Lezione 3 Cenni Di Meccanica Statistica Classica E Quantistica
Lezione 3Cenni di meccanicastatistica classica e quantisticaFisica dello Stato lLezione n.3 Cenni di meccanica statistica classica e quantistica- M. Bruzzi Laurea magistrale in IngegneriaElettronica a.a. 17-181
Sommario1.2.3.4.5.6.7.8.9.Particelle distinguibili e indistinguibiliIdentità e indistinguibilitàFermioni - Il principio di esclusione di PauliApprofondimento: BosoniIntroduzione alla meccanica statisticaDistribuzione di Maxwell BoltzmannDistribuzione di Fermi DiracApprofondimento: Livello di Fermi e potenziale elettrochimicoApprofondimento: statistica di Bose EinsteinLezione n.3 Cenni di meccanica statistica classica e quantistica- M. Bruzzi Laurea magistrale in IngegneriaElettronica a.a. 17-182
Particelle distinguibili e indistinguibiliClassicamente due particelle identiche sono considerate tra loro distinguibili.La natura ondulatoria delle particelle non permette però in linea di principioche esse siano distinguibili l’una dall’altra. Infatti, se in un evento dueparticelle identiche 1 e 2 si trovano a passare per una regione di spaziominore dell’ordine della loro lunghezza d’onda di de Broglie non potremo direper le particelle emergenti quale delle due sia la particella 1 e quale laparticella 2.Due particelle identiche sono distinguibili se la lunghezza di de Broglie risulta molto piùpiccola della distanza tra i due pacchetti d’onda che rappresentano le due particelle:l separazioneIn generale questo avviene effettivamente per le molecole di un gas rarefatto.Lezione n.3 Cenni di meccanica statistica classica e quantistica- M. Bruzzi Laurea magistrale in IngegneriaElettronica a.a. 17-183
IDENTITA’ e INDISTINGUIBILITA’Consideriamo il caso di un sistema di due particelle identiche non interagenti,una si trova nello stato n, l’altro nello stato m. Ci sono due possibili soluzionidell’equazione di Schroedinger (1 e 2 rappresentano lecoordinate spaziali delle due particelle):La probabilità che siano l’una in dx1 e l’altra in dx2 è: dP f(1,2) 2 dx1dx2.Se sono IDENTICHE deve essere la stessa se esse si scambiano tra dx1 e dx2 f(2,1) 2 f(1,2) 2 e quindi si presentano due possibilità:f(2,1) f(1,2)funzione d’onda simmetricaf(2,1) - f(1,2)funzione d’onda antisimmetricaSe le due particelle sono anche INDISTINGUIBILI le soluzioni devono esserecombinazioni lineari tra i due stati fnm(2,1) e fnm (1,2):simmetricaantisimmetrica𝐜𝐨𝐧 𝟏/ 𝟐 fattore di normalizzazione .Lezione n.3 Cenni di meccanica statistica classica e quantistica- M. Bruzzi Laurea magistrale in IngegneriaElettronica a.a. 17-184
Il principio di esclusione di Pauli, Fermioni e BosoniC’e’ una differenza importante tra la combinazione simmetrica e quella antisimmetrica:se n m con particelle indistinguibili, la funzione d’onda ANTISIMMETRICAE’ ZEROPerciò la densità di probabilità che le due particelle si trovino nello stessostato quantistico è NULLA.FERMIONI particelle con funzione d’onda antisimmetrica( e.g. elettroni, protoni, neutroni . ). Generalizzando ad un sistema di particelle:la presenza di un fermione in un particolare stato quantistico previene ognialtro fermione identico dall’occupare tale stato. Le loro funzioni d’onda nonpossono avere gli stessi numeri quantici .Per gli elettroni in un atomo, lo stato di ciascun elettrone è descritto daquattro numeri quantici, uno per ogni coordinata spaziale e uno associato allospin. Essi obbediscono al PRINCIPIO DI ESCLUSIONE DI PAULI : gli elettroninell’atomo devono avere quaterne di numeri quantici n, l, ml, s diverse traloro.BOSONI Particelle (fotoni, fononi, alfa, . ) hanno invece funzioni d’ondasimmetriche yS. Esse non obbediscono al principio di esclusione di Pauli.Lezione n.3 Cenni di meccanica statistica classica e quantistica- M. Bruzzi Laurea magistrale in IngegneriaElettronica a.a. 17-185
