Presentación De PowerPoint - Technological University Of Panama
II. Vibración libre de unsistema de un grado de libertadObjetivos:1. Definir que es vibración libre.2. Recordar el método de diagrama de cuerpo libre para deducirlas ecuaciones de movimiento.3. Introducir el método de conservación de energía para deducirlas ecuaciones de movimiento en sistemas no amortiguados.4. Estudiar la vibración libre de sistemas de un grado de libertaden traslación y en rotación tanto cuando no hay amortiguamientocomo cuando existe amortiguamiento viscoso o bienamortiguamiento de Coulomb.--1. Método del diagrama de cuerpo libreLa segunda ley de Newton es aplicada a diagramas de cuerpolibre de sistemas vibratorios para derivar la ecuacióndiferencial de movimiento.-Se selecciona una coordenadageneralizada. Esta variable puederepresentar el desplazamiento de unapartícula en el sistema. Sí haymovimiento rotatorio, esta coordenadageneralizada puede representar undesplazamiento angular.Los diagramas de cuerpo libre sondibujados mostrando un instantearbitrario de tiempo. Al dibujarse semuestran todas las fuerzas externasefectivas actuando sobre el sistema.Se aplica la forma apropiada de lasegunda ley del Newton al diagrama decuerpo libre del sistema.Los siguientes pasos pueden ser empleados cuando se tienensistemas de un grado de libertad:PPT elaborado por ArturoArosemena1
II. Vibración libre de unsistema de un grado de libertad1. Método del diagrama de cuerpo librePartículas:Observaciones:𝐹 𝑚𝑟𝐻𝑜 𝑀𝑜 𝐼 𝜃Cuerpos rígidos:𝐹 𝑚𝑟𝐻𝐺 𝐻𝑜 -La fuerza desde el resorte en el diagrama delcuerpo libre es igual y en dirección opuesta(tercera ley de Newton) a la fuerza que aplicael cuerpo sobre el resorte.𝑀𝑜 𝑟 𝑚𝑟 𝐻𝐺𝑟𝐺 𝜔 𝑟𝐺 𝑑𝑚𝑚-Se aplican las diferentes suposicionesrealizadas en conjunto con diferentesmanipulaciones algebraicas para obtenerla ecuación diferencial que gobierna elmovimiento.Típicamenteestassuposiciones buscan linealizar la ecuacióndiferencial.2
II. Vibración libre de unsistema de un grado de libertad1. Método del diagrama de cuerpo libreObservaciones:-La fuerza desde un amortiguador viscoso o deCoulomb siempre se opone a la dirección delmovimiento del cuerpo.Paso 1. Se selecciona una miento 𝑥 𝑡 en dirección de 𝐹 𝑡 será lacoordenada generalizada a emplear.EjemploConsidere el bloque mostrado a continuación, comouna masa puntual con un solo grado de libertad, que sedesliza en la dirección de la fuerza aplicada sobre unasuperficie con fricción despreciable. Derive la ecuacióndiferencial que gobierna al movimiento. Suponga hayamortiguamiento viscoso y elasticidad lineal.Paso 2. Se dibuja el diagrama de cuerpo libre dela masa puntual 𝑚 en un instante de tiempoarbitrario mostrando todas las fuerzas externas.3
