Kalkulus 2 - WordPress

Kalkulus 2Teknik Pengintegralan ke - 3Tim Pengajar Kalkulus ITKInstitut Teknologi KalimantanJanuari 2018Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan)Kalkulus 2Januari 20181 / 27

Daftar Isi1Teknik Pengintegralan Ke-3Integrasi Fungsi Rasional Menggunakan Pecahan ParsialDekomposisi Pecahan Parsial (Faktor Linear)Faktor Linear yang BerbedaFaktor Linear yang BerulangFaktor Linear CampuranDekomposisi Pecahan Parsial (Faktor Kuadrat)Faktor Kuadrat TunggalFaktor Kuadrat BerulangTim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan)Kalkulus 2Januari 20182 / 27

Kemampuan yang diinginkan pada Bab Ini adalah mahasiswamemiliki kejelian melihat bentuk soal.sehingga faktor latihan sangat pentinguntuk memperoleh hasil yang diinginkan.Jadi BANYAK BERLATIH dengan soal-soal, maka anda InsyaAllahakan menuai kesuksesan.Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan)Kalkulus 2Januari 20183 / 27

Integrasi Fungsi Rasional Menggunakan PecahanParsialMenurut definisi, suatu fungsi rasional adalah hasil bagi dua fungsipolinomial. Contoh - contoh fungsi rasional adalahf (x) 2(x 1)3g(x) 2x 22x 4x 8h(x) x5 2x3 x 1x3 5xFungsi f dan g adalah fungsi rasional sejati, bermakna bahwa derajatpembilang lebih kecil dari pada derajat penyebut.Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan)Kalkulus 2Januari 20184 / 27

Fungsi rasional tak sejati selalu dapat ditulis sebagai penjumlahansuatu fungsi polinomial dan suatu fungsi rasional sejati.h(x) x5 2x3 x 114x 1 x2 3 33x 5xx 5xOleh karena polinomial mudah diintegrasi,perhatikan (x2 3).Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan)Kalkulus 2Januari 20185 / 27

Fungsi rasional tak sejati selalu dapat ditulis sebagai penjumlahansuatu fungsi polinomial dan suatu fungsi rasional sejati.h(x) x5 2x3 x 114x 1 x2 3 33x 5xx 5xOleh karena polinomial mudah diintegrasi,perhatikan (x2 3).Maka persoalan mengintegrasi fungsi rasional sebenarnya adalahpersoalan mengintegrasi fungsi rasional sejati.Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan)Kalkulus 2Januari 20185 / 27

Integrasi Fungsi Rasional Menggunakan PecahanParsialPerhatikan untuk kasus f dan g sebelumnyaTim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan)Kalkulus 2Januari 20186 / 27

Integrasi Fungsi Rasional Menggunakan PecahanParsialPerhatikan untuk kasus f dan g sebelumnyaCarilahTim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan)Z2dx(x 1)3Kalkulus 2Januari 20186 / 27

Integrasi Fungsi Rasional Menggunakan PecahanParsialPerhatikan untuk kasus f dan g sebelumnyaCarilahZ2dx(x 1)3dan selesaikan integralZx2Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan)2x 2dx 4x 8Kalkulus 2Januari 20186 / 27

Integrasi Fungsi Rasional Menggunakan PecahanParsialContohCarilahZ2dx.(x 1)3Misalkan u x 1, maka du dx. SehinggaZ2dx 2(x 1)3Zu 3 du2 2u C 21 C(x 1)2 Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan)Kalkulus 2Januari 20187 / 27

Integrasi Fungsi Rasional Menggunakan PecahanParsialContohCarilahZx22x 2dx 4x 8Pertama misalkan u x2 4x 8 sehingga du 2x 4 dx.kemudian tuliskan integral tersebut sebagai jumlah dua integral.Z2x 2dx 2x 4x 82x 4dx 2x 4x 86dx 4x 8Z1dx ln x2 4x 8 6 2x 4x 8ZTim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan)Kalkulus 2Zx2Januari 20188 / 27