Introduzione alla Meccanica StatisticaVogliamo estendere i concetti introdotti in meccanica a sistemi composti da unnumero molto elevato di particelle, quali ad esempio i gas ideali che apressione e temperatura standard risultano composti tipicamente da circa 1020atomi/molecole.Sappiamo che la meccanica si fonda su alcuni principi generali, quali laconservazione dell'energia, della quantità di moto e del momento angolare,applicabili al moto di una o più particelle interagenti. Nella meccanica statisticaquesti principi vengono estesi ai sistemi di molte particelle in modo da ottenereproprietà collettive valide a livello macroscopico, quali la temperatura e lapressione, in modo che non sia necessario considerare individualmente il motodi ciascuna particella. Vedremo che, oltre a non essere praticamente possibile,risulta infatti anche non necessario seguire il moto di tutte queste particelle perderivare le proprietà macroscopiche del sistema.Il punto di partenza dell'analisi statistica è il concetto di probabilità di unadistribuzione, vale a dire la probabilità che le particelle si trovino in unaparticolare distribuzione tra i tanti possibili stati dinamici in cui essepossono trovarsi.Lezione n.3 Cenni di meccanica statistica classica e quantistica- M. Bruzzi Laurea magistrale in IngegneriaElettronica a.a. 17-186
Consideriamo un sistema composto da un grande numero di particelle, N. Ogniparticella può assumere un valore di energia e1, e2, e3,. questi livelli energeticipossono essere quantizzati, cioè multipli di un valore finito, oppure possonodescrivere un dominio di valori continuo. In un istante t generico le particelle sianodistribuite tra i vari stati energetici così che n1 particelle si trovano nello statocaratterizzato dall'energia e1, n2 in quello a energia e2 e così via. Il numero totale diparticelle e l'energia totale del sistema si scrivono :N ni numero totale particelleU int nie i energia interna totale del sistemaDiciamo che il sistema è chiuso se il numero di particelle N è costante neltempo. Inoltre, se il sistema è isolato, la sua energia totale è costante nel tempo.Lezione n.3 Cenni di meccanica statistica classica e quantistica- M. Bruzzi Laurea magistrale in IngegneriaElettronica a.a. 17-187
Equilibrio statisticoE‘ ragionevole pensare che per ogni sistema fisico considerato, vi sia unaparticolare distribuzione delle N particelle nei vari ei che sia più probabiledelle altre. Quando il sistema si trova ad assumere la distribuzione piùprobabile diciamo che ha raggiunto l'equilibrio statistico. Una volta raggiuntala condizione di equilibrio statistico il sistema fluttuerà intorno ad esso senzache si osservino cambiamenti nelle sue proprietà macroscopiche e se neallontanerà solo in seguito all'applicazione di una forza esterna.Probabilità di una distribuzionePer determinare la probabilità di una distribuzione di N particelle negli stati eidevo calcolare il numero di configurazioni possibili con cui tale distribuzionesi può ottenere. Nel seguito assumeremo che la probabilità di ottenere unaparticolare partizione delle particelle negli stati disponibili siaproporzionale alla molteplicità di tale distribuzione.Lezione n.3 Cenni di meccanica statistica classica e quantistica- M. Bruzzi Laurea magistrale in IngegneriaElettronica a.a. 17-188
Caso classico: Distribuzione di Maxwell - BoltzmannPer ottenere la distribuzione più probabile occorre partire da alcuneassunzioni plausibili sul sistema da analizzare: la legge di distribuzione che nederiva dipende ovviamente dalle assunzioni fatte. Analizzeremo inizialmente lastatistica meccanica classica sviluppata da Stefan Boltzmann (1844-1906),James C. Maxwell (1831-1879) and Josia W. Gibbs (1839-1903) tra la fine del1800 e gli inizi del 1900.James Clerk MaxwellLudwig BoltzmannLezione n.3 Cenni di meccanica statistica classica e quantistica- M. Bruzzi Laurea magistrale in IngegneriaElettronica a.a. 17-189