II. Vibración libre de unsistema de un grado de libertad1. Método del diagrama de cuerpo libreAquí se requiere de 𝑥(0) y de 𝑥(0) para resolver laecuación diferencial.2. Método del principio de conservación deenergía para sistemas conservativosPaso 3. Se aplica la forma apropiada de la segunda leydel Newton al diagrama de cuerpo libre del sistema. Elsistema está en traslación por lo tantoEn el caso de sistemas en donde no están presentesfuerzas no conservativas (incluyendo la disipación deenergía producto de amortiguadores) se puedeemplear el principio de conservación de energía.𝐸. 𝐶. 𝐸. 𝑃. 𝑐𝑛𝑠𝑡𝑑 𝐸. 𝐶. 𝐸. 𝑃. 0𝑑𝑡𝐹 𝑚𝑟 𝑘𝑥 𝑐 𝑥 𝐹 𝑚𝑥Paso 4. Se aplican las diferentes suposiciones realizadasen conjunto con diferentes manipulaciones algebraicaspara obtener la ecuación diferencial que gobierna elmovimiento.𝑚𝑥 𝑘𝑥 𝑐𝑥 𝐹Considerando nuevamente el ejemplo anterior, si 𝑐 𝐹(𝑡) 0Se tendrá que:𝐸. 𝑃. 1 2𝑘𝑥2𝐸. 𝐶. 1𝑚𝑥 224
II. Vibración libre de unsistema de un grado de libertad2. Método del principio de conservación deenergía para sistemas conservativosEntonces:𝑑 𝐸. 𝐶. 𝐸. 𝑃.𝑑 1 2 1 𝑘𝑥 𝑚𝑥 2 0𝑑𝑡𝑑𝑡 2222𝑘𝑥𝑥 𝑚𝑥𝑥 022𝑚𝑥 𝑘𝑥 03. Introducción a los sistemas de un grado delibertad en vibración libreUn sistema en vibración libre es aquel que oscilabajo una perturbación inicial sin que actúenfuerza externas posteriormente. Aquellos sistemasen vibración libre que solo requieren de unacoordenada generalizada se conocen comosistemas de un grado de libertad en vibraciónlibre.4. Vibración libre de un sistema en traslación noamortiguadoEl sistema de la figura anterior consiste de una masapuntual sujeta a traslación pura sin amortiguamientoy con un solo grado de libertad, por lo tanto como sededujo a partir de método de energía la ecuacióndiferencial que rige al movimiento es la siguiente:𝑚𝑥 𝑘𝑥 0Deflexiones estáticas y gravedadLas deflexiones estáticas están presentes en unresorte producto de una fuente de energía potencialinicial, usualmente la gravedad.5
II. Vibración libre de unsistema de un grado de libertad4. Vibración libre de un sistema en traslación noamortiguadoDeflexiones estáticas y gravedadLa fuerza estática desarrollada en los resortesforma una condición de equilibrio con la fuerzade gravedad.Una vez el resorte es inicialmente perturbado, eldiagrama de cuerpo libre resultante seríaY la resultante ecuación de movimiento𝐹 𝑚𝑟Del equilibrio estático se encuentra que𝑊 𝑘𝛿𝑠𝑡 𝑘 𝑥 𝛿𝑠𝑡 𝑊 𝑚𝑥 𝑘 𝑥 𝛿𝑠𝑡 𝑘𝛿𝑠𝑡 𝑚𝑥𝑚𝑥 𝑘𝑥 06