Integrasi Fungsi Rasional Menggunakan PecahanParsialZ1dx 2x 4x 81dx 4x 4 4 Z11 1 x 2 dx tan C22(x 2)2 4Zx2Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan)Kalkulus 2Januari 20189 / 27

Integrasi Fungsi Rasional Menggunakan PecahanParsial1dx 2x 4x 81dx 4x 4 4 Z11 1 x 2 dx tan C22(x 2)2 4ZZx2Jadi,Z2x 2dx ln x2 4x 8 3 tan 1x2 4x 8Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan)Kalkulus 2 x 22 KJanuari 20189 / 27

Dekomposisi Pecahan Parsial (Faktor Linear)Menambahkan pecahan merupakan latihan aljabar Baku: carilahpenyebut bersama dan tambahkan. Sebagai contoh,232(x 1) 3(x 1)5x 15x 1 2x 1 x 1(x 1)(x 1)(x 1)(x 1)x 1Yang menarik bagi kita sekarang adalah proses kebalikannyayakni dekomposisi suatu pecahan menjadi suatu jumlah pecahan- pecahan yang lebih sederhana.Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan)Kalkulus 2Januari 201810 / 27

Faktor Linear yang BerbedaContohDekomposisikanx22x 1dan kemudian carilah integral tak tentunya. 4x 3karena penyebutnya diuraikan sebagai (x 1) (x 3), hal yangmungkin untuk dekomposisinya adalah berbentukB2x 1A x2 4x 3(x 1) (x 3)Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan)Kalkulus 2(i)Januari 201811 / 27

Faktor Linear yang BerbedaContohDekomposisikanx22x 1dan kemudian carilah integral tak tentunya. 4x 3karena penyebutnya diuraikan sebagai (x 1) (x 3), hal yangmungkin untuk dekomposisinya adalah berbentukB2x 1A x2 4x 3(x 1) (x 3)(i)Tugas kita adalah menentukan nilai A dan B sehingga pers (i)menjadi suatu identitas.Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan)Kalkulus 2Januari 201811 / 27

Tugas kita akan mudah dengan mengalikan kedua ruas dengan(x 1) (x 3) , sehingga diperoleh2x 1 A(x 3) B(x 1)Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan)Kalkulus 2Januari 201812 / 27

Tugas kita akan mudah dengan mengalikan kedua ruas dengan(x 1) (x 3) , sehingga diperoleh2x 1 A(x 3) B(x 1)Secara ekivalen2x 1 (A B) x ( 3A B)Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan)Kalkulus 2(ii)Januari 201812 / 27

Tugas kita akan mudah dengan mengalikan kedua ruas dengan(x 1) (x 3) , sehingga diperoleh2x 1 A(x 3) B(x 1)Secara ekivalen2x 1 (A B) x ( 3A B)(ii)persamaan (ii) akan memenuhi jika koefisien pada setiap sukusama di ruas kiri dan ruas kananA B 2 3A B 1Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan)Kalkulus 2Januari 201812 / 27

Tugas kita akan mudah dengan mengalikan kedua ruas dengan(x 1) (x 3) , sehingga diperoleh2x 1 A(x 3) B(x 1)Secara ekivalen2x 1 (A B) x ( 3A B)(ii)persamaan (ii) akan memenuhi jika koefisien pada setiap sukusama di ruas kiri dan ruas kananA B 2 3A B 1dengan menyelesaikan sistem persamaan A dan B, kita peroleh15A dan B .22Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan)Kalkulus 2Januari 201812 / 27

Dengan demikian persamaan i) menjadi,2x 115 x2 4x 32 (x 1) 2 (x 3)danZ11512x 1dx dx dx2x 4x 32 (x 1)2 (x 3)15 ln x 1 ln x 3 C22Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan)ZKalkulus 2ZJanuari 201813 / 27

