Transformée De Fourier à Temps Continu

Transformée de Fourierà temps continuHugues GARNIERhugues.garnier@univ-lorraine.frTdS1H. Garnier

Organisation de l’UE de TdSI.IntroductionII. Analyse et traitement de signaux déterministes– Analyse de Fourier de signaux analogiques Signaux à temps continu Décomposition en série de Fourier Transformée de Fourier à temps continu– De l’analogique au numérique– Analyse de Fourier de signaux numériquesIII. Filtrage des signauxIV. Analyse et traitement de signaux aléatoiresTdS2H. Garnier

Objectifs à l’issue du cours sur la TFtc Etre capable de :– déterminer la transformée de Fourier à temps continu d’unsignal quelconque (périodique ou non)– d’en déduire les tracés des spectres d’amplitude et de phase– d’en déduire les tracés des densités spectrales d’énergie ou depuissance– de savoir exploiter les principales propriétés de la TFtc– d’interpréter les spectres en déduisant, par exemple, la bandede fréquences utilisée par le signalTdS3H. Garnier

Introduction L’observation d’un signal dans le domaine temporel estsouvent insuffisante pour réaliser l’analyse du signalð Analyse dans le domaine fréquentiel Dans le cas de signaux périodiques à temps continu, ladécomposition en série de Fourier permet de déduire unereprésentation fréquentielle Comment obtenir la représentation fréquentielle de signauxdéterministes quelconques (non périodiques) ?Nouvel outil mathématique :la Transformée de Fourier à temps continuTdS4H. Garnier

Définitions Transformée de Fourier à temps continu (TFtc)– Soit un signal à temps continu s(t) (non périodique)S(f) F s(t) ( ) s(t) e j2π ft dt – S(f) est la TFtc de s(t) ou encore le spectre de s(t)– La variable continue f représente la fréquence en Hz Transformée de Fourier inverse à temps continuConnaissant S(f), on peut revenir au signal s(t) à l'aide de latransformée de Fourier inverse à temps continu définie par :s(t ) F 1 S( f ) () S( f ) ej 2 π ftdf TdS5H. Garnier

Existence de la TFtc d’un signal Pour que l’intégrale impropre de la définition de la TFtc existe, ilfaut et il suffit que s(t) soit à support bornée (existence de duréefinie) : s(t ) dt Tous les signaux physiquement mesurés, qui ont une énergie finie,ont donc une TFtcs( t )Surface E (T)s2Es 2s(t ) dtP (T)s 0Tt En faisant appel à la théorie des distributions, on verra que tous lessignaux idéalisés : impulsion et peigne de Dirac, échelon, signauxpériodiques, , possèdent également une TFtc.TdS6H. Garnier

Spectres d’amplitude et de phaseA partir de la relation : e j 2 π ft cos(2 π ft ) j sin(2 π ft ) S( f ) s(t )e ( j 2 π ft dt )( s(t )cos( 2π ft )dt j s(t ) sin( 2π ft )dt ) Re S( f ) j Im S( f )S(f) est, en général, une fonction à valeurs complexes. La TFtc d’unsignal peut s’écrire sous une forme exponentielle :S(f) S(f) e jϕ ( f )Spectre d’amplitudeSpectre de phaseTdS(2)7(2) Im S( f ) ( ) ϕ ( f ) Arg (S( f )) Arc tan Re (S( f )) S( f ) Re S( f ) Im S( f )H. Garnier

Propriétés des spectres d’amplitude et de phase S(f) et ϕ(f) sont des fonctions de la variable f s'étendantde - à :– on parle de spectres bilatéraux S(f) et ϕ(f) sont des fonctions de la variable continue f :– on parle de spectres continus (en opposition avec les spectresde raies dans le cas de signaux périodiques) Si s(t) est à valeurs réelles :– S(f) est pair– ϕ(f) est impairTdS8H. Garnier

Exemple : TFtc d’un signal causal à décroissanceexponentielleDomaine temporels(t ) e αtDomaine fréquentielS( f ) u(t ) α 0S(f)1αe αtu(t)1j2 π f α(α 0 ici100tϕ(f)0 9π22π f2) α2fπ2TdS1S( f ) 2π f ϕ ( f ) Arc tan α fH. Garnier

Propriétés de la transformée de FourierSi la transformée de Fourier est devenue un outil privilégié pourl'analyse d'un signal, c'est en grande partie à ses propriétésmathématiques qu'elle le doit LinéaritéF (ax(t) by(t)) a X(f) b Y(f)– Cette propriété est fondamentale– Attention : toutes les transformées ou opérations ne possèdentpas cette propriété !Exemple le plus connu : X(f) Y(f) X(f) Y(f)TdS10H. Garnier

Propriétés de la transformée de Fourier Homothétie ou facteur d’échelle (a 0) f 1F x(at) X a a ()– Si a 1, x(at) est compressé sur l’axe des temps par rapport à x(t) etses spectres d’amplitude et de phase sont dilatés par rapport àceux de x(t)– Si a 1, x(at) est dilaté sur l’axe des temps par rapport à x(t) et sesspectres d’amplitude et de phase sont compressés par rapport àceux de x(t)voir exemples plus loinTdS11H. Garnier

