TRAITEMENT STATISTIQUE DES DONN EES

TRAITEMENT STATISTIQUE DES DONNÉESS1 - Master PHEAPCChapitre 1 : Rappels GénéreauxPr. M. EL KACIMI(1)(1)Université Cadi AyyadFaculté des Sciences SemlaliaDépartement de PhysiqueAnnée universitaire 2019/2020

Chapitre 1 : Rappels GénéreauxIntroductionAnalyse combinatoireProbabilités : Définition et propriétésProbabilités conditionnellesThéorème de BayesVariables aléatoires et loi de probabilitéFonction de densité de probabilité : Propriétés Fonction de partition Fonctions de densité marginale Fonction de densité de probabilité conditionnelle8. Changement de variable Cas d’une seule v.a. Cas de plusieures v.a.9. Propriétés des distributions Fonction génératrice des moments10. Propagation des erreurs1.2.3.4.5.6.7.Traitement Statistique des Données1,

IntroductionChapitre 1 : Rappels GénéreauxIntroductionAnalyse combinatoireProbabilités : Définition et propriétésProbabilités conditionnellesThéorème de BayesVariables aléatoires et loi de probabilitéFonction de densité de probabilité : Propriétés Fonction de partition Fonctions de densité marginale Fonction de densité de probabilité conditionnelle8. Changement de variable Cas d’une seule v.a. Cas de plusieures v.a.9. Propriétés des distributions Fonction génératrice des moments10. Propagation des erreurs1.2.3.4.5.6.7.Traitement Statistique des Données2,

IntroductionIntroductionOn observe des évènements d’un certain type et on mesure les propriétésde chaque évènement Moment de la particule ;Nombre de muons dans l’évènement ;Energie des jets ;Energie déposée dans le CM · · · ;Les distributions de ces mêmes propriétés sont prédites par les modèlesthéoriques, tel que le modèle standard (MS), et ce en fonction desparamètres libres, comme pour l’exemple α, GF , MZ , αZ , MH , · · ·L’analyse des données permet, entre autres, de : Estimer les paramètres libres du modèle ; Quantifier les erreurs sur les paramètres estimés avec un niveau deconfiance donné ; Tester jusqu’à quelle limite une théorie décrit bien les données.Traitement Statistique des Données3,

IntroductionIntroductionComposer avec les incertitudesEn physique des particules, nombre de causes peuvent êtresources des incertitudes : la théorie n’est pas déterministe : mécanique quantique ; erreurs aléatoires (dites statistiques) des mesures :présentes même sans l’effet quantique méconaissance de certaines choses : limitations des prix,temps, · · ·RécapitulatifNous pouvons quantifier les incertitudes en utilisant les probabilitésTraitement Statistique des Données4,

Analyse combinatoireChapitre 1 : Rappels GénéreauxIntroductionAnalyse combinatoireProbabilités : Définition et propriétésProbabilités conditionnellesThéorème de BayesVariables aléatoires et loi de probabilitéFonction de densité de probabilité : Propriétés Fonction de partition Fonctions de densité marginale Fonction de densité de probabilité conditionnelle8. Changement de variable Cas d’une seule v.a. Cas de plusieures v.a.9. Propriétés des distributions Fonction génératrice des moments10. Propagation des erreurs1.2.3.4.5.6.7.Traitement Statistique des Données5,

Analyse combinatoireAnalyse combinatoireRappels de quelques casDénombrement des dispositions possibles des éléments d’un ensemble fini :Soient les ensembles A, B,· · · ,S avec card(A) na , card(B) nb , · · · ,card(S) ns .On peut distinguerOrder importantOrdre sans importanceSans remiseAvec remiseArrangement sans répétitionCombinaisons sans répétitionArrangement avec répétitionCombinaisons avec répétitionPaires(xa , xb )Multiplets(xa , xb , · · · , xs )Arrangements de p parmi n avec répétitionArrangements de p parmi n sans répétitionPermutations de n sans répétitionPermutations de n avec répétitionCombinaisons de p parmi n sans répétitionCombinaisons de p parmi n avec répétitionTraitement Statistique des Données::::::::na nbna nb · · · nsnpn!/(n p)!n!n!/(n1 ! · · · ns !n!/[p!(n p)!](n p 1)!/[p!(n 1)6,

