TEO RI GRU P - WordPress

Dikttat KuliaahTEORI GRUUPOleh:Dr. Addi SetiawwanUNIVERSITAS KRRISTEN SAATYA WACCANASAALATIGA2015

Kata PengantarAljabar abstrak atau struktur aljabar merupakan suatu mata kuliah yangmenjadi kurikulum nasional untuk program studi matematika. Mata kuliah inimemerlukan kemampuan berfikir logis yang berbeda dengan kemampuan berfikiryang diperlukan untuk mempelajari mat kuliah‐mata kuliah lain seperti kalkulusmisalnya. Liku‐liku berfikir logis yang ditemui dalam mata kuliah ini memerlukanlatihan yang cukup agar terbentuk cara berfikir yang diperlukan dalam pemecahanmasalah yang ada dalam mata kuliah ini. Untuk membantu tercapainya tujuanitu,penulis dengan sengaja membuat tata letak penulisan bukti‐bukti seperti kalaukita mengerjakan soal‐soal dalam suatu latihan atau ujian sehingga nantinya akanmemudahkan pemahaman.Dalam diktat kuliah ini dibahas tentang teori grup. Sebagian besar bahanyang dipergunakan untuk menulis diktat kuliah ini mengambil dari pustaka [2] danbeberapa bagian lain mengambil dari pustaka [3], sedangkan pustaka yang laindipergunakan untuk melengkapi latihan‐latihan.Penulis berharap bahwa diktat kuliah ini nantinya dapat berguna untukmeningkatkan mutu dalam proses pembelajaran mata kuliah teori grup. Kritik dansaran demi kebaikan diktat kuliah ini sangatlah penulis harapkan.Salatiga, April 2015Penulis

Daftar IsiKata PengantarDaftar IsiBAB IPendahuluan .1BAB IIGrup .21BAB IIIGrup Bagian .27BAB IVGrup Siklik .33BAB VGrup Zn*.47BAB VITeorema Lagrange .51BAB VII Homomorfisma Grup .56BAB VIII Grup Normal .68BAB IXGrup Faktor .73BAB XHasil Kali Langsung .85Daftar Pustaka

BAB IPENDAHULUANDasar‐dasar Aljabar Modern yang akan dibahas dalam buku iniadalah tentang teori grup. Dasar‐dasar teori tentang teori himpunan,operasi biner, bukti dengan induksi, algoritma pembagian, relasiekuivalensi dan penyekatan berikut ini sangat penting dalampembahasan tentang teori grup.1. HimpunanHimpunan adalah suatu kumpulan objek (kongkrit maupunabstrak) yang didefinisikan dengan jelas. Objek‐objek dalamhimpunan tersebut dinamakan elemen himpunan.Contoh I.1Ditulis A {0, 1, 2, 3} untuk menunjukkan bahwa himpunan Amengandung elemen 0, 1, 2, 3 dan tidak ada elemen lain. Simbol{0, 1, 2, 3}dibaca sebagai “himpunan dengan elemen 0, 1, 2, dan 3”.Contoh I.2Himpunan B terdiri dari semua bilangan bulat non negatif dan ditulisB { 0, 1, 2, 3, }.Tanda tiga titik dinamakan pemendekan (ellipsis) yang berarti bahwapola dikenalkan sebelumnya akan terus berlanjut. Simbol{ 0, 1, 2, 3, }dibaca sebagai himpunan elemen 0, 1, 2, 3 dan seterusnya.Contoh I.3Himpunan B dalam Contoh I.2 dapat digambarkan denganmenggunakan simbol pembangun himpunan sebagai berikutTeori Grup1

B { x x adalah bilangan bulat tidak negatif }.Garis tegak merupakan pemendekan untuk sedemikian hingga dankita menulis sebagai “himpunan semua x sehingga x adalah bilanganbulat tidak negatif.”Untuk menyatakan simbol elemen atau elemen himpunandapat digunakan x A dan dibaca x elemen A sedangkan untukmenyatakan simbol x bukan elemen A digunakan x A. Pada ContohI.1 diperoleh 2 A dan 7 A.Definisi I.1Misalkan himpunan A dan himpunan B. Himpunan A dinamakanhimpunan bagian (subset) dari B jika untuk setiap elemen dari Amerupakan elemen dari B. Salah satu simbol A B atau B Amenunjukkan bahwa A merupakan himpunan bagian dari B.Definisi I.2Dua himpunan dikatakan sama jika dan hanya jika keduanyamempunyai elemen yang tepat sama.Himpunan A dan B sama dan kita menulis sebagai A B jikasetiap elemen A juga menjadi elemen B dan jika setiap elemen B jugamenjadi elemen A. Biasanya, bukti bahwa dua himpunan samadinyatakan dalam 2 bagian. Pertama, menunjukkan bahwa A B danyang kedua bahwa B A sehingga dapat disimpulkan bahwa A B.Definisi I.3Jika A dan B himpunan maka A himpunan bagian sejati dari B jikadan hanya jika A B dan A B.Sering kali ditulis A B untuk menyatakan bahwa A himpunanbagian sejati dari B.2Dr. Adi Setiawan, M. Sc

