Xy Z - Université De Sherbrooke

2 2 2 2 22 x y z2Armand SolderaDépartement de Chimie

MAT 104 Mathématiques pour les ChimistesMathematics is only a guide to understanding,a refiner of arguments and a purifier ofcomprehension, and not the endpoint ofexplanation P.W. Atkins, « The Second Law »Armand Soldera Automne 2006 (Armand.Soldera@USherbrooke.ca)2

MAT 104 Mathématiques pour les ChimistesPlan de CoursFACULTÉ DES SCIENCESDÉPARTEMENT DE CHIMIE GénéralitésTitre: Mathématique (chimistes)Sigle:MAT 104Crédits: 3Session: Automne 2005Mardi 8:30-10:20Mardi 15:30-17:20Jeudi 10:30-12:20Professeur:Armand SolderaSalle:à confirmerHoraire de disponibilité:D2-2059 D7-2013D7-2016D7-2016 Place du Cours dans le programmeType de cours:obligatoireCours préalable:aucunCours co-requis:aucunArmand Soldera Automne 2006 (Armand.Soldera@USherbrooke.ca)3

MAT 104 Mathématiques pour les ChimistesPlan de CoursPLAN DE LA nuPrésentation GénéraleNombres, Variables et AlgèbreFonctions algébriquesFonctions s d'intégrationSéquences et sériesNombres complexesFonctions de plusieurs variablesFonctions en 3 dimensionsÉquations différentielles du 1er ordreÉquations différentielles du 2ème ordre -IÉquations différentielles du 2ème ordre -IIÉquations différentielles partiellesExpansions orthogonales. Analyse de FourierLes vecteursLes déterminantsLes matrices et les transformations linéairesLes matrices et le problème aux valeurs propresArmand Soldera Automne 2006 7886961011051101151201281361441534

MAT 104 Mathématiques pour les Chimistes Plan de Cours Évaluation–Moyen d’évaluation:–Types de questions:–Pondération:– 1 examen final mini-testsquestions de cours, problèmes.40% pour les mini-tests,60% pour le final.Le français: Bibliographie–Manuels obligatoires Les notes de cours, disponibles également sur le /MAT104.htm E. Steiner, The Chemistry Maths Book, OUP, 2ème éd., 2004.–Manuels complémentaires Barrante, Mathematics for Chemists, Dunod, 2000.Armand Soldera Automne 2006 (Armand.Soldera@USherbrooke.ca)5

MAT 104 Mathématiques pour les ChimistesExpériencesArmand Soldera Automne 2006 (Armand.Soldera@USherbrooke.ca)Produits finauxproducts7

MAT 104 Mathématiques pour les ChimistesExpériencesAnalyseArmand Soldera Automne 2006 (Armand.Soldera@USherbrooke.ca)Produits finauxproducts8

MAT 104 Mathématiques pour les ChimistesExpériencesAnalyseProduits finauxproductsMathématiquesArmand Soldera Automne 2006 (Armand.Soldera@USherbrooke.ca)9

MAT 104 Mathématiques pour les ChimistesExpériencesAnalyseProduits finauxproductsMathématiquesArmand Soldera Automne 2006 (Armand.Soldera@USherbrooke.ca)10

MAT 104 Mathématiques pour les Chimistes Théorème de Pythagore– Version française:Dans un triangle rectangle, la somme des carrés des mesures des côtés de l'angle droit est égale aucarré de la mesure de l'hypoténuse.– Version mathématiquea b c222 Surface d’une sphère– Version française:La surface d’une sphère est le double du produit du rayon et de la circonférence à l’équateur.– Version mathématique S 4π rArmand Soldera Automne 2006 (Armand.Soldera@USherbrooke.ca)211

MAT 104 Mathématiques pour les Chimistes Rôle des mathématiques en sciences et chimie– Réponse du PDG de Airbus à qui on demandait pourquoi Airbus pourrait surpasser Boeing: "Il y aplus de mathématiques dans un avion Airbus".– Les mathématiques permettent une approche rigoureuse d'un problème.– Elles sont utilisées pour décrire et comprendre la Nature: Mesures, prédictions, simulations de propriétés physiques Relations entre propriétés physiques– Variation de propriétés physiques dans le temps, l'espace, en fonction d'autres propriétés physiques.– Exemple: Acétaminophène– Différents aspects Synthèse, Emballage Goût Stabilité dans l'estomac Transport au petit intestin Absorption dans le sang Transport et stabilité dans le sang Traverser la barrière sang/cerveau Interactions avec récepteur Réponse du système nerveuxArmand Soldera Automne 2006 (Armand.Soldera@USherbrooke.ca)12

