ENG285 4ª Unidade 1 - WordPress
Adriano AlbertoENG285 4ª UnidadeFonte: Arquivo da resolução da lista 1 (Adriano Alberto), Slides do Prof. Alberto B. VieiraJr., RILEY - Mecânica dos Materiais.Momento de Inércia (I)Para seção retangular:I . Para seção triangular reta:I . Semi-círculo: Momento estático (Q)Q A . (distância do centróide à L.N.) - . ; . . . - Módulo de resistência (W) W á á Wreq 1
Adriano AlbertoPROBLEMAS ENVOLVENDO FLEXÃONas questões abaixo, de acordo com as respostas da lista, não são calculadas astensões máximas. Para isso, seria necessário calcular também as tensõescisalhantes e, a partir do estado de tensão resultante, calcular as tensões máximas,que podem ou não coincidir com os resultados das questões abaixo.1) A viga carregada como mostrado tem a seção transversal da figura. Determine a tensãolongitudinal: (a) num ponto a 4,5 m a contar da extremidade esquerda e 125 mm acima dasuperfície neutra; (b) num ponto 75 mm abaixo da superfície neutra numa seção a 1,2 mdo extremo direitoRA RD 30 15 30 75 kN # 0 - 30 . 1,5 - 15 . 4 5 . RD – 6 . 30 0 RD 57 kNRA 18 kNPara 0 x 3:V(x) - 10x 18Para V(x) 0 x 1,8 mDiagrama:2
Adriano Alberto3a)M(4,5) ?Para 4 x 5:V(x) - 27 kNM(x) - 27x CM(4) - 3 kN.m - 27 . 4 C C 105M(x) - 27x 105 M(4,5) - 27 . 4,5 105 M(4,5) - 16,5 kN.mCálculo da Posição da Linha Neutra (L.N.)Obs: não era preciso calcular para esse caso, devido a simetria da seção.AT 200 . 50 . 3 30 000 mm²A1 200 . 50 10 000 mm²²A2 200 . 50 10 000 mm²m²A3 200 . 50 10 000 mm²m² 275 mm 150 mm 25 mm
Adriano Albertoyi # . ) # . ) # .#* , ,,, . -./ ) /, ) -/ 0, ,,, 150 mmys 300 – 150 150 mmCálculo do momento de inérciaIz . 1 A1 . 3 -,, . /, 4 - 10 000 . 275 150 - 158 333 333,3. 78 m4 . 1 A2 . 3 /, . -,, 4 - 10 000 . 150 150 - 33 333 333,33. 78 m4 . 1 A3 . 3 -,, . /, 4 - 10 000 . 25 150 - 158 333 333,3 . 78 m4 Iz 350 000 000 . 78 m4 - . 9: -;8 ,/ . ,4 . -/ . ,?40/, ,,, ,,, . ,?@A 5 892 857,143 Pab)x 7 – 1,2 5,8 mM(5,8) ?Para 5 x 7:V(x) - 15x CV(5) 30 - 15 . 5 C C 105 V(x) - 15x 105M(x) - 7,5 . x² 105 . x CM(5) - 30 kN.m - 7,5 . 25 105 . 5 C C - 367,5M(x) - 7,5 . x² 105 . x - 367,5 M(5,8) - 7,5 . (5,8)² 105 . 5,8 - 367,5 M(5,8) - 10,8 kN.m - . 9: -;8 ,,B . ,4 . 8./ . ,?40/, ,,, ,,, . ,?@A - 2 314 285,714 Pa4
Adriano Alberto2) (a) Determine a tensão longitudinal em um ponto 100 mm abaixo da superfície neutranuma seção a 1,3 m do extremoxtremo direito da viga carregada da figura; (b) determine amáxima tensão longitudinal numa seção a 1 m do extremo esquerdo. C 0 RA RB 39 000 N # 0 9 000 – 30 000 . 1,5 3 . RB 0 RB 12 000 NRA 27 000 NPara 1,5 x D 3,5:V(x) - 15 000 . x CV(1,5) 18 000 - 15 000 . 1,5 C C 40 500V(x) - 15 000 . x 40 500Para V(x) 0 x 2,7 mDiagrama:5
Adriano AlbertoCálculo da Posição da Linha Neutra (L.N.)6AT 150 . 50 150 . 50 15 000 mm²A1 150 . 50 7 500 mm²A2 150 . 50 7 500 mm² 175 mm 75 mmyi # . ) # .#* . /,, . ./ ) . /,, . ./ / ,,, 125 mmys 200 – 125 75 mmCálculo do momento de inérciaIz . 1 . 1 A1 . 3 A2 . 3 /, . /, 4 /, . /, 4 - 7 500 . 175 125 - 20 312 500 . 78 m4 7 500 . 75 125 - 32 812 500 . 78 m4 Iz 53 125 000 . 78 m4a)x 4 – 1,3 2,7 mM(2,7) 10,8 kN.m - . 9: -; ,,B . ,4 . 8 ,, . ,?4/0 -/ ,,, . ,?@Ab) M(1) - 9 kN.mCálculo das tensões acima da L.N.: 20 329 411,76 Pa
