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MAT 2MATerials MATemàticsVolum 2010, treball no. 7, 28 pp. ISSN: 1887-1097Publicació electrònica de divulgació del Departament de Matemàtiquesde la Universitat Autònoma de Barcelonawww.mat.uab.cat/matmatCómo mirar a través deuna cámara fotográficaEulalia Nualart, Javier Garcı́a Landeras“La géométrie est aux arts plastiques ce que la grammaire est àl’art de l’écrivain”Guillaume Apollinaire1.IntroducciónCuando leemos en el tı́tulo de un artı́culo escrito en la era del siglo XXI la palabracámara fotográfica, tendemos a imaginarnosuna cámara digital compacta, que la mayorı́atenemos a nuestro alcance. Pero las cámarasque se usan actualmente en la fotografı́a profesional, si bien son digitales, son cuerpos decámaras réflex en las que la pelı́cula ha sidosustituida por un sensor. Es decir, tienen todas las caracterı́sticas propias de la cámara réflex analógica respecto a sumanejo, con la diferencia que el sensor ofrece mejor resolución, a parte detodas las ventajas de la digitalización de imágenes. Como veremos en esteartı́culo, los parámetros a tener en cuenta a la hora de hacer una fotografı́acon estas cámaras son los mismos que en las cámaras analógicas, a diferenciadel factor de multiplicación.La Fotografı́a (del griego phos, luz, y grafis, escribir o diseñar) es el proceso de capturar imágenes y registrarlas en un medio de material sensible ala luz, basándose en el procedimiento de la cámara oscura. La Matemática(del latı́n mathéma, conocimiento) es una teorı́a abstracta que nos permitemanipular sı́mbolos, números y formas en abstracto, pero uno de sus usos
2Cómo mirar a través de una cámara fotográficamás valiosos es el de describir los procesos del mundo real. Cómo se usan lasmatemáticas en este proceso de diseño con la luz ? Este artı́culo pretende daralgunas respuestas a esta pregunta. Para ello, en el primer capı́tulo empezaremos hablando de los orı́genes de la fotografı́a y del concepto de formaciónde una imagen, lo que nos llevará a las conocidas leyes de Snell. En el segundocapı́tulo, estudiaremos los componentes de una cámara fotográfica e introduciremos el concepto de distancia focal. En el tercer capı́tulo, expondremoslos factores a tener en cuenta a la hora de manejar una cámara fotográficay daremos algunos ejemplos prácticos. Terminaremos con un cuarto capı́tuloen el cual analizaremos las relaciones y equivalencias entre algunos conceptosde matemáticas clásicas y la composición de algunas de las fotografı́as delcélebre fotógrafo francés Henri Cartier-Bresson.Por supuesto, a este enfoque teórico de la técnica, deben añadirse todoslos elementos artı́sticos que son los que hacen de la fotografı́a un arte.1.1.Origen de la fotografı́aCuando apretamos el disparador de una cámara, el objeto o sujeto quequeremos fotografiar queda almacenado en la pelı́cula o memoria de ésta.un objetivo.queéste actualmentese encarga entoncesdirigir losrayos quele llegany reproduceEste proceso,nosdepuedeparecermuysencillo,pasólospor unapuntosdel objetode modoa quesobre la emulsiónse vean puntiformes.serie defasesen cuantosu tambiéndescubrimientose refiere.Aunque no fue hastala segunda década del siglo XIX cuando se consiguió el primer método paraConstrucción de una cámara estenopeicafijar una imagen,el origen de la fotografı́a se atribuye al descubrimiento delSe puede utilizar cualquier “contenedor” estanco a la luz.fenómeno de formación de una imagen a partir de la luz, hallazgo que seSe debe pintar su interior con pintura negra mate.conocı́a desdela antigüedad, conocido como cámara oscura. Se basa en elEl estenopo es el elemento más importante de todas las operaciones que se debenfenómenosiguiente:luz queprocedededevariosrealizar, en ingles sulanombrede pinhole(orificioaguja). puntos de un objeto siguemúltiples lı́neas rectas hasta la zona donde se proyecta. Como se observaLa luz procedente de varios puntos del sujeto sigue múltiples líneas rectas hasta laFigura1 interfieren y no se puede formar lasuperficie de encuadre o película, entreellos seimagen, si logramos seleccionar por medio de un orificio lograremos que cada puntoluz-sujeto es encuentre el lugar que corresponde para la formación de la imagen.en la Figura 1, los rayos de luz se interfieren con los demás y no permitenformar imagen.Porunalo agujatanto,paraparaformarla imagenun objetoAl utilizarfabricarel estenopo,se deproducenrebabasdebemosyhundimientola superficielatón o papelaluminio,luz-objetoque debe ser quede 0,05deseleccionarpor demediode undeorificiolos puntosse mmencuentrenLo másapropiadosería emplearbrocas deeldimensionesen el grosorlugar aproximadamente.que corresponde.Si lazona dondepracticamosorifico es asque suprimirlasdelgada y el agujero muy pequeño, cada punto de la hayimagenpodrı́a estarpor medio de lija y con movimientos circulares. Al realizar un estenopo, debemosapoyar el material utilizado sobre una superficie blanda pero consistente. Una vezhechas todas las manipulaciones, se debe comprobar la calidad de éste con ayuda deuna lupa y mirando a contraluz.
