STATISTIKA 5. Predavanje

STATISTIKA5. predavanjeDoc.dr. Tadeja Kraner Šumenjak

PORAZDELITVE VZORČNIHSTATISTIK Imejmo vzorec velikosti n. Na tem vzorcu imaspremenljivka X vrednosti: x1, x2, , xn.Vzorčna statistika je poljubna funkcijavzorčnih vrednosti f(x1, x2, , xn). Poznamo velikovzorčnih statistik: kvantili, mere sredine, merevariabilnosti.Nekatere vzorčne statistike so zelo pomembne.

X je številska statistična spremenljivka, za katero stanajpomembnejši vzorčni statistiki:Vzorčna aritmetična sredina: x1nnxii 1Vzorčni standardni odklon:s1n 1inxi2 ( x) 21nn 1

Če za X privzamemo normalno porazdelitevN(M, ), je x ocena za M, s pa ocena za σ. Tospoznanje posreduje matematična statistika.Posebno vlogo pri statističnem sklepanju ima zstatistikax Mzn in t-statistika, ki je znana pod imenomStudentova statistikatx Msn

Spomnimo se populacije vseh vzorcev velikosti n,vemo da je ta številka lahko ogromna. Na vsakemod teh vzorcev ima vzorčna statistika svojovrednost.Vzorčni statistiki u priredimo slučajnospremenljivko U, njeno poznavanje je potrebnoza sklepanje iz vzorca na populacijo.Pogledali bomo verjetnostno porazdelitev zanekaj najpomembnejših vzorčnih statistik.

Porazdelitev vzorčnih aritmetičnihsredin IZREKČe je slučajna spremenljivka X na populacijiporazdeljena N(M,σ), potem je slučajnaspremenljivka X na populaciji vseh vzorcevvelikosti n porazdeljena N ( M , n ) .OPOMBA: ta izrek velja, ko gre za vzorčenje zvračanjem enot. Razlika pa je zanemarljiva,če jepopulacija zelo velika, zato v praksi ne ločujemo.

Izrek nam pove, da so tudi aritmetične sredine vzorcevz n elementi porazdeljene normalno. Ob tem staaritmetična sredina osnovne množice in aritmetičnasredina aritmetičnih sredin vzorcev enaki. Standardniodklon porazdelitve aritmetičnih sredin je enakkvocientu standardnega odklona osnovne statističnemnožice in korena iz števila enot v vzorcu.

CENTRALNI LIMITNI IZREKSlučajna spremenljivka X se pri velikih vzorcih porazdeljujepribližno normalno tudi tedaj, ko verjetnostna porazdelitevslučajne spremenljivke X na osnovni populaciji ni normalna.Centralni limitni izrek lahko uporabimo v praksi, če je velikostvzorca večja od 30.

Primer Psihologi trdijo, da je v populaciji IQ porazdeljen normalnoN(100,15).Tvorimo vzorce velikosti 4. Potem velja IQN (100,7,5).115 100) P( Z 2) 0,02287,52,3% vzorcev velikosti 4 ima vzorčno aritmetično sredino nad 115.P( IQ 115)P( ZTvorimo vzorce velikosti 25 in si zastavimo enako vprašanje.

Primer Iz populacije, ki je normalno porazdeljena M 50 in σ 10 sovzorčili vzorce velikosti n 25. Pri kolikšnem odstotku vzorcevlahko pričakujemo vrednosti aritmetičnih sredin med 48,2 in51,7? V katerih mejah je 90 % vseh vrednosti?

Porazdelitev t-statistikSpoznali smo že dejstvo: če je XPosledično je spremenljivka Z N ( M , ), je XX MN (M ,N (0,1).nČe poznamo oba parametra normalne porazdelitve M inizračunamo x in nato vrednost z-statistike:Z x Mn.n)., iz vzorca velikosti n

Angleški statistik W. Gosset, znan pod psevdonimom Student,je v izrazu za z nadomestil parameter z njegovo vzorčnooceno s in tako opredelil t -statistiko:x Mt.snUgotovil je, da se pri majhnih vzorcih verjetnostna porazdelitevt-statistike bistveno loči od standardizirane normalne porazdelitve,pri velikih vzorcih pa je ta porazdelitev zelo blizu standardiziranenormalne porazdelitve.

IzrekNa populaciji vzorcev velikosti n je slučajna spremenljivkaTXMSnporazdeljena po Studentovi porazdelitvi z n-1 prostostnimi stopnjami.Zapišemo Tt ( SPn 1).

Lastnosti Gostota verjetnosti za t-porazdelitev je po oblikipodobna gostoti verjetnosti za N(0,1). Funkcija jezvezna, definirana na celotni realni osi. Jesimetrična okoli 0.Parameter imenujemo stopnje prostosti, kidoločajo njeno obliko.V limiti je Studentova porazdelitev enakastandardizirani normalni porazdelitvi.