Adriano Alberto - . F 9: -;8 G . ,4 . ./ . ,?4/0 -/ ,,, . ,?@A 12 705 882,35 PaCálculo das tensões abaixo da L.N.: - . 3 9: -;8 G . ,4 . 8 -/ . ,?4/0 -/ ,,, . ,?@A - 21 176 470,59 Pa , á 3) Uma barra de aço de 200 mm de diâmetro é carregada e apoiada como mostrado nafigura. Determine a máxima tensão longitudinal numa seção a 1,5 m a partir da parede.R 12 kN12 . 3 M 0 M - 36 kN.mM(3) - 18 kN.mIz HI JK H ,, ,, JKA LM - L 0,100 yi ys 100 mm7
Adriano Alberto - . F -;8 B . ,4 . ,, . ,?4O P,@PP JJ 22 918 311,81 Pa84) Para a viga mostrada, as tensões longitudinais admissíveis na seção sob a carga são de42 MPa T e 70 MPa C. Determine a máxima carga admissível P.RA RC P (I) QR 0 - 1 . P 3,5 . RC 0 RC S ,T(II)Substituíndo em (I):SRA ,T P RA ,T . S ,TRA 2,5 . RCPara o trecho 0 x 1:V(0) V(1) RAM(x) RA . x CM(0) 0 C 0 M(x) RA . xM(1) RAPara o trecho 1 x 3,5:V(1) V(3,5) RA – PM(x) (RA - P). x CM(1) RA (RA - P). 1 C C P M(x) (RA - P). x PM(3,5) (RA - P). 3,5 P 3,5 . RA – 3,5 . P P 3,5 . RA – 2,5 . P 3,5 .Para x 3,5:V(3,5) RA – P RC RA – P P – RA 0-,/ . U0,/– 2,5 . P 0
Adriano AlbertoM(3,5) 0Mmáx RA 9 ,T . S ,TCálculo da Posição da Linha Neutra (L.N.)AT 200 . 25 100 . 25 7 500 mm²A1 200 . 25 5 000 mm²A2 100 . 25 2 500 mm² 125 mm 12,5 mmyi # . ) # .#* / ,,, . -/ ) - /,, . -,/. /,, 87,5 mmys 225 – 87,5 37,5 mmCálculo do momento de inérciaIz . 1 A1 . . 1 A2 . 3 3 -/ . -,, 4 - ,, . -/ 4 - 5 000 . 125 87,5 - 23 697 916,67. 78 m4 2 500 . 12,5 87,5 - 14 192 708,33. 78 m4 Iz 37 890 625 . 78 m4Para o trecho AB:Mmáx ,T . S ,TCálculo das tensões acima da L.N.: - . F 6 - 70 . 10 -WA,X . YZ.4,X0.,/ . ,?40. BG, -/ . ,?@A P 99 020,83334 N
Adriano AlbertoCálculo das tensões abaixo da L.N.:10 - . 3 42 . 106 -WA,X . YZ.4,X 8B.,/ . ,?40. BG, -/ . ,?@A P 25 462,5 N Padm5) e 6) Se o momento mostrado atua no plano vertical, determinar a tensão no: (a) pontoA; (b) ponto B.5)a)Como o ponto A vai ser comprimido, será negativo.Mz 15 kN.myi ys 60 mmCálculo do momento de inérciaComo a seção é simétrica, e a área interna é concêntrica com a área externa, Iz [ - 3 : [ - 3 -B, . -, 4 - . --K, . B, 4 - 9 813 333,333 . 78 m4; / . ,4 . K, . ,?4G B 0 000,000 . ,?@A - 61 141 304,35 Pab)Como o ponto B vai ser tracionado, será positivo.Mz 15 kN.m - . 3 -; / . ,4 . 8 , . ,?4G B 0 000,000 . ,?@A 91 711 956,52 Pa
Adriano Alberto*** 6)11a)Como o ponto A vai ser comprimido, será negativo.Mz 2,8 kN.myi ys 30 mmCálculo do momento de inérciaIz [ - 2 . 3 - . - -, . , 4 -- 2.H . -, JK;-,B . ,4 . 0, . ,?4 G,B .-,/BB . ,?@A 1 908 672,588 . 78 m4 - 44 009 643,42 Pab)Como o ponto B vai ser tracionado, será positivo.Mz 2,8 kN.m - . -;-,B . ,4 . 8 -, . ,?4 G,B .-,/BB . ,?@A 29 339 762,28 PaResposta da lista:6) σa 44,1 MPa C σb 29,3 MPa T7) A viga mostrada é feita de aço com tensão de escoamento igual a 250 MPa. Determinaro maior momento que pode ser aplicado à viga quando ela encurva em torno do eixo z,considerando um coeficiente de segurança de 2,5.
Adriano AlbertoPosição da Linha Neutra (L.N.)12yi 130 mmCálculo do momento de inérciaA1 200 . 16 3 200 mm²A2 228 . 10 2 280 mm²A3 200 . 16 3 200 mm² 252 mm 130 mm 8 mmIz . 1 A1 . . 1 A2 . 3 , . --B 4 - 2 280 . 130 130 - 9 876 960 . 78 m4 . 1 A3 . 3 -,, . 4 - 3 200 . 8 130 - 47 697 066,67 . 78 m43 -,, . 4 - 3 200 . 252 130 - 47 697 066,67 . 78 m4 Iz 105 271 093,3 . 78 m4 . 3 -/, . ,]-,/ . 0, . ,?4 ,/ -. ,G0,0 . ,?@A 80 977,76408 N.m8) Sabendo-se que uma viga de seção transversal, como mostrado, é encurvada em tornode um eixo horizontal e está submetida a um momento fletor de 5,7 kN.m, determinar aintensidade total da força atuando: (a) na aba superior; (b) na porção sombreada da alma.
