Appunti Ed Esercizi Su: Dimostrazioni In Algebra Elementare

LEZIONI ED ESERCITAZIONI DI MATEMATICAProf. Francesco Marchi1Appunti ed esercizi su:Dimostrazioni in algebra elementare11 marzo 20121Per altri materiali didattici o per informazioni:Blog personale:francescomarchi.wordpress.comIndirizzo email: fra.marchi@yahoo.it

Leggi qui! “Istruzioni per l’uso” di questi appuntiQuesti appunti sono in fase di bozzaQuesti appunti sono ancora in una fase di bozza, perciò può capitare che: un paragrafo sia lasciato ametà, non sia affatto trattato o sia presente solo il titolo; siano presenti errori tipografici o di calcolo; inumeri dei riferimenti alle figure o agli esercizi non siano corretti. In ogni caso, credo che possano esseredi una qualche utilità: in attesa di una prossima revisione, cerca di prendere il più che puoi da questimateriali!Come usare questi appuntiL’approccio seguito in queste “dispense” è un po’ diverso da quello tipico dei libri tradizionali.Per quanto riguarda la parte di teoria, sono spesso presenti domande, a cui dovresti cercare di rispondereprima di proseguire nella lettura (anche in modo “personale”: non sempre c’è una sola risposta giusta!).Per quanto riguarda gli esercizi, a volte, ti verrà richiesto uno sforzo supplementare: spesso dovrai“costruirti gli esercizi”, dal momento che in alcuni dei miei file di appunti sono presenti esercizi cherimandano ad un archivio finale o a delle appendici, dove sono presenti una serie di equazioni, disequazioni,grafici e altro2 .In questo modo, separando la richiesta dell’esercizio dal singolo esempio su cui “applicare tale richiesta”,si favorisce, credo, una maggiore attenzione sui metodi e sugli obiettivi didattici, piuttosto che sui dettaglinumerici specifici di ogni esercizio.Nota dell’autoreLe lezioni e gli esercizi proposti in questo libro sono il frutto della mia esperienza pluriennale di insegnantenella scuola secondaria. Laddove ho tratto spunto da altri testi, sono sempre state indicate le fontioriginali.In ogni caso, per segnalare uso improprio di materiale coperto da copyright, o per segnalarmi errori,suggerimenti e quant’altro, scrivimi a fra.marchi@yahoo.it.Puoi riutilizzare gli appunti e gli esercizi proposti di seguito, citando questo file e/o il mio blog M@T&FiS(francescomarchi.wordpress.com), dove puoi trovare altri materiali didattici, sia di matematica che difisica.RingraziamentiRivolgo un grazie a tutti i miei alunni ed ex-alunni, per il piacevole tempo trascorso insieme e per glistimoli che hanno saputo darmi, contribuendo (a volte direttamente, altre indirettamente) alla creazionedi appunti sempre più completi.Versione finale11 marzo 2012.2 Ad esempio, in nell’archivio relativo agli appunti sulle funzioni, sono presenti dei grafici di curve sotto i quali sonoindicate le rispettive equazioni cartesiane: per svolgere un esercizio di abbinamento grafico-equazione, puoi annotare su unfoglio a parte le equazioni, in ordine sparso, e poi, guardando i soli grafici, procedere all’abbinamento.1

