Teor ıa, Procedimientos De Demostraci On Y Ejercicios De An . - UNAM

Se viabiliza la comprensión del estudiante en lo relativo al tratamientode la modelación matemática en problemas del Análisis Funcional, siel profesor aplica las reglas heurı́sticas que caracterizan el método deenseñanza problémica. Se facilita al profesor el montaje de una ingenierı́a didáctica, debido aque se ha utilizado un enfoque apropiado mediante el cual los ejerciciosse presentan de forma natural en el contexto de la presentación teóricay los ejercicios propuestos no son simplemente ejercicios adicionales,sino que constituyen un complemento, puesto que se originan en losejercicios resueltos o los generalizan.1.3Sobre el enfoque global en el curso deAnálisis FuncionalPara el logro de valores éticos en el estudiante, es muy útil que gane conciencia de la relevancia de los hechos precedentes y del esfuerzo mantenido delhombre para alcanzar nuevas conquistas como respuesta a los retos sociales.Por esto se impone abordar de forma sistemática y organizada el contenidocon un enfoque que proyecte en particular la historia de la profesión.La presentación realizada toma en consideración diversas dimensiones o lı́neasde la relación Análisis Funcional-contexto histórico con caracterı́sticas utilitarias bien definidas. Entre las dimensiones pueden citarse las siguientes:Psicológica: Busca la motivación por la aplicación de potentes resultadosque conducen al manejo de valores éticos inherentes a la matemática,tales como la elegancia, la precisión y la concisión.Epistemológica: Destinada a materializar las relaciones con otras disciplinas. En este caso son claros los vı́nculos con las más notablespropiedades topológicas de los espacios métricos, entre ellas la caracterización de la continuidad de funciones definidas entre espacios métricos(ampliamente utilizada en la resolución de los ejercicios), el teorema deBaire (base de la demostración del teorema general de la acotación uniforme) y las caracterizaciones de la compacidad en espacios métricos,explı́citamente resumidas en el capı́tulo 5 por su relevancia práctica en5

el mismo.Como proyección de la teorı́a estudiada se han aplicado resultadosbásicos del Análisis Funcional en diversas áreas, como por ejemplo elteorema de la acotación uniforme en Análisis Matemático; la teorı́a deoperadores inversos en Matemática Numérica y en Ecuaciones Diferenciales; la noción de convergencia débil en la teorı́a de funciones generalizadas y la teorı́a espectral en la resolución de ecuaciones integrales.Lógica: Mediante la dosificación de procesos inductivo-deductivos. En estetexto se procura un balance entre lo general y lo particular y una concatenación teórico-práctica basada en los esenciales mı́nimos y la adecuada aplicación de la experiencia acumulada.Axiológica: Debe garantizar la derivación de valores partiendo de la asequibilidad del conocimiento a partir de las caracterı́sticas de la presentación, la forma de usar las técnicas y el lenguaje. El objetivoes lograr la actualidad en la información, profundizar la especificidadcultural e inculcar un compromiso social mediante el análisis de los hechos y de la labor de eminentes profesionales. En el presente estudiohay nombres explı́citos de gran significación cientı́fica en la historia delAnálisis Funcional, entre ellos: Stefan Banach (1892-1945) pionero enel estudio de los espacios normados y de sus aplicaciones a partir de1922; David Hilbert (1862-1943) considerado el más célebre matemáticoalemán de la primera mitad del siglo XX, con aportes en casi todas lasramas de la matemática (fue contemporáneo de Otto Hölder (Alemania, 1859-1937)); Hermann Minkowski (1864-1909), matemático y fı́sicoalemán de origen ruso, creador de algunos tipos de espacios que fueronla base del progreso de la Teorı́a de la Relatividad y Frederich Riesz(1880-1956), húngaro, que continuó y generalizó la obra de Hilbert.1.4Preámbulo al textoCon vistas a propiciar una motivación inicial para un acercamiento al texto,brindamos aquı́ una exposición informal que constituye una visión escueta deideas previas que contribuyen a la comprensión de la perspectiva del presentelibro.6