Per ottenere la legge di distribuzione di Maxwell-Boltzmannconsideriamo un sistema composto da un grande numero di particelleidentiche e distinguibili. Consideriamo una particolare partizione delle Nparticelle negli stati ei con i 1.s, come in figura, dove ogni livelloenergetico è rappresentato da una linea nell'ordine di energia crescente.ee4e3e2e1Lezione n.3 Cenni di meccanica statistica classica e quantistica- M. Bruzzi Laurea magistrale in IngegneriaElettronica a.a. 17-1810
Molteplicità del livello 1Parto con l’inserimento di n1 particelle nel livello e1. Scelgo la primaparticella: vi sono N modi per farlo. Poi prendo la seconda, vi sono N-1modi per sceglierla. Per la terza i modi sono N-2, per l’ultima i modi sonoN-n1 1. Perciò i modi con cui possono essere scelte le particelle dello statoad energia e1 sono:W1' N ( N 1)( N 2).( N n1 1) N!( N n1)!Così abbiamo considerato come disposizione diversa ogni sequenza separatain cui le n1 particelle potrebbero essere scelte. Tuttavia a noi serve sapere soloquali n1 particelle scegliamo, non in che sequenza appaiono. Perciò dobbiamodividere per il numero di sequenze diverse in cui n1 oggetti possono esseredisposti, cioè n1!N!W 1n1 !( N n1)!Lezione n.3 Cenni di meccanica statistica classica e quantistica- M. Bruzzi Laurea magistrale in IngegneriaElettronica a.a. 17-1811
Esempio 15!W 1013!2!N 5, n1 3123451234512345124134135245352Sono state considerate identiche le diverse sequenzedelle stesse particelle: n1! 6. Per il caso 1 2 3:123213321132231312Lezione n.3 Cenni di meccanica statistica classica e quantistica- M. Bruzzi Laurea magistrale in IngegneriaElettronica a.a. 17-1812
Molteplicità della distribuzionePer il livello e2:( N n1)!W2 n2 !( N n1 n2 )!Perchè solo N - n1 particelle rimangono libere di essere scelte.Analogamente per il terzo livello:W3 ( N n1 n2 )!n3 !( N n1 n2 n3 )!Il numero di modi di distribuire le N particelle negli s stati è perciòW ( N n1 n2 . ns 1 )!( N n1 )!N!.n1 !( N n1 )! n2 !( N n1 n2 )!ns !( N n1 n2 . ns )!N!W n1 !n2 !n3 !.ns !Lezione n.3 Cenni di meccanica statistica classica e quantistica- M. Bruzzi Laurea magistrale in IngegneriaElettronica a.a. 17-1813
Esempio 2Consideriamo una scatola con pareti adiabatiche che contenga sei molecoleidentiche di un gas. In qualsiasi istante ogni molecola può trovarsi nella metàdi destra o in quella di sinistra della scatola con uguale probabilità. Il numerodi possibili configurazioni è 7, ciascuna con una molteplicità data dal numerototale dei microstati possibili che mostrano tale configurazione. In base allalegge di Boltzmann ricaviamo il valore dell’entropia di ciascunaconfigurazione. Utilizziamo la statistica di Maxwell Boltzmann per calcolare lemolteplicità di configurazione:N!W n1!n2 !Molteplicità massima Configurazione più 61Lezione n.3 Cenni di meccanica statistica classica e quantistica- M. Bruzzi Laurea magistrale in IngegneriaElettronica a.a. 17-1814
Degenerazione gi dello stato i-esimoOsserviamo che in questo calcolo abbiamo considerato che ogni configurazioneabbia la stessa probabilità intrinseca di accadere ( ogni particella poteva trovarsinella metà di sinistra o nella metà di destra della scatola con uguale probabilità).Questa condizione non è sempre verificata. Per tenere conto della possibilità chegli stati posseggano probabilità intrinseche diverse si introduce un fattore gidetto degenerazione dello stato i-esimo. Se gi è la probabilità di trovare laparticella nello stato i-esimo, la probabilità di trovarne due nel medesimo stato è gi2e la probabilità di trovarne ni è gini.gi niWMB N ! n!i 1 isLezione n.3 Cenni di meccanica statistica classica e quantistica- M. Bruzzi Laurea magistrale in IngegneriaElettronica a.a. 17-1815
123456789101112131415161718I livello II livello III 32213213213Esempio 3: un solo stato energeticoche corrisponde a tre livelli di stessaenergia. In esso posso distribuire 3particelle in 27 modi diversig1 3, n1 3:g1n1 27N n1 W 27I livello II livello III 27Lezione n.3 Cenni di meccanica statistica classica e quantistica- M. Bruzzi Laurea magistrale in IngegneriaElettronica a.a. 17-1816