Adriano Alberto13Posição da Linha Neutra (L.N.)yi 87,5 mmCálculo do momento de inérciaA1 150 . 37,5 5 625 mm²A2 50 . 100 5 000 mm²A3 150 . 37,5 5 625 mm² 156,25 mm 87,5 mm 18,75 mmIz . 1 A1 . . 1 A2 . 3 3 /, . 0.,/ 4 - 5 625 . 156,25 87,5 - 27 246 093,75. 78 m4/, . ,, 4 - 5 000 . 87,5 87,5 - 4 166 666,667 . 78 m4 Iz 58 658 854,17 . 78 m4a)
Adriano AlbertoPara y 68,75 mm (distância da L.N. ao centróide da figura)14 - . 3 -/,. . ,4 . B,./ . ,?4/B /B B/K, . . ,?@A - 6 680 577,136 PaF . A1 F - 6 680 577,136 . 5 625 . 10-6 m² F - 37 578,24639 Nb)Para y - 25 mm (distância da L.N. ao centróide da figura) - . -/,. . ,4 . 8 -/ . ,?4/B /B B/K, . . ,?@A 2 429 300,777 PaF . A F 2 429 300,777 . 50 . 50 . 10-6 m² F 6 073,251943 N*** 9) Duas forças verticais são aplicadas a uma viga de seção transversal mostrada.Determinar as máximas tensões de tração e compressão numa seção transversal na porçãoBC da viga.RA RD 20 kNRA RD 10 kNMz 1,5 kN.m
Adriano AlbertoCálculo da Posição da Linha Neutra (L.N.)15AT 10 . 50 10 . 30 10 . 50 1 300 mm²A1 10 . 50 500 mm²A2 10 . 30 300 mm²A3 10 . 50 500 mm² 35 mm 5 mm 35 mmyi # . ) # . ) # .#* /,, . 0/ ) 0,, . / ) /,, . 0/ 0,, 28,07692308 mmys 60 - 28,07692308 31,92307692 mmCálculo do momento de inérciaIz . 1 A1 . 3 , . /, 4 - 500 . 35 28,07692308 - 128 131,1637 . 78 m4 . 1 A2 . 3 0, . , 4 - 300 . 5 28,07692308 - 162 263,3137. 78 m4 Iz 418 525,6411 . 78 m4Cálculo acima da L.N. - . F - ,/ . ,4 . 0 ,G-0,. G- . ,?4K B /-/, K . ,?@ACálculo abaixo da L.N. - 114 412 620,6 Pa
Adriano Alberto - . 3 - ,/ . ,4 . 8 -B,,. G-0,B . ,?4K B /-/, K . ,?@A16 100 627 967,5 PaA resposta da lista deu diferente, mas acredito que meus cálculos estão certos.9) 73,2 MPa T 102,4 MPa C10) Sabendo-se que uma viga de seção transversal mostrada é encurvada sobre um eixohorizontal, e que está submetida a um momento fletor de 4 kN.m, determinar aintensidade total da força que atua na porção sombreada da viga.yi ys 44 mmA1 12 . 88 1 056 mm²A2 40 . 40 1 600 mm²A3 12 . 88 1 056 mm² 44 mm 44 mm 44 mmCálculo do momento de inércia Iz 2 . . 1 A1 . 3 - . BB 4 - . 1 A2 . 3 K, . K, 4 - 681 472 . 78 m4 213 333,3333 . 78 m4
Adriano Alberto Iz 1 576 277,333 . 78 m417Cálculo do centróide da figuraAT 12 . 44 20 . 20 928 mm²A1 12 . 44 528 mm²A2 20 . 20 400 mm²A3 10 . 50 500 mm² 22 mm 10 mm # . - . ) # .#* - /-B . -- ) K,, . ,G-BK . ,4 . ,B-./B - . ,?4 /. -.,000 . ,?@A 16,82758621 mm y - 42 702 095,26 PaF . A F - 42 702 095,26 . 928 . 10-6 - 39 627,5444 N11) Para a viga com seção transversal mostrada, determine a tensão longitudinal máximaentre as seções A e C, e localize onde ela ocorre.Aproveitando os cálculos da questão 6 da Lista 1:
Adriano AlbertoPara 0 x D 2:V(x) b c. de C1 V(x) b 3 . de C1 V(x) 3x C1V(0) 0 3 . 0 C1 0 C1 0 V(x) 3xV(0) 0V(2) 3 . 2 6 kNM(x) b f e . de C2 M(x) b 3x . de C2 M(x) 1,5 x² C2M(0) - 12 1,5 (0)² C2 - 12 C2 - 12 M(x) 1,5 x² - 12M(0) - 12 kN.mM(2) 1,5 . (2)² - 12 M(2) - 6 kN.mPara 2 x D 5:V(x) - b c. de C3 V(x) - b 5 . de C3 V(x) - 5x C3V(2) 6 5,5 11,5 kN - 5 . 2 C3 11,5 C3 21,5 V(x) - 5x 21,5 (OK)V(2) 11,5 kNV(5) - 5 . 5 21,5 V(5) - 3,5 kNPara V(x) 0 - 5x 21,5 0 x 4,3 mM(x) b f e . de C4 M(x) b 5x 21,5 . de C4 M(x) - 2,5 x² 21,5 . x C4M(2) - 6 kN.m - 2,5 (2)² 21,5 . 2 C4 - 6 C4 - 39 M(x) - 2,5 x² 21,5 . x – 3918