Faktor Linear yang BerbedaContohCarilahZx35x 3dx. 2x2 3xPenyelesaian : Karena penyebut diuraikan sebagai x (x 1) (x 3),kita tuliskanC5x 3AB 32x 2x 3xx(x 1) (x 3)Dengan menghilangkan pecahan - pecahannya kita akanmemperoleh5x 3 A (x 1) (x 3) Bx (x 3) Cx (x 1)Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan)Kalkulus 2Januari 201814 / 27

Faktor Linear yang BerbedaContohCarilahZx35x 3dx. 2x2 3xPenyelesaian : Karena penyebut diuraikan sebagai x (x 1) (x 3),kita tuliskanC5x 3AB 32x 2x 3xx(x 1) (x 3)Dengan menghilangkan pecahan - pecahannya kita akanmemperoleh5x 3 A (x 1) (x 3) Bx (x 3) Cx (x 1)Substitusikan nilai x 0, x 1, dan x 3, menghasilkan3 A ( 3) 2 B (4) dan 18 C (12)Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan)Kalkulus 2Januari 201814 / 27

13atau A 1, B , C , sehingga,22Z5x 3dx 2x 2x2 3x11131dx dx dxx2 x 12 x 313 ln x ln x 1 ln x 3 C22Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan)ZZKalkulus 2ZJanuari 201815 / 27

Faktor Linear yang BerulangContohCarilahZx(x 3)2dx.Penyelesaian : Sekarang proses dekomposisi menghasilkan bentukx(x 3)2 AB x 3 (x 3)2Di mana A dan B harus ditentukan.kita perolehx A (x 3) BTim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan)Kalkulus 2Januari 201816 / 27

Faktor Linear yang BerulangContohCarilahZx(x 3)2dx.Penyelesaian : Sekarang proses dekomposisi menghasilkan bentukx(x 3)2 AB x 3 (x 3)2Di mana A dan B harus ditentukan.kita perolehx A (x 3) BJika kita substitusikan nilai yang sesuai x 3 dan sembarang nilaix yang lain, misalkan x 0. Kita peroleh B 3 dan A 1.Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan)Kalkulus 2Januari 201816 / 27

Faktor Linear yang Berulangjadi,Zx(x 3)dx 2Z1dx x 3 ln x 3 Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan)Kalkulus 2Z3(x 3)2dx3 Cx 3Januari 201817 / 27

Beberapa Faktor Linear Berbeda, Beberapa yangBerulang (Campuran)ContohCarilahZ3x2 8x 13(x 3) (x 1)2dxPenyelesaian : Kita dekomposisikan integran dengan cara berikut :3x2 8x 13(x 3) (x 1)2 BCA x 3 x 1 (x 1)2Dengan menghilangkan pecahan - pecahannya, kita memperoleh3x2 8x 13 A (x 1)2 B (x 3) (x 1) C (x 3)Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan)Kalkulus 2Januari 201818 / 27

Beberapa Faktor Linear Berbeda, Beberapa yangBerulang (Campuran)ContohCarilahZ3x2 8x 13(x 3) (x 1)2dxPenyelesaian : Kita dekomposisikan integran dengan cara berikut :3x2 8x 13(x 3) (x 1)2 BCA x 3 x 1 (x 1)2Dengan menghilangkan pecahan - pecahannya, kita memperoleh3x2 8x 13 A (x 1)2 B (x 3) (x 1) C (x 3)Substitusikan x 1, x 3, dan x 0 menghasilkan C 2,A 4, dan B 1.Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan)Kalkulus 2Januari 201818 / 27

Beberapa Faktor Linear Berbeda, Beberapa yangBerulang (Campuran)Jadi,Z3x2 8x 13(x 3) (x 1)2dx Z4dx x 3Z1dx x 1 4 ln x 3 ln x 1 Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan)Kalkulus 2Z2(x 1)2dx2 Cx 1Januari 201819 / 27

