Appunti Di Meccanica Hamiltoniana Per Il Corso Di IFM
Appunti di Meccanica Hamiltoniana per il corso di IFM12 maggio 2017Indice1Formalismo hamiltoniano2Trasformazioni simplettiche e parentesi di Poisson3L'equazione di Hamilton-Jacobi4Sistemi integrabili1 Dalla lagrangiana all'hamiltoniana . . . . . . . .2 * La trasformata di Legendre . . . . . . . . . . .3 Lagrangiane e hamiltoniane naturali . . . . . . .4 * Campi a divergenza nulla e sistemi hamiltoniani5 Variabili cicliche e riduzione dei gradi di libertà .1 Trasformazioni di coordinate . . . . . . . . . . . . . . . . .2 De nizione di trasformazioni di coordinate . . . . . . . . .3 Trasformazioni simplettiche . . . . . . . . . . . . . . . . .4 Parentesi di Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 Proprietà delle parentesi di Poisson . . . . . . . . . . . . .6 Parentesi di Poisson, equazioni di Hamilton, integrali primi7 Un esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 * Flussi commutanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 Flussi hamiltoniani commutanti . . . . . . . . . . . . . . .1 Un principio variazionale per le equazioni di Hamilton2 p · dq H dt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 Funzioni generatrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 Simpletticità del usso . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 L'equazione di Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . .6 Il metodo di Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . .7 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 L'equazione caratteristica di HJ . . . . . . . . . . . . .1 Sistemi integrabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Integrabilità locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 Integrabilità globale . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 Variabili azione-angolo . . . . . . . . . . . . . . . . .5 Moti quasi periodici . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 L'equazione caratteristica di HJ per il moto 728282930323233
5Meccanica e ottica geometrica33Queste note presuppongono una buona conoscenza del formalismo lagrangiano. Per approfondire i temi di questi appunti suggerisco la lettura di:BN P. Buttà, P. Negrini Notedel corso di sistemi dinamiciwww1.mat.uniroma1.it/ butta/didattica/sisdin.pdfT A. Teta Briefche trovate suReview on Hamiltonian Mechanics and sandroprova/didattica-1/appunti-ed-eserciziE R. Esposito Appunti, Aracne 1999.delle lezioni di meccanica razionaleA V.I. Arlod Metodi matematici della meccanica classica Editori Riuniti (in cui èdato ampio spazio agli aspetti geometrico-di erenziali del formalismo hamiltoniano).2
1Formalismo hamiltoniano1.1 Dalla lagrangiana all'hamiltonianaSiaL(q, q̇, t)una lagrangiana angradi di libertà, conq Rn , q̇ Rn(per oraqeq̇sono solo inomi delle variabili). Ricordo che le equazioni di Eulero-Lagrange a essa associate sonod L L(q(t), q̇(t), t) (q(t), q̇(t), t)dt q̇ qdove L q̇è il gradiente rispetto alla variabilecalcolati inq(t), q̇(t)q̇e L qq,quello rispetto ae questi gradienti sono poiche stavolta sono posizione e velocità in funzione del tempo. Per un sistemameccanico, la lagrangiana ha le dimensioni di una energia, ed in genere è uguale all'energia cineticaTmeno l'energia potenzialeU,e in tal caso l'energia meccanica èPiù generale, indipendentemente dal fatto inLE T U.si possa individuare un'energia cinetica e unaenergia generalizzata comepotenziale, si de nisce l'E q̇ ·SeLnon dipende dal tempo,E L(q, q̇, t) L(q, q̇, t) q̇è una quantità conservata. Solo nel caso in cuigeneralizzata coincide con l'energia meccanicaLèT Ul'energiaT U.Per gli scopi di questo paragrafo, è importante evidenziare la