II. Vibración libre de unsistema de un grado de libertad4. Vibración libre de un sistema en traslación noamortiguado𝑚𝑠 2 𝑘 0Deflexiones estáticas y gravedadLo anterior también puede ser deducido pormedio del método de conservación de energía.𝐸. 𝑃. 1 21𝑘𝑥 𝑚𝑔𝑥 𝑚𝑔𝑥 𝑘𝑥 2221𝐸. 𝐶. 𝑚𝑥 22Entonces𝑑 𝐸. 𝐶. 𝐸. 𝑃. 𝑚𝑥 𝑘𝑥 0𝑑𝑡Solución de la ecuación diferencialSuponiendo 𝑥 𝑡 𝐶𝑒 𝑠𝑡 , donde 𝐶 y 𝑠 sonconstantes por determinar, al sustituir en laecuación diferencial se tiene𝐶𝑒 𝑠𝑡 𝑚𝑠 2 𝑘 0Por lo tanto𝑠1,2Donde 𝜔𝑛 𝑘 𝑚𝑘 1/2𝑚1 2𝑖 𝑖𝜔𝑛representa la frecuencia naturaldel sistema.Consecuentemente la solución general puede serexpresada como:𝑥 𝑡 𝐶1 𝑒 𝑖𝜔𝑛 𝑡 𝐶2 𝑒 𝑖𝜔𝑛 𝑡Recordando la identidad de Euler𝑒 𝑖𝜔𝑛 𝑡 cos 𝜔𝑛 𝑡 𝑖 sin 𝜔𝑛 𝑡La expresión anterior podría re escribirse como𝑥 𝑡 𝐴1 cos 𝜔𝑛 𝑡 𝐴2 sin 𝜔𝑛 𝑡Aquí 𝐴1 , 𝐴2 y 𝐶1 , 𝐶2 son constantes que dependen delas condiciones iniciales.7
II. Vibración libre de unsistema de un grado de libertad4. Vibración libre de un sistema en traslación noamortiguadoSolución de la ecuación diferencialImponiendo dichas condiciones:𝑥 0 𝐴1 𝑥0𝑥 0 𝐴2 𝜔𝑛 𝑥0Entonces𝑥 𝑡 𝑥0 cos 𝜔𝑛 𝑡 𝑥0sin 𝜔𝑛 𝑡𝜔𝑛5. Vibración libre de un sistema torsional noamortiguadoSí un cuerpo rígido oscila en torno a un eje dereferencia, el movimiento resultante es llamadovibración torsional. Aquí el desplazamiento delcuerpo es medido en términos de una coordenadaangular.Considere el siguiente casoAquí disco está sujeto a un eje flexible con laspropiedades geométricas mostradas en la figura.Dicho sistema es analizado como si solo tuviera ungrado de libertad bajo vibración torsional noamortiguada.Aquí el eje se considera que es un resorte sometido atorsión con una constante 𝑘𝑡 . Las propiedadesgeométricas y del material del eje pueden serempleadas para definir dicha constante. La inerciadel disco sólido con respecto a su centro de masa 𝐼 sedefine como 𝐽0 .8
II. Vibración libre de unsistema de un grado de libertad5. Vibración libre de un sistema torsional noamortiguadoConsiderando que el sistema equivalente (b)consiste de un disco sujeto a torsión que gira entorno a su centro de masa (punto 0) a partir de lasegunda ley de Newton se tendrá:𝑥 2 𝑦 2 𝑑𝑚𝐼 𝐽0 𝑚2𝜋𝑥 2 𝑦 2 𝜌ℎ 𝑑𝐴 𝐽0 𝑀0 𝐼 𝜃𝑟𝑟 2 𝜌ℎ 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃0𝐴02𝜋𝑟 4𝜋𝑑4 𝜌ℎ432 𝑘𝑡 𝜃 𝐽0 𝜃𝐽0 𝜌ℎ𝐽0 𝜃 𝑘𝑡 𝜃 0Aquí 𝜌 es la densidad del disco, y ℎ su espesor.Donde 𝑘𝑡 varía dependiendo del tipo de seccióntransversal del eje. Suponiendo se trate de un ejecircular de diámetro 𝑑 de mecánica de materialesse tiene que𝜋𝐺𝑑4𝑘𝑡 32𝑙Donde 𝐺 es el modulo de rigidez al cortante y 𝑙la longitud del eje.SoluciónLa solución de esta ecuación diferencial, al igual que el casode un sistema con traslación, sería𝜃 𝑡 𝐴1 cos 𝜔𝑛 𝑡 𝐴2 sin 𝜔𝑛 𝑡Donde 𝜔𝑛 𝑘𝑡12𝐽09
II. Vibración libre de unsistema de un grado de libertad5. Vibración libre de un sistema torsional noamortiguadoSoluciónAplicando las condiciones de frontera𝜃 0 𝐴1 𝜃0𝜃 0 𝐴2 𝜔𝑛 𝜃0Entonces𝜃 𝑡 𝜃0 cos 𝜔𝑛 𝑡 𝜃0sin 𝜔𝑛 𝑡𝜔𝑛6. Vibración libre con amortiguamiento viscosoEcuación de movimiento de un sistema en traslaciónSí se tiene que la vibración es libre 𝐹 0 , yconsecuentemente𝑚𝑥 𝑘𝑥 𝑐 𝑥 0Como se pudo ver previamente la ecuación demovimiento para un sistema de un grado de libertaden traslación pura con amortiguamiento viscosoestaría dada por𝑚𝑥 𝑘𝑥 𝑐 𝑥 𝐹10