Determinazione della distribuzione più probabile all’equilibrioAll’equilibrio le particelle sonoconfigurazione di probabilità massima.dispostenellaIn queste condizioni a piccole variazioni dni del numero delle particellenello stato i-esimo deve corrispondere un differenziale nullo della grandezzaP: dP 0. Matematicamente, si preferisce imporre: d(lnP) 0.ln( PMB ) n1 ln g1 n2 ln g 2 n3 ln g3 . ln(n1!) ln(n2!) ln(n3!) .Usando la formula di Stirling:ln( x!) x ln( x) xAssumendo che n1, n2, n3 siano grandi numeri, otteniamo:ln( PMB ) n1 ln g1 n2 ln g 2 n3 ln g3 . (n1 ln(n1 ) n1 ) (n2 ln(n2 ) n2 ) (n3 ln(n3 ) n3 ) n1 ln(nnn1n) n2 ln( 2 ) n3 ln( 3 ) . (n1 n2 n3 .) N ni ln( i )g1g2g3giLezione n.3 Cenni di meccanica statistica classica e quantistica- M. Bruzzi Laurea magistrale in IngegneriaElettronica a.a. 17-1817
ni ()dlnP dnln() 0Imponiamo: igi ni nindnn dni ln( ) ni d ln( ) dni ln( i ) ni ( i ) dni ln( i ) dnigiginigi gi Poiché il sistema è chiuso ed isolato, quindi è necessario imporre:N costante ed U costante : dni dN 0 ;dU dnie i 0Per imporre queste tre condizioni contemporaneamente si utilizza ilmetodo dei moltiplicatori di Lagrange: si introducono due parametri, perora indeterminati, e , tali che valga la relazione complessiva: ni e i ln( g ) dni 0i Per ogni i. La condizione di equilibrio diviene:ni gi e e i e i ln(ni) 0giLezione n.3 Cenni di meccanica statistica classica e quantistica- M. Bruzzi Laurea magistrale in IngegneriaElettronica a.a. 17-1818
ESEMPIO 4Un sistema è composto da N 4000 particelle che si possono disporre nei livellienergetici e 0, e e1 e e2 2e1 tutti con stessa degenerazione g:Confrontiamo le molteplicità relative in due casi. Nel primo la partizione siacaratterizzata da n1 2000; n2 1700 e n3 300. La seconda è ottenuta immaginandodi trasferire due particelle dal livello intermedio una a quello più basso e l’altra a quellopiù alto.4000! g 2000g 1700g 300W1 2000!1700!300!4000! g 2001g 1698g 301W2 2001!1698!301!W2 2000!1700!300! 1700 1699 4.8W1 2001!1698!301! 2001 301il semplice trasferimento di due particelle da uno stato cambia laprobabilità ad un valore quasi cinque volte superiore! Questosignifica che le due partizioni sono lontane dall’equilibrio.Lezione n.3 Cenni di meccanica statistica classica e quantistica- M. Bruzzi Laurea magistrale in IngegneriaElettronica a.a. 17-1819
Calcoliamo la partizione di equilibrio per la distribuzione.n1 ge n2 ge eni gi e e in3 ge 2 eEnergia totale del sistema: U 2000x0 1700xe1 600e1 2300e1All’equilibrio deve valere:n2e1 n3 2e1 2300e1ge e1 2 ge 2 e1 2300n1 ( x 2 x 2 ) 2300Inoltre il sistema è chiuso quindi:conx e e1n1 n2 n3 Nge ge e1 ge 2 e1 4000n1 (1 x x 2 ) 4000Lezione n.3 Cenni di meccanica statistica classica e quantistica- M. Bruzzi Laurea magistrale in IngegneriaElettronica a.a. 17-1820
n1 (1 x x 2 ) 4000n1 ( x 2 x ) 2300257 x 2 17 x 23 0x 0.5034Configurazione di equilibrio:n1 2277n2 1146n3 577Ripetiamo ora l’esercizio precedente: spostiamo due particelle dal livelloIntermedio e posizioniamole una sul livello inferiore e una su quello superiore:4000! g 2277g 1146g 577W '1 2277!1146!577!4000! g 2278g 1144g 578W '2 2278!1144!578!W '2 2277!1146!577! 1145 1146 0.9966W '1 2278!1144!578! 2278 578Le probabilità dei due casi sono quindi ora essenzialmente le stesse:all’equilibrio infatti piccoli cambiamenti nei valori di ni non portanoapprezzabili cambiamenti nella probabilità.Lezione n.3 Cenni di meccanica statistica classica e quantistica- M. Bruzzi Laurea magistrale in IngegneriaElettronica a.a. 17-1821
Parametri fisici associati ai moltiplicatori di LagrangeI due termini e sono legati al sistema fisico considerato. Inparticolare, si può esprimere in funzione del numero totale diparticelle N. Poiché:N ni gi e e i e gi e e iintrodotto il termine Z detto funzione di partizione del sistema:Z gi e e iRiscriviamo:e N Ze quindi:Nni g i e e iZChe è l’espressione della legge di distribuzione di Maxwell-Boltzmannall’equilibrio.Lezione n.3 Cenni di meccanica statistica classica e quantistica- M. Bruzzi Laurea magistrale in IngegneriaElettronica a.a. 17-1822