MAT 104 Mathématiques pour les ChimistesComment évolue le médicament dans l’estomac évolution de la concentration M En fonction du temps En fonction du pHReprésentation graphique, équation pour représenter le comportement théorie mathématique– Mathématiques: Rôle d’infrastructure Raisonnement, abstractions Rigueur Nombres––––––––Concept « primitif ntauxRéelsComplexesArmand Soldera Automne 2006 (Armand.Soldera@USherbrooke.ca)13

Nombres, Variables etAlgèbre

MAT 104 Mathématiques pour les Chimistes PrincipesCas typique: Loi des gaz parfaits:– FonctionpV nRTV f ( p, n, T )– Quantités: Constante Variables Contraintes– Unités:Système MKSAToute quantité mesurée doit: Indiquer son unité Présenter la précision de la mesureArmand Soldera Automne 2006 pèreAluminositécandelacd15

MAT 104 Mathématiques pour les Chimistes Nombres– Concept « primitif »– Ensembles Entiers: naturels et relatifs Rationnels 1 3 0,333 0, 3 Irrationnels2Réels { , } Transcendants π Complexes i ( j ) D – Bases Décimale Binaire Hexadécimale– Algèbre des nombres réels Opérations mathématiques: - x / Processus limite: a 0; 1 a VariablesexposantambaseArmand Soldera Automne 2006 (Armand.Soldera@USherbrooke.ca)16

MAT 104 Mathématiques pour les Chimistes Notion de groupe– Un ensemble G muni d'une loi Θ est un groupe si : Θ est une loi de composition interne sur G La loi Θ est associative . Θ admet un élément neutre dans G Tout élément x de G admet un symétrique x' dans G– Dans le cas ou Θ est commutative, on dit que (G, Θ) est un groupe commutatif.– Exemple : ( , ) est un groupe commutatif. ( , x) est un groupe. Anneau– Un ensemble A non vide, muni de deux lois de composition interne notées respectivement et * estappelé un anneau si: L'ensemble A muni de la première loi est un groupe commutatif. La seconde loi * , est associative et distributive par rapport à la première loi.– Notation (A , , *) .– Si la seconde loi * est commutative alors le anneau est dit commutatif.– Si l'anneau admet pour la seconde loi , un élément neutre, l'anneau est dit unitaire. Corps Armand Soldera Automne 2006 (Armand.Soldera@USherbrooke.ca)17

MAT 104 Mathématiques pour les Chimistes Algèbre des nombres réels– Valeur absolue, ou modulea a2a a si a 0a a si a 0– Loi d’indexationa a amnm n(a )m n a mna1 n n aa n 1ana0 1Armand Soldera Automne 2006 (Armand.Soldera@USherbrooke.ca)18

Fonctions AlgébriquesDescartes

MAT 104 Mathématiques pour les Chimistes Principes– Loi des gaz parfaits:nRTV ( n, T , p ) p– Fonctiony ax 2 bx cf ( x ) ax 2 bx cf (x d) g ( x) Factorisation et simplification d’une fonction– Factorisation2ax 2 4bxy 2 x(ax 2by )– Identités remarquables:a 2 b 2 ( a b )( a b )(a b)2 a 2 2ab b 2Armand Soldera Automne 2006 (Armand.Soldera@USherbrooke.ca)20

MAT 104 Mathématiques pour les Chimistes Représentation graphique d’une fonction: Coordonnées cartésiennes– 2 dim: (x,y) Loi des gaz parfaits:PV nRT1V PPV Onde 2 u ( x, t ) 1 2 u ( x, t ) 22 xc t 2 i Λ j k i j i jk 1 Repère orthonormé:Vecteurs unitairesArmand Soldera Automne 2006 (Armand.Soldera@USherbrooke.ca)21

MAT 104 Mathématiques pour les Chimistes– 3 dim (x,y,z) Transfert de représentation: 2D 3D Isocontour: géographiezyx– Nous vivons dans un monde à 3 dim ou 4 dim (11 dim peut-être) Coordonnées polaires Coordonnées sphériques1U Armand Soldera Automne 2006 (Armand.Soldera@USherbrooke.ca)r222

MAT 104 Mathématiques pour les Chimistes Fonctions inverses si y f ( x ) alors x f 1 ( x )––La recherche de la fonction inverse n’est pas toujours aiséeyy y x2 1xx y 1x– Équation de van der Waals an 2 nRT P 2 (V nb ) V Armand Soldera Automne 2006 (Armand.Soldera@USherbrooke.ca)Équation du 3ème degré en V23