INDICE2Indice1 Algebra elementare: dimostrazioni1.1 Numeri razionali e calcolo con le frazioni . . . . . .1.2 Monomi, polinomi etc. . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.1 Calcolare, spiegare, dimostrare . . . . . . .1.2.2 Altri esempi di dimostrazioni . . . . . . . .1.2.3 Un disegno, per chiarire le idee . . . . . . .1.2.4 Scomporre il problema della dimostrazione1.2.5 Alcuni approfondimenti . . . . . . . . . . .1.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3.1 Dimostrazioni . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3.2 Rappresentazioni grafiche . . . . . . . . . .33334456777A FormularioA.1 Algebra elementare . . . . . . . . . . . . . . . . . . .A.1.1 Proprietà fondamentali . . . . . . . . . . . .A.1.2 Altre proprietà “di dimostrazione immediata”A.1.3 Prodotti cosiddetti notevoli . . . . . . . . . .A.2 Potenze ed esponenziali . . . . . . . . . . . . . . . .A.3 Funzioni circolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .A.3.1 Relazioni tra funzioni goniometriche . . . . .A.3.2 Formule di addizione e sottrazione . . . . . .A.3.3 Formule di duplicazione e di bisezione . . . .A.3.4 Formule cosiddette parametriche . . . . . . .A.3.5 Formule di prostaferesi e di Werner . . . . . .A.4 Funzioni logaritmiche . . . . . . . . . . . . . . . . .A.4.1 Proprietà dei logaritmi . . . . . . . . . . . . .99999101010111212131313

Capitolo 1Algebra elementare: dimostrazioni1.1Numeri razionali e calcolo con le frazioni1.2Monomi, polinomi etc.1.2.1Calcolare, spiegare, dimostrareVogliamo dimostrare le formule relative ai cosiddetti prodotti notevoli, elencate nell’appendice A.1.3.Innanzitutto vogliamo far vedere la differenza fra eseguire un calcolo e fare una dimostrazione. Prendiamo,ad esempio, la formula A.7. Per spiegarla, si potrebbe fare nel seguente modo:(a b)(a b) a2 ab ab b2 a2 b2Si tratta di una spiegazione e non di una vera e propria dimostrazione. Infatti:Definizione 1. Dimostrare una formula significa:1. Esplicitare le regole che si assumono per vere1 , dette ipotesi.2. Giustificare ciascuno dei passaggi fatti sulla base delle regole considerate come ipotesi.A seconda di quali regole consideriamo come formule che possiamo utilizzare nella dimostrazione, taledimostrazione sarà più o meno complicata: se prendiamo per buone molte regole, la dimostrazione saràbreve; se possiamo basarci solo su poche regole, la dimostrazione sarà più lunga. Vediamo allora unadimostrazione della formula suddetta, basandoci solo sulle regole elencate nell’appendice A.1.1.Dimostrazione.A.4A.2A.4A.12a(a b)(a b) (a b)a (a b)b a(a b) b(a b) a · a b · a a · b b · b A.2A.1a2 b · a a · b b2 a2 a · b a · b b2 a2 b2Nel primo passaggio abbiamo considerato a b come “un oggetto unico”, per poter usare la proprietàA.4. Prima di spiegare meglio la cosa, prova a rispondere, da solo, a questa domanda:1 Perché alcune regole possano essere considerate vere senza dimostrazione e altre no è un punto assai delicato e verràapprofondito nel seguito: una vera comprensione del perché arriverà solo dopo aver visto molti esempi, non solo relativiall’algebra, ma anche ad altri settori della matematica.3

