MATEMÁTICAS FINANCIERAS - INICIO
MATEMÁTICAS FINANCIERASTEMA:INTERÉS COMPUESTO1. Conceptos Básicos2. Monto o Valor Futuro a Interés Compuesto3. Valor Actual a Interés Compuesto4. Cálculo del Tiempo y la Tasa de Interés a partir de laFórmula S P(1 i)n5. Equivalencia entre Tasa de Interés Simple yTasa de Interés Compuesto6. Equivalencia entre Tasas de Interés Compuesto7. Tasa de Interés Nominal y Tasa de Interés Efectiva8. Elección entre varias Opciones de Pago o Alternativasde Inversión a Interés Compuesto9. Descuento de Pagarés a Interés Compuesto10. Ecuaciones de Valores Equivalentes a Interés Compuesto11. Tiempo Equivalente12. Pagos Parciales. Regla Comercial y Regla de los Saldos13. Resumen de Fórmulas Relativas al Interés Compuesto14. Tabla para el Cálculo del Tiempo Exacto entre Dos FechasAUTOR:tulio a. Mateo DuvalSanto Domingo, D. N.Rep. Dom.
Tulio A. Mateo DuvalInterés CompuestoMATEMÁTICAS FINANCIERAS INTERÉS COMPUESTO1. CONCEPTOS BÁSICOSEn las transacciones financieras efectuadas a interés simple el capital permanece constante durante todo ellapso convenido, en cambio en las realizadas a interés compuesto el capital cambia al final de cada periodo, ya que aintervalos establecidos, el interés generado es agregado al capital, formando cada vez un nuevo capital. En este caso,se dice que el interés es capitalizable o convertible en capital y, en consecuencia, también gana interés. Si losintereses producidos en cada periodo se calculan sobre capitales cada vez mayores, dado que incluyen los intereses deperiodos anteriores, se le denomina interés compuesto al que se paga sobre capitales que se incrementan de esemodo.En el interés compuesto, se conoce como tasa nominal ( j ) a la tasa de interés cargada a una transacción, lacual es habitualmente considerada anual, aunque los intereses no siempre sean sumados anualmente al capital. Escomún que el interés también se capitalice en forma semestral, trimestral, bimestral, mensual, semanal o diariamente.El periodo de capitalización o periodo de conversión es el intervalo de tiempo existente entre dos capitalizacionessucesivas, y el número de veces por año en las que los intereses se capitalizan se conoce como frecuencia decapitalización o frecuencia de conversión (m). A continuación se muestran los valores de las frecuencias decapitalización o de conversión (m) más usuales 1.CAPITALIZACIÓN DE stralMensualQuincenalSemanalDiariaFRECUENCIA DE CAPITALIZACIÓN (m)12346122452360 ó 365Al trabajar a interés compuesto se hace referencia a una tasa de interés, y con ésta ordinariamente quedandefinidas la tasa nominal “j ” (tasa anual), el periodo de capitalización y la frecuencia de capitalización “m”. Aseguidas se presentan varias formas de expresar la misma tasa de interés:16%anual capitalizable trimestralmente16%anual convertible trimestralmente16%compuesto capitalizable trimestral16%compuesto convertible trimestral16%compuesto trimestral16%nominal trimestral 2Si la tasa de interés se indicara sin hacer referencia a la forma de capitalización, se asume que la misma seefectúe anualmente.Es necesario que al realizar un cálculo a interés compuesto la tasa de interés de exprese en la misma unidad detiempo que el periodo de capitalización. Es decir, debe obtenerse la denominada tasa de interés por periodo de1Los periodos de capitalización pueden ser tan pequeños como se desee, pudiéndose llegar hasta una capitalización continua.En esta modalidad se usa la palabra nominal en vez de anual o compuesto, indicando con esto que esa es la tasa nominal, es decir, la tasa anual.Lo de trimestral se refiere a la forma de capitalización de los intereses.21
