Chapitre 3 - French National Centre For Scientific Research
Le modèle de la loi normaleCalculs pratiquesChapitre 3La loi normaleUniversité de Paris Ouest2012–2013Chapitre 32012–2013
Le modèle de la loi normaleCalculs pratiquesSommaire1 Le modèle de la loi normaleUn exemplePropriétés de la loi normale2 Calculs pratiquesChapitre 32012–2013
Le modèle de la loi normaleCalculs pratiquesUn exemple pour commencer : Test de mémoireÉtude de la capacité de mémoire d’adultes atteints d’une maladieneurologique.Chaque individu lit 30 mots et doit ensuite en réciter le plus possible.IChapitre 3Population P { patients atteints de la maladie }IVariable quantitative X ”nombre de mots retenus”I2 paramètres µ, σ.2012–2013
Le modèle de la loi normaleCalculs pratiquesLa courbe ”en cloche”En sciences humaines on observe souvent des distributionsChapitre 3Iplutôt symétriques autour de µIavec une forme de cloche2012–2013
Le modèle de la loi normaleCalculs pratiquesLa courbe ”en cloche”µEn sciences humaines on observe souvent des distributionsIplutôt symétriques autour de µIavec une forme de clochePour pouvoir faire des calculs, on va parfois supposer que X suit unedistribution ”modèle”, appelée Loi normale.Chapitre 32012–2013
Le modèle de la loi normaleCalculs pratiquesPremières propriétés de la loi normaleSi X suit cette distribution ”modèle”, on lui associe une courbe :µChapitre 3Icourbe symétrique par rapport à µIforme de cloche2012–2013
Le modèle de la loi normaleCalculs pratiquesPremières propriétés de la loi normaleSi X suit cette distribution ”modèle”, on lui associe une courbe :aire grisée P (X z)µChapitre 3zIcourbe symétrique par rapport à µIforme de clocheIl’aire grisée représente la proportion cumulée2012–2013
Le modèle de la loi normaleCalculs pratiquesParamètres de la loi normalePour chaque µ, σ, il existe une loi normale de moyenne µ etd’écart-type σ.On la note N (µ, σ).Cas particulierµ 0 et σ 1 : loi normale centrée/réduite.Chapitre 32012–2013
Le modèle de la loi normaleCalculs pratiquesParamètres de la loi normalePour chaque µ, σ, il existe une loi normale de moyenne µ etd’écart-type σ.On la note N (µ, σ).Cas particulierµ 0 et σ 1 : loi normale centrée/réduite.Lorsque l’on suppose qu’une variable X suit le modèle de la loi normaleN (µ, σ), on écritX N (µ, σ) .Chapitre 32012–2013
Le modèle de la loi normaleCalculs pratiquesParamètres de la loi normaleExemples de lois normales avec moyennes différentes, même écart-type :N ( 1, 1)N (3, 1)-1Chapitre 332012–2013
Le modèle de la loi normaleCalculs pratiquesParamètres de la loi normaleExemples de lois normales avec moyennes différentes, même écart-type :N ( 1, 1)N (3, 1)3-1Exemples de lois normales avec même moyenne, écart-types différents :N (3, 1)N (3, 2)3Chapitre 32012–2013
Le modèle de la loi normaleCalculs pratiquesPour les plus matheux : l’équation de la courbeµPour la tracer à la calculatrice/ordinateur, 1(x µ)2y exp .2σ 2σ 2πCette formule n’est pas utile pour ce cours !Chapitre 32012–2013