CAPITOLO 1. ALGEBRA ELEMENTARE: DIMOSTRAZIONI4Domanda 1. Perché nella dimostrazione precedente abbiamo usato tanti passaggi per “sviluppare leparentesi”? Non potevamo utilizzare subito la proprietà distributiva e scrivere (a b)(a b) a · a b ·a a · b b · b?Non potevamo usare subito la proprietà distributiva perché abbiamo detto che dovevamo fare ladimostrazione usando solo le proprietà dell’appendice A.1.1: e da tali regole risulta che la proprietàdistributiva vale solo per distribuire un numero (o una “lettera”, a ad esempio) su due altri numeri; enon che valga per distribuire due numeri su due numeri.Se la richiesta dell’esercizio fosse stata: “dimostrare la formula in questione usando anche le regoledell’appendice A.1.2”, avremmo potuto usare subito la proprietà “doppia distributiva”, la dimostrazionesarebbe stata più breve e l’esercizio, in un certo senso, più facile.Per sintetizzare: anche nella richiesta di un esercizio di dimostrazione deve essere messo bene in evidenza“da dove si vuole partire”, cioè quali sono le regole che si possono usare nella dimostrazione.1.2.2Altri esempi di dimostrazioniLa dimostrazione fatta nella sezione precedente suggerisce che ci sono alcune formule importanti, cheutilizzeremo spesso, che è perciò utile dimostrare. Prova a farlo tu per esercizio: dimostra le formule dellasezione A.1.2 dell’appendice a partire da quelle fondamentali (sezione A.1.1) e da quelle sulle proprietàdelle potenze (A.2).Soluzioni degli esercizi propostiDimostrazione della proprietà A.6, (a b)(c d) ab ad bc bd:Dimostrazione.A.4A.2A.4A.2A.3(a b)(c d) (a b)c (a b)d c(a b) d(a b) ca cb da db ac bc ad bd ac ad bc bdDimostrazione della proprietà A.5, (a b)c ac bc:Dimostrazione.(a b)c . . .1.2.3Un disegno, per chiarire le ideeTutto quello che abbiamo detto può essere chiarito con un disegno, chiamato grafo, proposto nella figura1.1.In tale disegno trascriviamo, dentro dei rettangoli, detti nodi del grafo, tutte le proprietà di cui abbiamoparlato: sia quelle “prese per buone”, sia quelle dimostrate. Per dimostrare la A.6, cosa che abbiamofatto nel paragrafo precedente, abbiamo usato, nel corso della dimostrazione, tre proprietà: commutativadella somma (A.3), distributiva del prodotto (A.4), commutativa del prodotto (A.2). Perciò, da quelletre formule facciamo partire delle frecce verso la formula “che le utilizza”, ovvero (a b)(c d) ac ad bc bd.Si può fare la stessa cosa con il prodotto notevole dimostrato nella sezione precedente e cosı̀ con tutte lealtre formule. E’ chiaro che cosı̀ facendo il grafo si riempie molto velocemente di tante frecce e diventadifficile da capire. Per questo, conviene fare le dimostrazioni “poco per volta”: a partire da quellefondamentali dimostrare le proprietà che abbiamo detto “immediate” (e che potremmo anche chiamare“intermedie”); poi, a partire da queste, dimostrare le proprietà dette prodotti notevoli; poi, a partire daiprodotti notevoli, proprietà ancora più complicate; e cosı̀ via. Chiariremo la cosa, con un esempio, nellaprossima sezione.

CAPITOLO 1. ALGEBRA ELEMENTARE: DIMOSTRAZIONI5Figura 1.1: Dimostrazione di proprietà algebriche e prodotti notevoli: rappresentazione tramite grafo.Domanda 2. Quali sono le proprietà “prese per buone” e quelle dimostrate e che relazione c’è con lefrecce che collegano le varie proprietà?I nodi del grafo (ovvero i rettangoli in cui sono contenute le formule) su cui non arrivano frecce sonoproprietà non dimostrate.Domanda 3. Sulla base del numero di frecce “che arrivano” su di un nodo e di quelle “che partono” daun nodo, quali teoremi (in questo caso quali formule) possono essere considerati più difficili da dimostrare?E quali teoremi possono essere considerati più importanti?1.2.4Scomporre il problema della dimostrazioneA questo punto dovresti aver capito che, poiché dimostrare una proprietà a partire da poche regolefondamentali può essere molto lungo, conviene “scomporre” il problema in vari passaggi: a partire dalleregole prese per buone, si dimostrano alcune proprietà; in seguito si potranno usare sia queste, che quellefondamentali per dimostrare un fatto più complesso.Facciamo un esempio, dimostrando la formula del quadrato di binomio:(a b)2 a2 b2 2abPrima lo faremo usando sia le regole dell’appendice A.1.1 che quelle dell’appendice A.1.2; poi, usandosolo quelle dell’appendice A.1.1.La diversa complessità delle dimostrazioni può essere anche illustrata dai grafi proposti in figura 1.2.