Experimentos De Escolha Retardada Hugo Leonardo Leite Lima
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIROInstituto de Fı́sicaCurso de Licenciatura em Fı́sicaExperimentos de Escolha RetardadaHugo Leonardo Leite LimaMonografia apresentada ao Instituto de Fı́sicada Universidade Federal do Rio de Janeiro comoparte dos requisitos necessários à obtenção dotı́tulo de Licenciado em Fı́sica.Orientador: Carlos Eduardo AguiarRio de JaneiroDezembro de 2013
Experimentos de Escolha RetardadaHugo Leonardo Leite LimaOrientador: Carlos Eduardo AguiarMonografia apresentada ao Instituto de Fı́sica da Universidade Federal doRio de Janeiro como parte dos requisitos necessários à obtenção do tı́tulo deLicenciado em Fı́sica.Aprovada por:Prof. Carlos Eduardo Aguiar (Presidente)Prof. Antonio Carlos Fontes dos SantosProf. Alexandre Carlos TortRio de JaneiroDezembro de 2013
Dedico essa monografia à minha esposaEstela, que me apoiou incondicionalmenteem todos os momentos, dedicando-se incessantemente a ajudar-me prol da realizaçãodos meus objetivos. Quando achei quenão fosse conseguir, obtive força em suaspalavras de conforto. Só tenho a agradecer a essa pessoa maravilhosa. Um grandebeijo e que Deus a abençoe sempre.iii
AgradecimentosÀ famı́lia, que nunca duvidou da minha capacidade e me ensinou a nãodesistir dos meus sonhos. Com meus pais aprendi que com humildade, esforçoe dedicação, sempre podemos alcançar nossos objetivos. Essa lição foi maisimportante do que quaisquer teorias.Aos amigos, principalmente Leandro e Jefferson, que sempre estiveram comigo,inclusive nos finais de semana estudando para as provas, tirando minhasdúvidas e me ajudando nos trabalhos em grupo. Sem eles, tudo seria muitomais difı́cil.A todos os outros que contribuı́ram para a conclusão deste trabalho, emespecial o prof. Carlos Eduardo, que me conduziu nessa árdua tarefa commuita presteza e sabedoria.iv
RESUMOExperimentos de Escolha RetardadaHugo Leonardo Leite LimaOrientador: Carlos Eduardo AguiarResumo da monografia submetida ao Instituto de Fı́sica da UniversidadeFederal do Rio de Janeiro como parte dos requisitos necessários à obtençãodo tı́tulo de Licenciado em Fı́sica.Os experimentos de escolha retardada trazem à tona efeitos que desafiamnossos conceitos mais básicos sobre realidade, espaço e tempo, ao mesmotempo em que confirmam a validade da teoria quântica. Apesar de sua importância para a compreensão da diferença entre a visão quântica e clássicados fenômenos fı́sicos, os experimentos de escolha retardada são pouco explorados nos textos introdutórios de mecânica quântica ou fı́sica moderna.Neste trabalho apresentaremos alguns desses experimentos, procurando fazeruma abordagem acessı́vel a alunos que iniciam o estudo da fı́sica quântica.Rio de JaneiroDezembro de 2013v
Sumário1 Introdução12 Princı́pios da Mecânica Quântica2.1 Postulados da Mecânica Quântica . . . . . . . . . . . .2.1.1 O Princı́pio da Superposição . . . . . . . . . . .2.1.2 Grandezas Fı́sicas e Operadores . . . . . . . . .2.1.3 Probabilidades e Amplitudes de Probabilidades2.1.4 Desigualdade de Heinsenberg . . . . . . . . . .2.1.5 Colapso do Vetor de Estado . . . . . . . . . . .2.1.6 Equação de Schrödinger . . . . . . . . . . . . .2.2 As Visões Clássica e Quântica da Fı́sica . . . . . . . . .333455677.3 Dualidade Onda-Partı́cula3.1 Experimento de Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2 Experimento de Young com Elétrons . . . . . . . . . . . . . .3.3 Qual o Caminho do Elétron? . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.4 Interferômetro de Mach-Zehnder . . . . . . . . . . . . . . . . .3.4.1 Qual-Caminho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.4.2 Descrição Quântica do Interferômetro . . . . . . . . . .3.4.3 Interferômetro de Mach-Zehnder Utilizando Polarizadores3.4.4 Descrição Quântica do Interferômetro com Polarizadores99101517192025264 Escolha Retardada4.1 A Parábola de Neg Ahne Poc . . . . . . .4.2 A Escolha Retardada de Wheeler . . . . .4.3 O Experimento de Jacques et al. . . . . . .4.4 Apagador Quântico de Escolha Retardada4.5 O Experimento de Kim et al. . . . . . . .2828333538385 Conclusão.44vi