Tulio A. Mateo DuvalInterés Compuestocapitalización ( i ). Si “ j ” representa la tasa de interés anual (tasa nominal) y “m” la frecuencia de capitalización,entonces la tasa de interés por periodo de capitalización “ i ” se calcula mediante la fórmula:i De la cual resulta que:jm[1]j i m[2]Otra variable importante es la cantidad de capitalizaciones que envuelve una transacción a interés compuesto.Se le denomina número total de periodos de capitalización (n) a la cantidad de veces que el interés se convierte encapital durante el plazo convenido. Si se simboliza con “ t ” el intervalo de tiempo (expresado en años) por el cual seplanea la transacción y con “m” la frecuencia de capitalización, entonces el número total de periodos de capitalización“n ” se obtiene mediante la fórmula:n t(años) m[3]De la cual resulta que:t ( años ) nm[4] Ejemplo 1Para una inversión a un plazo de 3½ años a efectuarse al 15% anual capitalizable trimestralmente, determine:a) periodo de capitalización; b) frecuencia de capitalización; c) tasa nominal; d) tasa de interés por periodo decapitalización; y e) número total de periodos de capitalización.SOLUCIÓN:a) Trimestreb) m 4d) i c) j 15%e) n 3 . 5 4 14 trimestresj 15 4 3.75%m Ejemplo 2Hallar el interés compuesto generado por un capital 3 de 1,000.00 al 6% compuesto capitalizable anualmente alcabo de 3 años.SOLUCIÓN:P 1,000.00j 6%m 1i n 3 1 3 añosPERIODO DECAPITALIZACIÓN123CAPITAL AL INICIODEL PERIODO ( )1,000.001,060.001,123.60j 6 1 6%mINTERÉS GANADOEN EL PERIODO ( )60.0063.6067.42t 3 añosMONTO COMPUESTO ALFINAL DEL PERIODO ( )1,060.001,123.601,191.02Interés compuesto 1,191.02 – 1000.00 191.023Se entenderá como CAPITAL la cantidad de dinero originalmente prestada o invertida y se representará con una “P”.2
Tulio A. Mateo DuvalInterés Compuesto Ejemplo 3Resolver el Ejemplo 2 considerando una tasa del 6% compuesto capitalizable semestralmente.SOLUCIÓN:P 1,000.00i m 2j 6%n 3 2 6 semestresPERIODO DECAPITALIZACIÓN123456CAPITAL AL INICIODEL PERIODO ( )1,000.001,030.001,060.901,092.731,125.511,159.27j 6 2 3%mINTERÉS GANADOEN EL PERIODO ( )30.0030.9031.8332.7833.7634.78t 3 añosMONTO COMPUESTO ALFINAL DEL PERIODO ( nterés compuesto 1,194.05 – 1000.00 194.052. MONTO O VALOR FUTURO A INTERÉS COMPUESTOEl monto (S) a interés compuesto es igual al capital inicial (P) más los intereses (I) resultantes de lassucesivas capitalizaciones contempladas en la transacción de que se trate, o sea:S P IFÓRMULA MONTO COMPUESTO[5]Para deducir otra fórmula que permita obtener directamente el monto compuesto, se ejecuta el mismo procesoseguido en el cuadro anterior, pero trabajando con un capital inicial “P” invertido a la tasa de interés “i” por periodo decapitalización y por “n” periodos de capitalización. Se puede verificar que el monto compuesto al término del primerperiodo es P(1 i); el monto compuesto al final del segundo periodo es P(1 i)2 ; el monto compuesto al final del tercerperiodo es P(1 i)3, y así sucesivamente. Esta sucesión de montos forma una progresión geométrica cuyo n-ésimotérmino corresponde al monto compuesto (S) al final de “n” periodos de capitalización, el cual se obtiene mediante lafórmula:S P (1 i ) nFÓRMULA MONTO COMPUESTOdonde “S” es el monto compuesto o valor futuro de un capital inicial “P”,capitalización y “n “ es el número total de periodos de capitalización.[6]“i” es la tasa de interés por periodo deA la diferencia entre el monto compuesto (S) y el capital inicial (P) se le llama interés compuesto (I), el cualpuede obtenerse despejando a “I “ de la fórmula [5]:I S PFÓRMULA INTERÉS COMPUESTO[7]Sustituyendo en la fórmula anterior la expresión obtenida para el monto compuesto, obtenemos otra fórmula paracalcular directamente el interés compuesto:I P (1 i ) n PFactorizando se tiene:I P [(1 i ) n 1]FÓRMULA INTERÉS COMPUESTO[8]Por otra parte, el capital inicial “P” (inversión o deuda) se puede obtener despejando a “P” de la fórmula [5]:P S–I[9]También el capital inicial “P” (inversión o deuda) se deduce al despejar a “P” de la fórmula [8], resultando:P I[ (1 i ) n 1 ][10]3
