA 1 / 0ou dOB dOA 1 / 0 AB , dt 0 dt 0cequidonne

d AB 1 / 0 AB . Cette relation est valable pour tout vecteur fixe dans 1 , ce qui inclut dt 0 d e x e x , e y , e z . On a ainsi 1 / 0 e x , et idem pour e y et e z . En conséquence, pour un vecteur dt 0 quelconque u xe x ye y ze z , il vient : d e yd e xd e z du dx dy dz du e e e x y z xyz 1 / 0 xe x ye y ze z , soitdtdtdtdtdt dt 1 dt 0 dt du du 1 / 0 u Formule de Bour. dt 0 dt 14. COMPOSITION DES VITESSESSoit un point C, fixe dans un repère 2 lié à un solide S 2 , et se déplaçant par rapport à S1 . On écrit dOC d AC dOA d AC V C S2 / 0 V A S1 / 0 . dt 0 dt 0 dt 0 dt 0Onutiliselaformulede d AC d AC Bour : V C S2 / 0 1 / 0 AC V A S1 / 0 . On a V C S2 / 1 . De plus, si C était dt 1 dt 1 fixe dans 1 , on aurait 1 / 0 AC V A S1 / 0 V C S1 / 0 avec la formule de Varignon. En conclusion,on obtient la relation de composition des vitesses : V C S2 / 0 V C S2 / 1 V C S1 / 0 ou Vabs Vrel Vent . Elle indique que la vitesse de C par rapport à 0 (vitesse absolue Vabs ) est la somme de la vitesse de C par rapport à 1 ( V C S2 / 1 : vitesse relative Vrel ) et de la vitesse de C par rapport à 0 si C était fixe par rapport à 1 ( V C S1 / 0 : vitesse d’entrainement Vent ). Exemple : homme marchant sur un tapisroulant.