II. Vibración libre de unsistema de un grado de libertad6. Vibración libre con amortiguamiento viscosoSolución de la ecuación de movimiento de un sistema entraslaciónSuponiendo 𝑥 𝑡 𝐶𝑒 𝑠𝑡 , donde 𝐶 y 𝑠 son constantes pordeterminar, al sustituir en la ecuación diferencial se tiene𝐶𝑒 𝑠𝑡 𝑚𝑠 2 𝑐𝑠 𝑘 0El amortiguamiento crítico 𝑐𝑐 se define como elvalor de la constante de amortiguamiento 𝑐 con elcuál el radical de 𝑠1,2 se vuelve cero.𝑐𝑐2𝑚Por lo tanto𝑚𝑠 2 𝑐𝑠 𝑘 0𝑠1,2 𝑐 𝑐 2 4𝑚𝑘 𝑐𝑐2𝑘 2𝑚2𝑚4𝑚2 𝑚Consecuentemente la solución general puede serexpresada como𝑥 𝑡 𝐶1 𝑒 𝑠1 𝑡 𝐶2 𝑒 𝑠2 𝑡Constante de amortiguamiento crítico y relación deamortiguamiento2 𝑐𝑐 2𝑚𝑘 0𝑚𝑘 2𝑚𝜔𝑛𝑚Definiendo la relación de amortiguamiento 𝜁 𝑐/𝑐𝑐𝑐𝑐 2𝑚𝑐𝑐𝑐𝑐 𝜁𝜔𝑛2𝑚Entonces𝑠1,2 𝜁𝜔𝑛 𝜁𝜔𝑛2 𝜔𝑛 2𝑠1,2 𝜔𝑛 𝜁 𝜁 2 111
II. Vibración libre de unsistema de un grado de libertad6. Vibración libre con amortiguamiento viscosoSolución de la ecuación de movimiento de un sistema entraslaciónSe puede pensar entonces que el comportamiento de lossistemas amortiguados depende del valor de la relaciónde amortiguamiento.-Caso 1: 𝜁 0, sistemas no amortiguados. Este casolleva a vibraciones no amortiguadas y solo se da cuando𝑐 0.-Caso 2: 𝜁 1, sistemas subamortiguados. Para estacondición 𝜁 2 1 0 y se tienen raíces negativas.𝑠1,2 𝜔𝑛 𝜁 𝑖 1 𝜁 2𝑥 𝑡 𝐶1 𝑒𝜔𝑛 𝜁 𝑖 1 𝜁 2 𝑡𝑥 𝑡 𝑒 𝜁𝜔𝑛 𝑡 𝐶1 𝑒 𝑖𝜔𝑛1 𝜁 2 𝑡 𝐶2 𝑒𝜔𝑛 𝜁 𝑖 1 𝜁 2 𝑡 𝐶2 𝑒 𝑖𝜔𝑛Recordando la identidad de Euler1 𝜁 2 𝑡𝑒 𝑖𝜔𝑛1 𝜁 2 𝑡 cos 𝜔𝑛 1 𝜁 2 𝑡 𝑖 sin 𝜔𝑛 1 𝜁 2 𝑡La expresión anterior podría re escribirse como𝑥 𝑡 𝑒 𝜁𝜔𝑛 𝑡 𝐴1 cos 𝜔𝑛 1 𝜁 2 𝑡 𝐴2 sin 𝜔𝑛 1 𝜁 2 𝑡Donde 𝐴1 y 𝐴2 dependen de las condiciones iniciales.En la expresión anterior 𝜔𝑛 1 𝜁 2 suele denotarlo que se conoce como la frecuencia de vibraciónamortiguada (𝜔𝑑 ).- Caso 3: 𝜁 1, sistemas críticamente amortiguados.𝑠1,2 𝜔𝑛 𝑐𝑐2𝑚𝑥 𝑡 𝐶1 𝐶2 𝑡 𝑒 𝜔𝑛 𝑡12
II. Vibración libre de unsistema de un grado de libertad6. Vibración libre con amortiguamiento viscosoSolución de la ecuación de movimiento de un sistema entraslaciónEcuación de movimiento de un sistema torsional- Caso 4: 𝜁 1, sistemas sobre amortiguados. Aquí setiene que ambas raíces son reales y distintas.𝑠1,2 𝜔𝑛 𝜁 𝜁 2 1𝑥 𝑡 𝐶1 𝑒𝜔𝑛 𝜁 𝜁 2 1 𝑡 𝐶2 𝑒𝜔𝑛 𝜁 𝜁 2 1 𝑡El torque 𝑇, producto del amortiguamiento viscosoestá dado por𝑇 𝑐𝑡 𝜃Donde 𝑐𝑡 es la constante de amortiguamientotorsional y 𝜃 la velocidad angular.13