Le modèle de la loi normaleCalculs pratiquesExemple : QIÉtude sur le QI de 515 enfants du même âge, µ 100, 1, σ 5, 7.Chapitre 32012–2013
Le modèle de la loi normaleCalculs pratiquesExemple : QIÉtude sur le QI de 515 enfants du même âge, µ 100, 1, σ 5, 7.En rose, courbe de la loi normale N (µ 100, 1; σ 5, 7).Chapitre 32012–2013
Le modèle de la loi normaleCalculs pratiquesLoi normale N (µ, σ) : à retenirIdistribution ”modèle” pour des variables quantitatives continuesImoyenne µ, écart-type σIallure de la courbe :µIChapitre 3aires proportions cumulées2012–2013
Le modèle de la loi normaleCalculs pratiquesSommaire1 Le modèle de la loi normale2 Calculs pratiquesLoi normale centrée/réduiteLoi normale quelconqueQuantilesChapitre 32012–2013
Le modèle de la loi normaleCalculs pratiquesLoi normale centrée/réduite N (0, 1)ExempleOn suppose qu’une certaine variable X N (0, 1). Pour quelle proportiond’individus est-ce que X 1, 56 ?On cherche P(X 1, 56) (rappel : on écrit aussi F (1, 56)).Chapitre 32012–2013
Le modèle de la loi normaleCalculs pratiquesLoi normale centrée/réduite N (0, 1)ExempleOn suppose qu’une certaine variable X N (0, 1). Pour quelle proportiond’individus est-ce que X 1, 56 ?On cherche P(X 1, 56) (rappel : on écrit aussi F (1, 56)).aire grisée F (1, 56)0Chapitre 32012–20131, 56
Le modèle de la loi normaleCalculs pratiquesLoi normale centrée/réduite N (0, 1)ExempleOn suppose qu’une certaine variable X N (0, 1). Pour quelle proportiond’individus est-ce que X 1, 56 ?On cherche P(X 1, 56) (rappel : on écrit aussi F (1, 56)).On cherche 1,56 dans la table :.1, 5.Chapitre 3.0, 06.0.9406.2012–2013
Le modèle de la loi normaleCalculs pratiquesLoi normale centrée/réduite N (0, 1)ExempleOn suppose qu’une certaine variable X N (0, 1). Pour quelle proportiond’individus est-ce que X 1, 56 ?On cherche P(X 1, 56) (rappel : on écrit aussi F (1, 56)).On cherche 1,56 dans la table :.1, 5.0, 06.0.9406.Donc P(X 1, 56) 0, 9406.Pour 94, 06 % des individus, la variable X est inférieure à 1, 56.Chapitre 32012–2013
Le modèle de la loi normaleCalculs pratiquesLoi normale centrée/réduite N (0, 1)ExempleOn suppose qu’une certaine variable X N (0, 1). Pour quelle proportiond’individus est-ce que X 1, 49 ?On cherche P(X 1, 49).Chapitre 32012–2013
Le modèle de la loi normaleCalculs pratiquesLoi normale centrée/réduite N (0, 1)ExempleOn suppose qu’une certaine variable X N (0, 1). Pour quelle proportiond’individus est-ce que X 1, 49 ?On cherche P(X 1, 49). On écrit d’abordP(X 1, 49) 1 P(X 1, 49) 1 F (1, 49)Chapitre 32012–2013
Le modèle de la loi normaleCalculs pratiquesLoi normale centrée/réduite N (0, 1)ExempleOn suppose qu’une certaine variable X N (0, 1). Pour quelle proportiond’individus est-ce que X 1, 49 ?On cherche P(X 1, 49). On écrit d’abordP(X 1, 49) 1 P(X 1, 49) 1 F (1, 49)On cherche 1,49 dans la table.1, 4. . . 0.9319Donc P(X 1, 49) 0, 9319.Soit P(X 1, 49) 1 0.9319 0.0681.Chapitre 32012–20130, 09
