Traitement Du Signal - Signaux Aléatoires

Traitement du Signal - Signaux AléatoiresJean-Yves Tourneret(1)(1) Université of Toulouse, ENSEEIHT-IRIT-TéSAThème 1 : Analyse et Synthèse de l’Informationjyt@n7.frCours Traitement du Signal, 2EEEA, 2019-2020 – p. 1/96

BibliographieJ. Max et J.-L. Lacoume, Méthodes et techniques detraitement du signal, Dunod, 5ème édition, 2004.Athanasios Papoulis and S. Unnikrishna Pillai, Probability,Random Variable and Stochastic Processes, McGraw HillHigher Education, 4th edition, 2002.Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2019-2020 – p. 2/96

Plan du coursChapitre 1 : Corrélations et SpectresTransformée de FourierClasses de signaux déterministes et aléatoiresPropriétés de Rx (τ ) et de sx (f )Chapitre 2 : Filtrage LinéaireChapitre 3 : ÉchantillonnageChapitre 4 : Traitements Non-linéairesChapitre 5 : Processus de PoissonChapitre 6 : Signaux des télécommunicationsCours Traitement du Signal, 2EEEA, 2019-2020 – p. 3/96

Transformée de FourierDéfinitionsFormule directeX(f ) Zx(t) exp ( j2πf t) dtZX(f ) exp (j2πf t) dfRFormule inversex(t) RHypothèsesTF sur L1 ou L2Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2019-2020 – p. 4/96

PropriétésLinéaritéTF [ax(t) by(t)] aX(f ) bY (f )Paritéx(t) réelle paire X(f ) réelle paireTranslation et ModulationTF [x(t t0 )] exp( j2πf t0 )X(f )TF [x(t) exp(j2πf0 t)] X(f f0 )Similitude 1fTF [x(at)] X a aCours Traitement du Signal, 2EEEA, 2019-2020 – p. 5/96

PropriétésProduits de ConvolutionTF [x(t) y(t)] X(f )Y (f )TF [x(t)y(t)] X(f ) Y (f )Égalite de ParsevalZZx(t)y (t)dt X(f )Y (f )dfRRConjugaisonTF [x (t)] X ( f )Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2019-2020 – p. 6/96

DistributionsLocalisationx(t)δ(t t0 ) x(t0 )δ(t t0 )Produit de Convolutionx(t) δ(t t0 ) x(t t0 )Transformées de FourierTF [δ(t)] 1, TF [1] δ(f )TF [δ(t t0 )] exp( j2πf t0 ), TF [exp(j2πf0 t)] δ(f f0 )Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2019-2020 – p. 7/96

Plan du coursChapitre 1 : Corrélations et SpectresTransformée de FourierClasses de signaux déterministes et aléatoiresPropriétés de Rx (τ ) et de sx (f )Chapitre 2 : Filtrage LinéaireChapitre 3 : ÉchantillonnageChapitre 4 : Traitements Non-linéairesChapitre 5 : Processus de PoissonChapitre 6 : Signaux des télécommunicationsCours Traitement du Signal, 2EEEA, 2019-2020 – p. 8/96

Classes de signaux déterministes et aléatoiresClasse 1 : signaux déterministes à énergie finieClasse 2 : signaux déterministes périodiques àpuissance finieClasse 3 : signaux déterministes non périodiques àpuissance finieClasse 4 : signaux aléatoires stationnairesCours Traitement du Signal, 2EEEA, 2019-2020 – p. 9/96

Signaux déterministes à énergie finieDéfinition E RR x(t) 2 dt R2 df X(f) RFonction d’autocorrélationZRx (τ ) x(t)x (t τ )dt hx(t), x(t τ )iRFonction d’intercorrélationZRxy (τ ) x(t)y (t τ )dt hx(t), y(t τ )iRProduit scalairehx(t), y(t)i Zx(t)y (t)dtRCours Traitement du Signal, 2EEEA, 2019-2020 – p. 10/96