distinzione tra le variabili in cuiviene descritto il moto (cioèq(t)e la sua derivata temporalelagrangiana. Dopo questo paragrafo, tornerò ad indicare conq̇(t))q̇ siae le variabili in cui è de nita lala velocità del motoq(t),sia lavariabile nella lagrangiana.Sia dunquealLL L(q, η, t),sono:conq Rn , η Rn , t R. Le equazioni# d L L dt η q(t),q̇(t),t q q(t),q̇(t),tdi Eulero-Lagrange associate(1)Queste equazioni sono un sistema di equazioni del secondo ordine, in forma non esplicita, nellavariabileq(t) Rn (non esplicita vuol dire che non è del tipo q̈ . . . ).Posso riscrivere questo sitemacome un sistema del primo ordine, in forma non esplicita, nella coppia di variabili(q(t), η(t)) R2n : q̇(t) η(t)d L L (q(t), η(t), t) (q(t), η(t), t)dt η qDe nisco ora i(2)momenti coniugati alle variabili qi come le funzionipi L(q, η, t) η ip L(q, η, t) η̇In notazione vettorialeIpotizzo, inoltre, che questa relazione sia invertibile inη.Localmente, questo è garantito dal teoremadella funzione implicita, sedet 2L6 0 η̇ 23
Quindi posso considerarediventaη η(q, p, t) e descrivere il moto nelle variabili (q, p). q̇(t) η(q(t), p(t), t) L ṗ(t) (q(t), η(q(t), p(t), t), t) qche è un sistema del primo ordine, in forma esplicita, per il moto elle2nvariabiliIl sistema (2)(3)(q, p).Questosistema, equivalente alle equazioni di Eulero-Lagrange se vale la condizione di invertibilità dellarelazione traη e p, può essere riscritto molto meglio di così, introducendo la funzione di Hamilton(o hamiltoniana )H(q, p, t) p · η L(q, η, t)doveηè funzione di(q, p, t).Il di erenziale dell'hamiltoniana èdH η · dp p · dη q L · dq η L · dη t L dtPoichép η L,i termini indηsi cancellano, e si ottienedH η · dp q L · dq t L dtda cui q H q L p H η t H t LUsando le prime due uguaglianze, si ottiene che il sistema (3), e quindi le equazioni di EuleroLagrange, sono equivalenti alleequazioni di Hamilton(q̇ q H(q, p)(4)ṗ p H(q, p)1.2 * La trasformata di LegendreL'hamiltoniana è laRtrasformata di Legendre della lagrangiana.In generale, dataf (η)daRninconvessa, la sua trasformata di Legendre èf (p) sup(p · η f (η)ηche è ancora una funzione convessa. Se l'estremo superiore è raggiunto inη,allora deve esserep η f (η)e in tal caso se si può determinareηin funzione diip,f (p) pη̇ f (eta).Per un'hamiltoniana naturale, l'energia cinetica è quadratica inpeηηdunque in e etti la relazione traè invertibile e dunqueH(q, p, t) sup(p · η L(q, η, t)ηdoveqetsono in questo caso dei semplici parametri.Tornando a indicare conq̇le variabiliη,H(q, p, t) sup(p · q̇ L(q, q̇, t).q̇4
p agisce per dualità sui vettori tangenti q̇. Nei sistemi vincolati, q sonoV (la varietà vincolare), q̇ sono vettori tangenti, dunque la lagrangianauna funzione dal brato tangente in R. Invece, poiché p è moltiplicativo sui vettori tangenti, Hde nita sul brato cotangente in R.Si nota che aqetssati,coordinate per una varietàèèA chi fosse incuriosito da questa di erenza strutturale, suggerisco la lettura dell'Arnold [A].1.3 Lagrangiane e hamiltoniane naturaliUna lagrangiana che si ottiene da un sistema sico conservativo in un sistema di riferimento inerziale,con forze puramente posizionali e vincoli perfetti bilateri è sempre del tipo1L(q̇, q) q̇ · T (q)q̇ V (q),2doveT (q)è una matrice simmetrica e de nita positiva, enaturali quelle di questa forma.q, q̇sono inRn .Chiamerò lagrangianeIl pasaggio all'hamiltoniana è semplice. Infatti il vettore degli impulsi coniugati è dato da:p ed essendoT L T (q)q̇, q̇de nita positiva, in particolare è invertibile. Dunqueq̇ T (q) 1 p.Ma allora l'hamiltoniana è data da: 111H p·ẋ q̇·T (q)q̇ V (q) p·T (q) 1 p T (q) 1 p ·T (q)T (q) 1 p V (q) p·T (q) 1 p V (x).222Quindi per il calcolo dell'hamiltoniana è su ciente calcolare l'inversa della matriceIl caso dei vincoli olonomi dipendenti dal tempo è un po' diverso. Senon vincolata eq Rnx RmT.