MATRIKS UNITER, SIMILARITAS UNITER DAN MATRIKS NORMAL Anis .

MATRIKS UNITER, SIMILARITAS UNITER DAN MATRIKS NORMALAnis Fitri LestariMahasiswa Universitas Muhammadiyah PonorogoABSTRAKMatriks normal merupakan matriks persegi yang entri-entrinya bilangan kompleks.Matriks normal merupakan perluasan dari matriks Hermit. Matriks Hermit sendiri ditemukan olehCharles Hermite (1822-1901), seorang ahli matematika berkebangsaan Perancis yang memberikonstribusi penting pada aljabar, teori matriks, dan berbagai cabang matematika analitik. Beberapamatriks yang termasuk matriks normal adalah matriks diagonal, matriks uniter, matriks Hermit danmatriks skew Hermit.Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui definisi dan sifat-sifat yang berkaitan denganmatriks uniter, similaritas uniter dan matriks normal. Untuk mengetahui hal tersebut, perlu dibahasmateri tentang matriks uniter, similaritas uniter dan matriks normal. Matriks uniter diperoleh darimatriks asal yaitu dengan cara mencari basis-basis dari vektor eigen yang saling ortogonal danortonormal. Apabila basis-basis tersebut belum ortogonal dan ortonormal, maka kita gunakanproses Gram Schmidt. Sehingga kita dapat membentuk matriks uniter dari basis-basis tersebut.Matriks uniter ini akan digunakan untuk mentransformasi matriks asal menjadi matriks segitigaatas. Sehingga matriks asal akan similar uniter dengan matriks segitiga atas, pernyataan ini dikenaldengan teorema Schur‟s. Jika matriks asal tersebut berupa matriks normal dan dengan prosestransformasi uniter menghasilkan matriks diagonal maka matriks tersebut dikatakan dapatdidiagonalisasi secara uniter.Hasil dari penelitian ini adalah diperoleh definisi dan sifat-sifat dari matriks uniter,similaritas uniter dan matriks normal yang dapat digunakan untuk mengetahui bahwa matriksnormal dapat didiagonalisasikan secara uniter. Pernyataan matriks normal dapat didigonalisasikansecara uniter telah dibuktikan pada teorema Spektral.Kata Kunci : Matriks Uniter, Similaritas uniter, Matriks normal.PENDAHULUANMatematika adalah salah satucabang ilmu pengetahuan yang abstrakdan banyak digunakan dalam kehidupansehari-hari. Salah satu cabang ilmumatematika yang sering kita pelajariadalah Aljabar Linear. Aljabar Linearmenjadi bagian penting dari matematikayangdibutuhkanolehparamatematikawan, guru matematika, ahlimesin, ahli komputer, fisika, ekonomi,statistik dan lain-lain.Salah satu tokoh matematika yangterkenal adalah Charles Hermite (1822-1901),seorang ahlimatematikaberkebangsaan Perancis yang memberikonstribusi penting pada aljabar, atelahmenemukan matriks yang disebutmatriks Hermit. Ia dikenal sebagai orangyang menggunakan integral untukmenyelesaikanpersamaanumumpolinomial berderajat lima. Ia jugamembuktikan bahwa bilangan 𝑒 (basisuntuk logaritma natural) adalah sebuahbilangan transenden, yaitu sebuahbilangan yang bukan merupakan akardari persamaan polinomial yang