Consideriamo la relazione tra parametro ed energia totale del sistema:NU nie i gie i e e iZAllora:N dU Z d ( g e ) e iiconZ gi e e iN dZd ln Z NZ d d Quindi U dipende dalla funzione di partizione del sistema Z ed è funzionedel parametro , che a sua volta può essere utilizzato per caratterizzarel’energia interna del sistema. Si preferisce invece definire il parametro T,temperatura assoluta, tale che:K BT 1 Con kB Costante di Boltzmann 1.38x10-23 J/K 8.617x10-5 eV/KTale relazione costituisce la definizione statistica di temperatura assolutaLezione n.3 Cenni di meccanica statistica classica e quantistica- M. Bruzzi Laurea magistrale in IngegneriaElettronica a.a. 17-1823
Notiamo che tale definizione di temperatura è valida solo all’equilibrio,poiché è stato introdotto durante il calcolo della partizione piùprobabile. Otteniamo:d ln Z2 d(ln Z )U N KNTd dTDeterminiamo ora la funzione di partizione Z nel caso del gas ideale,dove l’energia è solo cinetica traslazionale:1 2e i mvi2Dobbiamo in primo luogo determinare la degenerazione g degli statienergetici permessi.Lezione n.3 Cenni di meccanica statistica classica e quantistica- M. Bruzzi Laurea magistrale in IngegneriaElettronica a.a. 17-1824
Calcolo di g(e) per un gas ideale in un recipiente chiuso di volume VConsideriamo un gas composto da un numero N molto grande di particelle,contenuto in un recipiente cubico di lato L. L’energia di ogni particella è:222ppp111y222e mvx mv y mvz x z2222m 2m 2mAbbiamo visto che è possibile associare ad ogni particella nella scatola un’onda,hutilizzando la relazione di de Broglie:l pLa condizione perchè la particella sia nel recipiente è che essa corrisponda adun’onda stazionaria e quindi che:L e h228mLnl2o anche pi 2L nih( nx 2 n y 2 nz 2 )con ni intero per i x,y,zL’energia risulta quantizzataTutti gli stati con stesso nx2 ny2 nz2 corrispondono alla stessa energia: essi sidicono perciò STATI DEGENERI.Lezione n.3 Cenni di meccanica statistica classica e quantistica- M. Bruzzi Laurea magistrale in IngegneriaElettronica a.a. 17-1825
Determiniamo i primi livelli energetici e la rispettiva degenerazione per unaparticella libera confinata in un cubo di lato L:e h2(nx n y nz ) e 0 (nx2 ny2 nz2 )8mL2222h2con: e 0 8mL2Gli stati di stessa energia e la relativa degenerazione sono indicati nella tabella:h2I livelli energetici permessi risultano distanti tra loro della quantità : e 0 8mL2Se le particelle si trovano confinate in un recipiente molto piccolo il termine e0 avràun valore tale che i livelli risulteranno ben distanziati tra loro, se invece il recipiente ègrande, come nel caso di un gas ideale di volume V in condizioni standard, il terminee0 è molto piccolo ed i livelli risulteranno molto vicini tra loro.Lezione n.3 Cenni di meccanica statistica classica e quantistica- M. Bruzzi Laurea magistrale in IngegneriaElettronica a.a. 17-1826
primi livelli energetici di una particellalibera confinata in un cubo di lato Lmolto piccolo:e2 9e0Livelli energetici di una particella liberaconfinata in un cubo di lato L grande:dee2 6e0e2 3e0e 0In questo secondo caso possiamo considerare che la e vari in modo praticamentecontinuo e quindi valutare, invece della degenerazione gi dell’ i-esimo livello, lafunzione g(e) descrivente la degenerazione tra i valori e ed e de.Z gi e e i Z g (e )e eK BTde0Lezione n.3 Cenni di meccanica statistica classica e quantistica- M. Bruzzi Laurea magistrale in IngegneriaElettronica a.a. 17-1827