Densité spectrale d’énergieDéfinitionsx (f ) TF [Rx (τ )]Propriété2sx (f ) X(f ) Preuvesx (f ) Z Z x(t)x (t τ )dt exp( j2πf τ )dτRR Z Z x (t τ ) exp( j2πf τ )dτ x(t)dtRR Z Z x (u) exp [j2πf (u t)] du x(t)dtR R X (f )X(f )Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2019-2020 – p. 11/96

ExempleFenêtre rectangulairex(t) ΠT (t) (1 si T2 t 0 sinonT2Fonction d’autocorrélationRx (τ ) T ΛT (τ )Densité spectrale d’énergiesx (f ) T 2 sinc2 (πT f ) X(f ) 2Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2019-2020 – p. 12/96

Signaux déterministes périodiquesDéfinition P 1T0R T0 /22 dt x(t) T0 /2Fonction d’autocorrélationZ T0 /21x(t)x (t τ )dt hx(t), x(t τ )iRx (τ ) T0 T0 /2Fonction d’intercorrélationZ T0 /21Rxy (τ ) x(t)y (t τ )dt hx(t), y(t τ )iT0 T0 /2Produit scalaire1hx(t), y(t)i T0ZT0 /2x(t)y (t)dt T0 /2Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2019-2020 – p. 13/96

Densité spectrale de puissanceDéfinitionsx (f ) TF [Rx (τ )]Propriétésx (f ) avec x(t) PreuveX ck 2 δ(f kf0 )k ZPk Z ckexp(j2πkf0 t)."X1 Rx (τ ) ck cl exp (j2πlf0 τ )T0k,lX ck 2 exp(j2πkf0 τ )kZT0 /2exp [j2π(k l)f0 t] dt T0 /2#Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2019-2020 – p. 14/96

ExempleSinusoïdex(t) A cos(2πf0 t)Fonction d’autocorrélationA2Rx (τ ) cos(2πf0 τ )2Densité spectrale de puissanceA2sx (f ) [δ(f f0 ) δ(f f0 )]4Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2019-2020 – p. 15/96

Signaux déterministes à puissance finieDéfinition P lim T1T R T /22 dt x(t) T /2Fonction d’autocorrélationZ T /21Rx (τ ) limx(t)x (t τ )dt hx(t), x(t τ )iT T T /2Fonction d’intercorrélationZ T /21Rxy (τ ) limx(t)y (t τ )dt hx(t), y(t τ )iT T T /2Produit scalaire1hx(t), y(t)i limT TZT /2x(t)y (t)dt T /2Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2019-2020 – p. 16/96

Densité spectrale de puissanceDéfinitionsx (f ) TF [Rx (τ )]Propriété1sx (f ) lim XT (f ) 2T TavecXT (f ) ExempleZT /2x(t) exp( j2πf t)dt T /2x(t) A1 cos(2πf1 t) A2 cos(2πf2 t)avec f1 et f2 non commensurables.Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2019-2020 – p. 17/96

Signaux aléatoires stationnairesDéfinitionMoyenne : E[x(t)] indépendant de tMoment d’ordre 2 : E[x(t)x (t τ )] indépendant de tFonction d’autocorrélationRx (τ ) E[x(t)x (t τ )] hx(t), x(t τ )iFonction d’intercorrélationE[x(t)y (t τ )] hx(t), y(t τ )iProduit scalairehx(t), y(t)i E[x(t)y (t)]Remarques : stationnarité au sens strict, large, à l’ordre deux, tests de stationnarité.Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2019-2020 – p. 18/96

Densité spectrale de puissancePuissance moyenne 2P Rx (0) E x(t) Zsx (f )dfRDensité spectrale de puissanceDéfinitionsx (f ) TF [Rx (τ )]Propriétéi1 hsx (f ) lim E XT (f ) 2T Tmais en général X(f ) n’existe pas !Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2019-2020 – p. 19/96

ExemplesExemple 1 : Sinusoïdex(t) A cos(2πf0 t θ)θ va uniforme sur [0, 2π].Fonction d’autocorrélationA2Rx (τ ) cos(2πf0 τ )2Densité spectrale de puissanceA2sx (f ) [δ(f f0 ) δ(f f0 )]4Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2019-2020 – p. 20/96