koefisien-koefisiennya adalah bilanganrasional (Anton & Rorres, 2005).Di dalam aljabar linear dipelajaritentang berbagai macam matriks. Dimana setiap matriks tersebut memilikisifat-sifat dan kegunaan tertentu.Ditinjau dari entri bilangannya, matriksdibedakan menjadi dua yaitu matriksdengan entri bilangan real (misalnyamatriks nol, matriks identitas, matriksorthogonal real, matriks simetris danlain-lain) dan matriks dengan entribilangan kompleks (misalnya matriksnormal seperti matriks diagonal, matriksuniter, matriks Hermit dan matriks skewHermit).Ukuran suatu matriks dinyatakandalam jumlah baris (arah horizontal) dankolom (arah vertikal) yang dimilikinya.Ditinjau dari ukurannya matriks normalmerupakan matrikspersegi karenamemiliki ukuran 𝑛 𝑛. Sedangkanentri-entri dari matriks normal adalahbilangan kompleks. Dalam penelitianini, penulis akan membahas tentangmatriks normal. Matriks normal jugamempunyai banyak kegunaan dalambeberapa bidang ilmu lain sepertifotometri, makromolekular, graf danbidang lainnya. Salah satu matriksnormal yang akan digunakan dalampenelitian ini adalah matriks uniter.Dalam kasus ini, matriks uniterdigunakanuntukmentransformasimatriks asal menjadi matriks segitigaatas atau matriks diagonal. Sehinggamatriks asal akan similar uniter denganmatriks segitiga atas atau matriksdiagonal. Untuk mengetahui kepastiandari pernyataan tersebut, dibutuhkandefinisi dan sifat-sifat dari matriksuniter, similaritas uniter dan matriksnormal. Untuk itu, maka penulis inginmenulis skripsi mengenai MatriksUniter, Similaritas Uniter danMatriks Normal.maka dirumuskan pertanyaan penelitiansebagai berikut:RUMUSAN MASALAHPengumpulan data merupakansalah satu proses pengadaan data untukkeperluan penelitian. Pengumpulan dataadalah prosedur yang sistematis danstandar untuk memperoleh data yangBerdasarkanlatarbelakangmasalah yang telah diuraikan di atas,1. Apa definisi dan sifat-sifat yangberkaitan dengan matriks uniter?2. Apa definisi dan sifat-sifat yangberkaitan dengan similaritas uniter?3. Apa definisi dan sifat-sifat yangberkaitan dengan matriks normal?METODE PENELITIANMetode penelitian yang digunakandalam penulisan ini adalah penelitiankepustakaan atau riset kepustakaan(library research). Riset kepustakaanatau sering juga disebut studi pustakaialah serangkaian kegiatan yangberkenaan dengan metode pengumpulandata pustaka, membaca dan mencatatserta mengolah bahan penelitian. (Zed,2008: 3). Sedangkan menurut Nazirdalam bukunya yang berjudul „MetodePenelitian‟ mengemukakan bahwa yangdimaksud dengan Studi kepustakaanadalah teknik pengumpulan data denganmengadakan studi penelaahan terhadapbuku-buku, literatur-literatur, catatancatatan, dan laporan-laporan yang adahubungannya dengan masalah yangdipecahkan.Data yang diperlukan dalampenelitian ini adalah data yang bersifattekstual meliputi konsep tentang matriksuniter, similaritas uniter dan matriksnormal. Informasi untuk penelitian inidikumpulkan dari buku-buku acuanmengenai aljabar linear, jurnal-jurnaldan artikel di internet mengenai matriksuniter, similaritas uniter dan matriksnormal. Buku acuan utama yangdigunakan adalah Handbook of LinearAlgebra (2007), Matrix Analysis (1985)dan Aljabar Linear Elementer VersiAplikasi Edisi 8 (2005).

diperlukan. Untuk memperoleh data,penulis menggunakan langkah-langkahLibrary Research yaitu setiap penelitianmemerlukan bahan yang bersumber dariperpustakaan. Penulis menggunakanmetode dokumenter, yaitu mencari datamengenai hal-hal atau variabel yangberupa catatan, buku-buku, jurnalpenelitianyangrelevandenganpermasalahan yang penulis bahas.Adapun langkah-langkah yangdilakukan penulis dalam menganalisisdata adalah sebagai berikut:1. Mencari definisi dan sifat-sifat yangberkaitan dengan matriks uniter,similaritas uniter dan matriksnormal.2. Membuktikanteoremayangberkaitan dengan materi yangdibahas termasuk teorema Schur‟sdan teorema spektral.HASIL DAN PEMBAHASANDefinisi Matriks 𝑈 𝜖 𝑀𝑛 dikatakanuniter jika 𝑈 𝑈 𝐼. [ Jika 𝑈 𝜖 𝑀𝑛 (ℝ)dan 𝑈 𝑇 𝑈 𝐼, maka 𝑈 disebut matriksortogonal real.]matriksJawab :1Misal 𝑈 1 1 𝑖2 1𝑖𝑈 𝑈 1 21 2 21 1𝑖 𝑖1maka𝑈 1 𝑖 1 1 1.2 1 𝑖2 𝑖 𝑖1 𝑖 1.1 𝑖𝑖2 00 21 0 𝐼0 11 𝑖Teorema Jika𝑈 𝜖 𝑀𝑛 ,pernyataan berikut ekuivalen:makaa. 