Propriétés de la transformée de Fourier Théorème du retardF ( x(t-to )) e j2π tof X(f)()F x(t t0 ) X ( f )( (car e))( j 2 π t0 f 1)Arg F x(t t0 ) 2 π tof Arg X ( f )Une translation temporelle d’un signal ne modifie pas le spectred’amplitude mais seulement le spectre de phase du signalvoir exemple plus loinTdS12H. Garnier

Propriétés de la transformée de Fourier Théorème de convolution F ( x(t)*y(t)) X(f) Y(f)x(t)*y(t) . x(τ ) y(t τ )dτ- A un produit de convolution dans le domaine temporel correspondun produit simple dans le domaine fréquentielDualité temps-fréquenceF ( x(t) y(t)) X(f)*Y(f)A un produit simple dans le domaine temporel correspond unproduit de convolution dans le domaine fréquentiel Théorème très utile : échantillonnage, modulation d’amplitude, TdS13H. Garnier

Propriétés de la transformée de Fourier Théorème de modulation j 2 π fot F x(t )e X ( f fo ) F x(t) e j2π fot X (f-fo ) j 2 π fot Arg F x(t )e Arg X ( f fo ) ()La multiplication d’un signal par une fonction exponentiellecomplexe de fréquence fo ne modifie pas l’allure des spectresd’amplitude et de phase du signal ; ceux-ci sont simplementtranslatés de fo sur l’axe des fréquencesThéorème très utile dans le cadre des télécoms: modulation d’amplitudeTdS14H. Garnier

Propriétés de la transformée de Fourier Intégration par rapport au temps t F x( τ )d τ - X(f)j2π f Dérivation par rapport au temps n dx(t) F n dt TdS15( j2π f )nX(f)H. Garnier

Classification énergétique des signauxà temps continuSignaux à temps continuEnergie finieTdSEnergie infiniePuissance moyennenullePuissance moyennefinie (non nulle)Puissance moyenneinfinieSignaux physiquementmesurés ou transitoiresEchelon, constante,Signaux périodiques, .Signaux divergentsdans le temps16H. Garnier

Transformée de Fourierde signaux à énergie finie Les signaux à énergie finie satisfont :Es s( t )2Surface E (T)s2s(t ) dtP (T)s0TtCette condition implique que ces signaux sont à support borné (existencede durée finie) Tout signal à énergie finie possède donc une transformée deFourier qui peut s’écrire sous une forme exponentielle :S(f) s(t) e j2π ft dt S( f ) e jϕ ( f )spectre d’amplitudeϕ ( f ) Arg (S( f ))spectre de phaseTdSS( f )17H. Garnier

Exemple : TFtc d’une fenêtre rectangulaireDomaine temporelDomaine fréquentiel t s(t ) Arect T S( f ) ATsinc( fT )S(f)IATI t ARect T(t) Arect T A-2T-T20T21T02Tϕ(f)tπ-2TTdS-1TS( f ) AT sinc( fT )18-1T01T-π2Tfϕ ( f ) Arg (sinc( fT ))fH. Garnier

Illustration du théorème du retard : TFtc d’unefenêtre rectangulaire retardéeDomaine temporel t x(t ) Arect T y(t ) x(t to ) t t o Arect T ()F x(t t0 ) e0T2to-T2Y(f ) eIATI-2Tto t To2-1T j 2 π to fX(f )Y(f ) X(f )1T0f(1Tπ192T)()Arg Y ( f ) 2 π tof Arg X ( f )t-2TTdSX(f )X(f) Y(f)Arg(Y(f))-T2 j 2 π t0 fX ( f ) ATsinc( fT )y(t)x(t)ADomaine fréquentiel-1T0-π2TArg(X(f))fH. Garnier

Illustration du théorème de modulation : TFtc du produit d’unefenêtre rectangulaire par une exponentielle complexeDomaine temporelDomaine fréquentiel t x(t ) Arect T y(t ) x(t ) e j 2 π f0 t F x(t )e X ( f f0 ) j 2 π fotX ( f ) ATsinc( fT )x ( t ) y( t )X(f)A-T2T20t-2T-1TArg ( y ( t )) 2 πf o t0πArg ( x ( t )) 00)Y(f) X(f-fo)IATIArg(y( t ) ) 2πf o t Arg(x ( t ) )TdS(Y ( f ) X f fot-2T20-1T1T2T1T2T0-πfo-fo fo 1TfArg (Y(f)) Arg(X(f-fo))fo T1fo-Arg(X(f))1T1TfofH. Garnier