ExemplesExemple 2 : Bruit blancFonction d’autocorrélationN0δ(τ )Rx (τ ) 2Densité spectrale de puissanceN0sx (f ) 2Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2019-2020 – p. 21/96

Plan du coursChapitre 1 : Corrélations et SpectresTransformée de FourierClasses de signaux déterministes et aléatoiresPropriétés de Rx (τ ) et de sx (f )Chapitre 2 : Filtrage LinéaireChapitre 3 : ÉchantillonnageChapitre 4 : Traitements Non-linéairesChapitre 5 : Processus de PoissonChapitre 6 : Signaux des télécommunicationsCours Traitement du Signal, 2EEEA, 2019-2020 – p. 22/96

Propriétés de Rx(τ )Symétrie Hermitienne : Rx ( τ ) Rx (τ )Valeur maximale : Rx (τ ) Rx (0)Distance entre x(t) et x(t τ ) : si x(t) est un signal réeld2 [x(t), x(t τ )] 2 [Rx (0) Rx (τ )]Donc Rx (τ ) mesure le lien entre x(t) et x(t τ ).Décomposition de Lebesgue : dans la quasi-totalité desapplications, on aRx (τ ) R1 (τ ) R2 (τ )où R1 (τ ) est une somme de fonctions périodiques etR2 (τ ) tend vers 0 lorsque τ .Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2019-2020 – p. 23/96

Propriétés de sx(f )DSP réellesx (f ) RDe plus, si x(t) signal réel, sx (f ) réelle pairePositivité : sx (f ) 0Lien entre DSP et puissance/énergieZP ou E Rx (0) sx (f )dfRDécomposition de Lebesgue : dans la quasi-totalité desapplications, on a sx (f ) s1 (f ) s2 (f ), où s1 (f ) est unspectre de raies et s2 (f ) un spectre continu (casgénéral : partie singulière).Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2019-2020 – p. 24/96

Que faut-il savoir ?Reconnaître si un signal est à énergie finie, àpuissance finie périodique ou aléatoire.Qu’est ce qu’un signal aléatoire stationnaire ?Les différentes définitions d’une fonctiond’autocorrélation Rx (τ )La définition unifiée d’une densité spectrale : sx (f ) ?Les différentes définitions d’une densité spectraleCe qu’est un bruit blancCe qu’est un bruit gaussienPropriétés de Rx (τ )Propriétés de sx (f )Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2019-2020 – p. 25/96

Plan du coursChapitre 1 : Corrélations et SpectresChapitre 2 : Filtrage LinéaireIntroductionRelations de Wiener-LeeFormule des interférencesExemplesChapitre 3 : ÉchantillonnageChapitre 4 : Traitements Non-linéairesChapitre 5 : Processus de PoissonChapitre 6 : Signaux des télécommunicationsCours Traitement du Signal, 2EEEA, 2019-2020 – p. 26/96

IntroductionOn cherche une opération avec les propriétés suivantesLinéarité : T [a1 x1 (t) a2 x2 (t)] a1 T [x1 (t)] a2 T [x2 (t)]Invariance dans le tempsSi y(t) T [x(t)] alors T [x(t t0 )] y(t t0 )Stabilité BIBOSi x(t) Mx alors il existe My tel que y(t) T [x(t)] My“Limitation” du spectre d’un signal Convolutiony(t) x(t) h(t) Zx(u)h(t u)du h(t) x(t)RCours Traitement du Signal, 2EEEA, 2019-2020 – p. 27/96

ECG avant filtrageCours Traitement du Signal, 2EEEA, 2019-2020 – p. 28/96

ECG après filtrageCours Traitement du Signal, 2EEEA, 2019-2020 – p. 29/96

CommentairesLa linéarité ne suffit pas. Contre-exempley(t) m(t)x(t)CNS de Stabilité BIBOZ h(t) dt , i.e., h L1RRéponse impulsionnelle et TransmittanceZH(f ) TF [h(t)] h(t) exp( j2πf t)dtRSi x(t) δ(t) alors y(t) h(t). Ceci permet d’obtenir laseule réponse impulsionnelle possible.Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2019-2020 – p. 30/96