Adriano AlbertoM(2) - 6 kN.m19M(5) - 2,5 (5)² 21,5 . 5 - 39 M(5) 6 kN.mMf,máx M(4,3) - 2,5 . (4,3)² 21,5 . 4,3 - 39 Mf,máx 7,225 kN.mPara 5 x D 7:3 . 2 5,5 – 5 . 3 - 3 - V(x) 0 V(x) - 6,5 kNM(x) b f e . de C5 M(x) b 6,5 . de C5 M(x) - 6,5x C5M(5) 6 kN.m - 6,5 . 5 C5 6 C5 38,5 M(x) - 6,5x 38,5M(5) 6 kN.mM(7) - 6,5 . 7 38,5 M(7) - 7 kN.mDiagrama:
Adriano Alberto20Cálculo da Posição da Linha Neutra (L.N.)AT 100 . 25 40 . 100 6 500 mm²A1 100 . 25 2 500 mm²A2 100 . 40 4 000 mm² 112,5 mm 50 mmyi # . ) # .#* - /,, . -,/ ) K ,,, . /, /,, 74,03846154 mmys 125 - 74,03846154 50,96153896153846 mmCálculo do momento de inérciaIz . 1 A1 . 3
Adriano Alberto . 1 hi@ ,, . -/ 4 -hiA A2 . K, . ,, 4 - 3 21 2 500 . 112,5 74,03846154 - 3 828 433,185 . 78 m4 4 000 . 50 74,03846154 - 5 644 723,866 . 78 m4 Iz 9 473 157,051 . 78 m4Para o trecho AB:Mmáx - 12 . 10³ N.mCálculo das tensões acima da L.N.: - . F 9: -;8 - . ,4 . /,,G /0BK . ,?4G K.0 /.,,/ . ,?@A 64 554 874,18 PaCálculo das tensões abaixo da L.N.: - . 3 9: -;8 - . ,4 . 8 .K,,0BK /K . ,?4G K.0 /.,,/ . ,?@A - 93 787 270,04 PaPara o trecho BC:Mmáx 7,225 . 10³ N.mCálculo das tensões acima da L.N.: - . F 9: -;.,--/ . ,4 . /,,G /0BK . ,?4G K.0 /.,,/ . ,?@ACálculo das tensões abaixo da L.N.: - 38 867 413,83 Pa
Adriano Alberto - . 3 9: -;.,--/ . ,4 . 8 .K,,0BK /K . ,?4G K.0 /.,,/ . ,?@A 56 467 752,17 Pa12) e 13) Para a viga com seção transversal mostrada, determine: (a) a tensão trativamáxima longitudinal na viga e onde ela ocorre; (b) a tensão compressiva máxima na viga eonde ela ocorre.12)30 RC 37,5 kN RC 7,5 kN Qj 0 7,5 . 1 . 0,5 – 7,5 . 4 . 2 7,5 . 4 M 0 M 26,25 kN.mPara o trecho 0 x 1:V(x) - 7,5 . x CV(0) 0 - 7,5 . 0 C C 0 V(x) - 7,5 . xV(1) - 7,5 kNM(x) -.,/ . : A- CM(0) 0 0 C M(x) -.,/ . : A-M(1) - 3,75 kN.mPara o trecho 1 x 5:V(x) - 7,5 . x CV(1) - 7,5 30 22,5 kN - 7,5 . 1 C C 30 V(x) - 7,5 . x 30Para V(x) 0 x 4 mM(x) -.,/ . : A- 30x C22
Adriano AlbertoM(1) - 3,75 kN.m M(x) -k,T . .,/ . - 30 . 1 C C - 30 30x – 30M(4) -.,/ . - 30 . 4 – 30 30 kN.mM(5) -.,/ . -/- 30 . 5 – 30 26,25 kN.mPara x 5:M(5) 26,25 – M 0Cálculo da Posição da Linha Neutra (L.N.)AT 100 . 50 100 . 50 10 000 mm²A1 100 . 50 5 000 mm²A2 100 . 50 5 000 mm² 125 mm 50 mmyi # . ) # .#* / ,,, . -/ ) / ,,, . /, , ,,, 87,5 mmys 150 – 87,5 62,5 mmCálculo do momento de inérciaIz . 1 A1 . 3 ,, . /, 4 - 5 000 . 125 87,5 - 8 072 916,667 . 78 m4 . 1 A2 . 3 /, . ,, 4 - 5 000 . 50 87,5 - 11 197 916,67 . 78 m4 Iz 19 270 833,33 . 78 m4Para o trecho AB:Mmáx - 3,75 kN.m23
Adriano Alberto24Cálculo das tensões acima da L.N.: - . F 9: -;80,./ . ,4 . -,/ . ,?4 G -., B00,00 . ,?@A 12 162 162,16 PaCálculo das tensões abaixo da L.N.: - . 3 9: -;80,./ . ,4 . 8 B.,/ . ,?4 G -., B00,00 . ,?@A - 17 027 027,03 PaPara o trecho BC:Mmáx 30 . 10³ N.mCálculo das tensões acima da L.N.: - . F 9: -;0, . ,4 . -,/ . ,?4 G -., B00,00 . ,?@A - 97 297 297,31 PaCálculo das tensões abaixo da L.N.: - . 3 9: -;0, . ,4 . 8 B.,/ . ,?4 G -., B00,00 . ,?@A 136 216 216,2 PaLogo:a) ; , á * 136 216 216,2 Pa (no trecho BC, abaixo da L.N.)b) ; , á l - 97 297 297,31 Pa (no trecho BC, acima da L.N.)13)