Illustration de la propriété de facteur d’échelleDomaine temporelDomaine fréquentiel1 f F x(at ) X a a IX(f) I IATI( t x(t) Arectx(t) Arect T (t) T )A-T2pcom0T2ionresstay(t ) x( 2t )A-T4dila-2Tt t y(t ) Arect y(t) A rectT/2 T(t) 2 T40t io n t z(t ) x 2 A-TTdS0Tt1T2TfY(f ) AT2-2T2T0IZ(f)I4T2 IATIsionpres-1T01T1 f X 2 2 f( )Z( f ) 2 X 2fcom-2T210I Y(f) Iontati-4Tt t z(t ) Arect z(t) A rect 2T 2T(t) dila-1T2TfH. Garnier

Densité temporelle d’énergie L’énergie d’un signal est définie par : ES 2s(t ) dt 2 La fonction s(t ) caractérise la répartition de l’énergie dans letemps, c’est une densité temporelle d’énergie.s( t )2Surface E (T)sP (T)sT0TdS22tH. Garnier

Densité Spectrale d’Energie (DSE) Par analogie avec la densité temporelle d’énergie, on définit ladensité spectrale d’énergie (DSE) d’un signal à énergie finie par : ΦS ( f ) F (φss ( τ )) φss ( τ )e j 2 π f τ d τ avec φss ( τ ) la fonction d’autocorrélation du signal à énergie finie : φss ( τ ) * s (t ) s(t τ )dt La DSE d’un signal à énergie finie est par définition la transforméede Fourier de la fonction d’auto-corrélation du signal On montre que dans le cas d’un signal à énergie finie :ΦS ( f ) S( f )TdS232H. Garnier

DSE d’un signal causalà décroissance exponentielleDomaine temporels(t ) e αtDomaine fréquentielS( f ) u(t ) α 01j2 π f αΦS ( f ) S( f )S(f)1α1S( f ) (100t) α2fΦs ( f ) 02422π fΦ s (f )1α2TdS21(2π f2) α2fH. Garnier

Exemple : DSE d’une fenêtre rectangulaireDomaine temporelDomaine fréquentiel t s(t ) Arect T S( f ) ATsinc( fT )ΦS ( f ) S( f )2S(f)IATIS( f ) AT sinc( fT ) t ARectArect T(t) T A-2T-T20T2( AT )t-2TTdS-1T25-1T01T2TfΦ s (f )22Φs ( f ) ( AT ) sinc 2 (Tf )01T2TfH. Garnier

Identité de Parseval Soit un signal à énergie finie, Parseval a montré l’identité : Es s(t ) 2 dt Φs ( f )df S( f ) 2 df Elle montre que l’énergie totale du signal peut se calculer soit enintégrant la distribution temporelle s(t ) 2 , soit en intégrant sadistribution fréquentielle ΦS ( f ) S( f ) t s(t )Rect Arect(t) AT T A Es 0( AT )s(t) 2 dt A2TΦ s (f )2 T sin c T2t Es 2(Tf )df 1 -T222 Φ (f)df A Ts-2T-1T01T2Tf TdS26H. Garnier

Classification énergétique des signauxà temps continuSignaux à temps continuEnergie finieTdSEnergie infiniePuissance moyennenullePuissance moyennefinie (non nulle)Puissance moyenneinfinieSignaux physiquementmesurés ou transitoiresEchelon, constante,Signaux périodiques, .Signaux divergentsdans le temps27H. Garnier

Transformée de Fourierde signaux à puissance moyenne finie Les signaux à puissance moyenne finie (énergie infinie) satisfont :10 Ps limT T T/2 T / 22s(t ) dt Ils constituent une idéalisation qui permet de modéliser les signauxcomme une constante, un échelon ou les signaux périodiques Les signaux à puissance moyenne finie ne satisfont pas les critèreshabituels d’existence de l’intégrale de Fourier La définition de la transformée de Fourier de signaux à puissancemoyenne finie fait appel à l’utilisation de l’impulsion de DiracTdS28H. Garnier

Transformée de Fourierde l’impulsion de Dirac D’après la propriété d’échantillonnage de l’impulsion de Dirac : δ(t )s(t to )dt s(t ) δ ( f ) F (δ (t )) t to s(to )δ (t )e j 2 π ft dt e j 2 π ft t to 0 1δ(t)δ (f)(0TdS)F δ (t ) 1110t29fH. Garnier

Transformée de Fourierd’une fonction exponentielle complexe TFtc d’une impulsion de Dirac retardée : j 2 π t0 fX(f )()théorème du retard j 2π t f j 2π t fδ( f ) 1F (δ (t to )) eδ( f ) eF x(t t0 ) eo(o)F δ (t to ) e j 2 π tof De la dualité temps-fréquence : j 2 π fot F e δ ( f fo ) ()si fo 0 F 1 δ ( f )TdS30H. Garnier

Transformée de Fourierd’une constantes(t ) C j 2 π fot F Ce Cδ ( f fo ) si fo 0 F C Cδ ( f ) t( )S(f)f ) C δ ( f )S(s(t)CC0 fUn signal constant peut être considéré comme la valeur moyennetemporelle d’un signal1s limT TTdS0t T2 s(t )dtT 2F( s ) s δ ( f )31H. Garnier