Porazdelitev vzorčnih variancNaj bo XN ( M , ). Zamislimo si, da na vsakem vzorcuvelikosti n izračunamo vzorčno varianco s 2 :s21n( xix) 2 .n 1i1Vsak vzorec generira svojo vrednost. Tem vrednostimpriredimo slučajno spremenljivko S2 . Zanima nas njenaverjetnostna porazdelitev.

Izrek Slučajna spremenljivka X je porazdeljena normalnos povprečno vrednostjo M in standardnim odklonomσ. Na populaciji vzorcev velikosti n je porazdelitev zaS2 podana s -porazdelitvijo z n-1 prostostnimistopnjami:2n 12S22(SPn 1)

LastnostiJe zvezna porazdelitev, definirana na pozitivnemdelu realne osi. Stopnje prostosti določajo obliko porazdelitve. ZaSP 1 in SP 2 ima posebno obliko. Ko je SP majhno število, je porazdelitevasimetrična v desno, ko se SP povečuje, seasimetrija zmanjšuje. S povečevanjem SP(gre proti neskončno), postajačedalje bolj podobna normalni porazdelitviN(SP,SP0.5).

F-porazdelitevNaj bosta X in Y neodvisni spremenljivki. Če jespremenljivka X porazdeljena po zakonuspremenljivka Y porazdeljena po zakonu2(m) in2(n),je slučajna spremenljivkaZnXmYporazdeljena po zakonu F(m, n).Porazdelitev F(m, n) je določena z dvema prostostnimastopnjama m in n.

OCENJEVANJE PARAMETROV-OCENJEVANJEARITMETIČNE SREDINESpomnimo se:

Glivenkov izrek: Porazdelitvena funkcija vzorcaz naraščanjem števila enot v vzorcu z verjetnostjo1 konvergira k porazdelitveni funkciji osnovnestatistične množice.Navedeni izrek nam pove, da čim večje je število enot vvzorcu, bolj je frekvenčna porazdelitev vzorca podobnafrekvenčni porazdelitvi osnovne statistične množice.Zato se bosta pri dovolj velikem številu enot v vzorcu (nje vsaj 100) aritmetična sredina in standardni odklonvzorca le malo razlikovala od aritmetične sredine instandardnega odklona celotne množice.

S pomočjo dosedanjih ugotovitev določimo z vzorcem nenot aritmetično sredino osnovne statistične množice.To lahko naredimo na dva načina in sicer na osnovi: točkovne ocene intervalne ocene Za točkovno oceno je zaželena nepristranskost.Ocena je nepristranska, če je povprečje vseh vzorčnihocen enako ocenjevanemu parametru. Zato jex je nepristranska ocena za Ms je nepristranska ocena za

Intervalna ocena parametra Intervalna ocena parametra je t.i. interval zaupanja. To jeslučajni interval, vezan na pripadajoči slučajni vzorec.V našem primerubo to M.Definicija:Naj označuje parameter, ki ga ocenjujemo, vrednostje vnaprej predpisana verjetnost, 0 1. Interval (L1 , L2 )imenujemo interval zaupanja za parameter , če velja:P(L1 L2 ) 1.

Komentar Standardne vrednosti, ki jih uporabljamo zaverjetnost α, so: 0,05, 0,01 ali 0,001. Verjetnost1- α imenujemo zaupanje. Običajno zaupanjeizražamo v %, govorimo npr. o 95% zaupanju.L1 oz. L2 je spodnja oz. zgornja meja intervalazaupanja, L1 oz. L2 sta slučajni spremenljivki.Pri vsakem vzorcu imata drugo vrednost. Vsakslučajni vzorec generira svoj intervalzaupanja (l1,l2).

V populaciji vseh vzorcev velikosti n je odstotekintervalov, ki vsebujejo parameter Θ, enak100(1-α).Za posamezni interval zaupanja ne vemo, ali jeparameter Θ vsebovan v tem intervalu ali ne.Trdimo lahko, da je ta interval z verjetnostjo (1-α)eden tistih, ki vsebujejo parameter Θ.

INTERVAL ZAUPANJA ZA POVPREČNOVREDNOSTLočimo: Osnovna statistična množica porazdeljenanormalno po zakonu N(M, ) in je znana.Osnovna statistična množica porazdeljenanormalno po zakonu N(M, ) inni znana.Veliki vzorci.

N(M, ) inje znana Ta situacija v praksi le redko nastopa, vendar jezaradi konstrukcije intervala zaupanja najlažja. Izpeljava temeljiSpoznali smo že dejstvo: če je XPosledično je spremenljivka Z N ( M , ), je XX MN (M ,n).N (0,1).nP( zZ2z ) 12Z 1,96 pri 5% tveganju

Širino tega intervala lahko zapišemo z obrazcem:xz2nMxz2n

0.40.350.3Porazdelitev aritmetičnih sredinvzorcev.0.250.2p(x)0.15Pri 5 % tveganju ena osenčena površina0,025-ti del celotne površine.0.10.050xStopnjatveganja5%1%0,01 %Delež v celotni populacijiobeh osenčenih samo enega osenčenegadelovdela0,050,0250,010,0050,0010,0005