superficie de encuadre o película, entre ellos se interfieren y no se puede formar laimagen, si logramos seleccionar por medio de un orificio lograremos que cada puntoluz-sujeto es encuentre el lugar que corresponde para la formación de la imagen.Al utilizar una aguja para fabricar el estenopo, se producen rebabas yhundimiento de la superficie de latón o papel aluminio, que debe ser de 0,05 mm degrosor aproximadamente. Lo más apropiado sería emplear brocas de dimensionesnecesarias, de 0,05 mm a 1 mm aproximadamente. Las rebabas hay que suprimirlaspor medio de lija y con movimientos circulares. Al realizar un estenopo, debemosapoyar el material utilizado sobre una superficie blanda pero consistente. Una vezEulaliahechasNualart,JavierGarcı́a Landerastodas lasmanipulaciones,se debe comprobar la calidad de éste con ayuda deuna lupa y mirando a contraluz.3Figura 2Selección de unos pocos rayos de luz por el estenopo para la formación de la imagenEjemplo de construcción: Para una cámara de 13 x 18, la focal ideal estándarlimitadoa enunfunciónsolo rayode luzdely formato,la imagenserı́ala perfectamenteestaráde la diagonalaplicandofórmula siguiente: nı́tida (véaseFigura 2).3EnLasucámaraorigen, la cámara oscura era una sala cerrada cuya única fuente deluz era un pequeño orificio en uno de los muros. El orificio funcionaba comouna lente convergente y proyectaba la imagen exterior invertida en la paredinterior. La primera descripción completa e ilustrada sobre el funcionamientode la cámara oscura, aparece en los manuscritos de Leonardo da Vinci a finales del siglo XV. Con el descubrimiento de los materiales fotosensibles en elsiglo XVIII, la cámara oscura pasó a ser la cámara estenopeica. El estenopoes el orificio de diámetro pequeño en una da las caras de la cámara que permite el paso de la luz y proyecta en el material sensible que se pone al otro ladodel orificio. El orificio debe ser suficientemente pequeño para que la imagentenga una definición aceptable y suficientemente grande para que el tiempode exposición no sea muy largo. El uso de las lentes convierte la cámara oscura en cámara fotográfica. La aplicación de una lente en el orificio de unacámara oscura para captar una imagen fue introducida en 1550 por GirolamoCardano, aunque esta lente producı́a muchas aberraciones geométricas deformando objetos. El mérito de la obtención de la primera imagen duradera, fijae inalterable a la luz pertenece al francés Joseph Nicéphore Niépce en 1826,obtenida sobre una placa de metal, casi 300 años después de la aplicación dela lente. Después del éxito de la primera fotografı́a de Niépce, la fotografı́ase desarrolló a lo largo del siglo XIX. La aportación de los trabajos e investigaciones llevadas a cabo por los ópticos de la época fue crucial para reducirgradualmente las aberraciones. En enero de 1839 se difundió velozmente portodo el mundo la noticia de la invención de la fotografı́a, pero para llegar aeste logro era necesario entender y combinar dos principios cientı́ficos, unoóptico y otro quı́mico. La idea surge como sı́ntesis de dos experiencias muyantiguas. La primera, el descubrimiento de que algunas sustancias son sensibles a la luz y la segunda, el fenómeno óptico de la cámara oscura.MAT 2MATerials MATemàticsVolum 2006, treball no. 1, 14 pp.Publicació electrònica de divulgació del Departade la Universitat Autònoma de Barcelonawww.mat.uab.cat/matmat