è la con gurazionesono le coordinate vincolari, la lagrangiana si trova a partire da1 2ẋ V (x)2usando chex x(q, t),ẋ t x(q, t) q x(q)q̇(per semplicità ho considerato la matrice cinetica unitaria nelle coordinatex,cioè masse unitarie).Sostituendo, si ottieneL 11 q xt q x q̇ · q̇ q xt t x · q̇ t x · t x V (x)22Dunque la lagrangiana è della forma1L T (q, t)q̇ · q̇ b(q, t) · q̇ U (q, t)2(5)È da notare che in alcuni casi, anche se il vincolo dipende dal tempo, la lagragiana nelle coordinatevincolari può non dipendere dal tempo; è questo il caso di vincoli in rotazione uniforme intorno aun asse, in cui compaiono termini dovuti alle forze apparenti .Anche la lagrangiana per il moto di una particella di massagnetico di potenzialeV (x, t)e di potenziale vettoreA(x, t)me caricae,in un campo elettroma-ha questa forma, infatti èe1L ẋ2 A(x, t) · ẋ eV (x, t)2c(6)5
dovecè la velocità della luce. Infatti, il moto è governato dall'equazioneemẍ eE ẋ B)cdove(E, B)è il campo elettromagnetico è il prodotto vettoriale, eesercizio, veri care che, nel caso di campi indipendenti dal tempo, sec è la velocità della luce. Per V E e A B, leequazioni di Eulero-Lagrange per (6) coincidono con l'equazione di Newton (se i campi dipendonodal tempo,E V 1c t A).Per esercizio, si provi che se la lagrangiana è data da (5) allorap T q̇ be1H (p b) · T 1 (p b) U2e si scriva in particolare l'hamiltoniana per il moto della particella carica.1.4 * Campi a divergenza nulla e sistemi hamiltonianiLe equazioni di Hamilton per un sistema aordine in2nngradi di liberà sono un sistema di equazioni del primovariabili. Per la loro struttura, il campo ha divergenza nulla, dunque, per il teoremadi Liouville, il corrispondente usso conserva la misura.Proposizione 1.1 Nel caso bidimensionale, un sistema è hamiltoniano se e solo se il usso conserva la misura.Infatti se ẋ f (x, y)ẏ g(x, y)la condizione di divergenza nulla è x f y g 0dunque il campo vettorialecioè una funzioneH(x, y)( g, f )è irrotazionale, e, almeno localmente, ammette una primitiva,tale che x H g, y H fQuesta funzionefegHè appunto l'hamiltoniana del sistema. Si noti che la stessa analisi vale anche sedipendono esplicitamente dal tempo, e che invece in dimensione maggiore di 2 la condizionedi divergenza nulla non implica che il sistema sia hamiltoniano.Esistono interessanti sistemi hamiltoniani che non provengono dalla meccanica, per esempio il sistema preda-predatore, o sistema di Volterra-Lotka (dettagli sulle dispense di Buttà Negrini di SistemiDinamici).1.5 Variabili cicliche e riduzione dei gradi di libertàMostrerò con un esempio il diverso comportamento dei sistemi lagrangiani e di quelli hamiltonianiin presenza di variabili cicliche. Consideriamo la lagrangiana del moto centrale piano1L(x, ẋ) ẋ2 V ( x )2conV (r) 1r , le equazioni del moto sono le corrispondenti equazioni di Eulero-Lagrange:d L L ẍ Vdt ẋ x6
Per ottenere le equazioni in coordinate polari è su ciente considerare il cambiamento di coordinatex1 ρ cos ϑ x2 ρ sin ϑche genera il corrispondente cambiamento di variabili nelle velocità:ẋ1 ρ̇ cos ϑ ρϑ̇ sin ϑ ẋ2 ρ̇ sin ϑ ρϑ̇ cos ϑIn ne si calcola la lagrangiana nelle nuove variabili. Si ottiene11L(ρ, ϑ, ρ̇, ϑ̇) ρ̇2 ρ2 ϑ̇2 V (ρ)22Le equazioni del moto in coordinate polari sono esattamente le equazioni di Eulero Lagrange che siottengono da questa Lagrangiana: Ld L ρ̈ ρϑ̇2 V 0 (ρ)dt ρ̇ ρdd L (ρ2 ϑ̇) 0dt ϑ̇dtLa seconda equazione indica che ilil moto (infattiϑρ2 ϑ̇,ilmomento coniugato alla variabile ϑ, si conserva lungoè una variabile ciclica, cioèLnon