Če iščemo 95% interval zaupanja za aritmetičnosredino populacije, tedaj s pomočjo tabel zastandardizirano normalno porazdelitev, določimovrednost za Z tako, da bo veljalo:H(Z) 0,475Z 1,96Interval je z verjetnostjo 0,95 eden tistih, ki vsebujepovprečno vrednost celotne populacije.x 1,96nMx 1,96n5% tveganje

Če iščemo 99% interval zaupanja za aritmetičnosredino populacije, tedaj s pomočjo tabel zastandardizirano normalno porazdelitev, določimovrednost za Z tako, da bo veljalo:H(Z) 0,495Z 2,58x 2,58nMx 2,58pri 1% tveganjun

Če iščemo 99,9% interval zaupanja za aritmetičnosredino populacije, tedaj s pomočjo tabel zastandardizirano normalno porazdelitev, določimovrednost za Z tako, da bo veljalo:H(Z) 0,4995Z 3,29x 3,29nMx 3,29pri 0,1% tveganjun

Primer Izračunajmo 90% in 95% interval zaupanja zapovprečno maso zdravila v stekleničkah, pri čemerje1, n 9 in x 10,5.

N(M, ) in ni znanaStandardni odklon ni podan, ampak ga ocenimoiz podatkov. Interval zaupanja izpeljemo enakokot pod prvo točko, le da standardiziranonormalno porazdelitev nadomesti Studentovaporazdelitev z n-1 prostostnimi stopnjami:x t2snMOdčitaš pri (n-1) prostostnihstopnjah.x t2sn

Veliki vzorci Če so vzorci tako veliki, da velja centralni limitniizrek, izračunamo interval zaupanja zapovprečno vrednost takolexz2snMxz2sn

PRIMER Denimo, da želimo ugotoviti, s 5 % tveganjem,povprečno maso 21 dni starih piščancev. V tanamen smo, namesto vseh piščancev, stehtalivzorec 105 piščancev in dobili frekvenčnoporazdelitev mas prikazano v preglednici:Masa piščancev (g)nad 550 do 580nad 580 do 610nad 610 do 640nad 640 do 670nad 670 do 700nad 700 do 730nad 730 do 760nad 760 do 790nad 790 do 820Število piščancev2881816202085

Masa piščancev (g)fkxkfkxknad 550 do 580nad 580 do 610nad 610 do 640nad 640 do 670nad 670 do 700nad 700 do 730nad 730 do 760nad 760 do 790nad 790 do 65105695,86x1nf k xks21nf k xkss257,95snM695,86 1,9657,95105x 1,962x251195825695,862105x 1,96Mfk 5004805000324012551195825sn695,86 1,9657,951053358,15

Primer Izračunajmo 95% in 99% interval zaupanja zapovprečno oceno na kolokviju.Dani so rezultati za vzorec:12,45,23, 67, 68,90, 34,0, 45,77.

Primer Z vzorcem 150 zabojev smo dobili naslednje podatke:% gnilega sadjado 1nad 1 do 3nad 3 do 6nad 6 do 10nad 10 do 15 število zabojev594326175Z 1 % tveganjem ocenite povprečni procent gnilega sadja vosnovni množici. Pri tem predpostavite, da je standardniodklon osnovne množice enak standardnemu odklonuvzorca. Nalogo rešite tudi brez te predpostavke. Narišiteše gornjo frekvenčno porazdelitev!

SKLEPINa širino intervala vpliva:-zaupanje-variabilnost proučevane spremenljivke, ki joizraža s-število enot v vzorcu Če želimo, da se širina prepolovi moramo, moramozvečati število enot v vzorcu vsaj za 4-krat.V izrazu za odklon je izraz snStandardnanapaka ocene.

PARAMETRIČNI PREIZKUSI ZNAČILNOSTIParametrični preizkusi značilnosti sonamenjeni testiranju parametričnih hipotez,to je domnev o vrednosti neznanih parametrovstatistične spremenljivke X. Na primer pravilomatestiramo ničelno hipotezo H0, ki pravi, da jeparameter q q0, proti alternativni hipotezi H1, kipravi q q0 , na stopnji značilnosti testa α. Naosnovi tega pri preizkusu značilnosti ničelnohipotezo H0: bodisi zavrnemo, bodisi ne zavrnemo.

V prvem primeru rečemo, da med hipotetičnimiin eksperimentalnimi podatki obstaja značilnarazlika (ali razlika je signifikantna) in hipotezoH0 zavrnemo.V drugem primeru pa razlika med hipotetičnimiin eksperimentalnimi vrednostmi ni značilna oz.ni statistično pomembna, zato hipoteze H0 nezavrnemo.Pri testu značilnosti lahko naredimo samo t.i.napako prve vrste, to pomeni, da smo zavrnilipravilno hipotezo H0. Verjetnost za to napako jepredpisana, s stopnjo značilnosti α in znašaobičajno 0,05 ali 0,01.

ZAPOMNI SI:Pri preizkusu značilnosti H0 proti H1 , ničelnohipotezo H0 ali zavrnemo (torej sprejmemo H1) ali onjej ne odločimo!