Capı́tulo 1IntroduçãoOs experimentos de “escolha retardada” são um assunto pouco explorado emlivros-texto de mecânica quântica, apesar de fornecerem um excelente exemplo de como a teoria quântica contradiz algumas das noções mais elementaresque temos sobre a natureza.A teoria quântica, desde os seus primeiros passos, sempre foi motivo demuito debate. Quando investigamos sistemas microscópicos, nossa visão demundo é duramente contestada, chegando ao ponto em que não há análogosclássicos que expliquem corretamente aquilo que o experimento nos revela.Essa, sem dúvida, é a maior dificuldade encontrada pelos que estudam pelaprimeira vez a teoria, uma vez que grande parte do aprendizado em fı́sicase dá por meio de analogias com situações conhecidas. Para tentar entendermecânica quântica precisamos abandonar essas analogias, como é claramentedemonstrado por experimentos como o de escolha retardada.O presente trabalho é uma exposição didática dos experimentos de escolha retardada, para estudantes de cursos introdutórios de fı́sica modernaou mecânica quântica.No capı́tulo 2 fazemos uma breve introdução aos conceitos e postulados damecânica quântica, a fim de preparar o terreno para discussões posteriores.Utilizamos desde o inı́cio a notação de Dirac, por ser econômica e de fácilentendimento.O capı́tulo 3 descreve a “dualidade onda-partı́cula” através de vários ex-1
perimentos, que apresentam a natureza ora corpuscular ora ondulatória defótons e elétrons. O foco principal são experimentos de “dupla-fenda” ou como interferômetro de Mach-Zehnder, que demonstram particularmente bem acomplementaridade dos modelos ondulatório e corpuscular.O quarto e último capı́tulo é onde discutimos a questão da escolha retardada propriamente dita. Após descrever o experimento pensado de Wheeler,serão discutidos dois trabalhos sobre escolha retardada, sendo que o primeiroé uma realização do experimento original, e o segundo combina os efeitos deum experimento de escolha retardada com o de um apagador quântico, levantando questões ainda mais intrigantes.2
Capı́tulo 2Princı́pios da MecânicaQuânticaDiscutiremos aqui alguns dos conceitos básicos da teoria quântica, focandona sua interpretação e enfatizando as principais diferenças em relação aoponto de vista da fı́sica clássica. Serão abordados os principais postulados damecânica quântica, bem como as definições e notações relevantes. Consideraremos conhecida a álgebra linear necessária ao desenvolvimento matemáticoda teoria.2.12.1.1Postulados da Mecânica QuânticaO Princı́pio da SuperposiçãoAs propriedades de um sistema quântico são completamente definidas aose especificar o seu vetor de estado ϕi, o qual fornece uma representaçãomatemática do estado fı́sico do sistema. O vetor de estado é um elemento deum espaço vetorial complexo H chamado de espaço de estados. Esse espaçotem um produto escalar. Denotaremos o produto escalar dos vetores ϕi e ϕ0 i por hϕ0 ϕi.O postulado básico da mecânica quântica é o princı́pio da superposição:se Ai e Bi representam estados fı́sicos e λ, κ são números complexos, então3
o vetor χi λ Ai κ Bitambém representa um estado fı́sico do sistema. Dado um vetor de estado ϕi,todos os vetores ϕ0 i α ϕi, onde α é um número complexo, representam omesmo estado fı́sico. Quase sempre consideraremos vetores normalizados, oque significa dizer que o produto escalar do vetor ϕi por ele mesmo é iguala 1, ou seja, hϕ ϕi 1. Mesmo assim ainda resta uma ambiguidade: ϕi eeiθ ϕi, onde θ é um ângulo, ainda representam o mesmo estado.2.1.2Grandezas Fı́sicas e OperadoresUma grandeza fı́sica observável A tem a ela associada um operador hermitiano A, o qual atua no espaço de estados H. O operador A determina arepresentação matemática de A no contexto da mecânica quântica.Se um estado ai e um número a satisfazem a relaçãoA ai a ai ,então ai é chamado de autovetor (ou autoestado) de A