𝑈 matriks uniterb. 𝑈 matriks nonsingular dan 1𝑈 𝑈c. 𝑈𝑈 𝐼d. 𝑈 matriks unitere. Kolom dari matriks 𝑈 membentukhimpunan ortonormalf. Baris dari matriks 𝑈 membentukhimpunan ortonormalg. Untuk semua 𝑥 𝜖 ℂ𝑛 , panjangEuclidean dari 𝑦 𝑈𝑥 samadengan 𝑥; sehingga 𝑦 𝑦 𝑥 𝑥 .Teorema Hasil kali dua atau lebihmatriks uniter adalah uniter.Teorema Matriks persegi 𝑈 adalahuniter jika hanya jika 𝑈𝑥, 𝑈𝑦 𝑥, 𝑦 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥, 𝑦 ℂ𝑛 .Teorema Matriks persegi 𝑈 adalahuniter jika hanya jika𝑈𝑥 𝑛𝑥 , 𝑥 ℂ .Matriks UniterContoh Tunjukkan bahwa1 11adalah uniter !2 𝑖 𝑖Karena 𝑈 𝑈 𝐼 maka 𝑈 merupakanmatriks uniter.Teorema Jika 𝑈 matriks uniter dan 𝜆nilai eigen dari 𝑈, maka 𝜆 1 dan𝑑𝑒𝑡 (𝑈) 1.Similaritas UniterDefinisi Matriks 𝐵 𝜖 𝑀𝑛 dikatakansimilaritas uniter atau ekuivalen uniterdengan 𝐴 𝜖 𝑀𝑛 jika ada matriks uniter𝑈 𝜖 𝑀𝑛 sehingga 𝐵 𝑈 𝐴𝑈. Pemetaandari 𝐴 menjadi 𝑈 𝐴𝑈 disebuttransformasi uniter.Contoh Tunjukkan bahwa matriks1 𝑖 1 𝑖𝐴 similaruniter1 𝑖 1 𝑖2 0dengan matriks !0 2𝑖Jawab :1 𝑖 1 𝑖Diketahui matriks 𝐴 ,1 𝑖 1 𝑖cari matriks uniter 𝑈 dengan caramencari vektor eigen yang basisnyasaling ortogonal dan ortonormal.𝑑𝑒𝑡 𝜆𝐼 𝐴 0

1 01 𝑖 1 𝑖𝑑𝑒𝑡 𝜆 00 11 𝑖 1 𝑖1 𝑖 1 𝑖𝜆 0𝑑𝑒𝑡 01 𝑖 1 𝑖0 𝜆𝜆 (1 𝑖) (1 𝑖)𝑑𝑒𝑡 0 (1 𝑖) 𝜆 (1 𝑖)𝜆 1 𝑖 . 𝜆 1 𝑖 1 𝑖 . 1 𝑖 0𝜆2 2 1 𝑖 𝜆 (1 𝑖)2 (1 𝑖)2 0𝜆2 2𝜆 2𝑖𝜆 2𝑖 ( 2𝑖) 0𝜆2 (2 2𝑖)𝜆 4𝑖 0(𝜆 2) 𝜆 2𝑖 0𝜆 2 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝜆 2𝑖Mencari vektor eigen yang bersesuaiandengan 𝜆 2.𝜆𝐼 𝐴 𝑋 01 𝑖 (1 𝑖) 𝑥10𝑥2 0 (1 𝑖)1 𝑖(1 𝑖)𝑥1 1 𝑖 𝑥2 01 𝑖 𝑥1 1 𝑖 𝑥2𝑥1 𝑥2Misal 𝑥2 𝑠 maka 𝑥1 𝑠 sehingga𝑠1dapat diperoleh vektor eigen 𝑠 .𝑠1Mencari vektor eigen yang bersesuaiandengan 𝜆 2𝑖.𝜆𝐼 𝐴 𝑋 0 1 𝑖 1 𝑖 𝑥10 1 𝑖 1 𝑖 𝑥20 1 𝑖 𝑥1 1 𝑖 𝑥2 0 1 𝑖 𝑥1 1 𝑖 𝑥2𝑥1 𝑥2Misal 𝑥2 𝑠 maka 𝑥1 𝑠 sehingga 𝑠dapat diperoleh vektor eigen 𝑠 1𝑠.1Dari vektor eigen tersebut diperoleh1 1basis 𝑢1 dan 𝑢2 . Karena11basis tersebut sudah ortogonal tetapibelum ortonormal maka kita gunakanprosesGramSchmidtuntukmentransformasikan vektor-vektor basis1 1𝑢1 dan 𝑢2 menjadi basis11yang ortogonal dan ortonormal.𝑢1 2 dan 𝑢2 2sehingga basis ortonormal untuk ℂ2adalah𝑢1(1,1)1 1 ,𝑢1𝑢2𝑢2 2 1,12 2 2 1 12,2Sehingga𝑈 1212122𝑈 𝐴𝑈1 diperoleh12 1matriksdan 𝑈 uniter112 121221122 1 𝑖.11 𝑖22 2𝑖2.2𝑖12 0 𝐵0 2𝑖1 𝑖2.11 𝑖2 1212122 1212Karena 𝑈 𝐴𝑈 𝐵 maka matriks 𝐴similar uniter dengan matriks 𝐵.Teorema Similaritas uniter adalahrelasi yang ekuivalen. Dengan kata lain:a. 𝐴 similar uniter dengan 𝐴 untuksemua 𝐴 𝑀𝑛 (ℂ),b. 𝐴 similar uniter dengan 𝐵 jikahanya jika 𝐵 similar uniter dengan𝐴,c. Jika 𝐴 similar uniter dengan 𝐵, dan𝐵 similar uniter dengan 𝐶, maka 𝐴similar uniter dengan 𝐶.Lemma Jika 𝜆, 𝑢 adalah pasanganeigen dari matriks 𝐴 dan 𝑈 yangukurannya adalah 𝑛 𝑛, dengan 𝑈matriks uniter yang kolom pertamanyaadalah 𝑢 yaitu vektor eigen yangbersesuaian dengan 𝜆. Maka kolompertama dari 𝑈 𝐴𝑈 adalah 𝜆𝑒1 .Teorema Schur’s Sebarang matrikspersegi similar uniter dengan matrikssegitiga atas.Matriks NormalDefinisi Matriks 𝐴 𝑀𝑛 disebutmatriks normal jika 𝐴 𝐴 𝐴𝐴 .Contoha) Karena 𝑈 𝑈 𝐼 𝑈𝑈 jika 𝑈adalah matriks uniter, maka semuamatriks uniter adalah matriksnormal.