Valutazione della funzione di degenerazione g(e)nze z12nx34h28mL2( nx 2 n y 2 nz 2 )Consideriamo lo spazio rappresentativodelle terne di numeri nx,ny,nz interi. Tutti ipunti sulla superficie della sfera di raggio: nx 2 n y 2 nz 2nysono caratterizzati dallo stesso valore dienergia:h 2 2e Esplicitando:8mL2e 2 Lz 2me2hh8mL2Se consideriamo i soli numeri positivi nx,ny,nz interi si tratta diconsiderare una porzione di 1/8 della sfera totale.Lezione n.3 Cenni di meccanica statistica classica e quantistica- M. Bruzzi Laurea magistrale in IngegneriaElettronica a.a. 17-1828
Considero dapprima il numero di stati permessi nella sfera di raggio z4 V (2me ) 3h31 4 2L 3/ 2N (e ) z 3 z 3 (2me )8 36 h 6Porzione n positivi3 Volume sfera di raggio zNumero di stati dentro la porzione di sfera:Differenziando:dN (e ) 4N (e ) 4V L3 V3h3/ 2()2me3 V3ho anche:g (e ) 2L2meh3/ 24 Vh3V3/ 2 33/ 2()()2mede 2 2me de332dN (e ) (2m )3 1/ 2h4 Veh3(2m )3 1/ 2e deNumero di valori permessi dienergia tra e ed e deLezione n.3 Cenni di meccanica statistica classica e quantistica- M. Bruzzi Laurea magistrale in IngegneriaElettronica a.a. 17-1829
Otteniamo la seguente funzione di partizione: Si può dimostrare che l’integrale è:(4 V 2mZ h3I ee e / K BT0da cui:(4 V 2m3Z h3)1/ 2)3 1/ 2 e e e / KT de01de (K BT )321 (K BT )323ln Z ln (K BT ) C2U KNT 2d(ln Z ) KNT 2 3 1 3 KNT 3 nRTdT2T 22Abbiamo quindi ottenuto l’espressione dell’energia interna del gas ideale infunzione della temperatura assoluta.Lezione n.3 Cenni di meccanica statistica classica e quantistica- M. Bruzzi Laurea magistrale in IngegneriaElettronica a.a. 17-1830
Il numero di particelle che all’equilibrio hanno energia tra e ed e deper il gas ideale è quindi dato da:ee(dn N KTN KT 4 V 2m3 e g (e ) ede ZZh3Utilizzando l’espressione di Z:formula di Maxwell per la distribuzionedell’energia()1/ 24 V 2mZ h3e)3 1/ 21 (K BT )32L’area ombreggiata mostra il numero diparticelle con energia superiore ad Eae dn2 NKT ee3/ 2de ( KT )Lezione n.3 Cenni di meccanica statistica classica e quantistica- M. Bruzzi Laurea magistrale in IngegneriaElettronica a.a. 17-1831
Passiamo alla distribuzione della velocità con:dn dn dedn m mv 4 N dv de dvde 2 KT 1 2e mv23/ 2v 2e mv 22 KTLezione n.3 Cenni di meccanica statistica classica e quantistica- M. Bruzzi Laurea magistrale in IngegneriaElettronica a.a. 17-1832
OSSERVAZIONE: Entropia e ProbabilitàDal punto di vista statistico la definizione di entropia è :Equazione dell’entropia di BoltzmannS K B ln WW è la molteplicità delle possibili configurazioni con cui le N particelle del sistema sidistribuiscono nella particolare partizione (microstato) che corrisponde allo stato delsistema (macrostato).S e W sono legati da funzione logaritmica perché, se consideriamo l’esempio di duesistemi, l’entropia totale è la somma delle singole entropie, mentre il numero delleconfigurazioni possibili (probabilità) dei due sistemi indipendenti è pari al prodottodelle loro molteplicità.Osserviamo che l’evoluzione spontanea di un sistema isolato verso stati dimaggior entropia corrisponde alla sua tendenza a portarsi nello stato che hamaggior probabilità termodinamica .Il macrostato cui è associato il maggior numero di microstati,macrostato piu’ probabile, viene chiamato STATO DI EQUILIBRIO.Lezione n.3 Cenni di meccanica statistica classica e quantistica- M. Bruzzi Laurea magistrale in IngegneriaElettronica a.a. 17-18quindi il33
Riferendosi all’ esempio 1Una scatola con pareti adiabatiche che contiene sei molecoleidentiche di un gas. In base alla legge di Boltzmann ricaviamo ilvalore dell’entropia di ciascuna configurazione. Utilizziamo lastatistica di Maxwell Boltzmann per calcolare le molteplicità diconfigurazione.W n1n2WEntropia (10-23 1562.47VII0610N!n1!n2 !S K B ln WCaso più probabile:entropia massimaLezione n.3 Cenni di meccanica statistica classica e quantistica- M. Bruzzi Laurea magistrale in IngegneriaElettronica a.a. 17-1834