Dekomposisi Pecahan Parsial (Faktor Kuadrat)Dalam menguraikan penyebut suatu pecahan, kita mungkinmendapatkan beberapa faktor kuadrat (misalnya seperti x2 1, yangtidak dapat lagi diuraikan menjadi faktor - faktor linear tanpamemeperkenalkan bilangan kompleks).Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan)Kalkulus 2Januari 201820 / 27

Faktor Kuadrat TunggalContohDekomposisikan6x2 3x 1dan kemudian tentukan integral tak (4x 1) (x2 1)tentunya.Penyelesaian : Dekomposisi terbaik yang dapat kita harapkan adalahdekomposisi berbentuk6x2 3x 1ABx C 224x 1x 1(4x 1) (x 1)Untuk menentukan kostanta A, B, dan C kita kalikan kedua ruaspersamaan dengan (4x 1) x2 1 dan memperoleh 6x2 3x 1 A x2 1 (Bx C) (4x 1)Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan)Kalkulus 2Januari 201821 / 27

Faktor Kuadrat Tunggal1Substitusi x , x 0, dan x 1 menghasilkan4 6317 A 216 4 1 A 161 2 C C 14 4 B 1)5 B 1Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan)Kalkulus 2Januari 201822 / 27

Faktor Kuadrat TunggalJadi,Z6x2 3x 1dx (4x 1) (x2 1)2x 1dx dx4x 1x2 1ZZZ14 dx1 2x dxdx 2 4x 1 2 x2 1x2 1 11 ln 4x 1 ln x2 1 tan 1 x C22ZTim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan)ZKalkulus 2Januari 201823 / 27

Faktor Kuadrat BerulangContohCarilahZ6x2 15 22(x 3) (x2 2)2dxPenyelesaian : Di sini dekomposisi yang cocok adalah6x2 15 22( x 3 ) ( x2 2)2 ABx CDx E 2 x 3x 2( x2 2 ) 2Setelah melalui proses yang lumayan panjang, kita temukanbahwa A 1, B 1, C 3, D 5, dan E 0.Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan)Kalkulus 2Januari 201824 / 27

Faktor Kuadrat BerulangJadi6x2 15 22Z( x 3 ) ( x2 2 ) 2 Zdx x 3Zdx adalahx 3dx 5x2 2Zxdx( x2 2 ) 2ZZZZ12x2x dxdx15 dx 3dx 22x 3 2 x 2x 22 (x2 2)2 13x52 1 C ln x 3 ln x 2 tan 222 (x 2)22Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan)Kalkulus 2Januari 201825 / 27

Latihan SoalZ13dxx2 1Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan)Kalkulus 2Januari 201826 / 27

Latihan Soal3dxx2 1Zx 11dxx2 3x 10Z12Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan)Kalkulus 2Januari 201826 / 27

Latihan Soal3dxx2 1Zx 11dx2 3x 10xZx πdx2x 3πx 2π 2Z123Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan)Kalkulus 2Januari 201826 / 27

Latihan Soal3dxx2 1Zx 11dx2 3x 10xZx πdx2x 3πx 2π 2Zx3 8x2 1dx(x 3) (x2 4x 5)Z1234Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan)Kalkulus 2Januari 201826 / 27

Latihan Soal3dxx2 1Zx 11dx2 3x 10xZx πdx2x 3πx 2π 2Zx3 8x2 1dx(x 3) (x2 4x 5)Kerjakan soal bernomor ganjil dari 11 s.d 25.Z12345Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan)Kalkulus 2Januari 201826 / 27

Daftar PustakaVarberg, Purcell, Rigdon, ”Kalkulus Ninth Edition, 2”, 2007,Pearson Education, Inc.Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan)Kalkulus 2Januari 201827 / 27

Teknik Pengintegralan ke - 3 Tim Pengajar Kalkulus ITK Institut Teknologi Kalimantan Januari 2018 Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 1 / 27. Daftar Isi 1 Teknik Pengintegralan Ke-3 Integrasi Fungsi Rasional Menggunakan Pecahan Parsial