Le modèle de la loi normaleCalculs pratiquesLoi normale centrée/réduite N (0, 1) : valeurs négativesExempleOn suppose qu’une certaine variable X N (0, 1). Pour quelle proportiond’individus est-ce que X 1, 1 ?Chapitre 32012–2013
Le modèle de la loi normaleCalculs pratiquesLoi normale centrée/réduite N (0, 1) : valeurs négativesExempleOn suppose qu’une certaine variable X N (0, 1). Pour quelle proportiond’individus est-ce que X 1, 1 ?On cherche P(X 1, 1), c’est-à-dire F ( 1, 1).P (X 1, 1)-1, 1Chapitre 302012–2013
Le modèle de la loi normaleCalculs pratiquesLoi normale centrée/réduite N (0, 1) : valeurs négativesExempleOn suppose qu’une certaine variable X N (0, 1). Pour quelle proportiond’individus est-ce que X 1, 1 ?P (X 1, 1)P (X 1, 1)-1, 1Chapitre 302012–20131, 1
Le modèle de la loi normaleCalculs pratiquesLoi normale centrée/réduite N (0, 1) : valeurs négativesExempleOn suppose qu’une certaine variable X N (0, 1). Pour quelle proportiond’individus est-ce que X 1, 1 ?P (X 1, 1)P (X 1, 1)-1, 101, 1Mais on sait traiter les :P(X 1, 1) 1 P(X 1, 1) 1 0, 8643.Chapitre 3Finalement, P(X 1, 1) 0, 1357.2012–2013
Le modèle de la loi normaleCalculs pratiquesLoi normale centrée/réduite N (0, 1) : valeurs négativesÀ retenir :F ( a) 1 F (a)P (X 1, 1)P (X 1, 1)-1, 10par exemple : F ( 1, 1) 1 F (1, 1).Chapitre 32012–20131, 1
Le modèle de la loi normaleCalculs pratiquesCalculs avec la N (0, 1), tous les casPour n’importe quel a 0,IP(X a) tablea0IIP(X a) 1 0IIIIVChapitre 3P(X a) cas Ia0 cas II -a0-a0P(X a)0a0a cas I 2012–2013a
Le modèle de la loi normaleCalculs pratiquesLoi normale quelconque N (µ, σ)IChapitre 3Pour faire des calculs avec une N (µ, σ), on se ramène à la loiN (0, 1).2012–2013
Le modèle de la loi normaleCalculs pratiquesLoi normale quelconque N (µ, σ)IPour faire des calculs avec une N (µ, σ), on se ramène à la loiN (0, 1).ThéorèmeSiX N (µ, σ)alorsOn dit que l’on centre et réduit X .Chapitre 32012–2013X µ N (0, 1)σ
Le modèle de la loi normaleCalculs pratiquesLoi normale quelconque N (µ, σ)IPour faire des calculs avec une N (µ, σ), on se ramène à la loiN (0, 1).ThéorèmeSiX N (µ, σ)alorsX µ N (0, 1) Z .σOn dit que l’on centre et réduit X .On utilise la lettre Z pour désigner une loi normale centrée/réduite.Chapitre 32012–2013
Le modèle de la loi normaleCalculs pratiquesUn exemple avec une N (11; 2)ExempleOn suppose qu’une certaine variable X N (11; 2). Pour quelleproportion d’individus est-ce que X 14 ?On cherche P(X 14).Chapitre 32012–2013
Le modèle de la loi normaleCalculs pratiquesUn exemple avec une N (11; 2)ExempleOn suppose qu’une certaine variable X N (11; 2). Pour quelleproportion d’individus est-ce que X 14 ?On cherche P(X 14).IChapitre 3On centre et on réduit X :X 1122012–2013 N (0, 1).