Analyse combinatoireAnalyse combinatoireRappels de quelques casPartitions généralisées : on introduit cette notion par l’exemple suivantABCDTotal 335253144423135413131313Total1313131352 A B C D::::nAnBnCnD 13!/(3! 3! 5! 2!) 13!/(5! 3! 1! 4!) 13!/(4! 4! 2! 3!) 13!/(1! 3! 5! 4!)Le nombre total de possibilités est donné par N nA nB nc nD .Traitement Statistique des Données7,

Probabilités : Définition et propriétésChapitre 1 : Rappels GénéreauxIntroductionAnalyse combinatoireProbabilités : Définition et propriétésProbabilités conditionnellesThéorème de BayesVariables aléatoires et loi de probabilitéFonction de densité de probabilité : Propriétés Fonction de partition Fonctions de densité marginale Fonction de densité de probabilité conditionnelle8. Changement de variable Cas d’une seule v.a. Cas de plusieures v.a.9. Propriétés des distributions Fonction génératrice des moments10. Propagation des erreurs1.2.3.4.5.6.7.Traitement Statistique des Données8,

Probabilités : Définition et propriétésProbabilitésDéfinitionP est une loi de probabilité sur Ω si :Axiome de positivitéP(Xi ) 0 Xi Ω;Axiome d’additivitéP(Xi ou Xj ) P(Xi ) P(Xj );Axiome de certitudeXP(Xi ) 1;PropriétésΩP(A)P(A A)P( ) if A B P(A B) Traitement Statistique des DonnéesAxiomes de Kolmogorov 19331 P(A)10P(A) P(B)P(A) P(B) P(A B)9,

Probabilités : Définition et propriétésProbabilitésPropriétés : Loi d’additionSoit A Ω, A {· · · , Xi , · · · }.card(A) 1 A évènement élémentaire.On généralise la loi d’addition P(A1 A2 ) P(A1 ) P(A2 ) P(A1 A2 ) aucas où Ai , i 1, · · · , n et Ai Aj 6 , et on utilise les notations suivantesPPi P(AP i ), Pijk P(AP i et Aj etAk ) avec i j k, S1 i Pi ,S2 i j Pij , S3 ijk Pijk , · · · ,la probabilité pour qu’au moins un évènement se produise, appelée aussi laformule du crible de Poincaré, estP(A1 ou A2 · · · ou An )Traitement Statistique des Données S1 S2 S3 · · · ( 1)n Sn .10,

Probabilités conditionnellesChapitre 1 : Rappels GénéreauxIntroductionAnalyse combinatoireProbabilités : Définition et propriétésProbabilités conditionnellesThéorème de BayesVariables aléatoires et loi de probabilitéFonction de densité de probabilité : Propriétés Fonction de partition Fonctions de densité marginale Fonction de densité de probabilité conditionnelle8. Changement de variable Cas d’une seule v.a. Cas de plusieures v.a.9. Propriétés des distributions Fonction génératrice des moments10. Propagation des erreurs1.2.3.4.5.6.7.Traitement Statistique des Données11,

Probabilités conditionnellesProbabilités conditionnellesDéfinitionLa probabilité conditionnelle d’avoir A sachant que B est réalisé est définieparP(A B) P(A B)P(B)que l’on peut écrire sous la formeP(A B) P(A B)P(B) P(B A)P(A)Deux évènements sont indépendants si P(A B) P(A) P(B).A ne pas confondre avec A B .La probabilité conditionnelle de réalisation de A sachant B dans ce cas estP(A B)Traitement Statistique des Données P(A)etP(B A) P(B)12,

Probabilités conditionnellesDifférentes écoles de probabilitésFréquentiste ou Bayesienne ?Fréquentistes :Les évènements peuvent être répétés :P(A) limN NANMécanique quantique, diffusion, radioactivité, · · ·Bayesienne :La probabilité est une notion subjective. Les évènements sont deshypothèses et la probabilité d’un évènement A est définie par le degré deconviction que A soit vrai.Les deux interprétations sont consistantes avec les axiomes deKolmogorov.Traitement Statistique des Données13,