dipende esplicitamente daϑ).Si può trarrevantaggio dalla conservazione di questa quantità, riducendo il sistema a un solo grado di libertà,sostituendo il momento con una costante nell'espressione dell'energia meccanica (si riveda, sui testidi Meccanica, come si porta alle quadrature il moto centrale). Noto che per ottenere questa riduzionesi esce dal formalismo lagrangiano (non si può infatti sostiture il momento dentro la lagrangiana,verrebbero equazioni errate).La corrispondente hamiltoniana è11H p2ρ 2 p2ϑ V (ρ)22ρpρ ρ̇ L ρ̇ è il momento coniugato alla variabile ρ e pϑ ϑ̇ L ρ2 ϑ̇ è il momento coniugatovariabile ϑ.doveallaLe equazioni di Hamilton corrispondenti sono H pρ pρ Hṗρ p2ϑ /ρ3 V 0 (ρ) ρ Hϑ̇ pϑ /ρ2 pϑ Hṗϑ 0 ϑρ̇ Questo sistema di 4 equazioni è un sistema a due gradi di libertà, con un variabile ciclica, infattiHnon dipende daϑ.Il corrisponde impulsoallora, le prime due equazioni, incui l'impulsopϑρ e pρ ,pϑsi conserva, come a erma l'ultima equazione. Masono un sistema hamiltoniano a un solo grado di libertà, inè un parametro. Il fatto che la variabileϑsia ciclica, ha dunque una conseguenzaimportante: le altre equazioni sono automaticamente le equazioni del moto di un sistema con ungrado di libertà in meno. Questo è un fatto generale: nel formalismo hamiltoniano, a ogni variabileciclica corrisponde la riduzione del sistema di un grado di libertà, e non sono necessari passaggiulteriori rispetto alla scrittura delle equazioni del moto.7
Ricordo che questo non accade nel formalismo Lagrangiano: la ciclicità di una variabile garantiscela conservazione del momento coniugato, ma la ridurre di un grado di libertà non è contenuta nelformalismo.Considero, come ulteriore esempio, la lagrangiana della trottola pesanteL doveθI 2J(ϑ̇ φ̇2 sin2 ϑ) (ψ̇ 2 φ̇ cos θ) mgl cos θ22è l'angolo tra l'asse della trottola e l'asse verticale,intorno all'asse verticale,ψφè un angolo che esprime la rotazioneè un angolo che esprime la rotazione intorno all'asse della trottola;momento di inerzia rispetto all'asse della trottola,che passa per il punto di appoggio,lIJè ilè quello rispetto a un qualunque asse ortogonaleè la distanza del baricentro dal punto di appoggio.L'energia cinetica è ϑ̇ϑ̇I001 22 φ̇ · 0 I sin ϑ J cos ϑ J cos θφ̇ 20J cos θJψ̇ψ̇L'inversa della matrice cinetica è J sin2 ϑ001 0 J J cos θIJ sin2 ϑ220 J cos θ I sin ϑ J J cos ϑ dunque l'hamiltoniana è 1 212222pϑ mgl cos ϑJp 2Jcosϕpp (Isinϑ Jcosϑ)pφψφψ2I2IJ sin2 ϑ1 211 2 pϑ (pφ pψ cos ϑ)2 p mgl cos ϑ22I2J ψ2I sin ϑH Anche in questo caso, si può considerare questa come l'hamiltoniana di un sistema a un grado dilibertà, in cui2pφepψsono integrali primi ssati dai dati inziali.Trasformazioni simplettiche e parentesi di Poisson2.1 Trasformazioni di coordinaten variabili, e sono invariantiL L(q, q̇, t) è la lagrangiana e q̃ q̃(q, t) sono delle nuove variabili, allora ilmoto nelle variabili q̃ è governato dalle equazioni di Eulero-Lagrange per la lagrangiana L̃, che èesattamente la lagrangiana L scritta nelle nuove variabili, tenendo conto cheLe equazioni di Eulero-Lagrange sono equazioni del secondo ordine inin forma:seq̃ q q̃ q̇ t q̃Ricordo che questa proprietà di invarianza è una conseguenza immediata del fatto che le equazioni diEulero-Lagrange sono le equazioni che esprimono la stazionarietà dell'azione; più avanti studieremonello stesso modo l'invarianza in forma delle equazioni di Hamilton.L'invarianza in forma è il motivo del successo del formalismo lagrangiano: permette infatti diottenere facilmente le equazioni del moto, scegliendo il sistema di coordinate più opportuno.Èutile fare questa analisi anche nel caso hamiltoniano, dunque studieremo le trasformazioni chegarantiscono l'invarianza in forma delle equazioni di Hamiltom.2.2 De nizione di trasformazioni di coordinate8