Adriano Alberto25Utilizando os cálculos da questão 13 da lista 1RA – 7 . 2 – 7 – 14 . 2 RD – 7 . 2 0 RA RD 63 kN (I) QR 0 25 – 7 . 2 . 1 – 7 . 2 – 14 . 2 . 3 – 11 7 . RD – 7 . 2 . 8 0 RD - ,. 30 kNSubstituíndo em (I):RA 30 63 RA 33 kNPara 2 x D 4:V(x) 33 – 7 . 2 – 7 – 14(x – 2) V(x) - 14x 40Para V(x) 0 x 2,857142857 mCálculo do momento fletor à partir da área do diagrama do esforço cortante:(- 25) (14 38) (0,857142857 .Diagrama: )-– (1,142857143 . )- (11) – (16 . 3) (14) 0 (OK)
Adriano Alberto26Cálculo da Posição da Linha Neutra (L.N.)AT 120 . 30 240 . 30 10 800 mm²A1 120 . 30 3 600 mm²A2 240 . 30 7 200 mm² 255 mm 120 mmyi # . ) # .#* 0 ,, . -// ) . -,, . -, , B,, 165 mmys 270 - 165 105 mmCálculo do momento de inérciaIz . 1 A1 . 3 -, . 0, 4 - 3 600 . 255 165 - 29 430 000 . 78 m4 . 1 A2 . 3 0, . -K, 4 - 7 200 . 120 165 - 49 140 000 . 78 m4 Iz 78 570 000 . 78 m4
Adriano AlbertoPara o trecho AB:27Mmáx - 25 . 10³ N.mCálculo das tensões acima da L.N.: - . F 9: -;8-/ . ,4 . ,/ . ,?4 33 409 698,36 Pa.B /., ,,, . ,?@ACálculo das tensões abaixo da L.N.: - . 3 9: -;8-/ . ,4 . 8 / . ,?4.B /., ,,, . ,?@A - 52 500 954,56 PaPara o trecho CD:Mmáx 34 . 10³ N.mCálculo das tensões acima da L.N.: - . F 9: -;0K . ,4 . ,/ . ,?4.B /., ,,, . ,?@A - 45 437 189,77 PaCálculo das tensões abaixo da L.N.: - . 3 9: -;0K . ,4 . 8 / . ,?4.B /., ,,, . ,?@A 71 401 298,21 PaLogo:a) ; , á * 71 401 298,21 Pa (no trecho CD, abaixo da L.N.)b) ; , á l - 52 500 954,56 Pa(no trecho AB, abaixo da L.N.)
Adriano AlbertoPROBLEMAS ENVOLVENDO FLEXÃO DE SEÇÃO HETEROGÊNEA2814) Duas barras de latão são unidas firmemente a duas barras de alumínio, formando aseção composta mostrada. Determinar o maior momento fletor permissível, quando a vigaé encurvada em torno de um eixo horizontal.Dados:; mn 100 MPa ; m o 160 MPaEalum 70 GPa ; Elat 105 GPaPosição da L.N.:yi p . # . mn ) p . # . m o p . # mn ) p . # m o ., . ,q . B,, . ,?] . 0, . ,?4 ) ,/ . ,q . K,, . ,?] . / . ,?4 ) ,/ . ,q . K,, . ,?] . // . ,?4., . ,q . B,, . ,?] ) ,/ . ,q . B,, . ,?] yi 30 mm (OK)Cálculo do momento de inércia mn 2 . r . s . 1 m o 2 . r . s . 1 . p . mn - p . mn 3 t4 2 . r , . - K, 400 . 30 30 -t t4 2 . rK, . - , 400 . 55 30 -t 7 777 T 7 777 . 78 m4. 78 m4 mn ) p . m o9uvw uxyw 100 . 106 . p . m o mn ) p . m o m o - p . 3 70 . 109. . 70 . 109 . 20 . 10 34AP PPP@ XAP PPP. 10 12 ) 105 . 109 .44. 10 12 Mz 777 N.m
Adriano Alberto9uvw xuz 160 . 106 -70 . 109. . 105 . 10 . 30 . 104AP PPP@ XAP PPP. 10 12 ) 105 . 109 .449 3. 10 12 Mz 3 081,481481 N.m (resposta)Obs: se as diferentes partes do latão e/ou do alumínio estivessem em posições diferentesem relação à L.N, seria necessário calcular as tensões correspondentes em cada parte(sendo que quanto mais distante o ponto estiver da L.N., maior será a tensão). No presenteproblema, devido à simetria de ambos em relação à L.N, as tensões acima e abaixo da L.N.são iguais em módulo (tração e compressão).15) Uma barra de aço e uma de alumínio são unidas firmemente, para formar a vigacomposta mostrada. O módulo de elasticidade para o alumínio é de 70 GPa e para o aço éde 200 GPa. Sabendo-se que a viga é curvada em torno de um eixo horizontal por ummomento M 1500 N.m, determinar a máxima tensão no: (a) alumínio; (b) aço.29
Adriano Alberto30Figura: Slide do Prof. Alberto B. Vieira Jr.