e a é o autovalorcorrespondente a esse autovetor.Uma medida da grandeza A só pode ter como resultado um autovalor dooperador hermitiano A. Como A é hermitiano, seus autovalores são númerosreais, e autovetores correspondentes a autovalores diferentes são ortogonaisentre si. O conjunto { an i , n 1, 2, 3 . . . } de autovetores de A forma umabase ortonormal do espaço de estados (vamos ignorar detalhes relacionadosà degenerescência, quando dois ou mais autovalores são iguais) . O númerode autoestados independentes de A é igual à dimensão do espaço de estados,que pode ser infinita.Duas relações importantes podem ser demonstradas a partir do fato dosautovetores de A formarem uma base ortonormal: a relação de completezaX an i han 1 ,n4
e a decomposição espectral de AA X an i an han .n2.1.3Probabilidades e Amplitudes de ProbabilidadesSe o sistema está no estado ψi, a probabilidade de uma medida da grandezaA ter como resultado o autovalor a éP (a) ha ψi 2onde ha ψi é o produto escalar dos vetores ai e ψi. A quantidade ha ψi (umnúmero complexo) é chamada de amplitude de probabilidade. Este princı́pioé conhecido como regra de Born.De maneira um pouco mais geral, a regra de Born pode ser enunciadadizendo que a probabilidade de um sistema no estado ψi ser encontrado noestado φi éP (ψ φ) hφ ψi 2e hφ ψi é a amplitude correspondente.Se vários sistemas quânticos têm todos o mesmo estado ψi, dizemos queestão preparados neste estado. Quando um número muito grande de sistemasestá preparado em ψi, ao efetuarmos medidas de uma determinada grandezaA sobre cada um desses sistemas, o valor esperado (ou médio) de A será dadoporhAiψ Xn2.1.4P (an )an X han ψi 2 an Xhψ an i an han ψi hψ A ψi ,nnDesigualdade de HeinsenbergO valor médio de uma grandeza A num estado ψié definido porhAiψ hψ A ψi ,5
e a incerteza média (variância) em relação a esse valor é1/2( A) hψ (A hAi)2 ψi.Sejam A e B, operadores hermitianos relacionados às grandezas A e B.Então, é possı́vel demonstrar que [1, 2] A B 1 hψ [A, B] ψi ,2onde o comutador de A com B é definido por[A, B] AB BA.2.1.5Colapso do Vetor de EstadoDo ponto de vista ortodoxo1 , a mecânica quântica não faz afirmações sobreo valor de uma grandeza fı́sica antes de uma medida. Não se pode afirmarque a grandeza possuı́a um determinado valor e a medida apenas o revelou.Segundo a mecânica quântica, o ato de medir “cria” o valor encontrado. É amedida que dá à grandeza observada um cunho de realidade, pelo menos poralgum tempo. Ou seja, se uma medida de A feita sobre um sistema no estado ψi encontrou o (auto) valor an , outra medida realizada imediatamente apósdeve necessariamente apresentar o mesmo resultado an . Isso significa quelogo após a medida o estado do sistema é tal que P (an ) 1, ou seja o estadonão é mais ψi, e sim an i. A mudança abrupta causada pela medida, ψi an i ,é chamada de colapso ou redução do vetor de estado.O colapso do vetor de estado pressupõe que o ato de medir é ideal, ouseja, que não destrói o sistema a ser medido.1Também conhecido como interpretação de Copenhague, visão defendida por Bohr,Heisenberg e outros e que é amplamente aceita pelos fı́sicos até hoje.6
2.1.6Equação de SchrödingerApesar da teoria quântica ser essencialmente não-determinı́stica, existe umamaneira de saber como um estado evolui no tempo, a partir de um estadoinicial conhecido. Esta é a equação de Schrödinger:i d ϕ(t)i H(t) ϕ(t)i ,dtonde H é o operador hermitiano associado à energia, conhecido como Hamiltoniano.Do ponto de vista ortodoxo, existem duas formas do estado de um sistemaquântico evoluir. A primeira é regida pela equação de Schrödinger e ocorre senão houver observação. Já a segunda forma traduz-se no colapso do vetor deestado, quando se faz a medida. Nesse momento o estado do sistema deixa deobedecer à equação de Schrödinger e evolui de maneira não-determinı́stica,seguindo a regra de Born.2.2As Visões Clássica e Quântica da Fı́sicaA fı́sica clássica representou um grande triunfo da ciência, explicando comoa natureza funciona