Una trasformazioneq̃ q̃(q, p, t)p̃ p̃(q, p, t)è dettacanonica se per ogni funzione H(q, p, t) esiste una funzione K(q̃, p̃, t) tale che (q(t), p(t))veri ca le equazioni di Hamilton di hamiltonianaHamilton di hamiltonianaHse e solo se(q̃(t), p̃(t))veri ca le equazioni diK.Ogni trasformazione di coordinate conserva la natura lagrangiana di un moto, ma non tutte letrasformazioni di coordinate e impulsi conservano la natura hamiltoniana del moto. Vedremo peròche la classe di trasformazioni che conservano la natura hamiltoniana del moto è più ampia delle soletrasformazioni di coordinate, e questo fatto è il primo vero vantaggio del formalismo hamiltoniano suquello lagrangiano. L'esempio più semplice che si può fare è questo: dataH H(q, p),si considerila trasformazione che scambia, a meno di un segno, momento e coordinata:p̃ qq̃ pè facile vericare che seK(q̃, p̃) H( p̃, q̃),q̇ p H(q, p)ṗ q H(q, p)e quindiH(q, p) K(p, q),alloraq̃ ṗ q H(q, p) p̃ K(q̃, p̃)p̃ q̇ p H(q, p) q̃ K(q̃, p̃)se e solo seDunque abbiamo operato una trasformazione che scambia il ruolo di coordinate e impulsi,cosa evidentemente impossibile da farsi nel formalismo lagrangiano, dove le trasformazionidelle velocità q̇ sono determinate dalle trasformazioni delle coordinate.2.3 Trasformazioni simplettichePer iniziare a esplorare il mondo delle trasformazioni canoniche, è utile riscrivere in un altro modole equazioni di Hamilton. Indicherò conzil complesso delle variabili in qz ,p z q pR2n : Dunque q̇ p Hż J z Hṗ q HdoveJè lamatrice simplettica fondamentale J eInè la matrice identità inRn .0In In 0 Consideriamo ora una trasformazione di coordinate indipendentedal tempoz̃ z̃(z), e siaH̃ H(z(z̃)),così che z H z̃ z t z̃ H̃ .Il sistema nelle nuove variabili è z̃ z̃ z̃z̃ ż J z H J z z z z̃ z t z̃ H̃che coincide conz̃ J z̃ H̃9
se e solo se z̃J zSe questa condizione è veri cata per ogniz, z̃ z t Jla trasformazione è canonica.È utile dunque dare una de nizione: una matriceAsi dicesimplettica se e solo seAJAt J.(7)È semplice veri care i seguenti fatti. J 2 I2n , quindiJ 1 J .Calcolando il determinante, si ottienedet J 2 1,dunque det J 1(in realtà è 1, come sipuò calcolare direttamente). SeAè simplettica, allora, passando ai determinanti, si ha chedet A2 1,dunqueAèinvertibile Aè simplettica se e solo seAtè simplettica. Infatti, moltiplicando a destra perJAla (7) sihaAJAt JA J 2 A Amoltiplicando a sinistra perA 1si haJAt JA Imoltiplicando a sinistra per Jsi ottieneAt JA Jche dimostra la tesi. Aè simplettica se e solo seA 1è simplettica.Infatti, passando agli inversi nell'ultimaequazione del punto precedente, si hatA 1 ( J)A 1 Jche dà la tesi. SeA e B sono simplettiche, allora AB è simplettica (esercizio).Dunque le matrici simpletticheformano un sottogruppo del gruppo delle trasformazioni non singolari.Diremo che una trasformazione è simplettica se il suo jacobiano è una matrice simplettica in ognipunto.Abbiamo provato che se una trasformazione indipendente dal tempo è simplettica, allora è cononicae la nuova hamiltoniana è la vecchia hamiltoniana considerata come funzione delle nuove variabili.Non è agevole veri care la canonicità di una trasformazione attraverso la simpletticità dellojacobiano, ma esistono altre condizioni equivalenti. Prima di introdurle però è necessariode nire le parentesi di Poisson.2.4 Parentesi di PoissonLe parentesi di Poisson sono uno dei degli strumenti chiave del formalismo hamiltoniano.La forma bilinineare antisimmetrica inR2n[v, w] v · Jw10