41.2.Cómo mirar a través de una cámara fotográficaLa luz: leyes de SnellEn este apartado vamos a estudiar con un poco más de detalle el proceso de propagación de la luz, que es un concepto crucial para entender elfuncionamiento de una cámara fotográfica.La luz se propaga en lı́nea recta y con una velocidad constante v en cadamedio, inferior a la velocidad c en el vacı́o. Al cociente entre una y otra sele llama ı́ndice de refracción del medio y se denota por n c/v. Cuando unrayo luminoso llega a la superficie de separación de dos medios de ı́ndices derefracción distintos, se producen dos rayos, uno reflejado y otro refractadoo transmitido como se muestra en la Figura 3. En general, sólo una adon2θ2Figura 3de la energı́a luminosa incidente pasa al otro medio. Además, las direccionesde propagación de los rayos reflejado y transmitido son distintas de la delrayo incidente. Estos cambios de dirección se denominan, respectivamente,reflexión y refracción y se miden usando ángulos. El caso que nos interesadentro de la fotografı́a es el correspondiente a una lente: cuando un rayo deluz pasa a través de la lente de nuestra cámara, es importante estudiar comose reflejará y refractará para saber como afectarán esos rayos de luz a lanitidez de la imagen.Experimentalmente se dedujeron las leyes de la reflexión y de la refracción, también concidas como leyes de Snell, por su descubridor, el matemático holandés, Willeborod Snel Royen (1580-1626) (las llamaron de “Snell”añadiendo a su apellido una “l” por su nombre). Su formulación es la siguiente:Ley de la reflexión: El ángulo de incidencia y el de reflexión son iguales,es decir, en la Figura 3, θ1 θ3 .Ley de la refracción: El cociente entre el seno del ángulo de incidenciay seno del ángulo de refracción es igual al cociente de los ı́ndices de refracción
Eulalia Nualart, Javier Garcı́a Landeras5de ambos medios. Es decir, usando la notación de la Figura 3 se cumple laecuación siguienten2sin θ1 .sin θ2n1Las leyes de Snell se pueden demostrar matemáticamente usando el Principio de Fermat. Establecido por el matemático francés Pierre de Fermatalrededor del año 1658, éste nos dice que el tiempo empleado por un rayoluminoso para ir de un punto a otro es extremal, es decir, máximo o mı́nimo.En la mayorı́a de los casos el tiempo será mı́nimo, pero, por ejemplo, conun espejo elı́ptico que tenga un radio de curvatura menor que el radio de laelipse se puede construir un ejemplo donde el tiempo es máximo (véase, porejemplo, [1]). Como veremos en las demostraciones siguientes, en esta situación el principio de Fermat es equivalente a las leyes de Snell. Por otra parte,las leyes de Snell y, por lo tanto, el principio de Fermat, pueden deducirse dela ecuaciones de Maxwell (véase, por ejemplo, [1]).Demostración de la ley de la reflexión: Supongamos un rayo luminosoque parte de A, se refleja en O y sigue hasta B, como se ilustra en la Figura 4. En este caso, i es el ángulo de incidencia y r el ángulo de reflexión.BAacbriOdFigura 4Representamos por v la velocidad de propagación. Si definimos s1 AO ys2 OB, la longitud de la trayectoria es s1 s2 y el tiempo t a lo largo dela misma será t (s1 s2 )/v. Es fácil ver en la figura queab,s2 .cos icos rDe las ecuaciones anteriores se deduce que 1abt .v cos i cos rs1 Si desplazamos ligeramente el punto O, los ángulos i y r experimentaránvariaciones di y dr y la correspondiente variación del tiempo dt será 1 a sin ib sin rdt di dr .(1)v cos2 icos2 rMAT 2MATerials MATemàticsVolum 2006, treball no. 1, 14 pp.Publicació electrònica de divulgació del Departade la Universitat Autònoma de Barcelonawww.mat.uab.cat/matmat
6Cómo mirar a través de una cámara fotográficaPor otra parte, observamos en la Figura 4 que c d es constante e igual aa tan i b tan r. Diferenciando, se obtiene0 abdi dr.2cos icos2 r(2)Combinando las ecuaciones (1) y (2) resulta quedt a(sin i sin r) di.v cos2 iPor el principio de Fermat resulta que dt 0 y obtenemos sin i sin r y, porlo tanto, i r. Demostración de la ley de la refracción: Consideramos la construccióngeométrica de la Figura 5. Supongamos que las velocidades de propagaciónAaθ1cdOθ2bBFigura 5de la luz en cada medio son v1 y v2 y sus ı́ndices de refracción n1 y n2 ,respectivamente. En este caso, θ1 representa el ángulo de incidencia y θ2 elángulo de refracción. El tiempo invertido por el rayo de luz para ir del puntoA al punto B resulta sert ba .v1 cos θ1 v2 cos θ2Si desplazamos ligeramente el punto O, los ángulos θ1 y θ2 experimentaránvariaciones dθ1 y dθ2 y la correspondiente variación del tiempo serádt a sin θ1b sin θ2dθ1 dθ2 .2v1 cos θ1v2 cos2 θ2(3)