1.4.1Influencia del Análisis Clásico en el Análisis FuncionalPara adquirir una idea de cómo se originó la teorı́a del Análisis Funcional, esútil tomar en consideración algunos hechos basados en la geometrı́a clásica,como los que se exponen a continuación: En el espacio Rn de n-plos de coordenadas reales, se pueden definirdos operaciones: una de suma (que permite la traslación) y otra demultiplicación por un escalar (o dilatación en sentido amplio) y estasoperaciones dotan a este espacio de una estructura de espacio vectorial,lo cual ofrece la posibilidad de expresar algebraicamente propiedadesafines de la geometrı́a (por ejemplo, el segmento xy es paralelo al zu siel vector y x es igual al vector u z). La distancia euclideana permite fundamentar la noción de convergencia de una sucesión de puntos en Rn . La formalización del conceptode distancia euclideana entre dos puntos x, y como una aplicación devalores positivos definida sobre el producto cartesiano de Rn por sı́ mismo, posee tres propiedades muy caracterı́sticas asociadas a la nociónheurı́stica de la separación entre dos puntos: la propiedad triangular,que expresa que en todo triángulo XY Z, la longitud del lado XY esmenor que la suma de las longitudes de los otros dos lados; la propiedadde invarianza del valor de la distancia al permutar la notación de lospuntos considerados y la propiedad de nulidad del valor de la distanciasi y sólo si los puntos coinciden.De aquı́ que Rn está dotado de una estructura métrica que presenta dos propiedades básicas, sobre las cuales descansa la teorı́a clásicade funciones, esto es, el Análisis Matemático: el teorema de CauchyBolzano (una sucesión es convergente si y sólo si es de Cauchy) y elteorema de Bolzano-Weirstrass (de toda sucesión acotada se puede extraer una subsucesión convergente). La suficiencia para la convergenciaen el teorema de Cauchy-Bolzano ofrece un modelo de comportamientode Rn que debe recuperarse en espacios más generales mediante unacaracterı́stica explı́cita, lo cual origina la noción de espacio métricocompleto. La relación entre las caracterı́sticas vectorial y métrica (euclideana,7

por lo que Rn se designa entonces como E n ) está dada por las dospropiedades que pueden expresarse ası́:(1) La distancia d(x, y) entre los puntos x, y no cambia si los dos puntosse someten a la misma traslación, esto es: d(x z, y z) d(x, y).(2) La distancia entre los puntos x, y queda multiplicada por el módulodel escalar que dilata ambos puntos, es decir:d(cx, cy) c d(x, y).Tomando z y en la primera propiedad se tiened(x y, 0) d(x, y),lo cual significa que es suficiente conocer las distancias al origenpara determinar las distancias entre todos los puntos.Por tanto, el número d(x, 0) adquiere una relevancia especial quetiene las propiedades siguientes:d(x, y) 0d(x y, 0),Prop. (1) d(x, 0) 0 x 0,d(cx, 0) c d(x, 0)d(x y y, y) d(x, y)d(x, 0) d(0, y) {z }d(( 1)(0),( 1)y)Prop. (2) d(x, 0) 1 d(0, y) {z} 1 d(x, 0) d(0, y)Por invarianza d(x, 0) d(y, 0)A la aplicación p(x) d(x, 0) de valores positivos definida sobre Rn sele llama norma y de acuerdo con lo anterior cumple las propiedades:(N1) p(x) 0 x 0;(N2) p(cx) c p(x);(N3) p(x y) p(x) p(y). El concepto de norma se vincula estrechamente al de producto escalarde cualquier par de vectores de Rn :x (x1 , x2 , ., xn )8y (y1 , y2 , ., yn )

definido ası́:(x y) nXxi y i ,i 1debido a que(x x) nXx2i (d(x, 0))2 (p(x))2 .i 1Este producto obedece a las leyes siguientes:(x1 x2 y) (x1 y) (x2 y)(cx y) c (x y)(x y) (y x)(x x) 0;(x x) 0 x 0;y además la desigualdad fundamental (x y) p(x) p(y)Luego para dos vectores no nulos x, y se tiene que (x y) (x y) 1 1 1p(x) p(y)p(x) p(y)y este hecho origina la noción de ángulo α entre dos vectores x, ymediante la definicióncos α (x y).p(x) p(y)La importancia de esta relación radica en que nociones tales como laperpendicularidad entre vectores, ası́ como resultados asociados (porejemplo el teorema de Pitágoras) se generalizan a espacios arbitrariossiempre que exista un producto que satisfaga la axiomática del productoescalar analizado.9