por meio de equações de interpretação objetiva, semambiguidades. O que chamaremos aqui de visão clássica da fı́sica é, naverdade, o senso comum, que baseou e foi moldado por essa maneira depensar e ver o mundo.DeterminismoUma das caracterı́sticas da fı́sica clássica é o determinismo. Um exemploprático seria uma colisão entre duas bolas de bilhar. Se soubermos a velocidade e a posição de cada uma das bolas antes da colisão, poderemos dizercorretamente quais serão as posições e velocidades no futuro. Levando a umavisão mais extrema, todos os fenômenos possuem uma causa e toda a históriada natureza já está determinada pelas condições iniciais do universo.A regra de Born destrói esse determinismo. Em particular, se tentarmos7
aplicar o modelo determinista no mundo microscópico nos deparamos comalguns problemas. O princı́pio da incerteza de Heisenberg impõe uma restrição fundamental na precisão de medidas simultâneas de grandezas cujosoperadores não comutam, como por exemplo, momentum e posição. Quantomelhor determinada for uma grandeza, menos conhecida será a outra, o quenos impediria de obter as condições iniciais de um sistema microscópico econsequentemente determinar seu comportamento num instante futuro.Realidade Fı́sicaO conceito de realidade fı́sica ditado pelo senso comum sugere que podemosfazer afirmações concretas sobre aquilo que não estamos observando, ou seja,quando dizemos que um objeto foi observado em determinada posição, admitimos implicitamente que o mesmo já estava ali antes de ser visto e a nossavisão apenas revelou sua posição.A mecânica quântica desafia o senso comum no quesito realidade. Comoveremos no próximo capı́tulo, o experimento de dupla-fenda revela claramente que se não estamos procurando o caminho do fóton, o que vemos é umpadrão de interferência, que é incompatı́vel com a ideia de uma trajetória quepasse por uma ou outra fenda. No momento em que passamos a observar ocaminho que o fóton seguiu, a interferência desaparece. Não há como afirmarque o elétron está numa determinada posição, se esta posição não está sendoobservada. Não se pode inferir nada a respeito de um experimento que nãofoi realizado, bem como de uma medida que ainda não foi feita.8
Capı́tulo 3Dualidade Onda-Partı́culaA natureza da luz foi, durante muito tempo, uma questão controversa nomeio cientı́fico. Em 1690, Christiaan Huygens criou um modelo ondulatórioque propunha que a luz seria uma perturbação que se propagava num meioque preenchia todo o universo, o qual foi posteriormente chamado de éterluminı́fero. Por outro lado, Isaac Newton defendia que a luz possuı́a uma natureza corpuscular, utilizando para tal argumentos oriundos da ótica geométrica, na qual a luz se propaga em linha reta e sofre reflexão de maneirasimilar a uma bola de bilhar rebatendo na parede.3.1Experimento de YoungNo ano de 1801, o fı́sico inglês Thomas Young realizou um experimento noqual a luz de uma fonte puntiforme era direcionada a uma tela opaca comdois furos muito pequenos, e então projetada em uma outra tela tambémopaca. O que se via na tela de projeção não era a soma das intensidades daluz proveniente de cada furo, mas regiões claras e escuras. De que maneiraseria possı́vel somar dois feixes luminosos resultando na ausência de luz?Esse fato só pode ser explicado pela teoria ondulatória, através do fenômenode interferência (Fig. 3.1). A localização das franjas depende da diferençade caminho percorrido pelos feixes de luz até cada ponto da tela. Casoessa diferença seja de nλ, para n 0, 1, 2, 3 . . ., as ondas estarão em fase9