è dettaogniprodotto simplettico.v, wÈ facile veri care che una matriceAè simplettica se e solo se, pervale[Av, Aw] [v, w].Infatti questa condizione equivale av · At JAw v · Jw, v, we questo può accadere se e solo saeAt JA J .In prodotto simplettico è legato alle parentesi di Poisson , che sono una operazione sugli osservabili , cioè sulle funzioni de nite nello spazio delle fasiLez (q, p).parentesi di Poisson sono un'operazione che associa a due funzioni f , g, la funzione{f, g} [ z f, z g] z f · J z g q f · p g p f · q gConsideriamo ora un cambiamento di variabili, e, con un abuso di notazioni, indichiamo conf (q, p),siaf (q(q̃, p̃), p(q̃, p̃)),cioèffsiacome funzione delle nuove variabili tramite le vecchie. Se sitrasformano le variabili, cioè si pensanofegfunzioni delle nuove variabili tramite le vecchie z f z z̃t z̃ fDunque{f, g}q,p [ z z̃t z̃ f, z z̃t z̃ g] z̃ f · z z̃t J z z̃ z̃ zt z̃ gquindi f, g, {f, g}q,p {f, g}q̃,p̃se e solo se la trasformazione è simplettica.Le parentesi di Poisson delle coppie di variabili dànno leregole di commutazione canoniche:{qi , qj } 0, {pi , pj } 0, {qi , pj } δij(8)Se considero una trasformazione è canonica, queste relazioni devono valere anche per le nuovevariabili rispetto alle nuove variabili, ma, per l'invarianza appena dimostrata, devono valere ancheper le nuove variabili rispetto alle vecchie varibili:{q̃i , q̃j } 0, {p̃i , p̃j } 0, {q̃i , p̃j } δij(9)Queste condizioni sono del tutto equivalenti alla simpletticità della trasfomazione. Dimostriamolo.La condizione di simpletticità è:J t z̃ z̃ q q̃t q p̃t p q̃t p p̃tJ p q̃t p p̃t z z q q̃t q p̃t! q q̃ p q̃t p q̃ q q̃t q q̃ p p̃t p q̃ q p̃t z̃J z z̃ z q p̃ p q̃t p p̃ q q̃t q p̃ p p̃t p p̃ q p̃t(si ricordi che si tratta di prodotti a blocchi di matrici). Si noti ora che sefegsono due campivettoriali, allora( x f y g)ij x fi · y gj .Con questa osservazione è semplice veri care che l'identità traJe l'ultima matrice è equivalentealle condizioni (9).2.5 Proprietà delle parentesi di PoissonCome operazione tra funzioni, le parentesi di Poisson veri cano le sequenti proprietà.11
1.Sono bilineari (veri care per esercizio).2.Sono antisimmetriche:{f, g} {g, f }e quindi3.{f, f } 0(veri care per esercizio).Vale la formula di Leibnitz{f g, h} f {g, h} g{f, h}(veri care per esercizio).4.Vale l'identità di Jacobi{f, {g, h} {g, {h, f } {h, {f, g} 0Uno spazio vettoriale (reale o complesso), dotato di un prodotto interno che veri ca le proprietà1,2,4 è detto algebra di Lie,dunque lo spazio delle funzioni regolari inR2ncon le parentesi diPoisson è un'algebra di Lie. Do questa de nizione perché incontreremo altri casi di algebre di Lie.In particolare, uno spazio vettoriale di operatori lineare (per esempio le matrici indei funzioni lineari e continui su uno spazio di Hilbertcome operazione interna ileAeBcommutatore tra operatori:H)seRm ,o lo spaziodiventano algebre di Lie considerandovm oè un elemento dello spazio (RH ),sono due operatori lineari,[A, B]v ABv BAv(non confondete questa notazione con quella di prodotto simplettico, che comunque non userò più).La bilinearità e l'antisimmetria del commutatore sono di veri ca immediata, l'identità di Jacobisi può mostrare facilmente sviluppando tutti i termini, ma si può abbreviare con un minimo diri essione: tutti i termini dell'espressione[A, [B, C]] [B, [C, A]] [C, [A, B]]A, B , C . Isoliamo i termini cheiniziano per A. Nel primo addendo ce ne sono due: A[B, C] ABC ACB . Nel secondo terminece ne è uno solo, dato dal secondo termine di [B, AC], quindi ACB . Nel terzo termine ce ne èuno solo, dato dal primo termine di [A, B]C , quindi ABC . Dunque la somma di tutti i terminiche iniziano per A è nulla. Si può ripetere lo stesso ragionamento per i termini che iniziano per Be C (l'espressione dell'identità di