Réalisabilité d’un filtreDomaine temporel(1) h(t) réelle(2) h(t) L1 (stabilité)(3) h(t) causale (filtre sans mémoire)Domaine spectral(1) Symétrie hermitienne : H ( f ) H(f )(2) ne peut se traduiree ), où H(fe ) H(f ) 1 est la(3) H(f ) j H(fπftransformée de Hilbert de H (preuve dans le coursmanuscrit).Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2019-2020 – p. 31/96

Écriture équivalenteEn écrivant H(f ) Hr (f ) jHi (f ), on obtient1Hr (f ) Hi (f ) πf1Hi (f ) Hr (f ) πfCours Traitement du Signal, 2EEEA, 2019-2020 – p. 32/96

Identifier une relation de filtrage linéaireSignaux déterministesy(t) x(t) h(t) Y (f ) X(f )H(f )Signaux aléatoires : Isométrie fondamentaleIISi x(t) ej2πf t , alors y(t) ej2πf t H(f )ExemplesPny(t) k 1 ak x(t tk )y(t) x′ (t)y(t) x(t)m(t)Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2019-2020 – p. 33/96

Plan du coursChapitre 1 : Corrélations et SpectresChapitre 2 : Filtrage LinéaireIntroductionRelations de Wiener-LeeFormule des interférencesExemplesChapitre 3 : ÉchantillonnageChapitre 4 : Traitements Non-linéairesChapitre 5 : Processus de PoissonChapitre 6 : Signaux des télécommunicationsCours Traitement du Signal, 2EEEA, 2019-2020 – p. 34/96

Relations de Wiener LeeDensité spectrale de puissancesy (f ) sx (f ) H(f ) 2IntercorrélationRyx (τ ) Rx (τ ) h(τ )AutocorrélationRy (τ ) Rx (τ ) h(τ ) h ( τ )Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2019-2020 – p. 35/96

Preuves (signaux à énergie finie)Densité spectrale de puissancesy (f ) Y (f ) 2 X(f )H(f ) 2 sx (f ) H(f ) 2IntercorrélationZRyx (τ ) y(u)x (u τ )duZR j2πf τ Y (f ) eX(f ) dfZR j2πf τ X(f )H(f ) eX (f ) dfZR sx (f )H(f )ej2πf τ df TF 1 [sx (f )H(f )] CQFDRCours Traitement du Signal, 2EEEA, 2019-2020 – p. 36/96

Preuve (signaux à puissance finie)Intercorrélation1Ryx (τ ) T0ZT0 /2 T0 /2ZT0 /2y(t)x (t τ )dt Z 1 h(v)x(t v)dv x (t τ )dtT0 T0 /2 R#" ZZT0 /21x(t v)x (t τ )dt dv h(v)T0 T0 /2RZ h(v)Rx (τ v)dv CQFDRetc .Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2019-2020 – p. 37/96

Preuves (signaux aléatoires)IntercorrélationRyx (τ ) E[y(t)x (t τ )] hy(t), x(t τ )i hej2πf t H(f ), ej2πf (t τ ) iZ ej2πf t H(f )e j2πf (t τ )sX (f )dfZR H(f )ej2πf τ sX (f )dfR h(τ ) Rx (τ )CQFDCours Traitement du Signal, 2EEEA, 2019-2020 – p. 38/96

Preuves (signaux aléatoires)AutocorrélationRy (τ ) E[y(t)y (t τ )] hy(t), y(t τ )i hej2πf t H(f ), ej2πf (t τ ) H(f )iZ ej2πf t H(f )e j2πf (t τ )H (f )sx (f )dfZR H(f ) 2 sx (f )ej2πf τ dfR 1 TF{sx (f ) H(f ) 2 } h(τ ) h ( τ ) Rx (τ )CQFDCours Traitement du Signal, 2EEEA, 2019-2020 – p. 39/96