e teremos interferência construtiva, por outro lado, se essa diferença for de(n 21 )λ, para n 1, 2, 3 . . . os feixes estarão em oposição de fase e teremosinterferência destrutiva. Este experimento foi a primeira evidência concretado comportamento ondulatório da luz e ficou conhecido como experiência dedupla-fenda ou simplesmente experimento de Young.Figura 3.1: Diagrama do experimento de dupla-fenda (adaptado de [4]).A estranheza causada pela teoria quântica guarda uma estreita relaçãocom a natureza da luz. Como veremos a seguir, alguns experimentos podem ser realizados de maneira a permitir observar, num mesmo sistema,fenômenos ora ondulatórios ora corpusculares, de acordo com a configuraçãoescolhida.3.2Experimento de Young com ElétronsA fim de analisar a questão da dualidade onda-partı́cula, seguiremos Feynman [3] e discutiremos o experimento de dupla-fenda com elétrons. A fonteserá um “canhão de elétrons”, o qual é capaz de disparar um elétron porvez, todos com a mesma energia. Cada elétron disparado é posteriormentedetectado no anteparo (Fig. 3.2).Analisando os dados obtidos pelo detector é possı́vel observar que emalgumas regiões chegam mais elétrons do que em outras, além de haver regiõesonde não há elétrons. Nota-se também que as partı́culas se concentram em10
Figura 3.2: a. Diagrama do experimento de dupla-fenda com elétrons (adaptado de [3]). b. Padrão correspondente às detecções feitas com uma dasfendas fechada. As curvas P1 e P2 correspondem à probabilidade de que umelétron proveniente da fenda aberta (1 ou 2, respectivamente), seja detectadoem uma dada posição do eixo x. c. Padrão observado quando temos as duasfendas abertas. A probabilidade de se encontrar o elétron com as duas fendasabertas não é igual à soma das probabilidades obtidas com uma das fendasfechadas, ou seja, P12 6 P1 P2 .determinadas regiões de maneira intercalada, produzindo uma figura comregiões claras e escuras.A primeira conclusão que chegamos com esse experimento é que o elétronpossui comportamento ondulatório, pois apresenta interferência da mesmaforma que a luz na experiência de Young. No entanto, sabemos que ondasocupam uma região do espaço e não apenas um ponto, então por que, emoutros experimentos, o elétron se comporta como uma partı́cula, com massae carga bem definidas?O experimento de Young com elétrons, tal qual proposto por Feynman [3],não tinha sido realizado até pouco tempo atrás. Houve porém, recentemente,uma realização desse experimento [5], feita de modo a reproduzir da maneiramais fiel possı́vel o original.Um feixe de elétrons de energia 600eV é gerado a partir de um filamentotermiônico de tungstênio e várias lentes eletrostáticas. Uma máscara é colo11
cada após a região das fendas, a fim de bloquear a chegada dos elétrons atéa tela, conforme a deslocamos para a direita ou para a esquerda. É possı́velentão verificar o padrão na tela, quando do bloqueio de uma das fendas ouquando as duas estão desobstruı́das pela máscara. Pode-se também observara transição do experimento de fenda única para o de dupla-fenda, de maneiragradativa.Figura 3.3: a. Um feixe de elétrons passa por um anteparo com duas fendas.Uma máscara móvel é posicionada de modo a bloquear os elétrons, permitindo passar ora os da fenda 1 (P1 ), ora os da fenda 2 (P2 ), ora ambos (P12 ),para então alcançarem o plano de detecção ou o detector. b. Distribuiçõesde probabilidade para os elétrons oriundos da fenda 1, com a fenda 2 fechada(P1 ) e para os que vêm da fenda 2, com a fenda 1 fechada (P2 ). O padrãocorresponde ao máximo central da difração de fenda única. c. Distribuiçãode probabilidade para as duas fendas abertas (P12 ). O padrão apresentadocorresponde à interferência de duas fendas.O experimento é divi
O presente trabalho e uma exposi c ao did atica dos experimentos de es-colha retardada, para estudantes de cursos introdut orios de f sica moderna ou mec anica qu antica. No cap tulo 2 fazemos uma breve introdu c ao aos conceitos e postulados da mec anica qu antica, a m de
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Jadi osteologi adalah cabang dari anatomi yang memelajari tentang tulang. Dalam memelajari tulang sering pula dijumpai istilah “skeleteon”, yang berasal dari bahasa latin yang berarti kerangka. Tulang atau kerangka bagi manusia mempunyai fungsi yang amat besar, antara lain: a. Melindungi organ vital b. Penghasil darah tertentu c. Menyimpan dan mangganti kalsium dan fosfat d. Alat gerak .