Contoh I.4Pernyataan berikut ini untuk menggambarkan simbol himpunanbagian sejati dan kesamaan himpunan :{ 1, 2, 4 } { 1, 2, 3, 4, 5 }, { a, c } { c, a }.Pada himpunan, terdapat dua operasi dasar yaitu gabungan(union) dan irisan (intersection) yang digunakan untukmengkombinasikan.Definisi I.4Jika A dan B himpunan, gabungan A dan B adalah himpunan A B(yang dibaca A gabung B) yaituA B { x x A atau x B }.Irisan dari A dan B adalah himpunan A B ( yang dibaca A irisan B)yaituA B { x x A dan x B }.Gubungan dua himpunan A dan B adalah himpunan yang elemennyaberada di himpunan A atau di himpunan B atau di kedua himpunantersebut. Irisan himpunan A dan B adalah himpunan yang elemennyaberada di kedua himpunan tersebut.Contoh I.5Misalkan A { 2, 4, 6} dan B { 4, 5, 6, 7},A B { 2, 4, 5, 6, 7}dan A B { 4, 6 }.Contoh I.6Mudah dibuktikan bahwa A B B A yaituTeori Grup3

A B { x x A atau x B } { x x B atau x A } B A.Karena A B B A maka kita katakan bahwa operasi gabunganmempunyai sifat komutatif. Jelas dan mudah dibuktikan juga bahwaA B B A dan kita juga mengatakan bahwa operasi irisanmempunyai sifat komutatif.Mudah untuk menemukan himpunan yang tidak mempunyaielemen bersama. Sebagai contoh, himpunan A { 1, ‐1 } danB { 0, 2, 3}yang tidak mempunyai elemen bersama. Hal itu berarti bahwa tidakada elemen bersama dalam irisan mereka yaitu dalam A B dandikatakan bahwa irisannya merupakan himpunan kosong (empty set).Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyaielemen dan himpunan kosong disimbolkan dengan atau { }. Duahimpunan A dan B dinamakan saling asing (disjoint) jika dan hanyajika A B .Himpunan { 1, ‐1} dan { 0, 2, 3} saling asing karena{ 1, ‐1} { 0, 2, 3} .Hanya terdapat 1 himpunan kosong dan merupakan himpunanbagian dari setiap himpunan. Untuk himpunan A dengan n elemen(n adalah bilangan bulat tidak negatif) dan dapat ditulis semuahimpunan bagian dari A. Sebagai contoh, jikaA { a, b, c }maka himpunan bagian dari A adalah , { a }, { b }, { c }, {a, b }, { a, c}, {b, c }, A.Definisi I.5Untuk sebarang himpunan A, kuasa (power) dari himpunan Adinotasikan dengan P(A) yaitu himpunan semua himpunan bagiandari A dan ditulis denganP(A) { X X A }.4Dr. Adi Setiawan, M. Sc

Contoh I.7Untuk A { a, b, c }, kuasa himpunan A adalahP(A) { , { a }, { b }, { c }, {a, b }, { a, c}, {b, c }, A }.Sangatlah bermanfaat untuk mengambarkan himpunan yangmenjadi perhatian dalam suatu gambar atau diagram. Apabila kitamengerjakan hal ini maka kita mengasumsikan bahwa himpunan yangmenjadi perhatian merupakan himpunan bagian dari suatu himpunansemesta (universal set) yang disimbolkan dengan U yang dinyatakandengan persegi panjang sehingga lingkaran termuat dalam persegipanjang. Irisan A dan B yaitu dinyatakan dengan daerah yang salingberirisan yaitu ketika dua buah lingkaran berhimpitan. Diagram yangdigunakan untuk menyatakan hal ini dinamakan diagram Venn.Gambar I.1 Diagram Venn Irisan Himpunan A dan B serta Himpunan SemestaDefinisi I.6Sebarang himpunan bagian dari himpunan semesta U, komplemen Bdalam A yaituA – B { x U x A }.Simbol khusus Ac U – A { s U x A }.Teori Grup5