Adriano Alberto31Figura: Slide do Prof. Alberto B. Vieira Jr.15) a) 66,2 MPa T b) 112,4 MPa C*** 16) Uma viga de concreto é reforçada por três barras de aço, colocadas como indicado.Os módulos de elasticidade são de 20 GPa para o concreto e de 200 GPa para o aço.Usando uma tensão admissível de 10 MPa para o concreto e de 150 MPa para o aço,determinar o maior momento fletor que pode ser aplicado à viga.Econc 20 GPa ; Eaço 200 GPaAaço 3 . 7, 7 m²; { }{ 10 MPa ; ç 150 MPaAconc 0,225 . 0,500 - 3 . L . 0,012 - 0,1125 - 3 . 7, 7 m²
Adriano AlbertoPosição da L.N.:yi p . # . { }{ ) p . # .32 ç p . # { }{ ) p . # ç 22-, . ,q . r0,1125 3 . L . 0,012 t . -/, . ,?4 ) -,, . ,q . 3 . L . 0,012 . /, . ,?422-, . ,q . r0,1125 3 . L . 0,012 t ) -,, . ,q . 3 . L . 0,012 yi 228,2356038 mmys 500 - 228,2356038 271,7643962 mmCálculo do momento de inérciaIaço 3 . r. s ç . W ç 3 Z t 3.rH . - L . 12 - . 50 228,2356038 - t KJ 43 163 277,54 . 78 m4 . s . 1 I2 3 . 1 s . 4 --/ . - K,, 225 . 400 . 300 228,2356038 - 1 663 511 571. 78 m4 3 -Iaço I2 690 365 157,9 . 78 m4--/ . ,, 4 100 . 225 . 50 228,2356038 -- 43 163 277,54Iconc I1 I2 2 353 876 729 . 78 m4 . p . { }{ { }{ ) p . ç { }{ - p .9uvw 10 . 106 --, . ,q . -, . ,q . -. ,. K0G - . ,?4. - 0/0 B. .-G . ,?@A ) -,, . ,q . K0 0 -.,/K . ,?@A Mz 102 497,2198 N.m (resposta) . p . ç - p . ç { }{ ) p . ç
Adriano Alberto9uvw uç 150 . 106 - -, . . -,, . ,q . 8 --B,-0/ ,0B80B . ,?4 ,q . - 0/0 B. .-G . ,?@A ) -,, . ,q . K0 0 -.,/K . ,?@A Mz 219 636,2917 N.m (não serve)Obs: a resposta da lista deu 79,1 kN.m, mas acredito que meus cálculos estão corretos.Conferir com o método da homogeneização.PROBLEMAS ENVOLVENDO CARGA EXCÊNTRICA17) Duas forças de 10 kN são aplicadas a uma barra de seção retangular de 20 mm x 60mm, como mostrado. Determinar a tensão no ponto A, quando: (a) b 0; (b) b 15 mm;(c) b 25 mm.N 10 10 20 kNPosição da L.N.:yi ys 0,03 m # -, . , 4 - 360 000 . 78 m4a)b 0Mz 10 000 . 0,025 250 N.m-, ,,,. ,,, ,9: ,,,-,-/, . ,,,0- 0 , ,,, . ,?@A - 4 166 666,667 Pab)b 15 mmMz 10 000 . 0,025 – 10 000 . 0,015 100 N.m33
Adriano Alberto9: -, ,,,,,,-, . ,,, ,- ,, . ,,,00 , ,,, . ,?@A34 8 333 333,333 Pac)b 25 mmMz 10 000 . 0,025 – 10 000 . 0,025 0-, ,,,. ,,, ,9: ,,,-,, . ,,,0- 0 , ,,, . ,?@A 16 666 666,67 Pa18) Uma pequena coluna de 120 mm x 180 mm suporta três cargas axiais mostradas.Sabendo-se que a seção ABD é suficientemente afastada das cargas, para que permaneçaplana, determinar a tensão no: (a) canto A; (b) canto B.Figura: Slide do Prof. Alberto B. Vieira Jr.18) a) 926 kPa T b) 14,81 MPa C19) Sabendo-se que a tensão admissível é 90 MPa, determinar a maior força P que podeser aplicada ao elemento de máquina mostrado.
Adriano Alberto35N P ?S # - Cálculo da Posição da Linha Neutra (L.N.)yi # . ) # .#* KK . -, . ., ) , . B . 0,KK . -, ) , . B 47,95918367 mmys 80 - 47,95918367 32,04081633 mmCálculo do momento de inérciaIz . 1 A1 . 3 KK . -, 4 - 44 . 20 . 70 47,95918367 - 456 835,2077 . 78 m4 . 1 A2 . 3 B . , 4 - 18 . 60 . 30 47,95918367 - 672 334,8603 . 78 m4 Iz 1 129 170,068 . 78 m4Mz ?Considerando o eixo x passando pela L.N.:Mz P . (47,95918367 – 40)90 . 106 ,,,KK .U,,,-, ) ,,, , . ,,, B- . ;K.,G/G B0 . – K, . ,?4 . 8 K.,G/G B0 . . ,?4 -G .,,, B . ,?@A
Adriano AlbertoU 90 . 106 ,,,, G 338,0500089 . P 176 400 P 0,662578017 . P P 106 100,2841 N20) A força axial excêntrica P atua no ponto D, que está localizado a 30 mm abaixo daborda superior da barra de aço mostrada. Para P 90 kN, determinar: (a) a largura d dabarra para que a tensão no ponto A seja máxima; (b) o correspondente valor da tensão noponto A.N P 90 kNPosição da L.N.: yi ys # ,,,/, . v 4 -a)vMz - 90 000 . W - 0,030ZG, ,,,. v9: ,,,/,G, ,,,,,,/, . v 1 3 –- AP,PXP . 4@A8 G, ,,, . W – ,,,0,Z . AP,PXP . 4@AG, ,,, . W – ,,,0,Z .,, Bv ,, Bv A A 1 AW – ,,,0,Z . A@A A 2 d 0,09 m 90 mmb)9: G, ,,,,,,/, . ,,,G-P,Pq– ,,,0,ZAP,PXP . P,Pq 4@A8 G, ,,, . W.P,PqA 40 MPav W - – 0,030Z . v 36