II. Vibración libre de unsistema de un grado de libertad7. Vibración libre con amortiguamiento de CoulombEl valor del coeficiente de fricción depende de losmateriales en contacto y de las condiciones de contacto.Esta fuerza de fricción actúa en dirección opuesta a ladirección de la velocidad.El amortiguamiento de Coulomb a veces es llamadoamortiguamiento constante, ya que es independiente deldesplazamiento y de la velocidad.Ecuación de movimiento de sistemas en traslaciónLa cual es una ecuación de segundo orden, nohomogénea, cuya solución es de la forma𝑥 𝑡 𝐴1 cos 𝜔𝑛 𝑡 𝐴2 sin 𝜔𝑛 𝑡 𝜇𝑁𝑘Donde 𝐴1 , 𝐴2 dependen de las condiciones inicialesdel semiciclo, y 𝜔𝑛 𝑘𝑚-Caso 2 (c): Cuando 𝑥 es positiva o negativa, pero𝑥 es negativa la fuerza de amortiguamiento iría endirección opuesta a la fuerza del resorte.𝑚𝑥 𝑘𝑥 𝜇𝑁- Caso 1 (b): Cuando 𝑥 es positiva o negativa pero 𝑥 espositiva, la fuerza de amortiguamiento iría en la mismadirección que la fuerza del resorte.𝑚𝑥 𝑘𝑥 𝜇𝑁𝑥 𝑡 𝐴3 cos 𝜔𝑛 𝑡 𝐴4 sin 𝜔𝑛 𝑡 𝜇𝑁𝑘Donde 𝐴3 , 𝐴4 dependen de las condiciones inicialesdel semiciclo, y 𝜔𝑛 𝑘𝑚14
II. Vibración libre de unsistema de un grado de libertad7. Vibración libre con amortiguamiento de CoulombSoluciónPodría considerarse ambos casos si se define la funciónsignum, sgm, cuyo valor es 1 cuando el argumentotoma valores mayores que cero, y -1 cuando tomavalores menores que cero.𝑚𝑥 𝑘𝑥 𝜇𝑁sgm 𝑥 0Esta es una ecuación no lineal cuya solución analíticasimple no existe.Sin embargo, se puede encontrar una solución sí sedivide el eje del tiempo en segmentos separados por𝑥 0, es decir en intervalos con diferentes direccionesde movimiento.- Caso 1: Cuando 𝜃 es positiva o negativa, pero 𝜃 espositiva.𝐽0 𝜃 𝑘𝑡 𝜃 𝑇La cual es una ecuación de segundo orden, nohomogénea, cuya solución es de la forma𝜃 𝑡 𝐴1 cos 𝜔𝑛 𝑡 𝐴2 sin 𝜔𝑛 𝑡 𝑇𝑘𝑡-Caso 2: Cuando 𝜃 es positiva o negativa, pero 𝜃 esnegativa.𝐽0 𝜃 𝑘𝑡 𝜃 𝑇𝜃 𝑡 𝐴3 cos 𝜔𝑛 𝑡 𝐴4 sin 𝜔𝑛 𝑡 Para más detalles vea la sección 2.9.2 de su libro de texto.𝑇𝑘𝑡Ecuación de movimiento de sistemas torsionalesDonde 𝐴1 , 𝐴2 , 𝐴3 , 𝐴4 dependen de las condicionesSí un par de torsión de fricción constante 𝑇, actúa en unsistema torsional, la ecuación que rige las oscilacionesangulares de sistema se deriva de forma similar a lasecuaciones del sistema en traslación.iniciales del semiciclo, y 𝜔𝑛 𝑘𝑡𝐽015
II. Vibración libre de un sistema de un grado de libertad Objetivos: 1. Definir que es vibración libre. 2. Recordar el método de diagrama de cuerpo libre para deducir las ecuaciones de movimiento. 3. Introducir el método de conservación de energía para deducir las ecuaciones de movimiento en sistemas no amortiguados. 4.
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PROF. P.B. SHARMA Vice Chancellor Delhi Technological University (formerly Delhi College of Engineering) (Govt. of NCT of Delhi) Founder Vice Chancellor RAJIV GANDHI TECHNOLOGICAL UNIVERSITY (State Technical University of Madhya Pradesh) 01. Name: Professor Pritam B. Sharma 02. Present Position: Vice Chancellor Delhi Technological University (formerly Delhi College of Engineering) Bawana Road .
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