Simbol Ac dibaca komplemen A sebagai pemendekan dari komplemenA dalam U.Contoh I.8Misalkan U { x x adalah bilangan bulat }, A { x x bilangan bulatgenap } dan B { x x bilangan bulat positif } makaB – A { x x adalah bilangan bulat positif ganjil } { 1, 3, 5, 7, . },A – B { x x adalah bilangan bulat tidak positif genap } { 0, ‐2, ‐4, ‐6, .},Ac { x x adalah bilangan bulat ganjil },Bc { x x adalah bilangan bulat tidak positif } { 0, ‐1, ‐2, ‐3, . }.Banyak contoh dan latihan dalam buku ini melibatkan sistimbilangan yang banyak dikenal dan kita mengadopsi standard berikutini untuk beberapa sistim ini:Z menyatakan himpunan bilangan bulat,Z menyatakan himpunan bilangan bulat positif,Q menyatakan himpunan semua bilangan rasional,R menyatakan himpunan semua bilangan real,C menyatakan himpunan semua bilangan kompleks.Perlu diingat kembali bahwa bilangan kompleks didefinisikan sebagaibilangan berbentuk a b i dengan a dan b adalah bilangan real dan i 1. Demikian juga suatu bilangan rasional adalah jika dan hanya jikadapat dinyatakan sebagai perbandingan bilangan bulat denganpenyebut tidak nol yaitu a Q a, b Z , b 0 . b Hubungan antara sistim bilangan dalam paragraf terdahulu satusama lain dapat dinyatakan dalam diagram Venn berikut ini.6Dr. Adi Setiawan, M. Sc

Gambar I.2 Struktur Hubungan Antara Himpunan Bilangan Z , Z, Q, R dan C.Contoh I.9Himpunan ( A B) C dan A ( B C ) adalah sama karena( A B) C { x x A dan x B } C { x x A dan x B dan x C } A { x x B dan x C } A ( B C ).Analog dengan sifat asosiatif dari bilangan, operasi irisan jugamempunyai sifat asosiatif. Seringkali, jika kita bekerja denganbilangan, kita menghilangkan penggunaan tanda kurung dan menulisx y z x (y z) (x y) z.Untuk himpunan A, B dan C, ditulisA B C ( A B) C A ( B C ).Dengan cara yang sama sifat asosiatif juga berlaku untuk gabunganA B C ( A B) C A ( B C ).Sifat distributif juga berlaku dalam operasi himpunan yaitu :A (B C) (A B) (A C),A (B C) (A B) (A C).Teori Grup7

Dapat juga dibuktikan berlaku hukum De Morgan yaitu(A B)c Ac Bc dan (A B)c Ac Bc.2. Operasi binerDalam aljabar tidak hanya dibahas tentang himpunan tetapijuga himpunan bersama dengan operasi penjumlahan dan perkalianyang didefinisikan pada himpunan.Definisi I.6Misalkan A himpunan tidak kosong.Operasi biner * pada A adalah pemetaan dari setiap pasanganberurutan x, y dalam A dengan tepat satu elemen x * y dalam A.Himpunan bilangan bulat Z mempunyai dua operasi bineryang dikenakan padanya yaitu penjumlahan ( ) dan perkalian (.).Dalam hal ini untuk setiap pasangan x dan y dalam Z, x y dan x.ydikawankan secara tunggal dengan suatu elemen dalam Z.Operasi biner mempunyai dua bagian dari definisi yaitu:1. terdefinisikan dengan baik (well defined) yaitu untuk setiappasangan berurutan x, y dalam A dikawankan dengan tepatsatu nilai x*y.2. A tertutup di bawah operasi * yaitu untuk setiap x, y dalam Amaka x*y masih dalam A.Contoh I.10:Diketahui N himpunan semua bilangan bulat positif.Didefinisikan * dengan aturan x*y x‐y.Karena 3, 5 dalam N dan 3*5 3‐5 ‐2 tidak berada dalam N maka Ntidak tertutup di bawah operasi * sehingga * bukan operasi binerpada N.8Dr. Adi Setiawan, M. Sc

Contoh I.11:Didefinisikan operasi # dengan aturan x # y x 2y dengan x, ydalamN { 1, 2, 3, }.Akan ditunjukkan bahwa # merupakan operasi biner.Jelas bahwa # terdefinisikan dengan baik karena rumus x 2ymemberikan hasil tunggal untuk setiap x, y dalam N.Untuk sebarang x, y dalam N maka jelas bahwa x 2y masihmerupakan bilangan bulat positif. Lebih jauh 2y x 0 jika x 0dan y 0.Berarti hasil dari x 2y masih merupakan bilangan positif danakibatnya N tertutup di bawah operasi #.3. Hukum hukum AljabarSuatu sistim aljabar terdiri dari himpunan objek dengan satuatau lebih operasi yang didefinisikan padanya. Bersama denganhukum‐hukum yang dibutuhkan dalam operasi.Definisi I.7Misalkan * operasi biner pada himpunan A.(1) operasi * assosiatif jika (a*b)*c a*(b*c) untuk semua a, b, c dalam A.(2) operasi * komutatif jika a*b b*a untuk semua a, b dalam A.Dalam pembahasan selanjutnya hukum‐hukum dasar aljabaruntuk penjumlahan dan perkalian yang didefinisikan pada bilanganbulat Z dan bilangan real R sebagai aksioma (axioms) yaitu diterimatanpa bukti.Contoh I.12:Operasi * didefinisikan pada himpunan bilangan real R dengana*b (1/2)ab.Akan ditunjukkan bahwa * assosiatif dan komutatif.Karena (a*b)*c (1/2 ab)*cTeori Grup9