Adriano AlbertoPROBLEMAS ENVOLVENDO FLEXÃO ASSIMÉTRICA3721) e 22) A viga com uma seção transversal mostrada está submetida a um momento fletorM aplicado no plano a – a. Determine: (a) a intensidadeintensidade da máxima tensão de flexão; (b) aorientação do eixo neutro, mostre o resultado num esboço.21) M 1.200 N.m0tg K arctg(0,75)My - 1 200 . sen[arctg(0,75)]arctg(0,75)]Mz 1 200 . cos[arctg(0,75)][arctg(0,75)]Iz 2 . r -, . 0, 4 -Iy 2 . r0, . -, 4 - . tg .tg 120 . 30 . 165 90 - t t -, . 0,0, 4 -0, . -, 4 - 45 360 000 . 78 m4 8 910 000 . 78 m48 -,, . ,,./ . K/ 0 , ,,, . ,?@A -,, . ,,./ . B G , ,,, . ,?@A. tg A e B são os pontos mais distantes da L.N. - 75,32360686
Adriano Alberto38Para o ponto A: - . . - -,, . ,,./ . ,,,G,K/ 0 , ,,, . ,?@A 8 -,, . ,,./ . ,,, ,B G , ,,, . ,?@A - 6 753 246,753 PaPara o ponto B:9: - -,, . ,,./ . 8 ,,,G, K/ 0 , ,,, . ,?@A 8 -,, . ,,./ . 8 ,,, , B G , ,,, . ,?@A 6 753 246,753 Pa22) M 20 kN.mMy 20 000 . sen(10 )Mz 20 000 . cos(10 )Iz Iy G, . , 4 - 90 . 60 . 210 150 - , . G, 4 - . tg .tg B, . 0, 4 - -4 180 . 30 . 90 150 - 55 080 000 . 78 m 4 050 000 . 78 m4-, ,,, . , . 55 080 000 .10 12 , . K ,/, ,,, . ,?@A -, ,,, . tg 0, . B, 4 67,36356998
Adriano Alberto39A e B são os pontos mais distantes da L.N.Para o ponto A: - . . --, ,,, . , . ,,,G,55 080 000 .10 12 -, ,,, . , . 8,,,K/ K ,/, ,,, . ,?@A - 70 771 743,83 Pa (resposta)Para o ponto B:9: --, ,,, . , . 8 ,, /, 55 080 000 .10 12 -, ,,, . , . ,,, /K ,/, ,,, . ,?@A 66 501 594,48 Pa*** 23) Uma cantoneira de 200 x 200 x 24 mm é usada numa viga que suporta ummomento fletor de 10.000 N.m aplicado no plano yx. Os momentos de inércia obtidos emum manual de aço estrutural são Iz Iy 33,3 x 106 mm4, e Iyz 19,5 x 106 mm4.Determine: (a) a tensão de flexão no ponto A; (b) a máxima tensão de flexão e sualocalização na seção transversal; (c) a orientação do eixo neutro, mostre a localização numesboço.
Adriano Alberto . 8 .) . . 8 ; . . 8 . . 8 ; 40Ou - . ) . . 8 ; .y . ) . . 8 ; .z #.y.ztg . ) . . ) . a)My 0; - Mz 10 000 N.m . . 8 ; .y . . 8 ; .zou . 8 .) . . 8 ; 10 000 . r– 00,0 . ,] . ,?@A . /B,K . ,?4 ) G,/ . ,] . ,?@A . 8 /B,K . ,?4 00,0 . ,] . ,?@A . 00,0 . ,] . ,?@A 8 G,/ . ,] . ,?@A A - 42 318 840,58 Pac)tg 19,5 . 106 . 10 12 33,3 . 106 . 10 12 30,35262473 t
Adriano Alberto41b) A maior distância à L.N. é em relação ao ponto B, onde ocorre a maior tensão. 10 000 . r– 00,0 . ,] . ,?@A . 8 K , . ,?4 ) G,/ . ,] . ,?@A . 8/B,K . ,?4 00,0 . ,] . ,?@A . 00,0 . ,] . ,?@A 8 G,/ . ,] . ,?@A At 49 084 321,48 PaAcredito que a resposta da lista esteja errada:23) a) 42,3 MPa T b) 55,8 MPa Cc) 75,4 a partir do eixo z24) Uma viga com uma seção cantoneira está carregada com um momento fletor de 20kN.m aplicado num plano yx. Determine: (a) a tensão de flexão no ponto A; (b) aorientação do eixo neutro, mostre a localização num esboço.Iz , . B, 4 - 180 . 60 . 90 75 - , . , 4 -4 60 . 60 . 30 75 - 39 960 000 . 78 m4 , . , . , 4Iy B, 180 . 60 . 30 45 - 60 . 60 . 90 45 - 14 040 000 . 78 m 4 #.y.zh i 60 . 180 . 15 . 15 60 . 60 . 45 . 45 9 720 000 . 78 m4My 0;Mz 20 000 N.m
Adriano Albertoa) . 8 .) . . 8 ; 42 20 000 . r– K,,K . ,] . ,?@A. 8 ,/ . ,?4 ) G,.- . ,] . ,?@A. / . ,?4 K,,K . ,] . ,?@A . 0G,G . ,] . ,?@A – G,.- . ,] . ,?@A At 69 444 444,44 Pab)tg 9,72 . 106 . 10 1214,04 . 106 . 10 12 34,69515353 25), 26) e 27) O momento M é aplicado a uma viga de seção transversal mostrada, em umplano formando um ângulo β com a vertical. Determinar: (a) a tensão no ponto A; (b) oângulo que a linha neutra forma com o plano horizontal.25)My 2 800 . sen(20 )Mz 2 800 . cos(20 )Iz Iy ,, . -,, 4 --,, . ,, 4 - 77 777 777 . 78 m4T7 777 777 . 78 m4 a)Para o ponto A:
Adriano Alberto - . . -- B,, . -, . ,, ,,APP PPP PPP4. ,?@A - B,, . -, . ,,,/,XP PPP PPP4. ,?@A - 1 073 739,803 PaPara o ponto B:9: -- B,, . -, . 8 ,, ,, APP PPP PPP4. ,?@A - B,, . -, . ,,,/,XP PPP PPP4. ,?@A 6 819 678,211 Pab)tg . tg APP PPP PPP. ,?@A4XP PPP PPP. ,?@A4. tg 20 75,96375653 26)My 10 000 . sen(55 )Mz - 10 000 . cos(55 )Iz 2 . r160 . 10 312 160 . 10 . 175 90 2 t 10 . 160 312 26 560 000 . 78 m443
Adriano AlbertoIy 2 . r10 . 160 312t 160 . 10 312 6 840 000 . 78 m444a)Para o ponto A:9: -8 , ,,, . // . ,,,G,- / , ,,, . ,?@A , ,,, . // . ,,,B, BK, ,,, . ,?@A 115 243 205,2 PaPara o ponto B: - . . -8 , ,,, . // . ,,,G,- / , ,,, . ,?@A , ,,, . // . 8 ,,,B, BK, ,,, . ,?@A - 76 371 308,12 Pab)tg . tg - / , ,,, . ,?@A BK, ,,, . ,?@A. tg 55 79,77801655 27)My 25 000 . sen(15 )Mz 25 000 . cos(15 )Iz G, . B, 4 - 90 . 80 . 120 100 - 0, . B, 4 - 30 . 80 . 40 100 - 16 640 000 . 78 m4
Adriano Alberto4Iy B, . - G, B, . 0, 4 - 5 040 000 . 78 m445a)Para o ponto A: - . . --/ ,,, . / . ,,, , K, ,,, . ,?@A -/ ,,, . / . ,,,K// ,K, ,,, . ,?@A - 29 300 532,31 PaPara o ponto B:9: --/ ,,, . / . ,,, , K, ,,, . ,?@A -/ ,,, . / . 8 ,,,K/ / ,K, ,,, . ,
Adriano Alberto 1 ENG285 4ª Unidade Fonte: Arquivo da resolução da lista 1 (Adriano Alberto), Slides do Prof. Alberto B. Vieira Jr., RILEY - Mecânica dos Materiais.
Material Quantidade Preço Unitário (médio) Preço Total Caderno universitário 140 folhas 2 unidades R 7,90 R 15,80 Caderno universitário reciclado 140 folhas 1 unidade R 7,90 R 7,90 Caderno de desenho 96 folhas 1 unidade R 3,00 R 3,00 Kit de geometria 1 unidade R 5,00 R 5,00 Lápis de cor grande 12 cores 2 unidades R 3,50 R 7,00
Lista Referencial de Preço Material - LRPM - Cemig Saúde x Lifecenter - 01.07.2019. 70775460 AGULHA PUNÇÃO DE FISTULA G17 (ATE 2/SESSÃO) UNIDADE MATERIAL 2,92 70018669 ALÇA DE POLIPECTOMIA (INTEGRAL) UNIDADE OPME 239,38 70204152 ALÇA P/ RESSECTOSCOPIO HISTEROSCOPIA (INTEGRAL) (Anexar embalagem) UNIDADE OPME 552,98
dourados do conector. Alinhe os cortes da unidade de estado sólido aos sulcos do slot PCIe e insira-a a um ângulo de 30 graus. Não force a conexão. Para fixar a unidade, pode ser necessário inserir o parafuso no suporte presente na placa-mãe. Não aperte o parafuso excessivamente. 8. Remonte o sistema
Escoamento de massa m M/T kg/s slug/s Taxa de escoamento (vazão) Q L3/T m3/s ft3/s Calor específico c L2/T2Θ J/kg.K Btu/slug-ºR Condutividade K ML/T3Θ W/m.K lb/s-ºR Sistema Britânico Gravitacional. Neste sistema, a unidade de comprimento é o pé (ft), a unidade de tempo é o
1.1.3 WordPress.com dan WordPress.org WordPress menyediakan dua alamat yang berbeda, yaitu WordPress.com dan WordPress.org. WordPress.com merupakan situs layanan blog yang menggunakan mesin WordPress, didirikan oleh perusahaan Automattic. Dengan mendaftar pada situs WordPress.com, pengguna tidak perlu melakukan instalasi atau
EXEMPLO: Qual a velocidade de migração dos elétrons num fio de cobre de raio 0,0814 cm, no qual há uma corrente de 1 A? Solução: Cálculo do número de elétrons por unidade de volume no cobre (admiteCálculo do número de elétrons por unidade de volume no cobre (admite-se que tenha umse que tenha um elétron para cada átomo).
ATENCÃO: se o mergulhador optar pela ativação automática da unidade (ativação na entrada na água) e a carga de bateria esti- ver baixa, poderá ocorrer a desativação da unidade durante o mergulho, portanto, aconselha-se a ativação manual (pelo bo- tão de controle) para que haja a checagem do níve
1) General characters, structure, reproduction and classification of algae (Fritsch) 2) Cyanobacteria : General characters, cell structure their significance as biofertilizers with special reference to Oscillatoria, Nostoc and Anabaena.