Le modèle de la loi normaleCalculs pratiquesUn exemple avec une N (11; 2)ExempleOn suppose qu’une certaine variable X N (11; 2). Pour quelleproportion d’individus est-ce que X 14 ?On cherche P(X 14).IOn centre et on réduit X :X 112I P(X 14) P N (0, 1).X 1114 11 22 P(Z 1, 5)IChapitre 3On cherche 1, 5 dans la table.2012–2013
Le modèle de la loi normaleCalculs pratiquesUn exemple avec une N (11; 2)ExempleOn suppose qu’une certaine variable X N (11; 2). Pour quelleproportion d’individus est-ce que X 14 ?On cherche P(X 14).IOn centre et on réduit X :X 112I P(X 14) P N (0, 1).X 1114 11 22 P(Z 1, 5)IOn cherche 1, 5 dans la table.On trouve finalement P(X 14) 0, 9332.Chapitre 32012–2013
Le modèle de la loi normaleCalculs pratiquesQuantile 50% d’une N (0, 1)ExempleOn cherche le quantile à 97, 5% pour la N (0, 1).Cela revient à trouver a tel que P(Z a) 0, 975.Chapitre 32012–2013
Le modèle de la loi normaleCalculs pratiquesQuantile 50% d’une N (0, 1)ExempleOn cherche le quantile à 97, 5% pour la N (0, 1).Cela revient à trouver a tel que P(Z a) 0, 975.On lit la table à l’envers :.1, 9.Chapitre 3.0, 06.0.9750.2012–2013
Le modèle de la loi normaleCalculs pratiquesQuantile 50% d’une N (0, 1)ExempleOn cherche le quantile à 97, 5% pour la N (0, 1).Cela revient à trouver a tel que P(Z a) 0, 975.On lit la table à l’envers :.1, 9.0, 06.0.9750.Donc P(X 1, 96) 0, 9750.Le quantile recherché est donc 1, 96.Chapitre 32012–2013
Le modèle de la loi normaleCalculs pratiquesQuantile 50% d’une N (0, 1)ExempleOn cherche le quantile à 97, 5% pour la N (0, 1).Cela revient à trouver a tel que P(Z a) 0, 975.On lit la table à l’envers :.1, 9.0, 06.0.9750.Donc P(X 1, 96) 0, 9750.Le quantile recherché est donc 1, 96.NotationLe quantile d’ordre α pour la loi normale centrée/réduite est noté zα .Par exemple, z0,975 1, 96.Chapitre 32012–2013
Le modèle de la loi normaleCalculs pratiquesQuantile 50% d’une N (0, 1)ExempleOn cherche le quantile à 14% pour la N (0, 1).Cela revient à trouver a tel que P(Z a) 0, 14.Chapitre 32012–2013
Le modèle de la loi normaleCalculs pratiquesQuantile 50% d’une N (0, 1)ExempleOn cherche le quantile à 14% pour la N (0, 1).Cela revient à trouver a tel que P(Z a) 0, 14.Il n’y a pas de nombre 0, 5 dans la table !0, 14?Chapitre 302012–2013
Le modèle de la loi normaleCalculs pratiquesQuantile 50% d’une N (0, 1)ExempleOn cherche le quantile à 14% pour la N (0, 1).Cela revient à trouver a tel que P(Z a) 0, 14.Il n’y a pas de nombre 0, 5 dans la table !0, 140, 14?Chapitre 302012–2013
Le modèle de la loi normaleCalculs pratiquesQuantile 50% d’une N (0, 1)ExempleOn cherche le quantile à 14% pour la N (0, 1).Cela revient à trouver a tel que P(Z a) 0, 14.Il n’y a pas de nombre 0, 5 dans la table !0, 140, 14?Chapitre 302012–2013z0,86 1, 08
Le modèle de la loi normaleCalculs pratiquesQuantile 50% d’une N (0, 1)ExempleOn cherche le quantile à 14% pour la N (0, 1).Cela revient à trouver a tel que P(Z a) 0, 14.Il n’y a pas de nombre 0, 5 dans la table !0, 140, 14-1, 080Le quantile est donc z0,14 1, 08.Chapitre 32012–2013z0,86 1, 08
Le modèle de la loi normaleCalculs pratiquesQuantile 50% d’une N (0, 1)À retenir :zα z1 α0, 140, 14-1, 080par exemple : z0,14 z0,86 .Chapitre 32012–2013z0,86 1, 08
Le modèle de la loi normaleCalculs pratiquesQuantile d’une loi normale quelconqueNotons Qα le quantile d’ordre alpha d’une loi normale quelconqueN (µ, σ).À retenir :Qα µ σ zα .On ”déréduit” et on ”décentre” le quantile de la loi normalecentrée/réduite.Chapitre 32012–2013