Più in generale calcoliamo ora l’aumento di entropia di n moli di gas ideale cheraddoppiano il loro volume durante un’espansione libera. Utilizziamo sia latermodinamica statistica che la definizione data dal teorema di Clausius everifichiamo che danno stesso risultato.iniziofineSia N il numero delle molecole del gas. Le molteplicità degli stati iniziale e finale sono:N!N!Winizio 1n1!n2! N!0!L’entropia dei due stati è:Sinizio K B ln W1 0W fine N!N! n1!n2 ! N ! N !2 2 N S fine K B ln N! 2 ln ! 2 Lezione n.3 Cenni di meccanica statistica classica e quantistica- M. Bruzzi Laurea magistrale in IngegneriaElettronica a.a. 17-1835
ln N! N ln N ln N S nR ln 2Quindi :S fine K B N ln 2Ricordando la formula di Stirling:Otteniamo:BUtilizziamo ora la definizione di entropia datadall’integrale : S S B S A A QTrevNella trasformazione le pareti sono adiabatiche non c’è scambio di calore conl’ambiente, inoltre non c’è lavoro perché non abbiamo presenza di paretimobili, ma solo un setto divisorio tra le due metà del recipiente, che vienerimosso al momento dell’espansione libera. Per il primo principio dellatermodinamica: Q 0; W 0 Ui 0 Tinizio Tfine T. L’espansione liberaè una trasformazione irreversibile, devo quindi considerare, per il calcolo di S,una trasformazione reversibile che abbia stessi stati finale ed iniziale. Scelgo diutilizzare una trasformazione con T costante, dove quindi Q W. Perveniamoal risultato:B S A QTB revA WTB ABpdVnRdVV nR ln B nR ln 2TVVAALezione n.3 Cenni di meccanica statistica classica e quantistica- M. Bruzzi Laurea magistrale in IngegneriaElettronica a.a. 17-1836
Distribuzione di Fermi DiracAssunzioni:1. Particelle identiche e INDISTINGUIBILI2. Le particelle obbediscono al principio di esclusione di Pauli(non possono avere stessi numeri quantici)Determino il numero delle distribuzionidistinguibili di ni particelle tra i livellidegeneri gi.Enrico FermiPaul Adrien Maurice DiracLezione n.3 Cenni di meccanica statistica classica e quantistica- M. Bruzzi Laurea magistrale in IngegneriaElettronica a.a. 17-1837
Molteplicità della distribuzioneLa prima particella può essere disposta in uno qualunque dei gistati, la seconda può essere disposta in gi -1, la terza in gi - 2 ecosì via fino a gi - ni 1. In questo modo però considero distintele distribuzioni che si ottengono permutando le particelle traloro, cosa che non posso fare se le particelle sono tra loroindistinguibili. Così devo dividere per n1!g ( g 1)( g1 2).( g1 n1 1)g1 !W1 1 1 n1 !n1 !( g1 n1)!Nel totale:sgi !WFD n !( gi ni )!i 1 iDistribuzione di Fermi-DiracLezione n.3 Cenni di meccanica statistica classica e quantistica- M. Bruzzi Laurea magistrale in IngegneriaElettronica a.a. 17-1838
Determinazione della distribuzione più probabile all’equilibrioCome per la statistica di Maxwell Boltzmann assumiamo cheall’equilibrio statistico le particelle siano disposte nellaconfigurazione di probabilità massima ed imponiamo: d(lnP) 0.ln( PFD ) gi ln gi ni ln ni ( gi ni ) ln( gi ni ) i d (ln( PFD ) ) ln ni ln( gi ni ) dni 0iPoiché il sistema è chiuso ed isolato:Usando i moltiplicatori di Lagrange: dni dN 0dU dnie i 0ln ni ln( gi ni ) e i 0ni e e ig i niChe diviene:ni gi e ie 1Lezione n.3 Cenni di meccanica statistica classica e quantistica- M. Bruzzi Laurea magistrale in IngegneriaElettronica a.a. 17-1839
1Ancora, si può porre: k BTMentre il parametro , determinato dalla condizione :N ninella distribuzione di Fermi-Dirac viene espressotramite un parametro detto energia di Fermisecondo la relazione:e F k BTLezione n.3 Cenni di meccanica statistica classica e quantistica- M. Bruzzi Laurea magistrale in IngegneriaElettronica a.a. 17-1840
Distribuzione di Fermi Dirac all’equilibrioni gie(e i e F ) / k BT 1Andamento della distribuzione di Fermi Dirac per varietemperatureT 0ni/giT mediaT altaeFLezione n.3 Cenni di meccanica statistica classica e quantistica- M. Bruzzi Laurea magistrale in IngegneriaElettronica a.a. 17-1841
Distribuzione di Bose EinsteinAssunzioni:1. Particelle identiche e INDISTINGUIBILI.2. Non ci sono limiti alla popolazione di ciascun livelloSatyendranath N. BoseAlbert EinsteinLezione n.3 Cenni di meccanica statistica classica e quantistica- M. Bruzzi Laurea magistrale in IngegneriaElettronica a.a. 17-1842