Tulio A. Mateo DuvalInterés Compuesto Ejemplo 4¿Cuánto se acumulará al cabo de 2 años si se depositan 200,000.00 en una cuenta de ahorros que abona el12.6% anual convertible mensualmente?SOLUCIÓN:P 200,000.00t 2 añosj 12.6%n 2 12 24 mesesm 12S ?i 12.6/12 1.05%Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [6], se obtiene:S 200,000 (1 0.0105) 24 256,981.36 Ejemplo 5Obtenga el valor futuro de un capital de 50,000.00 invertido al 8% anual capitalizable cuatrimestralmente al cabode 3 años y 5 meses.SOLUCIÓN:P 50,000.00n j 8%i 0.08/3 4m 33 12 541 3 3 10.25 cuatrimestres1212t 3 años 5 mesesS ?Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [6], se obtiene:S 50,000 (1 0.08 3 )10.25 65,482.015 Ejemplo 6Hallar el monto compuesto de 426,500.00 al cabo de 6 años y 7 meses, si los dos primeros años generanintereses al 6% compuesto convertible quincenal y el tiempo restante al 2¾% semestral.SOLUCIÓN:1ER.P 426,500.00j 6%n 2 24 48 quincenasTRAMOm 24S1 ?i 6/24 0.25% quincenalt 2 añosSustituyendo los valores conocidos en la fórmula [6], se obtiene:S1 426,500 (1 0.0025) 48 480,805.402DO.P S1 480,805.40n TRAMOi 2.75% semestral4 12 75555 2 2 semestres12126m 2t 4 años 7 mesesS ?Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [6], se obtiene el valor del monto compuesto pedido:S 480,805.40 (1 0.0275) 55 6 616,551.634Esta vez “j” entre “m” se deja expresado, ya que, de dicho cociente, resulta un número con infinitas cifras decimales que no se debe redondear.Aunque la fórmula del monto compuesto se obtuvo considerando un número entero de periodos de capitalización, dicha fórmula también puedeusarse cuando se tienen fracciones de periodo. Al trabajar de esta forma (que es la que aquí se empleará), se dice que se calcula con el métodoteórico o exacto. Otra manera de hacerlo es con la llamada regla comercial, que consiste en obtener el monto compuesto para los periodos enterosde capitalización y luego el monto simple para la fracción de periodo, utilizando como capital el monto compuesto previamente obtenido.54
Tulio A. Mateo DuvalInterés Compuesto Ejemplo 7Calcule el interés compuesto que generará una deuda por 320,000.00 contraída al 18.4% anual capitalizabletrimestralmente pagadera en un plazo de 1½ años.SOLUCIÓN:P 320,000.00j 18.4%n 1.5 4 6 trimestresm 4I ?i 18.4/4 4.6% trimestralt 1½ añosSustituyendo los valores conocidos en la fórmula [8], se obtiene:I 320,000 [(1 0.046) 6 1] 99,121.64 Ejemplo 8El 10/08/2009 se efectuó una inversión en un certificado financiero que abonaba el 36% anual capitalizablediariamente. Determine el capital invertido si al día 19/10/2009 se habían generado intereses ascendentes a 9,711.07. Use año comercial.SOLUCIÓN:I 9,711.07.00j 36%m 3606t n 292 – 222 70 días (tiempo exacto entre las dos fechas)i 36/360 0.1% diarioP ?Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [10], se obtiene:P 9,711.07[ (1 0.001) 70 1 ] 134,000.003. VALOR ACTUAL A INTERÉS COMPUESTOEl valor actual o valor presente a interés compuesto es el valor en una fecha determinada de una suma dedinero que se recibirá o pagará en una fecha posterior. También por valor actual se entiende el capital que, invertidoahora a una tasa de interés dada, alcanza un monto determinado al cabo de cierto tiempo.Para obtener el valor actual de un monto compuesto conocido “S”, se despeja a “P” de la fórmula [6], resultando:P S(1 i ) n S (1 i ) nFÓRMULA VALOR ACTUAL[11] Ejemplo 9Determine el valor actual de 180,000.00 que vencen dentro de 2½ años, si la tasa de interés es del 22% anualconvertible trimestralmente.SOLUCIÓN:S 180,000.00j 22%n 2.5 4 10 trimestresm 4P ?i 22/4 5.5% trimestralt 2½ añosSustituyendo los valores conocidos en la fórmula [11], se obtiene:P 180,000 (1 0.055 ) 10 105,377.506Aquí se da la igualdad “ n t (días) ” debido a que el tiempo viene dado en días y la frecuencia de capitalización “m” es igual a 360.5