Théorème de BayesChapitre 1 : Rappels GénéreauxIntroductionAnalyse combinatoireProbabilités : Définition et propriétésProbabilités conditionnellesThéorème de BayesVariables aléatoires et loi de probabilitéFonction de densité de probabilité : Propriétés Fonction de partition Fonctions de densité marginale Fonction de densité de probabilité conditionnelle8. Changement de variable Cas d’une seule v.a. Cas de plusieures v.a.9. Propriétés des distributions Fonction génératrice des moments10. Propagation des erreurs1.2.3.4.5.6.7.Traitement Statistique des Données14,

Théorème de BayesThéorème de BayesEnoncéThéorème de Bayes :P(A B)P(B A) P(A).P(B) Révérend T. Bayes(1702/1761)Soient (H1 , · · · , Hi , · · · ) Hypothèses exclusives et exhaustives Hi Hj et i Hi Ω. AlorsB B ( i Hi ) i (B Hi )et le théorème devientP(A B) P(B A) P(A)P(B A) P(A)P PP(B H)iii P(B Hi ) P(Hi )Traitement Statistique des Données15,

Théorème de BayesThéorème de BayesCas d’étude d’hypothèsesDans le cas de l’étude d’hypothèses au lieu d’évènements, le théorème de Bayes est bienadapté.Soient (θ1 , · · · , θn ) n hypothèses exclusives 2 à 2 et exhaustives. L’on cherche à tester unehypothèse à partir d’un échantillon de données observées X 0 , alors :P(X 0 θi )P(θi )P(X 0 )P(θi X 0 ) : la probabilité à postériori de l’hypothèse θi , sachant X 0 .P(θi X 0 ) P(X 0 θi ) : la probabilité d’obtenir les données X 0 dans le cadre de l’hypothèse θi .P(θi ) : la probabilité à priori de θi , qui représente le degré de conviction dans cettehypothèse avant l’expérience.P(X 0 ) est la probabilité d’obtenir les données X 0 quelque soitpeut êtreP θi . Elleconsidérée comme un facteur de normalisation où P(X 0 ) P(X 0 θj )P(θj ).P(θi X 0 ) P(X 0 θi )P(θi )Si P(X 0 ) est inconnue, on ne peut pas calculer la probabilité à postériori de θi mais onpeut calculer le rapport suivantP(θi X 0 )P(θj X 0 )Traitement Statistique des Données16,

Variables aléatoires et loi de probabilitéChapitre 1 : Rappels GénéreauxIntroductionAnalyse combinatoireProbabilités : Définition et propriétésProbabilités conditionnellesThéorème de BayesVariables aléatoires et loi de probabilitéFonction de densité de probabilité : Propriétés Fonction de partition Fonctions de densité marginale Fonction de densité de probabilité conditionnelle8. Changement de variable Cas d’une seule v.a. Cas de plusieures v.a.9. Propriétés des distributions Fonction génératrice des moments10. Propagation des erreurs1.2.3.4.5.6.7.Traitement Statistique des Données17,

Variables aléatoires et loi de probabilitéVariables aléatoires et loi de probabilitéVariables aléatoiresDéfinitionSoit Ω l’ensemble des éventualités, dit aussi univers. La v.a. X est uneapplication définie comme suitX: ei ΩΩei RX(ei ) RX peut être continue ou discrète et prend ses valeurs dansDX {x1 , · · · , xn } où n Card(Ω).Traitement Statistique des Données18,

Variables aléatoires et loi de probabilitéVariables aléatoires et loi de probabilitéLoi de probabilitéDéfinitionX est une v.a. prenant ses valeurs dans DX {x1 , · · · , xn }. La loi deprobabilité associée à X est définie comme suitP:DXxi RP (X xi ) P (ei ) piPropriétéXP(X xi ) Xpi 1PEn effet, i P(ei ) P( i ei ) car ei sont disjoints et comme i ei Ω P( i ei ) P(Ω) 1.iTraitement Statistique des Donnéesi19,