Legge di distribuzione di Bose Einsteinni Andamento delladistribuzione di BoseEinstein con la temperaturagie e i 1Il parametro , determinato dalla condizione :N ninella distribuzione di Bose Einstein rimaneindicata come . Ancora, si può porre: ni 1k BTgi e i / k BTe 1Lezione n.3 Cenni di meccanica statistica classica e quantistica- M. Bruzzi Laurea magistrale in IngegneriaElettronica a.a. 17-1843
Esempio: legge della radiazione di corpo nero di PlanckLa radiazione di corpo nero può essere descritta come un gas di fotoni che noninteragiscono tra loro ma solo con le pareti della cavità. Si tratta di bosoni(particelle indistinguibili che non obbediscono al principio di esclusione di Pauli)e quindi da descrivere con la statistica di Bose Einstein. Il numero di fotoni inquesto caso non è costante, dato che essi possono essere assorbiti oemessi dalle pareti della cavità, perciò la condizione dN 0 deve essererimossa. Questo significa che il parametro non è necessario 0.Trattiamo come un continuo l’energia dei fotoni nella cavità, ponendo con e hn:g (n )dn8 V n 2dndn hn / k BT 3 hn / k BTe 1c e 1g(n) n modi di oscillazione per onde nel volume V con
particolare distribuzione tra i tanti possibili stati dinamici in cui esse possono trovarsi. Introduzione alla Meccanica Statistica Lezione n.3 Cenni di meccanica statistica classica e quantistica-M. Bruzzi
Il punto di partenza, cio e quello che si d a qui per noto, e la meccanica analitica “elementare” che si studia al secondo anno: ovvero il formalismo lagrangiano e i primissimi elementi di meccanica . Metodi matematici della meccanica classica, Editori Riuniti 1979. . Introduzione ai sistemi
Docente: Dott. Fabio Bellino LEZIONE 1 Programma completo: Lezione 1 Presentazione Riferimenti bibliografici . Centro di Ricerca Erba Sacra Cosmetologia Corsi OnLine LEZIONE 1 Docente: Dott. Fabio Bellino PRESENTAZIONE - Indice Corso 2 CENTRO DI RICERCA ERBA SACRA; www.erbasacra.com .
marcati aspetti modellistici ed applicativi (Sistemi Dinamici, Meccanica classica, Meccanica dei continui e fluidodinamica, Meccanica celeste, Aspetti matematici della fisica teorica, etc) ed ha punti di contatto con molte altre aree
5 Meccanica e ottica geometrica 33 . AV.I. Arlod Metodi matematici della meccanica classica Editori Riuniti (in cui è . ma preda-predatore, o sistema di olterra-LoV tka (dettagli sulle dispense di Buttà Negrini di Sistemi Dinamici). 1.5 Variabili cicli
Sistemi di Elettronica Digitale (SED) - Modello del dispositivo elettronico digitale - Problemi di interfacciamento, stadi di I/O speciali - Circuiti e dispositivi logici combinatori e sequenziali - Memorie: cenni - Sistemi di conversione analogico/digitale e digitale/analogico: cenni - Sistemi embedded (uC, Arduino)
giustificazione teorica. Applicazione all'equazione y' y 2. 08/03/2019 - lezione - Docente: GRECO ANTONIO . Formula risolutiva delle equazioni differenziali lineari del primo ordine, in forma normale, a coefficienti continui. . Definizione della convergenza uniforme di una successione di funzioni. 25/03/2019 - lezione - Docente: GRECO ANTONIO
Busta Paga e Contratto in Agricoltura – Edilizia – Commercio e Turismo 1 e 2 LEZIONE - Centro Congressi La Castellana - Via Pilastri, 18 Fosdinovo (MS) 3 LEZIONE - Villa Undulna, Viale Marina, 191, 54038 Cinquale di Montignoso (MS) BARRARE LE GIORNATE SCELTE: (240924) AGRICOLTURA 3 APRILE 2019 (240925) EDILIZIA 4 APRILE 2019
ANSI A300 Purpose: To provide performance standards for developing written specifications for tree management. Currently nine individual parts . ANSI Z60 American Nurseryman and Landscape Association began developing this standard back in 1929 Became an ANSI document in 1949 Current version is 2004 . ANSI A300 The Tree Care Industry Association convened a consensus body .