Tulio A. Mateo DuvalInterés Compuesto Ejemplo 10¿Qué depósito debe ser efectuado en una cuenta de ahorros que abona una tasa del 13.5% anual capitalizablebimestralmente, si se desea tener disponibles 310,500.00 al cabo de 17 meses?SOLUCIÓN:S 310,500.00n j 13.5%1717 6 8.5 bimestres122m 6i 13.5/6 2.25% bimestralt 17 mesesP ?Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [11], se obtiene:P 310,500 (1 0.0225 ) 8.5 256,994 .25 Ejemplo 11¿Cuánto debe invertirse ahora al 1.8% mensual para tener 408,340.11 en 2 años y 3 meses? ¿Cuánto se ganapor concepto de intereses?SOLUCIÓN:S 408,340.11n i 1.8% mensual2 12 3 12 27 meses12m 12t 2 años y 3 mesesP ?I ?Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [11], se obtiene el valor de la inversión:P 408,340.11 (1 0.018 ) 27 252,250.50Sustituyendo los valores de “S” y “P” en la fórmula [7], se obtiene el interés generado:I 408,340.11 252,250.50 156,089.614. CÁLCULO DEL TIEMPO Y LA TASA DE INTERÉS A PARTIRDE LA FÓRMULA S P (1 i ) nEl tiempo requerido para que un capital “P”, colocado a una tasa de interés anual “j ” capitalizable “m” veces poraño, es decir, a una tasa de interés por periodo “i”, alcance un monto “S”, se obtiene al despejar a “n” de la fórmula [6],resultando:n lo g ( S P )lo g (1 i )[12]Como “n” representa el número total de periodos de capitalización, entonces el tiempo expresado en añoscalcula mediante la fórmula [4]:nt ( años ) m7seIgualmente la tasa de interés por periodo “i” a la que habría que prestar o invertir un capital ”P” para que en “n”periodos de capitalización alcance el monto “S”, se obtiene al despejar a “i” de la fórmula [6], resultando:i n (S P ) 17[13]Después que se tiene el tiempo expresado en años puede hacerse la conversión a cualquier otra unidad (meses, quincenas, semanas, etc.).6
Tulio A. Mateo DuvalInterés CompuestoLuego de calculado el valor de “i”, si fuera preciso obtener la tasa anual de interés compuesto “ j ”, se procederíasegún la fórmula [2] a multiplicar el valor obtenido de “i” por la frecuencia de capitalización “m”, u obtenerla directamentede la multiplicación de “m” por la expresión anterior, resultando:j m [ n ( S P ) 1][14] Ejemplo 12¿Qué tiempo (años) es necesario para que una inversión de 41,400.00 efectuada al 12% anual capitalizablebimestralmente genere intereses ascendentes a 8,076.83?SOLUCIÓN:P 41,400.00j 12%I 8,076.83m 6S P I 49,476.83i 12/6 2% bimestraln ?t ?Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [12], se obtiene:n lo g ( 49,476 .83 41,400 ) 9 bimestreslo g (1 0.02 )El cálculo del tiempo (años) se realiza empleando la fórmula [4]:t ( años ) 9 1.5 años 1½ años6 Ejemplo 13¿En qué tiempo (meses) fue saldada una deuda por 115,000.00, si la misma fue contraída al 1.5% mensualcapitalizable cuatrimestralmente y se liquidó pagando la suma de 147,315.27?SOLUCIÓN:P 115,000.00j 1.5 12 18% 8S 147,315.27m 3i 18/3 6% cuatrimestraln ?t ?Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [12], se obtiene:n lo g ( 147,315.27 115,000 ) 4.25 cuatrimest reslo g (1 0.06 )Como los cuatrimestres son periodos de 4 meses, luego el tiempo pedido (meses) será:t ( meses) 4.25 4 17 meses Ejemplo 14Encuentre la fecha de cancelación de un crédito por 79,300.00, concertado el 14 de mayo, con intereses al37.8% anual capitalizable diariamente, si el mismo fue saldado mediante el pago de 89,659.90. Use año comercial.SOLUCIÓN:P 79,300.00j 37.8%8S 89,659.90m 360i 37.8/360 0.105% diarion ?fecha ?Una tasa del 1.5% mensual equivale a una tasa nominal o tasa anual del 18%.7
Tulio A. Mateo DuvalInterés CompuestoSustituyendo los valores conocidos en la fórmula [12], se obtiene:n t lo g ( 89,659 .90 79,300 )9 117 díaslo g (1 0.00105 )Como el número de orden para la fecha 14 de mayo es–»134 (ver TABLA) 117251 –» Este es el número de orden de lafecha buscada. En la TABLA se ubica ese número, obteniéndose la fecha: 8 de septiembre. Ejemplo 15¿En cuánto tiempo (a/m/d) un capital se aumenta en un 50%, si el dinero se invierte al 15% anual capitalizablequincenalmente?SOLUCIÓN:P 100.00(VALOR ASUMIDO. PODEMOS ASUMIR CUALQUIER VALOR PARA “P” )S 100 (1 0.50) 150.00j 15%m 24i 15/24 0.625% quincenaln ?t ?Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [12], se obtiene:n lo g ( 150 100 ) 65.07693933 quincenaslo g (1 0.00625 )Para el cálculo del tiempo (años) se utiliza la fórmula [4]:t ( años ) 65.07693933 2.711539139 años24 2.000000000 años completos0.711539139 años 128.538469664 meses 8.000000000 meses completos0.538469664 meses 3016.15408992 díasRESP.: 2 años98 meses 16 díasAquí se da la igualdad “ n t (días) ” debido a que el tiempo viene dado en días y la frecuencia de capitalización “m” es igual a 360.8