1.4.2Generalización de la geometrı́a al Análisis FuncionalAunque desde la época de Euclides se sabı́a que la validez de los teoremasde la geometrı́a dependen sólamente de la axiomática que gobierna el comportamiento de los entes geométricos y no de la naturaleza de dichos entes,durante mucho tiempo la imagen fı́sica de los conceptos de punto, recta,ángulo, etc., ejerció una gran limitación al campo de aplicación de los teoremas.Con el desarrollo del Análisis Matemático, la perspectiva axiomática para laaplicación práctica de los resultados ganó fuerza, y por tanto trascendió delmarco de E n . Son muy notables los problemas que plantean los ejemplossiguientes:1) Dada una matriz K (kij ) y un vector y (y1 , ., yn ) E n , hallar unvector x (x1 , ., xn ) E n tal que:nXkij xj yii 1, ., nj 1De forma precisa, la incógnita es una función x con dominio en elconjunto {1, ., n} tal quex(i) xii 1, ., nEntonces, x constituye un punto en un cierto conjunto de funciones.Nótese que una matriz es un caso particular de una función de dosvariables, y sobre la base de esta analogı́a, Ivar Fredholm (Suecia, 18661927) planteó el problema que se presenta a continuación.2) Dada una función de dos variables k(t, s), t, s [a, b], la función y(t) y elparámetro λ, hallar una función x(t) tal queZ bλx(t) k(t, s)x(s) ds y(t)aComo en el caso de la teorı́a de ecuaciones algebraicas se tiene una interpretación geométrica de la misma por su relación con E n , Hilbert se10

propuso hallar un enfoque geométrico análogo para la teorı́a de Fredholm, y esto lo llevó a introducir espacios de dimensión infinita cuyoselementos eran sucesiones o funciones con ciertas caracterı́sticas, dondese puede definir la noción de distancia, perpendicularidad u ortogonalidad, etc. En la teorı́a de Hilbert se generaliza la noción de punto,pero se mantiene análoga la fórmula para la distancia. En sus trabajos, Minkowski generaliza la noción de distancia en un cierto sentido;pero implı́citamente la generalización del concepto de distancia se tenı́adesde que Pafnuty Chebychev (Rusia, 1821-1894), en la teorı́a de aproximación de una función continua x por un polinomio P (t), al evaluarla bondad de la aproximación, utilizaba el valor ded(x, P ) sup x(t) P (t) ,t [a,b]ya que posee todas las propiedades reseñadas para la distancia.1.4.3Importancia de los espacios normados generalesLa creación de las teorı́as abstractas de espacios métricos, normados, hilbertianos, etc., donde sólo se fijan los axiomas a los que obedecen estos conceptos, permite deducir un grupo de teoremas que después puede aplicarse adiversas teorı́as particulares y ası́ se evita repetir para cada teorı́a particularel mismo razonamiento.Usualmente, la teorı́a general se enriquece mediante las tres vı́as siguientes: Buscando analogı́as de “buenas”propiedades establecidas en espaciosconcretos. Ası́, por ejemplo, se generalizan las nociones de espaciocompleto y de conjunto compacto. En el caso de esta última noción, elproceso de transferencia de la misma a espacios infinito-dimensionalesconduce a un concepto cualitativamente más amplio que el que se tieneen E n . Aumentando la cantidad de estructuras disponibles sobre un conjunto,ya que hay más propiedades y resultados que pueden ser utilizados. Porejemplo, si en un espacio normado se considera además un productocomo operación interna, que satisface ciertas compatibilidades tantocon la estructura algebraica de espacio vectorial como con la estructura11

topológica de norma, entonces la teorı́a se hace más rica porque sepueden considerar además las especificidades de otras teorı́as tales comola de ideales. Estableciendo relaciones entre diversos espacios mediante morfismosapropiados. Entre ellos se destacan los que dan lugares a los espaciosnormados siguientes:L(E) {T : E E,E0 {f : E K,T lineal} (completo si E es completo)f lineal} .La importancia de L(E) reside en que constituye el marco apropiadopara la teorı́a espectral, la cual resulta una generalización a espaciosinfinitos de la reducción de una matriz a la forma diagonal, mientrasque la del espacio E0 radica en que permite obtener resultados de representación que logran la identificación de espacios arbitrarios con espacios conocidos.1.5Panorámica del textoEl presente texto consta de seis capı́tulos, especializados en técnicas del Análisis Funcional lineal a partir del segundo.Las principales ideas de cada capı́tulo pueden resumirse como sigue: El segundo capı́tulo, relativo a espacios normados, destaca la axiomáticaesencial del concepto de norma e introduce por su relevancia la nociónde espacio de Banach como caso particular de espacio métrico completo, ya que dicha noción fundamenta un conjunto sustancial de resultados muy importantes en las aplicaciones. A su vez, son introducidoslos espacios de Hilbert como casos particulares de espacios de Banach,debido a que constituyen la generalización natural de los espacios euclı́deos (donde existe el concepto de ortogonalidad) y además constituyentambién el marco apropiado para el básico teorema de Riesz.Los espacios normados resultan el caso más sencillo de espacios vectoriales topológicos, y en los ejemplos resueltos se fortalece la idea dela compatibilidad entre la estructura algebraica de espacio vectorial y la12