Eulalia Nualart, Javier Garcı́a Landeras7Observamos que c d es constante e igual a a tan θ1 b tan θ2 . Diferenciandoobtenemos quebadθ1 dθ2 .(4)0 2cos θ1cos2 θ2Combinando las ecuaciones (3) y (4) resulta que asin θ1 sin θ2dt dθ1 .cos2 θ1v1v2Por el principio de Fermat tenemos de nuevo que dt 0 y, por lo tanto,sin θ1sin θ2 .v1v2Teniendo en cuenta que v1 c/n1 y v2 c/n2 , de la expresión anterior sededuce la ley de la refracción. El ı́ndice de refracción entre dos medios con ı́ndices de refracción n1 yn2 , se define como el cociente entre n2 y n1 . Por la ley de la refracción, siusamos la notación de la Figura 5, esta razón coincide con el cociente entresin θ1 y sin θ2 . Observamos que si θ1 0 entonces θ2 0 para cualquier n1y n2 . Por otra parte, si n1 n2 entonces θ2 θ1 (situación opuesta a lade la Figura 5). Esto significa que cuando θ1 aumenta, θ2 llega a π2 radianesantes que θ1 . Es decir, que el rayo refractado sale paralelo a la frontera. Si θ1aumenta aún más, como θ2 no puede ser mayor que π2 , no hay transmisión alotro medio y la luz se refleja totalmente. Según sea el ángulo de incidencia,se producirá o no refracción. Por ejemplo, en los espejos metálicos se reflejael 96 % de la potencia luminosa incidente. La formación de una imagen enuna cámara es consecuencia del modo de propagación de los rayos de luz ylas caracterı́sticas ópticas del objetivo de la cámara.2.La cámara fotográficaDesde que en 1888 George Eastman fabricó la primera cámara compactapara uso amateur que usaba rollo de pelı́cula a la que llamó “Kodak”, latécnica ha evolucionado mucho. Su publicidad decı́a: “Usted pulsa el botón,nosotros hacemos el resto”. Después de hacer las fotos, se enviaba la cámarapor correo a la fábrica Kodak que revelaba el rollo y te remitı́a de nuevo lacámara recargada y lista para tomar más fotos. En 1929 aparecerı́a la cámara Leica, considerada como la primera cámara fotográfica para pelı́culas deformato de 35 mm. Debido a su rapidez de acción y manejabilidad, la cámaraLeica fue considerada una verdadera referencia como sı́mbolo de adaptaciónMAT 2MATerials MATemàticsVolum 2006, treball no. 1, 14 pp.Publicació electrònica de divulgació del Departade la Universitat Autònoma de Barcelonawww.mat.uab.cat/matmat
8Cómo mirar a través de una cámara fotográficaa todas las exigencias dentro del mundo fotográfico. En este capı́tulo veremoscuales son los componentes de una cámara fotográfica estándar.2.1.Partes de una cámaraLas partes principales de una cámara réflex (véase Figura 6) son el objetivo, el diafragma, el obturador, el visor u ocular y la pelı́cula (o sensor enel caso de las cámaras digitales). A continuación vamos a hacer una brevedescripción de cada una de estas componentes.Figura 6El objetivo es el conjunto de lentes que se ocupa de dirigir la luz reflejadade los objetos situados ante la cámara a la pelı́cula. Éste dispone de unmecanismo de enfoque que nos ayuda a disponer las lentes más cerca o máslejos para conseguir mejor nitidez del objeto que queremos enfocar. Entrelas lentes anteriores y posteriores del objetivo se encuentra el diafragma.Éste es un orificio circular que dispone de una serie de láminas que permitenmodificar su diámetro permitiendo ası́ controlar la intensidad de luz que entraen la cámara.En el cuerpo de la cámara está ubicado el obturador, que es un sistema quepermite que la luz incida sobre la pelı́cula durante un espacio de tiempo quese pueda regular. Está compuesto de dos cortinas, una que tapa la aberturae impide el paso de la luz y la otra que está enrollada. Cuando se dispara unacortina se enrolla y permite que pase la luz a la pelı́cula. Cuando terminael tiempo de exposición se cierra la segunda cortina y da por concluido eltiempo.