Jacobi è invariante per le permutazioni degli argomenti), dunquesono formati da una permutazione del prodotto tra le tre matricila somma dei tre termini è e ettivamente nulla.Ho premesso la prova dell'identità di Jacobi per il commutatore perché fa da traccia per la provadell'identità di Jacobi per le parentesi di Poisson. Serve però qualche utile passaggio intermendio.Dato il campo vettorialev,indico la derivata di una funzioneflungovcon il simboloLv f v · fSianovfunzionewf:edue campi vettoriali, Considero il commutatore tra gli operatoriLveLw ,su una[Lv , Lw ]f v · (w · f ) w · (v · f )L'espressione a destra sembra contenere derivate prime e seconde dif , ma a una più attenta analisi siscopre che le derivate seconde non ci sono, e dunque il commutatore dei due operatori di derivazioneè anch'esso un operatore del primo ordine. Infatti, i termini nelle derivate seconde sono:Xi,j2vi wj ijf X2wi vj jifi,j12
che dunque si cancellano. Il campo vettoraleutale che[Lv , Lw ] Luè ilcommutatore [v, w] dei due campi v e w.Usando la de nzione si ottiene[v, w] (v · )u (u · )wL'identità di Jacobi per operatoriLu , Lv , Lw ,si riscrive facilmente comeL[u,[v,w]] L[v,[w,u]] L[w,[u,v]] 0PoichéLvè lineare inveLv 0se e solo sev 0,si ottiene che anche il commutatore dei campivettoriali veri ca l'identità di Jacobi.Torniamo alle parentesi di Poisson. Usando la de nizione, si vede che{f, g} LJ z f g LJ z g fRiscrivo i tre termini nel membro di destra dell'identità di Jacobi, come operatori che agiscono suh.Il primo si riscrive come LJ z f ( LJ z g h) LJ z f LJ z g hIl secondo è LJ z g LJ z f hIl terzo èLJ z {f,g} hLa somma dei tre termini è dunque([LJ z f , LJ z g ] LJ z {f,g} )hOgni termine dello sviluppo dell'identià di Jacobi è lineare nelle derivate seconde di una delle trefunzioni, ma la somma scritta sopra non ha termini nelle derivate seconde dih.Poiché possiamoripetere il ragionamento per ognuna delle tre funzioni, ottemiamo che tutti i termini sono nulli, evale l'identità di Jacobi.Come corollario, segue che l'identità di Jacobi è dunque equivalente a[LJ z f , LJ z g ] LJ z {f,g}cioè il prodotto di Lie dei campiJ z feJ z g è il campo J z {f, g}.vettoriale hamiltoniano associato alla funzione f , il campo J z f .D'ora in poi chiameròche il campo vettoriale hamiltoniano associato alle parentesi di Poisson delle due funzionimeno il commutatore dei due campi hamiltoniani associati afecampoL'identità precedente a ermafegèg.2.6 Parentesi di Poisson, equazioni di Hamilton, integrali primiLe parentesi di Poisson permettono di esprimere le equazioni di Hamilton in termini degli osservabili.Infatti, sef (q, p, t)è una funzione regolare data,df t f q f · q̇ p f · ṗ t q f · p H p f · q H t f {f, H}dtIn particolare si ottengono le equazioni di Hamilton:dqi {qi , H}dtdpip i {pi , H}dtq i 13
Inoltre è facile scrivere la de nizione di integrale primo del moto in termini di parentesi di Poisson.La funzionefè costante lungo il moto se e solo sedfdt 0,cioè se t f {f, H} 0Si mostri per esercizio che sefegsono due integrali primi del moto, allora anche{f, g}lo è (sideve usare l'identità di Jacobi).Per esempio, siam 22 q̇ l'energia cinetica. Alloradi moto ècheq R3 , e sia q p. Mostrarep mq̇e il momento della quantità{ 1 , 2 } 3Quindi se si conservano le prime due componenti del momento della quantità di moto si conservaanche la terza (in generale{elli , j } εijk kdoveεijkè il tensore completamente antisimmetrico).2.7 Un esempioSia1P (q 2 p2 )2qQ arctanpIn questo caso è molto semplice veri care la canonicità della trasfromazione mediante le parentesidi Poisson. Infatti, per de nzione,{Q, Q} 0 {P, P },dunque resta solo da veri care che{Q, P } 1Il semplice