estructura topológica asociada a la norma mediante la demostración dela continuidad de las operaciones de espacio vectorial. Se muestra unaforma general del teorema de la acotación uniforme que se particularizaposteriormente en el cuarto capı́tulo. El tercer capı́tulo estudia los operadores lineales con una gran incidencia práctica como muestran los tipos abordados en la ejemplificación:integrales, diferenciales, de diferencias finitas, de transformadas, matriciales, de retardo, de evaluación, de proyección, etc.Dentro de la clase de los operadores lineales se estudian y caracterizansubclases distinguidas por su potencia teórica: los operadores continuos, los inversibles y los cerrados.Aquı́ se establece la equivalencia entre operadores continuos y acotados, lo cual facilita el manejo de diversas formas equivalentes de lanoción de norma de un operador.En cuanto a los operadores inversibles se investigan las condicionespara garantizar la continuidad del inverso y se demuestran diversasrelaciones entre los conceptos de operador cerrado y operador continuo. En el cuarto capı́tulo, la noción de norma de un operador se particulariza al caso de funcionales lineales continuos, que constituyen su objetode estudio. Los resultados teóricos que se manejan se dividen en tressentidos: el primero, enfatizar las aplicaciones analı́ticas del teoremade Hahn-Banach; el segundo, particularizar al caso de algunos funcionales el teorema de la acotación uniforme analizado en el capı́tulo2 y el tercero, introducir la importante noción (por su aplicación enoptimización) de operador lineal adjunto y del concepto derivado en elcontexto de espacios de Hilbert que se denomina como conjugado deHermite. El quinto capı́tulo trata una clase con propiedades especiales, que esusual en la teorı́a de las ecuaciones integrales y en los procesos desumación: ésta es la clase de los operadores totalmente continuos. El sexto capı́tulo se utiliza para aplicar los fundamentos teóricos del13

capı́tulo anterior, vinculados con el desarrollo de rudimentos de la teorı́aespectral.Finalmente se ofrece un ı́ndice de materias para ayudar al lector a localizarlas principales definiciones y las nomenclaturas de los teoremas que son estudiados y aplicados en el texto.14

Capı́tulo 2Espacios normadosLa noción de módulo (o valor absoluto) de un número real es muy importanteporque a partir de él se define un indicador de la cercanı́a entre dos númeroscualesquiera: éste consiste en considerar el módulo de la diferencia entreellos, es decir, se puede definir la aplicación:d : R R R ası́: d(x, y) x y Con este concepto se puede definir inmediatamente la noción de lı́mite deuna sucesión {xn } a x, se denota xn x y se dice que xn tiende a x:def.xn x ² 0 n0 N : n n0d(xn , x) xn x ²La relevancia de este hecho es que permite dotar a R de una estructura nosólo algebraica, sino analı́tica en el sentido de que hace posible manejar lanoción de convergencia.Si se intenta buscar cuáles son las propiedades del valor modular que hacen posible este salto cualitativo, se puede observar que en relación con lasoperaciones de suma y multiplicación de números reales se cumple que: λx λ x x y x y y además 0 0.Si se trata de generalizar estas propiedades y convertirlas en axiomática de15

una aplicación de valores positivos definida sobre cualquier espacio vectorial,también denominado lineal, se tendrá la definición de norma que va a constituir un marco apropiado de estudio de un elevado número de propiedadesde gran impacto en el Análisis Funcional.2.1Espacios normadosUn espacio lineal X sobre el conjunto de los números reales R (de los complejos C) se denomina espacio normado si para todo x X se pone encorrespondecia un número no negativo kxk llamado norma de x, tal que secumplan los tres axiomas siguientes:1) kxk 0 x 012) kλxk λ kxk3) kx yk kxk kyk(Ejercicios Resueltos 1 y 2)Todo espacio normado X resulta un espacio métrico para la aplicaciónd : R R R dada por:d(x, y) kx yk ,(Ejercicio resuelto 3)por lo que adquiere sentido la noción de bola y consecuentemente la noción topológica de conjunto abierto.La denominación de bola responde a la forma geométrica del conjunto quecorresponde a la utilización de la norma euclideana en el espacio tridimensional.El conjunto Sr (x0 ) {x X : kx x0 k r} se llama bola abierta con1x 0 kxk 0 por lo que el axioma 1) se puede sustituir por si y sólo si comoconsecuencia del axioma 2).16

centro en el punto x0

adentrando en la teor ıa m ınima necesaria para resolver multiples problemas del An alisis Funcional. . y los ejercicios propuestos no son simplemente ejercicios adicionales, . puesto que se originan en los ejercicios resueltos o los generalizan. 1.3 Sobre el enfoque global en el curso de An alisis Funcional Para el logro de valores .