Eulalia Nualart, Javier Garcı́a Landeras9El visor es la parte de la cámara que nos permite ver la escena que vamosa fotografiar. Cuando miramos a través del visor vemos sin ningún tipo derecorte la escena. Esto se produce gracias a un espejo colocado a 45 gradosy un pentaprisma que conducen e invierten la imagen para que la veamoscorrectamente a través del visor. Al pulsar el disparador, el espejo se abatehacia arriba y simultáneamente se acciona el obturador dejando que la luzincida sobre el material sensible. Finalmente, la pelı́cula se ocupa de fijar laluz que entra por el objetivo. Actualmente en las cámaras digitales el sensorcapta los fotones y los almacena en una memoria en forma de tarjeta.2.2.Distancia focal y tipos de objetivosEl tipo de objetivo lo determina un número (o un intervalo) que se denotacomo F y se denomina distancia focal. La distancia focal es la distancia entreel punto donde se reúnen les rayos que penetrarán en la lente de nuestracámara cuando enfocamos un objeto distante el eje de la lente, como semuestra en la Figura 7.FFigura 7La imagen que origina un objetivo es circular, pero cuanto más nos alejamos del centro menos nı́tida es. Por eso las cámaras aprovechan sólo elrectángulo (en algunos casos, el cuadrado central) donde la nitidez es mayor.Si la diagonal de este rectángulo coincide, aproximadamente, con la distancia focal del objetivo utilizado, el ángulo visual será parecido al que nos dannuestros propios ojos. Por lo tanto, el tipo de objetivo lo determina su distancia focal F y su ángulo de visión dependerá del formato de cámara queestemos usando.Tanto en las cámaras analógicas cómo en las digitales, el formato decámara depende del tamaño de pelı́cula o de sensor que utilizan. Cuantomayor sea el formato, mayor calidad final tendrá la imagen. Los formatos delas cámaras analógicas pueden dividirse en tres categorı́as.MAT 2MATerials MATemàticsVolum 2006, treball no. 1, 14 pp.Publicació electrònica de divulgació del Departade la Universitat Autònoma de Barcelonawww.mat.uab.cat/matmat
10Cómo mirar a través de una cámara fotográficaEn primer lugar, están las llamadas cámaras de formato universal o35 mm, que son las más utilizadas en el mundo. Utilizan pelı́culas de 35 mm,es decir, de 24 mm de ancho por 36 mm de largo. La diagonal del negativoes de 43,3 mm (se suele redondear a 45); será entonces el objetivo de 45 o50 mm de distancia focal el considerado como objetivo normal para estascámaras. En las cámaras digitales réflex de este formato el sensor tiende aser más pequeño que el frame de la pelı́cula, es decir, 24 36 mm, y entoncesllevan a un ángulo de visión más estrecho.En segundo lugar, están las llamadas cámaras de medio form
4C omo mirar a trav es de una c amara fotogr a ca 1.2. La luz: leyes de Snell En este apartado vamos a estudiar con un poco m as de detalle el pro-ceso de propagaci on de la luz, que es un concepto crucial para entender el funcionamiento de una c amara fotogr a ca.
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