calcolo delle derivate mostra che e ettivamente questa condizione è veri cata (completareper esercizio).Consideriamo ora l'hamiltoniana dell'oscillatore armonicoH (p2 q 2 )/2.L'hamitoniana nellenuove variabili èK Pper cui le equazioni del moto diventanoQ̇ P K P P 1Ṗ Q K Q P 0che sono di facile soluzione:Pè costante e pari all'energia del moto, mentreQ(t) Q0 t.Nesegue che il moto è risolto dalle uguaglianze1 2(p (t) q 2 (t)) E2q(t)arctan Q0 tp(t)DoveEeQ0si determinano a partire dal dato inziale.In questo esempio siporta alle quadrature(cioè si risolve il moto in termini di integrali difunzioni elementari) il moto di un oscillatore armonico (naturalmente questo moto si risolve ancheutilizzando la teoria delle equazioni di erenziali lineari). Esiste un metodo generale per provare aportare alle quadrature un sistema hamiltoniano mediante una trasformazione canonica che rendasemplice il sistema nelle nuove variabili. Per poterlo illustrare serve però introdurre un metodo chepermette di ottenere abbastanza facilmente delle trasformazioni canoniche, come mostreremo traqualche pagina.14
2.8 * Flussi commutantiIn questo paragrafo, mi occuperò inizialmente di ussi inRm ,per poi considerare il caso particolare2ndei ussi hamiltoniani in Rv(x) e w(x). De nisco i due ussi d Φt (x) v(Φt (x)) d Ψt (x) w(Φt (x))dtdt 0 0Φ (x) xΨ (x) xSiano dati due campi vettoriali regolariassociati:Mi chiedo sotto quali condizioni i due ussi commutano, cioèΦt (Ψs (x)) Φs (Ψt (x))per ognis, t, x.La commutatività dei ussi è equivalente aϕ(Φt (Ψs (x))) ϕ(Φs (Ψt (x)))per ogni funzione regolareϕ.Osservo preliminarmente che, sviluppando int 0:ϕ(Φt (x)) ϕ(x tv(x) O(t2 )) ϕ(x) tv(x) · ϕ(x) O(t2 ) ϕ(x) tLv ϕ(x) O(t2 )Analogamente,ϕ(Ψs (x)) ϕ(x) sLw ϕ(x) O(s2 )Lemma 2.1 Vale:ϕ(Φt (Ψs (x))) ϕ(Ψs (Φt (x))) stL[w,v] ϕ(x) ordinisuperiore al secondo(10)Ci sono due punti importanti in questo enunciato. Il primo è che il primo termine signi cativo delladi erenza è dato dal commutatore dei campi, il secondo è che i termini del secondo ordine ins2 non ci sono. Dimostro prima quest'ultima a ermazione. Fissiamoa (t, s) ϕ(Φt (Ψs (x))),Lo sviluppo dia intorno a(0, 0)ePerò:e siaa (t, s) ϕ(Ψs (Φt (x))).t2 2 s2 2 2 t a (0, 0) st sta (0, 0) a (0, 0)22 ssuperiori al secondoa (0, 0) ϕ(x)t t a (0, 0) t2 2 d t a (0, 0) t2dtϕ(Φt (x)) t 0s2 2 ds t a (0, 0) s a (0, 0) t2dtDunque, nei termini nella solatnon è presentet2 d22 dt2s2 d2ϕ(Ψs (x)) 2 dt2s 0Ψs ,ϕ(Φt (x))t 0ϕ(Ψs (x))s 0e nei termini nella solasnon è presente stesse considerazioni valgono per a (t, s), dunque nella di erenza i termini nella solaseno al secondo ordine è:a (t, s) a (0, 0) t t a (0, 0) s s a (0, 0) ordinixt2tsuperiori a secondo15Lee nella solasi cancellano e si ottiene 2 2 a (0, 0) sta (0, 0) ordinia (t, s) a (t, s) st stΦt .
Restano da calcolare i coe cienti dist.Sviluppando i termini esplicitamentea (t, s) ϕ(Φt (Ψs (x))) ϕ(Φt (x)
5 Meccanica e ottica geometrica 33 . AV.I. Arlod Metodi matematici della meccanica classica Editori Riuniti (in cui è . ma preda-predatore, o sistema di olterra-LoV tka (dettagli sulle dispense di Buttà Negrini di Sistemi Dinamici). 1.5 Variabili cicli
1 Formalismo hamiltoniano 1.1 Dalla lagrangiana all'hamiltoniana Sia L(q;q_;t) una lagrangiana a ngradi di libertà, con q 2Rn, q_ 2Rn (per ora q e q_ sono solo i nomi delle ariabili).v Ricordo
Il punto di partenza, cio e quello che si d a qui per noto, e la meccanica analitica “elementare” che si studia al secondo anno: ovvero il formalismo lagrangiano e i primissimi elementi di meccanica . Metodi matematici della meccanica classica, Editori Riuniti 1979. . Introduzione ai sistemi
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