MAT 104 Mathématiques pour les Chimistes Polynôme–f ( x ) a0 a1 x a2 x 2 a3 x3 an x nnf ( x ) ai x ii 0– Degré n 1, fonction linéaire: droitef ( x ) ax ba: penteb: ordonnée à l’originex0: racine de l’équationf ( x) 0– Degré n 2, fonction quadratiqueÉquation d’une parabolef ( x) 0f ( x ) a0 a1 x a2 x 2ϕ xy y x y2 racines possibles: 2 réelles, 1 racine double, ou 2 complexes– Degré n 3, fonction cubiquef ( x ) a0 a1 x a2 x 2 a3 x3f ( x) 03 racines possibles: 3 réelles, 1 triple, ou 2 complexes 1 réelleArmand Soldera Automne 2006 (Armand.Soldera@USherbrooke.ca)24

MAT 104 Mathématiques pour les Chimistes– Polynôme d’ordre général:f ( x ) a0 a1 x a2 x 2 a3 x3 an x n an ( x x1 )( x x2 ) ( x xn )n an ( x xi )i 1f ( x) 0n racines: réelles, complexes, ou multipleremarque: si n il va exister au moins une racine réelle2 p 1 ( p )(le graphe traverse l’axe des x au moins 1 fois)Exemple: équation de van der Waals– Fonction algébrique de x:P ( x ) y n Q ( x ) y n 1 U ( x ) y V ( x ) 0– Fonction transcendante: fonction non algébrique: exponentielle, fonction trigonométriqueArmand Soldera Automne 2006 (Armand.Soldera@USherbrooke.ca)25

FonctionsTranscendantesPythagore

MAT 104 Mathématiques pour les Chimistes Fonctions trigonométriques– SOHCAHTOA– Théorème de Pythagoresin 2 θ cos 2 θ 1– Fonctions périodiquesϕ ( x, 0 ) Af ( x a) f ( x ) a périodev νλλcos ( x ) x ϕ ( x, t ) A sin 2π ν t λλ :longueur d’onde,ν :fréquenceArmand Soldera Automne 2006 (Armand.Soldera@USherbrooke.ca)27

MAT 104 Mathématiques pour les Chimistes Relations de trigonométrie– Règle des sinus– Règle des cosinus:– Identitéssin A sin B sin C abca 2 b 2 c 2 2bc cos Asin ( x y ) sin x cos y cos x sin ycos ( x y ) cos x cos y sin x sin yArmand Soldera Automne 2006 (Armand.Soldera@USherbrooke.ca)28

MAT 104 Mathématiques pour les Chimistes Coordonnées polaires– Nombreux problèmes de science non solvables en coordonnées rectangulaires– Coordonnées polaires ou curviligne: 2D Coordonnées sphériquesArmand Soldera Automne 2006 (Armand.Soldera@USherbrooke.ca)29

MAT 104 Mathématiques pour les Chimistes Fonctions trigonométriques inversesarcsin x sin 1 xarccos x cos 1 xarctan x tan 1 xComme:sin x sin ( x 2nπ ) n On va parler de valeur principale (exemple: résultat d’une calculatrice): 1 arcsinx sin x y 1 arccosx cosx y 1 arctanx tan x yArmand Soldera Automne 2006 (Armand.Soldera@USherbrooke.ca) π π y , 2 2 y [ 0, π ] π π y , 2 2 30

MAT 104 Mathématiques pour les Chimistes La fonction exponentiellef ( x) ax– Définition:a: basex: exposant (an anglais exponent)– La plus connue: 10nn – La fonction exponentielle (e de Euler):exp ( x ) e x xnexp ( x ) e n 0 n !x– La pente de exp(x) est exp(x)– Fonction exponentielle très utilisée (statistique, population ): fonction gaussienne 1 x µ 2 1p ( x)exp 2 σ σ 2π Armand Soldera Automne 2006 (Armand.Soldera@USherbrooke.ca)31

MAT 104 Mathématiques pour les ChimistesExemple d’utilisation de l’exponentielle nk A nk-1 n n0 exp(t/t0)660n/n05404Population doublant à20 chaque generation.3012344322Nombre degeneration0log2(n/n0)5NArmand Soldera Automne 2006 32

MAT 104 Mathématiques pour les Chimistes La fonction logarithme– Définition:xsi y a alors x log a y x– Logarithme décimal: y 10 , x loglog y10 yx– Logarithme naturel ou népérien: , x logln yy e e y– Propriétés:ln xy ln x ln yxln ln x ln yyln x n n ln x– Conversion:ln x ln10 log10 x 2,303log xe xxx e x– Exemple:pH log10 H Armand Soldera Automne 2006 (Armand.Soldera@USherbrooke.ca)33