Le modèle de la loi normaleCalculs pratiquesQuantile d’une loi normale quelconqueNotons Qα le quantile d’ordre alpha d’une loi normale quelconqueN (µ, σ).À retenir :Qα µ σ zα .On ”déréduit” et on ”décentre” le quantile de la loi normalecentrée/réduite.ExerciceQuel est le quantile à 90% pour une loi normale N (11, 2) ?Chapitre 32012–2013
Le mod ele de la loi normaleCalculs pratiques Param etres de la loi normale Pour chaque ; , il existe une loi normale de moyenne et d' ecart-type . On la note N( ; ). Cas particulier 0 et 1 : loi normale centr ee/r eduite. Lorsque l'on suppose qu'une variable X suit le mod ele de la loi normale N( ; ), on ecrit X N( ; ):
Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6 Chapitre 7 Chapitre 8 Chapitre 9 Chapitre 10 Chapitre 11 Chapitre 12 Chapitre 13. Chapitre 14 Chapitre 15 Chapitre 16 Chapitre 17 Chapitre 18 Chapitre 19 Chapitre 20 Chapitre 21 Épilogue. Prologue : la voie du destin. Angleterre, 1804
III CHAPITRE 1 Définition et principes de la comptabilité 1 CHAPITRE 2 L’écriture comptable 8 CHAPITRE 3 Actif et passif 22 CHAPITRE 4 Charges et produits 31 CHAPITRE 5 La taxe sur la valeur ajoutée 37 CHAPITRE 6 Les achats 48 CHAPITRE 7 Les ventes 56 CHAPITRE 8 Les réductions sur achats et ventes 65 CHAPITRE
sommaire avant-propos v chapitre 1 premier contact 1 chapitre 2 gÉomÉtrie i 13 chapitre 3 couleur i : le noir et blanc 25 chapitre 4 variables i 29 chapitre 5 setup() et draw() 35 chapitre 6 opÉrateurs 39 chapitre 7 structures conditionnelles et itÉratives 45 chapitre 8 interactivitÉ avec la souris 55 chapitre 9 gÉomÉtrie ii : transformations 67
Des livres Chapitre XI De la cruauté Chapitre XII Apologie de Raimond de Sebonde Chapitre XIII De juger de la mort d'autruy Chapitre XIV Comme nostre esprit s'empesche soy mesme Chapitre XV Que nostre desir s'accroit par la malaisance Chapitre XVI De la gloire Les Essais Livre II 2. Chapitre XVII De la presumption Chapitre XVIII Du desmentir Chapitre XIX De la liberté de conscience .
7 Dedication Contents Introduction Chapitre 1: Infested with Parasites! Chapitre 2: In the Classroom Chapitre 3: Magnifying your Microbes Chapitre 4: Bonner's Private Investigation Chapitre 5: A beautiful Case Chapitre 6: Giving Hope to the World Chapitre 7: Getting Through It Chapitre 8: To Each his own Burden Chapitre 9: A Small Hisory of Amoebiasis .
Table des matières Avant de commencer : les cinq grandes dimensions de la personnalité 5 Avant-propos 9 Chapitre 1 Le visage 11 Chapitre 2 Les mimiques 57 Chapitre 3 La voix et le regard 87 Chapitre 4 Les mains 107 Chapitre 5 Les mouvements et les postures 143 Chapitre 6 Les goûts et préférences 179 Chapitre 7 Les
Chapitre 5 Le langage QBE . Chapitre 8 Programmation avec VBA Chapitre 9 Les objets dans Access Chapitre 10 L’interface DAO Chapitre 11 Le mode client serveur et ODBC Chapitre 12 Automation et le modèle DCOM. IUT de Nice - Cours SGBD1 3 . LES AVANTAGES DU MODÈLE RELATIONNEL.
Chapitre 2 : La gestion prévisionnelle des emplois et des compétences. Chapitre 3 : Le recrutement et la sélection du personnel. Chapitre 4 : La formation. Chapitre 5 : La rémunération. Chapitre 6 : L'évaluation du rendement et la mesure des performances. Chapitre 7 : La gestion des carrières.