Tulio A. Mateo DuvalInterés Compuesto Ejemplo 16¿Qué tasa compuesta capitalizable mensualmente le fue cargada a una deuda de 88,500.00, si al cabo de unaño y medio fue cancelada pagando la suma de 138,029.80?SOLUCIÓN:P 88,500.00j ?S 138,029.80m 12t 1.5 añosn 1.5 12 18 mesesSustituyendo los valores conocidos en la fórmula [14], se obtiene: j 12 18 138 , 029 . 80 88 , 500 1 0 . 30 30 % Ejemplo 17¿Cuál sería la tasa de rendimiento anual convertible trimestralmente que obtendría un inversionista si deposita 370,900.00 con la garantía de que en 15 meses alcanzaría la suma de 442,645.00?SOLUCIÓN:P 370,900.00S 442,645.00t 15 mesesj ?m 4n 15 4 5 trimestres12Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [14], se obtiene: j 4 5 442 , 645 370 , 900 1 0 . 144 14 . 4 % Ejemplo 18¿A qué tasa compuesta convertible semanalmente se aumenta en un 40% una inversión realizada a 2 años deplazo?SOLUCIÓN:P 100.00(VALOR ASUMIDO. PODEMOS ASUMIR CUALQUIER VALOR PARA “P” )S 100 (1 0.40) 140.00j ?m 52t 2 añosn 2 52 104 semanasSustituyendo los valores conocidos en la fórmula [14], se obtiene: 140 j 52 104 1 0 . 1685 16 . 85 % 100 9
Tulio A. Mateo Duval5.Interés CompuestoEQUIVALENCIA ENTRE TASA DETASA DE INTERÉS COMPUESTOINTERÉSSIMPLEYSe dice que una tasa de interés simple y una tasa de interés compuesto son equivalentes si al invertir doscapitales iguales, uno de ellos a la tasa de interés simple y el otro a la tasa de interés compuesto, alcanzan igual montoal cabo del mismo periodo de tiempo.Si se invierte un capital " P " a una tasa de interés simple anual " i s " y por un tiempo (en años) " t " , el monto" S s " resultante se obtiene mediante la fórmula:(A)S s P (1 i s t )Por otro lado, si se invierte el mismo capital " P " a una tasa anual " j " capitalizable " m " veces por año, esdecir, a una tasa de interés por periodo " i " (i j m ) , por un número de periodos " n " [ n t ( años ) m ] , el monto " S c "alcanzado se obtiene mediante la fórmula:S c P (1 i ) n(B )P (1 i s t ) P (1 i ) nIgualando ( A ) y (B ) , se tiene:(C )Dividiendo ambos miembros entre " P " y despejando a " i s " , se obtiene la fórmula que permite hallar una tasa deinterés simple anual equivalente a una tasa de interés compuesto conocida:is [ (1 i ) n 1]t[15]Igualmente si en la igualdad (C ) se dividen ambos miembros entre " P " y se despeja la tasa de interés porperiodo " i " , se obtiene la fórmula i n(1 i s t ) 1Luego, la tasa de interés compuesto " j " equivalente a una tasa de interés simple conocida se obtiene almultiplicar el valor obtenido de “i” por la frecuencia de capitalización “m”:j m[n(1 i s t ) 1][16] Ejemplo 19¿Qué tasa de interés simple anual es equivalente al 11.2% anual convertible trimestralmente para un plazo de 5años?SOLUCIÓN:j 11.2%m 4n 5 4 20 trimestresi 11.2/4 2.8% trimestralis ?t 5 añosSustituyendo los valores conocidos en la fórmula [15], se obtiene:is [ (1 0.028 ) 20 1] 0.14745 14.745%510
Tulio A. Mateo DuvalInterés Compuesto Ejemplo 20¿Qué tasa compuesta capitalizable mensualmente
En las transacciones financieras efectuadas a interés simple el capital permanece constante durante todo el . el interés generado es agregado al capital, formando cada vez un nuevo capital. En este caso, se dice que el interés es capitalizable o convertible en capital y, en consecuencia, también gana interés. Si los
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